BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

(1)

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA

1. BENTUK PANGKAT

1.1 PANGKAT BULAT POSITIF

Jika a R dan n A maka didefinisikan :

a disebut bilangan pokok (dasar) dan n disebut eksponen (pangkat)

Contoh 1 : Tentukan nilai dari 25_dan_

Contoh 2 : Dengan menguraikan menjadi perkalian, tentukan bentuk eksponen yang paling sederhana dari :

Dari contoh 2 di atas dapat disimpulkan :

Jika a b, R, m A dan n A maka berlaku sifat-sifat eksponen sbb:

(2)

Jawab : a) x x2_. 7_{= ...}

1.2. PANGKAT BULAT NEGATIF DAN NOL

Contoh 1 : Dengan menggunakan sifat-sifat eksponen, tentukan hubungannya dari : a) 2

Dari contoh 1 di atas dapat disimpulkan bahwa : Untuk setiap aR a, 0 dan n R berlaku sifat-sifat :

1. a0

...

2. an

...

(3)

a) 53 b) 1

1. Sederhanakan dan nyatakan dengan eksponen positif dari : a) a5 _f)_a6_b4__a2_b2 k) 5

1.3 EKSPONEN RASIONAL (PECAHAN)

Seperti kita ketahui jika 23 8

 maka 23 8

Contoh 1: Ubah ke bentuk akar dari :

a)

2

1 2/ _b)

₆

3 5/ _c)

₂

_x

3 2/

(4)

b)

6

3 5/ _{= ....}

c)

2 _x

3 2/ _{= ....}

Contoh 2: Ubah ke bentuk pangkat dari : a) 3 b) ₃1₂

x Jawab : a) 3 = ...

b) 31_x2 = ...

Contoh 3: Tentukan nilai dari

16

3 4/

Jawab :

16

3 4/ ₌__..._3 4/

= ... = ...

LATIHAN SOAL

1. Ubah menjadi bentuk akar

a)

3

1 2/ _b)

₅

1 3/ _c)

₄

3 4/ _d)

_x

4 9/ _e)

1 3

2 3 x /

2. Ubah ke bentuk pangkat a) 2 5 b) 1

2

5 c) 3 52 d)

3 34

3 e)

2 7

2 5

x

3. Tentukan nilainya

a) 3 64 b)

₈

2 3/ _c)

₃₂

3 5/ _d)

₈₁

3 8/ _e) 27

64

2 3    

  /

4. Sederhanakan dalam bentuk akar a)

2

3 4/

_.

2

1 8/ _b)

_

₆

_

2

c) 2 2. 18 d) 2

2 e) 12 2. 3

5. Jika a = 1, b = 3 dan c = -18, maka tentukan x dari x b b ac a

   

2 ₄

2

2. BENTUK AKAR

2.1 OPERASI BENTUK AKAR

Bentuk akar termasuk bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dengan pecahan a/b, a dan b bilangan bulat dan b0

Contoh bentuk akar : 2_, 3_, 5_,3 2_,3 4_,5 7_dsb

bukan bentuk akar : 4_, 9_,3 8_,4 16 dsb

Catatan : a adalah bilangan non negatif, jadi a 0

(5)

2. ab  a b

3. a cb c ab c 4. a_b  a_b

Contoh 1: Sederhanakan :

a) 20 b) 75 c) x3 d) 3 _a8

Jawab : a) 20 = ...

b) 75 = ....

c) x3 = ....

d) 3 a8 = ....

Contoh 2: Sederhanakan :

a) 3 24 2 b) 4 37 35 3 c) 8 18

Jawab : a) 3 24 2 = ...

b) 4 37 35 3 = ...

c) 8 18 = ....

Contoh 3 : Sederhanakan :

a) 6 3 b)



5 3



5 3



c)



2 2 3



2 Jawab : a) 6 3 = ....

b)



5 3



5 3



= .... c)



2 2 3



2 = ....

LATIHAN SOAL 1. Sederhanakan

a) 72 b) 160 c) 1200 d) 2 80 e) 8_x2

f) 3 12_{a b}5 3 g) 2

2 h)

9

3 i)

8

9 j) 2 ₄

3 2

4 a b

c

2. Sederhanakan

a) 12 50 48 d) 72 180

45 18

 

b) 2 163 18 27 e) 2 8 4

2

x x

x



c) 3 20 4 45

2 5



3. Sederhanakan

a)



23



23



c)



3 52 3



3 52 3



b)



5 3



5 3



d)



x x y



2

2.2 MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN BENTUK AKAR

Jika kita menghitung bilangan, operasi perkalian lebih mudah daripada pembagian. Apalagi operasi pembagian dengan bentuk akar.

(6)

1. Pecahan Bentuk a_b

Diselesaikan dengan mengalikan b_b

Contoh 1: Rasionalkan penyebut dari pecahan : a) 2₃ b) _{3 3}2 Jawab : a) 2₃ = 2₃ x ... = ...

b) _{3 3}2 = _{3 3}2 x ... = ...

