BENTUK PANGKAT, AKAR DAN LOGARITMA

BENTUK PANGKAT , AKAR DAN LOGARITMA

I. Bentuk pangkat I.1. Pangkat Bulat Positif

Contoh 1 : Tuliskanlah bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat / eksponen

1. 4 x 4 x 4 x 4 x 4 jawab : 4 5 2. ( - 2 ) x ( - 2 ) x ( - 2 ) jawab :

( )

-23 3. ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ ÷ ø ö ç è æ 5 1 5 1 5 1 5 1 x x x jawab : 4 5 1 ÷ ø ö ç è æ 4. 81 jawab : 3 4 5. 256 jawab : 4 4 6. 30.000 jawab : 4 10 3x

I.2. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat positif

Untuk m , n Î B dan + aÎ maka berlaku sifat-sifat sebagai berikut R

1. m n m n a a x a = + Bukti : 2. am: an =am-n Bukti : 3.

( )

an m =amn Bukti : Standar Kompetensi

Memahami dan menggunakan aturan dan sifat serta manipulasi Aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma.

Kompetensi Dasar

Menggunakan sifat, aturan dan manipulasi Aljabar dalam pemecahan masalah akar, pangkat dan logaritma

Definisi Bilangan berpangkat bulat positif

Misalkan n bilangan bulat positif dan a bilangan Real, bilangan n

a mempunyai arti a x a x a x … x a ( sebanyak n factor yang sama ). Bilangan a disebut basis atau bilangan pokok, sedangkan n disebut pangkat atau eksponen.

4. _m m m b a b a ₌ ÷ ø ö ç è æ Bukti : 5.

(

axb

)

m =amxbm Bukti :

Contoh 2 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk pangkat

1. ... 6 8 3 2 6 5 = - x y y x jawab : 5 2 6 3 3 3 3 4 3 4 y x y x = -- - -2.

(

)

... 4 2 3 2 2 = y x y x jawab : x y xy y x y x ₌ 4-3 2-1 ₌ 3 2 4 4 4 3.

( ) ( ) (

)

( )

4

(

6

)

... 4 4 2 2 2 2 2 2 3 2 3 = + -y x xy y x y x jawab :

(

)

₍

₎

2 8 11 1 22 2 8 2 6 16 4 16 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 -= -= + -y x y x y x y x y x y x y x y x

I.3. Sifat-sifat operasi bilangan dengan pangkat bulat negatif dan nol

1. Jika a¹0 ,makaa0 =1 Bukti :

2. Jika n _n

a a a

B

nÎ dan ¹0maka - = 1 Bukti :

Contoh 3 : Tuliskan bilangan-bilangan berikut dengan pangkat bulat positif 1. 16 1 2 1 2-4 = ₄ = 2.

(

)

(

)

4 4 4 81 1 3 1 3 x x x = -= - -LATIHAN 1

1. Sederhanakan 3 2 3 2 4 2 . _÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ -x y y x 6. Sederhanakan 2 1 2 4 1 1 5 1 2 3 2 3 -÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ z y x 2. Sederhanakan 2 4 4 3 3 2 3 2 4 3 . -÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ s q r p s r q p 7. = ï þ ï ý ü ï î ï í ì ÷÷ ø ö çç è æ ú ú ú û ù ê ê ê ë é ÷ ÷ ø ö ç ç è æ -3 4 1 4 1 10 4 1 3 2 5 2 : x y y x 3. Sederhanakan _{1 2} 1 2 -+ + b a b a

8. Tentukan nilai dari 4 4

3 3 2 c ab T = , untuk a = 100 , b = 8 1 dan c = 0,01 4. Sederhanakan _{1 2} 1 1 -a b b a ab 9. Sederhanakan

( )

( ) ( )

ú_ûù

[

- +

( )

-

]

= ê ë é -2 2 2 2 3 . 3 3 3 1 5. Buktikan ₃ 3 3 3 3 3 1 1 ÷÷ ø ö çç è æ -÷÷ ø ö çç è æ + = -+ -y x y x y x y x 10. Sederhanakan

[ ]

( )

-

[ ]

( )

- = 6 2 0 5 3 2 8 . 8 TUGAS 1 1. Sederhanakan _{5 5} 3 2 12 18 y x y x

-- 6. Tulis dalam satu suku

32 1 16 1 8 1 4 1 2 1_{+ + + +}

2. Sederhanakan

(

x-2 + y-2

)

