SMART SOLUTION UN MATEMATIKA SMA 2012 SKL 2 Indikator 2.1 Pangkat Akar dan Logaritma

(1)

Smart Solution

TAHUN PELAJARAN 2011/2012

Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2012

(Program Studi

(Program Studi IPA

IPA

IPA))))

Disusun oleh :

Pak Anang

(2)

Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Halaman 7

Kumpulan

Kumpulan Pembahasan Soal

Pembahasan Soal

Pembahasan Soal UN

UN

UN Matematika

Matematika

Matematika SMA Program IPA

SMA Program IPA

Dilengkapi

Dilengkapi SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT

Per

Per Indikator Kisi

Indikator Kisi

Indikator Kisi----Kisi UN

Indikator Kisi

Kisi UN

Kisi UN 2012

Kisi UN

2012

By By By

By Pak AnangPak AnangPak AnangPak Anang ((((http://pakhttp://pakhttp://pakhttp://pak----anang.blogspot.comanang.blogspot.comanang.blogspot.com)))) anang.blogspot.com SKL 2.

SKL 2. SKL 2.

SKL 2. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan aturan pangkat, akar dan logaritma, fungsi aljabar sederhana,

sederhana, sederhana,

sederhana, fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers,fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers,fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers,fungsi kuadrat, fungsi eksponen dan grafiknya, fungsi komposisi dan fungsi invers, sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, pers

sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, pers sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, pers

sistem persamaan linear, persamaan dan pertidaksamaan kuadrat, persamaan lingkaran dan amaan lingkaran dan amaan lingkaran dan amaan lingkaran dan persamaan garis singgungnya, suku banyak,

persamaan garis singgungnya, suku banyak, persamaan garis singgungnya, suku banyak,

persamaan garis singgungnya, suku banyak, algoritma sisa dan teorema pembagian,algoritma sisa dan teorema pembagian,algoritma sisa dan teorema pembagian,algoritma sisa dan teorema pembagian, program linear, program linear, program linear, program linear, matriks

matriks matriks

matriks dan determinandan determinandan determinandan determinan,vektor, transformasi geometri ,vektor, transformasi geometri ,vektor, transformasi geometri ,vektor, transformasi geometri dan komposisinya,dan komposisinya,dan komposisinya,dan komposisinya, barisan dan deret, serta barisan dan deret, serta barisan dan deret, serta barisan dan deret, serta mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah

mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah mampu menggunakannya dalam pemecahan masalah.... 2.1.

2.1. 2.1.

2.1. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma.Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma. Menggunakan aturan pangkat, akar dan logaritma. Menyederhanakan bentuk pangkat

Menyederhanakan bentuk pangkatMenyederhanakan bentuk pangkat Menyederhanakan bentuk pangkat

Perkalian diputar menjadi penjumlahan. Pembagian diputar menjadi pengurangan. 45_{6 4}7 _{8 4}597

45 _{∶ 4}7 _{8 4}5;7 Kurung harus bagi adil.

(4 6 <)7 _{8 4}7_{6 <}7 (4 ∶ <)7 _{8 4}7_{∶ <}7

Bentuk pangkat dipangkat lagi artinya pangkat saling dikalikan.

Bentuk akar Bentuk akarBentuk akar Bentuk akar

Akar adalah pangkat pecahan. √4

> _{8 4}?_>

Akar adalah invers pangkat. @7 _{8 A ⇔ @ 8 CA}>

Menyederhanakan bentuk akar Menyederhanakan bentuk akarMenyederhanakan bentuk akar Menyederhanakan bentuk akar

Jika masih bertemu dengan faktor kuadrat, maka keluarkan dari akar.

√72 faktor kuadratnya antara lain 4, 9, dan 36 pilih yang paling besar yakni 36.

Contoh: √72 8 √36√2 8 6√2

Bentuk akar sama bisa dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh: √27 I √5 K √125 I 2√3 8 3√3 I √5 K 5√5 I 2√3 8 5√3 K 4√5 Pemfaktoran bentuk akar

Jika bertemu soal seperti ini, C< L √M pastikan angka di depan √M adalah bilangan 2!!! Jika bukan bilangan 2, ubahlah! Lalu lihatlah < dan M sebagai sebuah persamaan kuadrat. Faktorkan!

