23 Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

1–1 BENTUK PANGKAT NEGATIF

Konsep pangkat bulat negatife dapat dipahami melalui konsep pangkat bulat positif. Pangkat bulat negative merupakan cara ringkas untuk menuliskan perkalian dari bilangan-bilangan yang sama.

Perkalian bilangan-bilangan yang sama disebut sebagai perkalian berulang. Setiap perkalian berulang dapat dituliskan secara ringkas dengan menggunakan

notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen.

Sebagai contoh :

Perkalian berulang 2 x 2 x 2 ditulis secara ringkas dengan notasi bilangan berpangkat atau notasi eksponen sebagai 23_.

Jadi, 2 x 2 x 2 = 23_.

Berdasarkan paparan di atas, bilangan pangkat bulat positif dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Pangkat Bulat Positif

Bentuk an _{adalah bilangan berpangkat dengan pangkat bulat positif, a disebut}

bilangan pokok atau basis dan n (bilangan asli > 1) disebut pangkat atau

eksponen.

Jika a adalah bilangan real ( a € R ) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a pangkat n (ditulis an_{) adalah perkalian n buah}

bilangan a.

Difinisi ini dituliskan secara sederhana sebagai

an _{= a x a x a x . . . x a x a x a (perkalian n buah bilangan)}

CONTOH 1

Dengan cara menuliskan dalam bentuk factor-faktornya, tunjukkan bahwa

Meskipun bukan merupakan bukti, tetapi contoh di atas memperlhatkan berlakunya sifat eksponen berikut.

dengan a € R, p dan q adalah bilangan-bilangan bulat positif. Sebagai ilustrasi, misalnya :

a3 _{: a}5 _{= a}3-5 _{= a}-2

Definisi: Pangkat Bulat Positif

ap _{: a}q _{= a}p-q

Misalkan a€R dan a≠0, maka a-n _{adalah kebalikan dari a}n _atau

sebaliknya

CONTOH 2

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk pangkat bulat positif.

a) 3-4 _b)

Jawab:

a) 3-4 _{= b) = 4b}6

jawab:

a) = b) =

= 5 x 5 = a

Latihan 1

2. Tulislah bentuk-bentuk di bawah ini dalam bentuk pangkat bulat positif!

a) 2-6 b) 2

3. Tulislah bentuk-bentuk berikut dalam bentuk pangkat bulat positif! a)  3

q

p b) _{ }5

q

p c) _p2 _q2 d) _p3 _2q1

4. Nyatakan bilangan-bilangan berikut tidak dalam bentuk pangkat!

a) ₃0_,31_,33_,39 b)

1–2 BENTUK AKAR DAN PANGKAT PECAHAN

1.2.1 Bentuk Akar

Bilangan irasional dalam bentuk akar dapat pula kita jumpai dalam mencari akar-akar dari sebuah persamaan kuadarat. Sebagai contoh, persamaan kuadrat x2 – 2 = 0 mempunyai penyelesaian x = - 2 atau x = 2. Bilangan-bilangan - 2 atau

2 merupakan contoh bilangan irasional dalam bentuk akar.

Beberapa contoh dari bilangan irasional dalam bentuk akar yang lain adalah

2 , dan lain sebagainya. Berdasarkan contoh-contoh di atas, kita

dapat menyimpulkan sebagai berikut.

Sekarang timbul pertanyaan, apakah dengan adanya tanda akar ( ) pada sebuah bilangan akan menjamin bahwa bilangan itu merupakan bentuk akar? Jawabannya, tentu saja tidak. Sebab terdapat bilangan yang dituliskan dengan tanda akar, tetapi hasilnya merupakan bilangan rasional. Berikut ini adalah contoh beberapa bilangan yang dituliskan dengan tanda akar, akan tetapi bukan merupakan bentuk akar.

a) 9 bukan bentuk akar, sebab 9 = 3 (bilangan rasional)

b) 0,25 bukan bentuk akar, sebab 0,25 = 0,5 (bilangan rasional)

Latihan 2

1. Di antara bilangan-bilangan di bawah ini, manakah yang merupakan bentuk akar? Jika bilangan itu bukan bentuk akar, berikan alasannya.

a) 7 b) 3 _0,125 c) _0,36 d) _1,44 e)3 ₄₉ f)

4 1

2. Tentukan jawaban dari persamaan-persamaan berikut ini. Di antara jawaban yang Anda peroleh itu, manakah yang merupakan bentuk akar dan manakah yang bukan?

a) 2x39 b) 2 5 6

 

x c) 2 2 7

 

x

d) 2 2 1 5

 

x e) 3 2 6 21

 

x c) 2 5 6

 

 x

x

3. Panjang sisis siku-siku sebuah segitiga ABC adalah a dan b, sedangkan panjang sisi miringnya adalah c. untuk segitiga ABC di bawah ini bilangan c manakah yang merupakan bentuk akar?

a) a = 2, b = 4 b) a = 3, b = 1 c) a = 0,3; b = 0,4 d) a = 7, b = 24

Menyederhanakan Bentuk Akar

CONTOH 3

Di antara bilangan-bilangan berikut ini, manakah yang merupakan bentuk akar?

a) b)

Jawab:

a) , merupakan bentuk akar.