-2 _{7. Tulis dalam bentuk} n m 2 2 7 6 5 4 3 2 6 3 2 2 5 2 4 3 2 8 ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ + ÷ ø ö ç è æ -÷ ø ö ç è æ 3. Sederhanakan 1 2 3 4 3 7 2 . -ú ú û ù ê ê ë é ÷÷ ø ö çç è æ ÷÷ ø ö çç è æ b a b a 8. Sederhanakan = -2 2 4 4 b a b a 4. Sederhanakan

(

)

(

)

(

)(

)

ú = û ù ê ë é -- - -2 5 2 4 2 3 2 2 4 2 4 y x y x xy y x 9. Sederhanakan + = -1 1 1 1 x y y x xy 5. Sederhanakan

( ) ( )

( ) ( )

- = -3 5 2 2 2 3 4 2 2 2 2 2 10. Sederhanakan = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ÷÷ ÷ ø ö çç ç è æ 3 2 1 3 . 1 . 1 ab b a

II. Bentuk Akar Pangkat Rasional

Jika m , n bilangan bulat dan aÎReal, maka

( )

_n m n m n m a a a = = Bukti

Contoh 4 : Tuliskan dalam bentuk akar yang sederhana

1. 5 5 2 2 a a = 2. 3 3 2 2 7 21 2 a a a _÷÷ = = ø ö ç ç è æ 3. 3 3 3 3 1 3 ₄ 3 1 27 4 27 4 27 4 _{÷ = =} ø ö ç è æ =

Bilangan Irasional dan Bentuk Akar

Beberapa contoh bilangan irasional dalam bentuk akar : 3

2 , 7 , 3 , 2 , 0

Beberapa contoh bilangan yang ditulis dengan tanda akar, akan tetapi bukan

merupakn bentuk akar : 3 3

001 , 0 , 8 , 16 , 9

(i) Penjumlahan , pengurangan dan perkalian bentuk akar 1. m a+n a =

(

m+n

)

adengan a³0 2. m a-n a =

(

m-n

)

adengan a³0 3. ax b = abdengan a³0dan b³0 Contoh 5 : 1. 2 a-5 a+7 a =

(

2-5+7

)

a =4 a 2. 2

(

3-2 2

)

=3 2-2 4 =3 2-4 3.

(

2- 3

)(

2+ 8

)

= 4+ 16- 6- 24=2+4- 6-2 6 =6-3 6

(ii) Merasionalkan pecahan Bentuk : b a Cara merasional: b b x b a Bentuk : b a+ 1 Cara merasional: b a b a x b a -+ 1 Bentuk : b a+ 1 Cara merasional: b a b a x b a -+ 1 Contoh 6 :

1. 3 3 5 3 3 3 5 3 5 _{= =} x 2. 2 1 20 10 20 100 20 20 20 5 20 5 _{= = = =} x 3.

(

) ( )

21 3 2 3 2 3 1 3 1 4 3 1 3 1 3 1 4 3 1 4 _{=- - =} -= -+ = + x 4.

(

) (

)

7 5 2 5 7 2 5 7 5 7 2 5 7 5 7 5 7 2 5 7 2 ₌ - ₌ -= -+ = + x

(iii) Menyederhanakan bentuk akar Sifat – sifat

a. a+ b =

(

a+b

)

+2 ab Bukti :

b. a- b =

(

a+b

)

-2 ab

untuk a > b > 0 , karena harus merupakan bilangan-bilangan positif Bukti : Contoh 7 : 1. 7+2 10 =

(

5+2

)

+2 5x2 = 5+ 2 2. 8-2 15 =

(

5+3

)

-2 5x3 = 5- 3 LATIHAN 2 1. Sederhanakan = + - 7 112 252

6. Dengan merasionalkan penyebut,

sederhanakan : = - 3 5 4 2. Sederhanakan = -- 5 125 80 7. Sederhanakan : 2 6 3 6 3 ÷_øö ç è æ _{+ +}

-3. Tentukan bentuk sederhana dari 6+4 2 = 8. Sederhanakan :

(

2+ 3

)

æ_èç 2- 3_ø÷ö-

(

2- 3

)