Contoh:

C5 I √24 8 C5 I √4√6 8 C5 I 2√6 lihat sebagai @P_{I 5@ I 6 8 (@ I 3)(@ I 2)} Jadi C5 I √24 8 √3 I √2

Keterangan: Keterangan:Keterangan: Keterangan:

Dengan melihat bentuk C5 I 2√6 sebagai bentuk (@P_{I 5@ I 6) dengan mudah kita bisa menafsirkan 5 adalah hasil penjumlahan dua} bilangan, dan 6 adalah hasil perkalian dua bilangan. Bilangan itu adalah 3 dan 2.

(3)

Halaman 8 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Merasionalkan bentuk akar

Merasionalkan bentuk akarMerasionalkan bentuk akar Merasionalkan bentuk akar

Ingat perkalian dengan 1 tidak merubah nilai bilangan. Bilangan 1 itu bentuknya bisa bermacam-macam lho ya, tidak melulu 1 saja, tapi bisa berbentuk Q_Q,R_R,S_S,√Q_√Q,TUTVQWV_TUTVQWV, dll yang penting ‘sesuatunya’ SAMA!!

Ada dua jenis bentuk rasionalisasi bentuk akar.

Penyebut sederhana: TUTVQWV_√R harus dikalikan dengan √R_√R

Penyebut tidak sederhana: TUTVQWV_√R9√S harus dikalikan dengan bentuk sekawannya yaitu √R;√S_√R;√S Menyederhanakan bentuk

Menyederhanakan bentuk Menyederhanakan bentuk

Menyederhanakan bentuk logaritmalogaritmalogaritma logaritma Logaritma adalah invers eksponen.

4

[

8 \ ⇔

Q

log \ 8 @

Tanda panah adalah arah membaca invers, jika pangkat berarti harus dibaca log. Jika 4 pangkat @ sama dengan \ maka bisa juga dibaca 4 log \ sama dengan @. Jika 4 log \ sama dengan @ maka bisa juga dibaca 4 pangkat @ sama dengan \. Sifat logaritma

Sifat logaritmaSifat logaritma Sifat logaritma

Karena logaritma invers eksponen (pangkat) maka sifatnya juga mirip.

Perkalian diputar menjadi penjumlahan. Pembagian diputar menjadi pengurangan Q_{log(< 6 M) 8}Q_{log < I}Q_{log M} Q_{log(< ∶ M) 8}Q_{log < I}Q_{log M} Pangkat bisa ditaruh di depan.

Q5

log <

7

8

7

5

6

Q

log <

Logaritma bisa ditulis dalam pembagian logaritma. Q_{log < 8}Slog <

S_{log 4} Me

MeMe

Menyatakan bentuk logaritmanyatakan bentuk logaritmanyatakan bentuk logaritmanyatakan bentuk logaritma

Lihat bilangan yang sama pada logaritma yang diketahui. Paksakan bilangan tersebut supaya berada di depan. Gunakan sifat logaritma, kalau ditukar berarti dibalik. Q_{log < 8 M ⇔}R_{log 4 8}^

S.

Misalkan bilangan tersebut adalah 4 maka tambahkan satu logaritma yang diketahui yakni Q_{log 4 8 1.}

Contoh: Diketahui__log_{2 8 4 dan}P_{log 5 8 <, maka tentukan nilai}`_{log 10 8 ….}

__{log 2 8 4 bilangan yang sama adalah 2 maka paksakan 2 ada di basis logaritma} P_{log 5 8 <}

Sehingga tulislah logaritma yang diketahui menjadi:

P_{log 3 8}^

Q artinya jika bertemu bilangan 3, tulis ^ Q P_{log 5 8 < artinya jika bertemu bilangan 5, tulis <} P_{log 2 8 1 artinya jika bertemu bilangan 2, tulis 1}

Sehingga penyelesaiannya adalah: 2 6 5

`_{log 10 8}P6b P6_8

^9R ^9_c?6

Q Q8

Q(R9^) Q9^ 2 6 3

Ditanyakan `_{log 10 8 ?}

Nah, kita menemui dua bilangan 10 dan 6, kan?