Beberapa bentuk akar dapat disajikan dalam bentuk yang lebih sederhana. Penyederhanaan itu dapat dilakukan denga cara menyatakan bilangan di bawah tanda akar sebagai perkalian dua bilangan. Satu diantara bilangan itu harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

Latihan 3

1. Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk akar yang paling sederhana!

a) 27 b) 44 c) 50

d) 96 e) 4 99 f) 2 500

2. ABCD adalah persegi panjang dan BDE adalah segitiga siku-siku. Jika AB = 4 cm, AD = 2 cm, dan DE = 5 cm. hitunglah panjang BD dan Be dalam bentuk akar yang paling sederhana.

3. Nyatakan bilangan-bilangan di bawah ini dalam bentuk akar yang paling sederhana.

a) ₄₈1 b) ₇₂1 c) 0,03

Untuk setiap a dan b bilangan bulat positif, maka berlaku = x

Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.

CONTOH 4

Sederhanakan bentuk-bentuk akar di bawah ini.

a) b)

Jawab:

4. Diketahui balok ABCD.EFGH dengan panjang rususk AB = 9 cm, AD = 6 cm, dan AE = 3 cm. Tentukan panjang diagonal sisi AC dan panjang diagonal ruang AG dalam bentuk akar yang paling sederhana.

1.2.2 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar

Menjumlahkan dan mengurangkan bilangan-bilangan dalam bentuk akar dapt dirumuskan sebagai berikut.

A. Perkalian Bentuk Akar

Ketika menyederhanakan bentuk akar, kita telah menggunakan sifat (ab) =

a x b dengan a dan b masing-masing bilangan positif. Sifat ini dapat pula

dipakai untuk menentukan hasil kali bilangan dalam bentuk akar.

B. Menarik Akar Kuadrat

Untuk setiap a,b,dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan

a + b = ( a + b ) atau a - b = ( a - b )

CONTOH 5

Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini. a) 3 + 5 - 2 b) 4 - +

Jawab:

a) 3 + 5 - 2 = (3 + 5 – 2) = 6

b) 4 - + = 4 - 2 + 3 = (4 – 2 + 3) =5

CONTOH 6

Sederhanakan perkalian-perkalian berikut ini.

a) x b) - )

Jawab:

a) x = = = 4

Jika a dan b merupakan bilangan-bilangan rasional positif, maka bentuk

ab b

a ) 2

(   dan (ab)2 ab dapat dituliskan sebagai ( a + b) dan (

a - b).

Latihan 4

1. Nyatakan penjumlahan dan pengurangan di bawah ini dalam bentuk akar yang paling sederhana.

a) 75 48 b) 1252 5 c) 2 1505 547 96

2. Hitunglah tiap hasil kali bilangan-bilangan di bawah ini! a) 3 25 2 b)



6 3



2 c) 3



2 35



3. Diketahui p 3 75 48carilah!

a) 2p2q b) p2 q2 c) (pq)2

4. Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk



a  b



atau



a b



.

a) 82 15 b) 162 63 c) 9 56

5. Dengan cara mengkuadratkan bentuk



a b c



, tunjukkan bahwa



ab ac bc

 

a b c



c b

a  )2     

(

1.2.3 Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan

CONTOH 7

Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk + atau - . a) b)

Jawab: a) =

= + b) =

A. Pecahan Berbentuk a_b

Mengubah pecahan 12₃ menjadi 12₃ 3 3

= 4 3 dinamakan merasionalkan

penyebut pecahan. Perhatikan bahwa dalam merasionalkan penyebut pecahan itu,

kita mengalikan dengan 3 3

= 1. Dengan demikian, nilai pecahan 12₃ ekuivalen

dengan 12₃ 3 3

atau 4 3.

Dari uraian tersebut, kita dapat mengambil kesimpulan sebagai berikut.

Pecahan ( a bilangan rasional dan merupakan bentuk akar ), bagian penyebutnya dapat dirasionalkan dengan cara mengalikan pecahan itu dengan , sehingga pecahan itu menjadi:

= x =

CONTOH 8

Rasionalkan penyebut pecahan-pecahan berikut ini.

a) b)

B. Pecahan Berbentuk _a c _b

 atau a b

c



Dengan menggunakan sifat perkalian bentuk-brntuk akar sekawan, penyebut

pecahan yan berbentuk _a c _b

 atau a b

c

 dapat dirasionalkan dengan

melakukan manipulasi aljabar sebagai berikut.

untuk pecahan diubah menjadi = x =

untuk pecahan diubah menjadi = x =

CONTOH 9

Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini

a) b)

Jawab:

C. Pecahan Berbentuk _a c _b

 atau a b

c



Penyebut pecahan yang berbentuk _ac _b

 dapat dirasionalkan dengan

menggunakan manipulasi aljabar berikut.