æ_èç 2+ 3ö_ø÷= 4. Jika x=2- 5 dan y=2+ 5 maka nilai 2- 2 = y x 9.Sederhanakan : _{+ +} = + 3 2 2 3 2 5. Sederhanakan dengan merasionalkan penyebutnya : = + 5 3 8 10. Sederhanakan : - = 15 1 2 15 8 TUGAS 2 1. Sederhanakan = --5 54 7 48 150 2

6. Sederhanakan dengan merasionalkan

penyebutnya ; = -2 3 6 3 2. Sederhanakan :

(

2- 3

)(

2-5 3

)

=

7. Sederhanakan dengan merasionalkan

penyebutnya ; = -+ 2 3 5 3 3. Sederhankan : - = 6 1 2 6 5 8. Sederhanakan :

(

t- t2 -1

)(

t+ t2 -1

)

=

4. Sederhanakan : 23-8 7 = 9. Sederhanakan : 4 - = 11 8 27 5. Diketahui p=3+ 5 dan 5 3 -= q . Tentukan nilai

(

+

)

2 = q p

10. Rasionalkan penyebut dari pecahan

berikut ; = + -+ 2 3 6 6 3 2 3

III. Bentuk Logaritma 3.1 Definisi b a c b c a = « = log

a disebut basis atau bilangan pokok

(

a¹1dan a>0

)

b disebut numerus ( b > 0 )

c disebut hasil logaritma Contoh 8 : 1. 3log27= karena 3 27 33 = 2. 2log23= 2log

( )

2 6 =6 3.2 Sifat-sifat Logaritma

1. alog

( )

bxc=alogb+alogc 5. aloga=1,alog1=0,alogan =n

2. alog

( )

b:c=alogb-alogc _{6. x b}

n m bm a an log log =

3. a bn nxa b log log = _{7. a}a b _b = log 4. a a b b _{p b} p a log 1 log log log = = 8. b c d d a c b a log log . log . log = Contoh 9 :

1. Diketahui log2=0,3010dan log3=0,4771 maka nilai

( )

2 3 log2 log3 0,3010 0,4771 0,7781 log 6 log = x = + = + = 2. Diketahui p 3 log3 3p 2 log 3 2 3 log 2 2 log 3 log 4 log 9 log 9 log maka 3 log 8 2 8 2 2 2 8 8 8 4 8 3 = = = = = =

3. Sederhanakan :5log27 x 3log5=5log33 x 3log5=35log3 x 3log5=3 IV. 1. Persamaan pangkat dan bentuk akar sederhana

Contoh 10 :

1. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan x+4+ 2x+1=3 Jawab :

(

)

(

)

(

)

) ( 60 atau 0 0 60 0 60 36 12 36 72 36 12 1 2 36 6 1 2 6 1 2 6 1 2 9 4 1 2 3 4 x 2 1 2 2 2 memenuhi tidak x x x x x x x x x x x x x x x x x x = = = -= -+ + = + + + = + + = + + -+ + = + + -= +

2. Diketahui :

( )

8x 2 =16, tentukan nilai x yang memenuhi Jawab :

( )

3 2 4 6 2 2 16 23x 2 = « 6x = 4 « x= ® x=

3. Diketahui : 4(x+3) =4 8x+5 , tentukan nilai x yang memenuhi Jawab :

( ) 5 9 5 3 24 8 4 15 3 6 2 2 2 2 2 4 15 3 6 2 4 5 3 3 2 = « = « + = + « + = + ® = -+ + ÷ ø ö ç è æ + + x x x x x x x x x

IV.2. Persamaan Logaritma Sederhana Contoh 11 :

1. Diketahui :2logx+2log

(

x+2

)

=3, tentukan nilai x yang memenuhi Jawab :

(

)

(

)

(

2

)(

4

)

0 2atau 4

(

tidak memenuhi

)

0 8 2 8 2 8 log 2 log 2 log 2 log 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 -= = ® = + -« = -+ « = + « = + « = + x x x x x x x x x x x x

2. Tentukan nilai x jika diketahui 2log9 log2 1 100 x 10 -= x Jawab : 2 45 4 9 x 10 10 x 10 100 x 10 100 x 10 2 3 log 2 2 3 log 2 log 3 log = = = = = -x x x x LATIHAN 3

