Standar Kompetensi
Menggunakan operasi dan sifat serta manipulasi aljabar dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar dan logaritma, persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat, system persamaan linier – kuadrat, pertidaksamaan satu variable, logika matematika.
BENTUK PANGKAT/EKSPONEN, AKAR DAN LOGARITMA.
Kompetensi Dasar : 1.1. Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan logaritma dalam pemecahan masalah
1.2. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tehnis yang ber- kaitan dengan pangkat, akar dan logaritma.
Pengalaman Belajar
1.1.1. Mendefinisikan pangkat, akar dan logaritma.
1.1.2. Mendiskripsikan pangkat, akar dan logaritma, serta hubungan satu dengan yang lainnya.
1.1.3. Mengaplikaikan rumus-rumus pangkat / eksponen. 1.1.4. Mengaplikaikan rumus-rumus bentuk akar.
1.1.5. Mengaplikaikan rumus-rumus logaritma.
. Prasyarat : 1. Sistem Persamaan linier dan kuadrat.
2. Operasi hitung dalam aljabar.
A. BENTUK PANGKAT/EKSPONEN DAN BENTUK AKAR A.1. BENTUK PANGKAT / EKSPONEN.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut pangkat/eksponen dan bentuk akar diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti dian- tara beberapa pola berikut ini:
Masalah 1 : Tentukan dan jabarkan bentuk : a. 35 b. 56 c. 104 Penyelesaian : a. 35 = 3 x …. x ….. x ….. x ….. = 243
b. 56 = …. x …. x ….. x ….. x ….. x …… = …….
c. 104= …. x ….. x ….. x ….. = ………
Penarikan kesimpulan:
an = …. x ….. x ….. x …… x ….. x a , di mana : an dibaca a pangkat n
n factor a disebut bilangan pokok atau basis.
n disebut pangkat atau eksponen
an disebut bilangan berpangkat.
A.1.1. PANGKAT BULAT POSITIF.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 2 : Tentukan nilai dari: a. 43 x 42 b. 24 x 25 Penyelesaian :
a. 43 x 42 = ( 4 x …. x 4 ) x ( 4 x ….. ) = ( 4 x ….. x ….. x ….. x ….) = 43 + 2 = 4…..
3 faktor 2 faktor (3 + 2) factor
b. 24 x 25 = ( 2 x …. x …. x …. ) x ( 2 x …. x …. x …. x 2 )
= ( …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. x …. ) = 2…..
Penarikan kesimpulan:
ap . aq= ( a x a x a x … x a ) ( a x a x a x … x a) = ( a x a x a x .. x a ) = a… + ….
…. factor …. factor ( … + …. ) factor Sifat 1 : ap . aq = a …. + ……
Masalah 3 : Tentukan nilai dari: a. 3 5
4
4
b. 4 8
3
3
Penyelesaian : 5 faktor 3 faktor a. 3
5
4
4
=
... ... 4
... ... ... 4 4
x x
x x x x
=
... ... 4
... ... 4
x x
x x
x ( 4 x ….. ) = 1 x ( 4 x ….. ) = 42 = 4 5 - 3
3 faktor 3 faktor 2 faktor 8 faktor 4 faktor 4 faktor
b. 4 8
3
3
=
3 ... ... 3
3 ... ... ... ... ... ... 3
x x x
x x x x x x x
=
... ... ... 3
... ... ... 3
x x x
x x x
x ( 3 x ….. x …..x….. )
4 faktor 4 faktor
= 1 x ( 3 x …..x…..x….. ) = 3 x …. x …. x 3 = 34 = 3 ….. - …..
4 faktor 4 faktor
Penarikan kesimpulan:
p faktor q faktor ( p - …. ) faktor
q
p
a a
=
xa x ax
xa x x x x x ax
... ...
... ... ... ... ... ...
=
... ... ...
... ... ...