Sekarang faktorkan bilangan tersebut sehingga ada bilangan yang ada pada logaritma yang diketahui, yaitu 3, 5 dan 2. Jadi 10 8 2 6 5 dan 6 8 3 6 2

(4)

ARSIP SOAL UN ARSIP SOAL UN ARSIP SOAL UN ARSIP SOAL UN

Menyederhanakan Bentuk Pangkat

1. (UN 2011 Paket 12)(UN 2011 Paket 12)(UN 2011 Paket 12) (UN 2011 Paket 12)

Bentuk sederhana dari _lm[e[fhnghi_gh?jhk_jhi8 ….

A. [_^Pg?oj?of

B. _^P[jpi_gf

C. [_^Pj?ogpq

D. _^P[gfjpi

E. _^Pg[?of_jp

2. (UN 2011 Paket 46)(UN 2011 Paket 46)(UN 2011 Paket 46) (UN 2011 Paket 46)

Bentuk sederhana dari _`QPmQhphn_RhfRhp_ShkS 8 ….

A. _QmSf_Rqq

B. _QmRq_Sq

C. _QmRf_S

D. mRS_Qqn

E. _QmSfn_R

3. (UN 2010 Paket A)(UN 2010 Paket A)(UN 2010 Paket A) (UN 2010 Paket A)

Bentuk sederhana dari rPeQ_{_}q_Qhqhn_RRhfhqs

;^

adalah … A. (34<)P

B. 3(4<)P

C. 9(4<)P

D. _(QR)_ p

E. _(QR)t p

4. (UN 2010 Paket B)(UN 2010 Paket B)(UN 2010 Paket B) (UN 2010 Paket B)

Bentuk sederhana dari _(bQubQhifR_Rhphqv₎ihp adalah ….

A. 5`₄m_<;^l

B. 5`₄m_<P

C. 5P₄m_<P

D. 5`_4<;^

E. 5`₄t_<;^

Menyederhanakan Bentuk Akar

1. (UN 2008 (UN 2008 (UN 2008 (UN 2008 PaketPaketPaket A/B)PaketA/B)A/B)A/B)

Hasil dari √12 I √27 K √3 adalah …. A. 6 B. 4√3 C. 5√3 D. 6√3 E. 12√3

2. (UN 2008)(UN 2008)(UN 2008)(UN 2008)

Bentuk 3√24 I 2√3u√32 K 2√18v dapat disederhanakan menjadi ….

A. √6 B. 2√6 C. 4√6 D. 6√6 E. 9√6

3. (UN 2007 (UN 2007 (UN 2007 (UN 2007 PaketPaketPaket A)PaketA)A)A) Bentuk sederhana dari

√8 I √75 K u√32 I √243v adalah …. A. 2√2 I 14√3

B. K2√2 K 4√3

C. K2√2 I √3 D. K2√2 I 4√3 E. 2√2 K 4√3 4. (UN 2007 (UN 2007 (UN 2007 (UN 2007 PaketPaketPaket B)PaketB)B)B)

Bentuk sederhana dari u3√2 K 4√3vu√2 I √3v 8 ….

A. K6 K √6

B. 6 K √6 C. K6 I √6 D. 24 K √6 E. 18 I √6 5. (EBTANAS 2002)(EBTANAS 2002)(EBTANAS 2002)(EBTANAS 2002)

Diketahui 4 8 9; < 8 16; dan M 8 36. Nilai dari yr4;?f∙ <;?p∙ Ms

_ 8 …. A. 1 B. 3 C. 9 D. 12 E. 18

8 ₁₂1111

12 12

12 xxxx3333 ---- 7777yyyy---- 4444 ---- 1111zzzz---- 6666 ---- 4444

8 xxxx10101010

12 12 12 12yyyy3333_zzzz2222

=4 =4 =4

=4 aaaa---- 7777 ----((((---- 2)2)2)2)_bbbb---- 2222 ----((((---- 3)3)3)3)_cccc1111 ---- 6666