1. Tentukan nilai x yang memenuhi

(

4

)

log log4

log x+ = x+

6. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 4(x2+x) =16

2. Diketahui 2log3=a dan 5log2=b. Nyatakan 30log90 dalam a dan b

7. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 1 1 1 1 -+ -+ + x x x x

3. Tentukan penyelesaian dari persamaan x+6- x-1=1

8. Nilai x yang memenuhi persamaan

÷ ø ö ç è æ ₊ -= ÷ ø ö ç è æ 1 3 1 2 27 3 1 x x adalah

4. Jika x1 dan x2 adalah penyelesaian dari persamaan

(

3

)

log4 log log 2 = + + x x , hitunglah x1 + x2

9. Nilai x yang memenuhi persamaan

(

)

( ) 3 4 log 2 log 2 2 + + x+ = x adalah

5. Tentukan x jika diketahui

4 10 5

8 4x+ = x+

10. Nilai x yang memenuhi persamaan

(

10 log

)

1 log log log2 2 2 2 2 = - + x x adalah TUGAS 3

1. Diketahui 7log2=a dan 2log3=b. Nyatakan 6log98

dalam a dan b

6. Nilai x yang memenuhi persamaan

x x x x 3 3 2 64 2 . 8 8 2 ₌ + adalah

2. Tentukan nilai x yang memenuhi

(

)

(

)

(

)

1 8 6 log 2 log 3 2 log ₌ -+ + -x x x

7. loga+loga2 +loga3 +...+logan =

3. - = 5 3 2 3 2 3 12 log 4 log 36

log 8. Nilai x yang memenuhi persamaan

(

3 2

)

log

(

3 10

)

0 log + = 2 - + = x x x x x adalah

4. Penyelesaian dari persamaan 2 8 3 36 6x2- x+ = x+ adalah x1 dan x2

dengan x1 > x2. Nilai dari x1 – x2 =

9. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 1 2 1 2 1 2 1 2 -+ + -+ x x x x

5. Nilai x yang memenuhi persamaan

(

12

)

3. log4 1 0

log + - x + =

x

x

adalah

10. Jika a dan b adalah akar-akar

persamaan 33log

(

4x2+3

)

+42log( )x-1 =49, maka a + b =

LATIHAN ULANGAN HARIAN 1. Jika 7log2=a dan 2log3=b, maka

= 98 log 6 A. b a a + D.

(

1

)

2 + + b a a B. a b a + + 2 E.

(

1

)

2 + + a b b C. 2 1 + + b a

2. Bentuk sederhana dari 1 3 1 - adalah … A. 2 3+ D. 2 3 4 1 4 1 + -B. 2 1 3 2 1 _{+ E.} 3 4 1 4 1 -C. 3 2 1 2 1

-3. Bentuk 3 5 4 - dapat disederhanakan menjadi… A. 4 5+4 3 D. 2 5+2 3 B. 4 5-4 3 E. 2 5-2 3 C. 4 3-4 2

4. Nilai x yang memenuhi persamaan

(

10 log

)

1 log log log2 2 2 2 2 = - + x x adalah … A. 4 D. 6 B. 16 E. 32 C. 12

5. Nilai x₁+ yang memenuhi x₂

persamaan logx2 =log

(

x+3

)

+log4 adalah …

A. 4 D. -3 B. 3 E. - 12 C. -4

6. Nilai x yang memenuhi pertaksamaan

2 3 3 9 3 4 x x- = adalah … A. 1 atau 5 D. 5 B. –5 atau 1 E. – 1 C. – 5 atau –1

7. Jika x₁danx₂ adalah akar-akar persamaan 2x.2log9 +2.3x+1 +9=0 maka nilai dari x1+ = … x2

A. log 3 B. log 2 C. 2 D. 3 E. 4

8. Himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma

(

)

₍

₎

1 log 1 1 6 log log 3 2 log 2 2 2 = + + + -x x x x x adalah … A.

{ }

6 D. {3} B. { }6 E. { 1 , 6 } C. {1}

6 2 5 1 - adalah … A. 3- 2 D. 2+ 3 B. 3+ 2 E. 5 C. 3+ 2

10. Jika x dan 1 x adalah penyelsesaian dari

persamaan 27x+4 =3x2-3x+3, maka 2 1 x x + =… A. –6 D. 6 B. –5 E.8 C. 6