x x ax
x x ax
.( a x ….. x ….. x….. )
q faktor q faktor
= 1 x ( a x …..x…..x a ) = a x a x …. x a = a…. - ……
( …. - …. ) faktor ( ….. - …. ) faktor
Sifat 2 : q p
a a
= a….. - ……
Masalah 4 : Tentukan nilai dari: ( 2 x 5 )3
Penyelesaian : 3 faktor 3 faktor 3 faktor
( 2 x 5 )3 = ( 2 x 5 ) x ( … x … )x ( …x 5 ) = ( 2 x … x 2 ) x ( 5 x …x … ) = 2 … . 5 …. Penarikan kesimpulan:
( a . b )p = ( a x b ) x ( … x … )x …x ( … x b ) = ( a x … x … x a ) x ( b x .…x … x b)
Sifat 3 : ( a . b ) p = a….. . b p
Masalah 5 : Tentukan nilai dari: ( 53 )4
Penyelesaian :
4 faktor 4 faktor
( 53 )4 = 53 x 5…. x … x 53 = ( 5 x ….x 5 ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. ) x ( 5 x ….x …. )
3 faktor 3 faktor , 3 faktor 3 faktor = 5 x …. x …. x ….. x ….x ….x ….. x ….. x ….. x …. x …. x 5 = 5…. x ….. = 5……
2 faktor atau { ( …. x …. ) factor }
Sifat 4 : ( a p ) q = a… x …..
Masalah 6 : Tentukan nilai dari: (
5 2
)4 Penyelesaian : 4 faktor 4 faktor (
5 2
)4 =
5 2
x
5
...
x ….. x 5 2
=
.... .... .... 5
2 .... .... 2
x x x
x x x
= ... ...
5
2
4 faktor Sifat 5 : (
b a
) p =
....
b
ap
A.1.2. PANGKAT BULAT NOL DAN NEGATIF.
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna membuktikan kebenaran hubungan yang pasti di antara beberapa pola berikut ini:
Masalah 7 : Buktikan bahwa: a. ao = 1 b. a-p =
p
a 1
Bukti : a. Akan dibuktikan ao = 1
Ambil sifat 1 : ap . aq = a…. + …… , missal : p = 0 didapat:
a…. . aq = a 0 + …… = a …..
a 0 =
....
a
aq
= ……. Terbukti.
Sifat 6 : a 0 = 1
b. Akan dibuktikan a-p =
p
a 1
Ambil sifat 1 : ap . aq = a…. + …… , missal : q = -p didapat:
a…. . a….. = a ….. – p = a ….. a–p =
.... ....
a a
=
...
....Sifat 7 : a-p = p a
1
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sederhanakan bentuk-bentuk di bawah ini dengan menggunakan sifat-sifat bilangan pangkat!
a. 4p2 x 2p3 x 23p c. 10y7 : 2y2 e. 6d8 : ( 3d2 x 2d2 )
b. ( -k3 )2 : k4 d. ( -m5 : m2 )4 x m7 f. ( -6u3v )4 : ( 2uv2)2
2. Ubah ke dalam bentuk pangkat negative ! a. 6
4 1
t b. ( )3
5 b
a c. ( 2 3)3
2 c
b
3. Ubah ke dalam bentuk pangkat positif ! a. a-6b4 x a2b-2 c.
2 7
9
27
p pe. 1 2 6
7 3 2
.
21
9
p n m p n m b. (5m2n-3)-2 x 2(m-2n3)2 d.
2 3 4 2 8 2 mn n m
f.
6 3 4 2 2 2:
3
m p p nm
A.2. PANGKAT RASIONAL / PECAHAN ATAU BENTUK AKAR.
Bentuk akar ialah akar bilangan rasional yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional.
Definisi: a adalah bilangan non negative sedemikian hingga a. a = a Dengan menggunakan sifat 1 : ap . aq = a p + q akan kita coba membuktikan hubungan
pangkat pecahan dan bentuk akar, sebagai berikut:
a. a = a berarti ... ... ... ... ... 2 1 2 1
.a a a
a sehingga : a = ... 1
a
.
3a 3
.
a 3 a = a berarti ... ...
... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 1 3 1
.
.
a a a a aa
sehingga ...1 3 1
a
a
Sehingga dapat disimpulkan berlakunya : Sifat 8 : ... p q p
a
a
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:1. Nyatakan dalam bentuk pangkat rasional/pecahan ! a. 24 3
q
q b. m3 m c.
6 5 5
1
y y
2. Nyatakan dalam bentuk akar ! a. 5
2
4a b. 2
5
9k c. 2
3 2 7
3
9a a
3. Sederhanakan bentuk di bawah ini ! a. 2 2 3 2 1
.
3
ba b.
4. Hitung nilai dari !
a. 643 1
b.
2 5 3 1
9
)
27
(
c.
32 2 1
8
.
144
A.2.a. OPERASI HITUNG BENTUK AKAR.
a.1. Penjumlahan dan pengurangan bentuk akar.
Bentuk akar yang dapat dijumlahkan atau dikurangi hanyalah bentuk akar yang sejenis / sama.