= == =4b4b4b4bcccc_aaaa₅₅₅₅7777

= ==

=33335555 ---- 3333_aaaa---- 7777 ----((((---- 5)5)5)5)_bbbb---- 5555 ----(3)(3)(3)(3)

= == = 9999

aaaa2222_bbbb2222

= == =₍₍₍₍_ab9999

ab ab ab))))2222

= = =

=55554444 ----((((---- 2222))))_aaaa12121212 ---- 8888_bbbb---- 8888 ---- 10101010

= = =

=55556666_aaaa4444_bbbb---- 18181818

1111 12 12 12 12 4 44 4 1111 1111

aaaammmm

aaaannnn==aaaa== mmmm ---- nnnn

Ingat konsep: Ingat konsep:Ingat konsep:

Ingat konsep: ₌₂₌₂₌₂₌₂_√√√√₃₃₃₃₊₊₊₊₃₃₃₃_√√√√₃₃₃₃_----_√√√√₃₃₃₃ =4

=4 =4 =4√√√√3333

=2 =2 =2

=2√√√√2222 ++++ 5555√√√√3333---- 4444√√√√2222---- 9999√√√√3333 =

= =

=---- 2222√√√√2222---- 4444√√√√3333

=6 =6=6

=6 ++++ 3333√√√√6666---- 4444√√√√6666---- 12121212 =

==

=---- 6666 ---- √√√√6666

= = =

=yyyy9999----1111₁₆₁₆₁₆₁₆---- 3333₂₂₂₂₃₆₃₆₃₆₃₆3333

= = =

=√√√√3333----2222₂₂₂₂----6666₂₂₂₂6666₃₃₃₃6666

= = =

=√√√√33334444₌₌₌₌_√√√√₈₁₈₁₈₁₈₁₌₌₌₌₉₉₉₉ Ingat IngatIngat

Ingat _√27272727====C9999√3333

=6 =6 =6

=6√√√√6666+2+2+2+2√√√√3333uuuu4444√√√√2222----6666√√√√2222vvvv

=6 =6 =6

=6√√√√6666----4444√√√√6666 =2

(5)

Halaman 10 Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Ingat konsep: Ingat konsep: Ingat konsep: Ingat konsep:

Juga ingat konsep: Juga ingat konsep: Juga ingat konsep: Juga ingat konsep: aaaa2222_----bbbb2222₌₌₌₌₍_a+b_a+b_a+b_a+b₎_(a_(a----b)_(a_(a_b)_b)_b)

aaaa_log_log_{log bbbb +}_log ₊₊₊aaaa_log_{log cccc}_log_log ₈₈₈₈aaaa_log_log_log_{log bc}_bc_bc_bc aaaammmm_log_log_log_{log bbbb}nnnn₌₌₌₌nnnn

m mm maaaaloglogloglog bbbb

Merasionalkan

Merasionalkan Bentuk

Bentuk

Bentuk AAAAkar

kar

1. (UN 2011 (UN 2011 (UN 2011 Paket(UN 2011 PaketPaketPaket 12)12)12) 12)

Bentuk sederhana dari √b9P√__{√b;_√_}8 …. A. P{9b√^b_PP

B. P_;b√^b_PP C. P{;b√^b_;PP D. P{9b√^b_;PP

E. P_9b√^b_;PP

2. (UN 2011 (UN 2011 (UN 2011 Paket(UN 2011 PaketPaketPaket 46)46)46) 46)

Bentuk sederhana dari √_9_√P_{√_;`√P}8 ….

A. K_{P_}^ u13 + 3√6v

B. K_{P_}^ u13 K 3√6v

C. K_{P_}^ uK11 K √6v

D. _{P_}^ u11 + 3√6v

E. _{P_}^ u13 + 3√6v

3. (UN 2010 (UN 2010 Paket(UN 2010 (UN 2010 PaketPaketPaket A)A)A) A)