2. Pecahan Bentuk _b a _c



Diselesaikan dengan mengalikan b c

b c

 

Contoh 2 : Rasionalkan penyebut pecahan ₃ 8 ₅  Jawab : ₃_8 ₅ = ₃_8 ₅ x ... = ....

3. Pecahan Bentuk _ba_ _c

Diselesaikan dengan mengalikan b_b c_c 

Contoh 3 : Rasionalkan penyebut dari pecahan 12 3₆ ₂  Jawab : 12 3

6 2 =

12 3

6 2 x .... = ...

LATIHAN SOAL

1. Rasionalkan penyebutnya

a) 12₃ b) 10₅ c) _{2 3}9 d) 7 3

7 e)

4 3

5 2

2. Rasionalkan penyebutnya a) ₅ 9 ₇

 b)

20

4 6 c)

5

116 d)

2 5

7 13 e)

4 6

82 3

3. Rasionalkan penyebutnya a) ₁₀14 ₁₃

 b)

 

10

2 7 c)

8 3

11 7 d)

6

102 3 e)

3 2

3 54 2

3. PERSAMAAN EKSPONEN (SEDERHANA)

Persamaan eksponen yaitu persamaan yang eksponen/pangkatnya mengandung variabel/peubah. 1. Jika

a

f x( )

a

p



maka f(x) = p

2. Jika

a

f x( )

a

g c( )



maka f(x) = g(x)

dimana p suatu konstanta Contoh 1: Tentukan HP dari :

(7)

Jawab : a) 42x3 8

 b) 82x1 163x2



2....



2x3 2....

 .... = ....

2... 2...

 ... = ....

...= .... ... = ... x = ... x = ....

HP:{...} HP:{...}

LATIHAN SOAL Tentukan HP dari : 1. 27x2 812x5

 6. 5x9 253x

2. 82x1 1

 7. _1₂_ 82

x x

3. 9 1 27

4x5

 8. 1

25 125

3 2 x

x

 

4. 5 5 5

2x

 9. 16 8

2

2 1

1 x

x



5.



3



x5 1 10. 8 4

1 32 8

2x3



3. LOGARITMA

3.1PENGERTIAN LOGARITMA

Seperti telah kita ketahui bahwa : Jika

5

2

25 

maka 5 = …

Jika

2

3

....



maka

2 

....

Jika

2

5

....



maka 2 = …

Pada

2

3

8 

, bagaimana menyatakan 3 dengan 2 dan 8?

Untuk itu diperlukan notasi yang disebut Logaritma untuk menyatakan pangkat dengan bilangan pokok (basis) dengan hasil pangkat (numerus).

Jadi jika

2

3

8 

maka

3 

2

log

8

dibaca “2 log 8”

Sehingga logaritma merupakan invers dari perpangkatan. Secara umum dapat dinyatakan :

Jika

a

x

y



maka x = …. syarat :

a



0 ,

a



1 dan

y



0

a : basis logaritma y : numerus x : hasil logaritma

Khusus untuk bilangan pokok 10, bisa dituliskan bisa juga tidak. Jadi jika log 5 maksudnya 10

log

5

_.

Contoh 1: Nyatakan dalam bentuk logaritma dari perpangkatan : a.

3

4

81 

b.

2

n



128

c.

a

b



c

Jawab : a.

3

4

81

(8)

c.

a

b

c



b = ….

Contoh 2 : Nyatakan dalam perpangkatan dari bentuk logaritma : a.

4

3

log

81

Contoh 3:Hitunglah :

a. 2

log

64

_b.

1. Nyatakan dalam bentuk logaritma dari : a.

5

2

25

2. Nyatakan dalam bentuk perpangkatan dari : a. log 10.000 = 4 b.

4

3. Tentukan nilainya dari :

(9)

3. a

_log

b

c

a

_log

b



7. a

log

b

.

b

log

c



a

log

c

4.

a

b

_b

a

log

1 log



8.

a

b

_c

c a

log



Bukti :

Sifat 1: Misal a

log

b



m



b



....

a

log

c



n



c



....

Maka bc = …. = ….



a

log

bc



...

= … + …

Sifat 6: Misal a

log

b



x



b



...



b

mn



...



nx



am

log

b

mn



nx



m

am

log

b

n



am

log

b

n



...



...

Sifat 8: Misal a

log

b



m



b



...



c

log

b



c

log

a

m



m

c

log

a



...



m



...



a

log

b



...

Contoh 1: Sederhanakan : a. 3log5

3

b. 5log3

25

c. 2

log

3 

2

log

6 

2

log

2

d. 2

log

3 .

5

log

8 .

3

log

5

_e.2

_log

₂

10_f.

_log

₁₆

3 log

4 log

3

2 2



g. 8

log

256

Jawab : a. 3log5

3

= ….

b. 5log3

25

= …..

c. 2

log

3

2

log

6

2

log

2 



= ….

d. 2

log

3 .

5

log

8 .

3

log

5

_{= …..}

e. 2

_log

₂

10_{= …..}

f.

log

16

3 log

4 log

3

2 2



= …. g. 8

log

256

_{= ….}

Contoh 2: Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771, maka tentukan log 24 Jawab : log 24 = ….