Masalah 8 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini: a. 2 3 + 5 3 b. 4 7 - 7
Penyelesaian:
a. 2 3+ 5 3 = ( 2 + …. ) 3 = … 3 b. 4 7 - 7= (…. - ….) 7 = …. 7
Penarikan Kesimpulan : a p
b p = ( a
…. )...
a.2. Perkalian bentuk akar.
Masalah 9 : Sederhanakan operasi hitung di bawah ini: a. 3 x
2
b. 4 3 x 2 7Penyelesaian:
a. 3 x
2
= 3x... ... b. 4 3 x 2 7= ( 4 x…. ) 3x...... ...Penarikan Kesimpulan : a
.
b = a. ba.3. Menyederhanakan bentuk akar.
Masalah 10 : Sederhanakan bentuk akar di bawah ini: a.
12
b. 8 x12
Penyelesaian:
a. 12 ...x3 ...x ...... ...
b. 8x
12
=...
x2
x...
x3
= …....
x …....
= ( …. x…. )...
x...
= …....
A.2..b. MERASIONALKAN PENYEBUT BENTUK AKAR.
Guna menyederhanakan penyebut bentuk akar dari suatu pecahan perlu dipahami tentang operasi perkalian pada bentuk akar, dan diskusikan beberapa permasalahan berikut ini:
Masalah 11 : Rasionalkan penyebut bentuk akar di bawah ini:
a.
3
6
b.
2
3
5
Penyelesaian:
a.
3
6
=
3
6
x 1 =
3
6
x
... ....
=
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
b.
2
3
5
=3
2
5
x 1=3
2
5
x....
...
2
3
=2 2
)
...
(
)
...
(
)
...
...
....(
=... ...
) ... ... ...(
Di mana :
3
2
dan 3 2disebut bentuk akar yang saling sekawan dan jika di- kalikan menghasilkan bilangan Real: ( 3)2-( 2)2= 3 – 2 = 1Penarikan Kesimpulan : a.
b a x
b a
b
a
....
....
....
b.
c b
a
=...
...
)
....
....
(
....
....
....
ab x c b
a
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Nyatakan ke dalam bentuk akar yang paling sederhana !
a. 5 73 7 7 b. 3 2( 2 5) c. 5(4 5 3) 3( 53 3)
2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini ! a.
3
2
3
b.2
3
2
2
2
11
c.2
3
3
5
3. Diketahui x = 2
3
2
dan y = 2 3 2. Tentukan nilai dari :a. x2 y b. x2 + 2xy + y2 c.
y x
B. BENTUK LOGARITMA.
Sebelum mempelajari lebih jauh serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut logaritma diharapkan peserta didik menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi / media interaktif.
Perlu diingat bahwa pada definisi eksponen: ax = c
Dari sini dapat ditarik hubungan sebabagi berikut:
1. a x = ……. dikenal dengan operasi perpangkatan / eksponen.
2. (….)x = c x ...
c dikenal dengan operasi bentuk akar. 3. a(….) = c alog c = …... dikenal dengan operasi logaritma.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa antara bentuk pangkat/eksponen dengan bentuk logaritma memiliki korelasi yang erat.
Definisi: Logaritma suatu bilangan c untuk bilangan pokok/basis a, adalah eks- ponen bilangan berpangkat yang menghasilkan c jika a dipangkatkan dengan eksponen tersebut, dimana a > 0 , a
1 dan c > 0.a log c = x ax = c
Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan nilai yang pasti di antara beberapa model logaritma berikut ini:
Masalah 12 : Tentukan nilai dari : a. 2log 8 b. 10log 10000 c. 3
log
1Penyelesaian:
a. 2log 8 = 3 , sebab 23 = 8
b. 10log 10000 = ……. , sebab 10….. = 10000
c. 3
log
19 = …….. , sebab
...
3 1
= ……..
Pada dasarnya logaritma dapat dibedakan menjadi 2 bagian, yaitu: 1. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan real:
1.1. Untuk bil. Pokok a = 10 10log c biasa ditulis log c
1.2. Untuk bil. Pokok selain 10 alog c , missalnya: 2log 3
Konsep ini dikenalkan oleh Robert Briggs dan biasa disebut sebagai Logaritma Briggs.
2. Logaritma dengan bilangan pokok / basis bilangan natural/alam (e = 1,7218….. )
elog c biasa ditulis ln c (dibaca Lon c)
Konsep ini dikenalkan oleh John Napier dan biasa dikenal dengan Logaritma Natural. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna menentukan beberapa hubungan yang pasti (sifat-sifat) di antara beberapa pola berikut ini:
Dari definisi : a log c = x ax = c didapat ax = aalogc
= …..