Bentuk sederhana dari muP9√_v(P;√_)_{u_9√bv} 8 …. A. Ku3 K √5v

B. K^_mu3 K √5v

C. ^_mu3 K √5v

D. u3 K √5v E. u3 + √5v 4. (UN 2010 (UN 2010 Paket(UN 2010 (UN 2010 PaketPaketPaket B)B)B) B)

Bentuk sederhana dari `u_9√bvu_;√bv_P9√` 8 …. A. 24 I 12√6

B. K24 I 12√6

C. 24 K 12√6 D. K24 K √6 E. K24 K 12√6 5. (UN 2006)(UN 2006)(UN 2006) (UN 2006)

Bentuk sederhana dari _{_;√e}Pm 8 …. A. 18 K24√7

B. 18 K 6√7

C. 12 I 4√7

D. 18 + 6√7

E. 36 +12√7

Menyederhanakan Logaritma

1. (UN 2010 (UN 2010 (UN 2010 (UN 2010 PaketPaketPaket A)PaketA)A)A)

Nilai dari ₍f_{|}~ ^l)}f|}~ √`p_;(f_{|}~ P)}p8 …. A. ^_l

B. ^_P C. 1 D. 2 E. 8

2. (UN 2010 Paket B)(UN 2010 Paket B)(UN 2010 Paket B)(UN 2010 Paket B)

Nilai dari pn|}~ t9f_{|}~ P;}p|}~ _∙f_{|}~ ^l}√f|}~ m 8 ….

A. K^m_{_}

B. K^m_`

C. K^{_` D. ^m_` E. ^m_{_}

3. (UN 2005)(UN 2005)(UN 2005)(UN 2005) Nilai dari •_log ^

€q∙•log_•^f∙€log^_•8 ….

A. -15

B. -5 C. -3

D. _^b^

E. 5 =

==

=√√√√5555 ++++ 2222√√√√3333

√√√√5555---- 3333√√√√3333 ××××

√√√√5555 ++++ 3333√√√√3333

√√√√5555 ++++ 3√33√33√33√3

= ==

=5555 ++++ 18181818 ++++ 3333√√√√15151515 ++++ 2222√√√√15151515 5555 ---- 27272727

= ==

=23232323 ++++ 5555√√√√15151515 ---- 22222222

= ==

=√√√√3333 ++++ 3333√√√√2222

√√√√3333---- 6666√√√√2222××××

√√√√3333 ++++ 6666√√√√2222

√√√√3333 ++++ 6666√√√√2222 =

==

=3333 ++++ 36363636 ₃₃₃₃++++_---- 6666₇₂₇₂₇₂₇₂√√√√6666 ++++ 3333√√√√6666 =

==

=39393939 _----++++₆₉₆₉₆₉₆₉ 9999√√√√6666 =

==

=---- ₂₃₂₃₂₃₂₃1111 uuuu13131313 ++++ 3333√√√√6666vvvv

= = =

=4(44(44(44(4 ---- 3)3)3)3) 3333 ++++ √5√5√5√5××××

3333 ---- √√√√5555

= = =

=4444uuuu3333₉₉₉₉ _-------- √√√√₅₅₅₅5555vvvv =

= =

=uuuu3333 ---- √√√√5555vvvv

= = =

=6(96(96(96(9 ---- 5)5)5)5)

2222 ++++ √√√√6666××××

2222 ---- √√√√6666 2222 ---- √√√√6666 =

= =

=24242424uuuu2222 ---- √√√√6666vvvv

4444 ---- 6666 =

= =

=---- 24242424 ++++ 12121212√√√√6666

= == = 24242424

3333 ---- √√√√7777××××

3333 ++++_√√√√7777

3333 ++++ √√√√7777

= ==

=24242424((((₉₉₉₉3333 _----++++₇₇₇₇ √√√√7777)))) =36=36=36=36 ++++ 12121212_√√√√7777

= = =

= 3333loglogloglog √√√√6666

3333_log_log_log_log₍₍₍₍_18×2_18×2_18×2_18×2₎₎₎₎_····3333_log_log_log_log_rrrr18181818

2222ssss

= = =

= 22221111····3333loglogloglog 6666

2222 ···· 3333_log_{log 6666}_log_log _····₂₂₂₂====

1111 8888 = == = 2222 3333 ++++ 11111111

2222 2222

---- 2222 = ==

=---- rrrr1111₃₃₃₃ ++++ 2222ssss =

==

=---- 7777₃₃₃₃====---- 14141414₆₆₆₆

= ==

=((((----5555))))((((----3333))))((((----1111)))) =

(6)