Latihan 5

Untuk pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan ( - ), menjadi:

=x=

Untuk pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan ( + ), menjadi:

=x=

CONTOH 10

Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini.

a) b)

Jawab:

1. Nyatakan penyebut pecahan-pecahan berikut ini dalam bentuk akar yang paling sederhana, kemudian rasionalkan pecahan-pecahan itu.

a) 1₈ b) 12₅₄

2. Rasionalkan penyebut tiap pecahan berikut ini.

a) ₂2 ₃

 b) 3 5

5 3

 

3. Diketahui segitiga ABC siku-siku di B, dengan AB2 2cm dan BC 2cm.

Tentukanlah panjang AC dalam bentuk akar yang paling sederhana.

1-2-3Pangkat Pecahan

Bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan dapat dituliskan dalam notasi n m

a

dengan m dan n bilangan bulat, a bilangan real, dan a ≠ 0.

A. Pangkat Pecahan _an

1

Berdasarkan proses penarikan akar, akar pangkat n dari suatu bilangan a dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi: Akar Pangkat Bilangan

Hubungan n _a dengan

n

a 1

Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan-bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a.

= =

CONTOH 11

Tentukan akar-akar pangkat berikut

a) b)

Jawab:

Setelah konsep akar pangkat n dari bilangan a atau n _a dipahami, sekarang akan

dicari hubungan n _a dengan pangkat pecahan

n

a 1

.

Definisi: Pangkat Pecahan _an

1

B. Pangkat Pecahan n m

a Definisi: Pangkat Pecahan n

m

a

Latihan 6

Misalkan a bilangan real tidak nol dan n bilangan bulat positif, maka pangkat pecahan sama dengan akar pangkat n dari bilangan a.

= , dengan catatan merupakan bilangan real.

Misalkan a bilangan real tidak nol, m bilangan bulat dan n bilangan asli , maka pangkat pecahan sama dengan akar pangkat n dari biangan am ditulis:

= , dengan catatan merupakan bilangan real.

CONTOH 12

Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bntuk .

a) b)

Jawab:

1. Hitung nilai dari:

3. Besar gaya Coulomb dua muatan Q dan q yang berjarak r, ditenyukan dengan

rumus: 2

Dengan k sebuah konstanta (tetapan). Tunjukkan bahwa 2 1

1-3 SIFAT-SIFAT PANGKAT RASIONAL

Operasi aljabar pada bilangan berpangkat rasional memenuhi sifat-sifat tertentu. Sifat-sifat tersebut daoat dikaji melalui sifat-sifat bilangan berpangkat bulat positif, yaitu sebagai berikut.

Latihan 7

Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilangan bulat positif maka:

a) d)

b) , dengan p>q e)

c) f)

CONTOH 12

Dengan memakai sifat-sifat diatas, sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.

a) b)

1. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut ini.

2. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam notasi baku. a) _{5 10}13 ₁₀4

3. Sederhanakan bentuk-bentuk berikut!

a) n _nn

x , hitunglah nilai p!

1.4 PENGERTIAN LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.

Definisi: Logaritma Bilangan

Ekspresi tersebut menunjukkan bahwa bilangan dalam bentuk pangkat dapat diubah ke logaritma dan sebaliknya.

Sifat-sifat pokok logaritma.

Misalkan a adalah bilangan positif ( a > 0 ) dan g adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 ( 0 < g < 1 atau g > 1 ).

a) b) c) CONTOH 13

Nyatakan tiap bentuk eksponen dengan memakai notasi logaritma atau sebaliknya.

a) 52 _{= 25 b)}

Latihan

2. Nyatakan tiap bentuk logaritma berikut ini ke dalam bentuk pangkat.

a) 5

3. Carilah nilai tiap logaritma berikut ini.

a) 5log0,04 _d)

1.5 SIFAT-SIFAT LOGARITMA

Sifat-sifat logaritma dapt dirangkum sebagai berikut_{1. 5. a)}

2. b)

3. c)

4. a) 6.

1-5-1 Logaritma Bilangan dari 10 atau Antara 0 dan 1 A. Logaritma Bilangan Lebih dari 10

Nilai logaritma suatu bilangan yang lebih dari 10 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:

CONTOH 14

a) Jika log p = a, log q = b, dan log r = c, nyatakan log dalam a, b, dan c. b) sederhanakan:

Jawab: a) log =

= =

b) =

Nyatakan bilangan yang akan ditentukan nilai logaritma itu dalam notasi baku a x 10n dengan 1a10 dan n bilangan bulat.