Sehingga berlaku:
Sifat 1 : aalogc = c , Sederhanakan:
4
2log7
...
4
2log7
(....)
22log...
(...)
2log(...)2
(...)
2
...
Masalah 13 : Tentukan bentuk lain dari : a. alog x + alog y b. alog x - alog y c. alog xp Penyelesaian:
a. alog x + alog y, missal : p = alog x maka sesuai definisi didapat a…. = x
q = alog y maka sesuai definisi didapat aq = …..
sehingga x.y = ap . a….. = a….. + ….. maka : alog (…. …..)= p + …..
Sehingga berlaku: Sifat 2 : a log x.y = alog …. + alog ….
Sederhanakan: 3 log 15 jika diketahui 3 log 5 = a
3 log 15 = 3log (….. x …..) = 3log ….. + 3log ….. = 1 + ……..
b. alog x - alog y , dengan cara yang sama didapat:
y x
= q p
a a
= ap... maka a log
y x
= …. - …..
Sehingga berlaku:
Sifat 3 : a log
y x
= alog …. - alog ….
Sederhanakan: 4 log 8 jika diketahui 4 log 2 = a 4 log 8 = 3 log
2
p faktor
c. alog xp = a log ( x . x . x . ….. . x ) = a log x + alog x + …….. + a log x = ….. a log x
p suku Sehingga berlaku:
Sifat 4 : a log xp = …..alog x
Sederhanakan: 2log 32 = ………
2 log 32 = 2log (….)5 = (….) 2log ….. = ……. Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
1. Sederhanakan bentuk logaritma di bwah ini:
a. 6 log 8 –6 log 2 + 6 log 9 c. 3 log 81 –3 log 9 e. 5 log 100 – 2. 5 log 2
b. 3 log 38 + 3 log
3
27
1
d. 2log 2 + 2log 3 + 2log 5 + 2log 7 –2log 1052. Sederhanakanlah:
a. log x4– 3. log x + log 1/x c. log x3 1
+ log y2 1
-
2 1
log x y b. 2 log 6-
2 1
. 2 log 3 d.
2 1
. 10 log 10 + 3 . 10 log
10
3. Hitunglah bentuk-bentuk di bawah ini: a. 3 log 275 b. 16 log 89
7
c. 3 4
9 1
log d. 25 log
5
21 e. 8 log 4-194. Tentukan nilai x yang memenuhi tiap persamaan berikut: a. log
3
1a
8 -
4
5a
log 4 –a log
16 1
= a log x b. 4 . 2 log x = 2 log 81
Masalah 14 : Buktikan bahwa: a. alog x =
a x
p p
log
log
c. b m
n b
a n am
log
log
b. alog b . blog x = alog x
Penyelesaian: a. alog x =
a x
p p
log
log
, Bukti: Missal a log x = m maka :
am = x
p log a…. = plog …..
(…) p log a = …. log x
m =
...
log
...
log
...p
= a log x terbukti.
Sehingga berlaku:
Sifat 5 : alog x =
a x
p p
log
log
Sederhanakan: 4log 7 = …… jika diketahui 2 log 7 = b 4 log 7 =
...
...
....
log
2
...
log(....)
...
log
2 2 2
2
b. alog b.blog x = alog x, Bukti: alog b.blog x =
...
log
...
log
.
....
log
log
... p pp
b
(dari sifat 5)
= x
p
log
....
log
....
log
.......
, terbukti.Sehingga berlaku:
Sifat 6 : alog b . blog x = alog x
Sederhanakan: 3 log 36 .6log 9 = ……
3 log 36 .6log 9 = 3 log 6…. .6log 9 = … 3 log 6.6log 9 = ....3 log ....
= …. x …. = ...
c. b
m n b
a n am
log
log , Bukti: am
log
n(....)
amlog
...
b
( dari sifat 4 ) .... 1)Missal : p = am
log
b (am)….. = …..Maka a p = bm 1
log
......
1 ...
b
p
m log...
1...
…….2)
Dari 2) 1) didapat : am
log
bn
(....)
amlog
...
= (….)1
log
...
...m
= log... ...
...
Sehingga berlaku:
Sifat 7 : b
m n b
a n am
log
log
Sederhanakan: 9log 8 = …… jika diketahui 3 log 2 = a
9 log 8 = a
... ... .... log ... ... .(....)
log
3 ...
3...
Permasalahan untuk didiskusikan siswa:
Tunjukan bahwa: a. Jika a log x = y maka an xn
ylog
b. p log q +
log
0
1
q
p
c. ab log x =
b x
a a
log
1
log