Menyatakan Bentuk Logaritma

1. (UN 2008 Paket A/B)(UN 2008 Paket A/B)(UN 2008 Paket A/B) (UN 2008 Paket A/B)

Jika e_{log 2 8 4 dan}P_log_{3 8 <, maka}

`_log_{14 8 ….}

A. Q

Q9R

B. Q9^

R9^

C. Q9^

Q(R9^)

D. R9^

Q9^

E. R9^

R(Q9^)

2. (UN 2007 Paket B)(UN 2007 Paket B)(UN 2007 Paket B) (UN 2007 Paket B)

Jika diketahui _log 5 8 ‚ dan elog 5 8 \,

maka _blog 15 8 ….

A. ^95

^97

B. ^97

^95

C. 5(^97)

^95

D. 7(^95)

5(^97)

E. 579^

59^

3. (UN 2004)(UN 2004)(UN 2004) (UN 2004)

Diketahui P_{log 5 8 @ dan}P_{log 3 8 A.}

Nilai P_{log 300}f_i_{8 ….}

A. P

_@ I _ mA I

_ P

B. _

P@ I _

PA I 2

C. 2@ I A I 2

D. 2@ I_

mA I _ P

E. 2@ I_

mA I 2

Jika adik-adik butuh ’bocoran’ naskah soal Ujian Nasional tahun 2012, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2011/12/bocoran-soal-ujian-nasional-matematika.html dan untuk ’bocoran’ naskah soal Ujian Nasional tahun 2012 untuk mata pelajaran Fisika, adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2011/12/bocoran-soal-ujian-nasional-fisika-2012.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2012 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 15 Desember 2011 yang lalu.

Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2012 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2011/12/kisi-kisi-skl-un-2012_19.html.

Terimakasih,

Pak Anang.

2222_log_{log 7}_log_log₇₇₇₌₌₌₌1111

aaaa

2222_log_{log 3333}_log_log ₌₌₌₌_bbbb 2222_log_{log 2222}_log_log ₌₌₌₌₁₁₁₁

6666_log_log_{log 14}_log₁₄₁₄₁₄₌₌₌₌14141414

6666 ==== 7×2 7×2 7×2 7×2 3×2 3×23×2 3×2 =

== =

1111 aaaa ++++ 1111 bbbb ++++ 1111 ××××

aaaa aaaa ====

1111 ++++ aaaa

aaaa (b(b(b(b ++++ 1)1)1)1)

5555_log_{log 3333}_log_log ₌₌₌₌ 1111

m mm m

5555_log_{log 7}_log_log₇₇₇₌₌₌₌1111

nnnn

5555_log_{log 5555}_log_log ₌₌₌₌₁₁₁₁

35 35 35

35_log_log_{log 15}_log₁₅₁₅₁₅₌₌₌₌15151515

35 35 35 35 ====

3333 ×××× 5555

7 77 7 ×××× 5555

= = = =

1111 m m m m ++++ 1111

1111 nnnn ++++ 1111

×××× mnmnmnmn

mn mnmn mn ====

nnnn (1(1(1(1 ++++ m)m)m)m)

m mm

m (1(1(1(1 ++++ n)n)n)n)

5555_log_log_log_{log 3333}₌₌₌₌1111

m m m m

5555_log_log_log_{log 7}₇₇₇₌₌₌₌1111

nnnn

5555_log_log_log_{log 5555}₌₌₌₌₁₁₁₁

35 35 35

35_log_log_{log 15}_log₁₅₁₅₁₅₌₌₌₌15151515

35 35 35 35 ====

3333 ×××× 5555

7 77 7 ×××× 5555

= = = =

1111 m m m m ++++ 1111

1111 nnnn ++++ 1111

×××× mnmnmnmn

mn mn mn mn ====

nnnn (1(1(1(1 ++++ m)m)m)m)

m m m

m (1(1(1(1 ++++ n)n)n)n)