Langkah 2:

Gunakan sifat logaritma (sifat 1)



_{a 10}n



_{loga log10}n

log   



a ₁₀n



n _loga

log    

Langkah 3:

Oleh karena 1a10 maka log a dapat dicari dari table logaritma. Nilai log a yang diperoleh dari table logaritma tadi dijumlahkan dengan n. hasil penjumlahan itu merupakan nilai logaritma dari bilangan yang dimaksudkan.

B. Logaritma Bilangan antara 0 dan 1

Nilai logaritma bilangan-bilangan antara 0 dan 1 dapat ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah yang sama seperti dalam hal menentukan nilai logaritma bilangan-bilangan yang lebih dari 10.

C. Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan

Pada bagian ini, kita akan mempelajari cara menentukan antilogaritma suatu bilangan yang nilainya lebih dari 1 atau yang kurang dari 0.

CONTOH 16

Carilah nilai dari log (0,000124) Jawab:

log (0,000124) = log (1,24 x 10-4₎ = log 1,24 + log 10-4

= log 1,24 -4 ; dari table logaritma diperoleh log 1,24 = 0,0934 Jadi, log (0,000124) = 0,0934 – 4 = -3,9066

CONTOH 15

Carilah nilai logaritma dari log 67,5. Jawab:

log 67,5 = log (6,75 x 101₎ = log 6,75 + log 101

= log 6,75 + 1, dari table logaritma log 6,75 = 0,8293 = 0,8293 + 1 = 1,8293

1-5-2 Penggunaan Logaritma dalam Perhitungan A. Mengalikan dan Membagi Bilangan

Untuk memahami logaritma untuk untuk mengalikan dan mambagi bilangan-bilangan, simaklah beberapa contoh berikut.

CONTOH 17

Tentukan bilangan yang logaritmanya 1,6. Jawab:

Dari table logaritma diperoleh antilog 0,6 = 3,981.

Karena karakteristiknya 1 ( didapat dari log 101_{, maka bilangan itu} adalah 3,981 x 101 _{= 39,81.}

Jadi, bilangan yang logaritmanya sama dengan 1,6 adalah 39,81

Jawab:

a) kita misalkan x = 4,321 x 6,517, maka: log x = log (4,321 x 6,517)

log x = log 4,321 + log 6,517 log x = 0,6356 + 0,8140 log x = 1,4496

log x = 1 + 0,4496

log x = log 101 _{+ log 2,816 (antilog 0,4496 = 2,816)} log x = log (101 _{x 2,816)}

log x = log 28,16 x = 28,16

b) kita misalkan x = 0,7418 : 9,835, maka: log x = log 0,7418 – log 9,835

log x = (0,8703 – 1) – 0,9928 log x = -0,1225 -1

log x = 0,8775 – 2

log x = log 7,542 + log 10-2 log x = log (7,542 x 10-2₎ log x = log 0,07542 x = 0,07542 CONTOH 18

Dengan menggunakan logaritma hitunglah:

B. Pemangkatan dan Penarikan Akar Bilangan

Untuk memahami penggunaan logaritma untuk menghitung pemangkatan dan penarikan akar suatu bilangan, simaklah beberapa contoh berikut.

Jawab:

a) misalkan x = (12,48)3 log x = log (12,48)3 log x = 3 x log 12,48 log x = 3 x (1,0962) log x = 3,2886 log x = 3 + 0,2886

log x = log 103 _{+ log 1,9436} log x = log (103 _{x 1,9436)} log x = log 1.943,6 x = 1.943,6 b) misalkan x = , maka:

log x = log log x = log x = log x = 0,4513 log x = log 2,827 x = 2,87 CONTOH 19 Hitunglah.

Latihan 9

1. Sederhanakan! a) 6log3_6 log12

b) 5log320_35log4

c) 6log9_26log2_26log6

2. a) Jika p, q, r adalah bilangan real positif yang lebih besar dari 1, tunjukkan bahwa qlogpr logqplogr 1_.

b) Hitunglah nilai dari: 2log10 6 log4 log216 



3. Carilah nilai x pada persamaan berikut:

9 log

log log

3

log 5 2 4 3

 



 x x x

x

LATIHAN SOAL BAB 1 Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Nilai 0,23 . . . .

a. 125 b. 9 c. 0,8 d. 0,008 e. 0,125

2. Nilai dari

2 2 4

5 3 1 5 , 0

 

     

 _{adalah . . . .}

3. Bentuk



₈2 _0,25



3

11. Pecahan yang senilai dengan 15

 dirasionalkan penyebutnya, maka bentuk tersebut menjadi . .