A. PANGKAT
A.1 PENGERTIAN PANGKAT BULAT POSITIF
Jika a adalah sembarang bilangan riil dan n adalah sembarang bilangan bulat positif yang lebih dari 1 , maka a pangkat n ( ditulis an ) dapat ditulis sebagai perkalian n buah faktor dimana setiap faktornya adalah bilangan a.
Pengertian diatas dapat ditulis dengan definisi :
Kompetensi Dasar 1 : • Menggunakan sifat dan aturan tentang pangkat, akar dan
logaritma dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar 2: • Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang
berkaitan pangkat, akar dan logaritma
Indikator 1: • Mengubah bentuk pangkat negatif ke pangkat positif dan sebaliknya • Mengubah bentuk akar ke bentuk pangkat dan sebaliknya
• Mengubah bentuk pangkat ke bentuk logaritma dan sebaliknya • Melakukan operasi aljabar pada bentuk pangkat, akar dan logaritma
Indikator 2: • Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat pangkat rasional
• Menyederhanakan bentuk aljabar yang memuat logaritma • Merasionalkan bentuk akar
• Membuktikan sifat-sifat yang sederhana tentang bentuk pangkat, akar dan logaritma
Materi Pokok
BENTUK PANGKAT,AKAR
DAN LOGARITMA
an =1
4 2
4
4 3
4
faktor n dari terdiri perkalian...xa
axaxaxax
Keterangan :
a dinamakan bilangan pokok ( basis ) n dinamakan pangkat ( eksponen ) jika n = 1 maka a1 = a
jika n = 0 maka a0 = 1
Contoh 1 :
Nyatakan dalam bentuk faktor-faktornya :
a. 52 c. 3 2 1 b. ( -3 )4 d.
( )
3 4 Penyelesaian : a. 52 = 5 x 5 c. 3 2 1 = 2 1 x 2 1 x 2 1 b. ( -3 )4 = ( -3 )x( -3 )x( -3 )x( -3 ) d.( )
3 4 = 3 x 3x 3x 3 A.2. PENGERTIAN PANGKAT BULAT NEGATIFBilangan dengan pangkat bulat negatif bukan merupakan bilangan berpangkat yang sebenarnya, misalnya 4-2 tidak dapat diartikan sebagai perkalian faktor-faktornya. Oleh karena itu bilangan dengan pangkat negatif sering disebut sebagai bilangan dengan pangkat tak sebenarnya.
Definisi bilangan dengan pangkat bulat negatif :
Contoh 1 :
Nyatakan bilangan pangkat bulat negatif berikut dalam bentuk pangkat positif :
a. 4-2 c. −4 5 1 b. a-3 d. 5 4 3 − p Penyelesaian : a. 4-2 = 2 4 1 c. −4 5 1 = 54
Jika a bilangan riil dan ≠ 0 maka a-n adalah kebalikan dari an , dapat ditulis :
n n a a− = 1 atau n n a a = 1−
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
b. a-3 = 13 a d. 5 4 3 − p = 5 4 3 p
1. Tulislah dalam bentuk perkalian faktor-faktornya:
a. 63 d. 5 3 2 b. 74 e.
( )
5 7 c. (-4)6 f. ( ab )22. Nyatakan dalam bentuk pangkat bulat positif
a. 3-6 f. 4 3 2 1 − d b. a-3 g.
( )
2 3 2 4 − c. 2 1 b-4 h. 6 2 5 2 − p d. 7 5 1 − i.( )
( )
2 5 4 4 3 − e. 3−5 c j. 5 2 3 4 −5 3. Hitunglah nilai dari :
a. 5-2 d. 2 3 5 − g. 3 -4 x 4-2 b. 3 3 1 − e. 4 7−3 h. 5-3 + 2-1 c. 4 5 1 − f. 81 x 3 -3 i. 4 3 3 5 − −
4. Nyatakan barisan bilangan berikut dalam bentuk pangkat :
a. 16, 8, 4, 2, 1 d. 4 1 , 8 1 , 16 1 , 64 1 1
UJI KOMPETENSI PENGERTIAN
PANGKAT BULAT POSITIF DAN
b. 3, 9, 27, 81 e. 216 1 , 36 1 , 6 1 c. 32 1 , 16 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 f. 4 9 , 2 3 , 0 , 9 4
5. Nyatakan barisan bilangan berikut tidak dalam bentuk pangkat : a. 23 , 22 , 21 , 20 , 2-1 , 2-2 , 2-3 c. 1 0 1 2 3 5 1 , 5 1 , 5 1 , 5 1 , 5 1 − b. 44 , 42 , 40 , 4-2 , 4-4 , 4-6 d. 1 1 3 5 2 3 , 2 3 , 2 3 , 2 3 − − −
A.3. SIFAT - SIFAT BILANGAN PANGKAT BULAT
Contoh :
Dengan menggunakan sifat bilangan pangkat bulat tersebut diatas , sederhanakan bentuk berikut :
1. 76 x 72 4. ( 5 x 4 )3 2. 2 7 8 8 5. 5 3 4 3. ( 35 )2 Penyelesaian : 1. 76 x 72 = 76 + 2 3. ( 35 )2 = 35 x 2 = 310 = 78 4. ( 5 x 4 )3 = 53 x 43 2. 2 7 8 8 = 87 – 2 5. 5 3 4 = 5 5 3 4 = 85 1. ap x aq = ap + q 2. q p a a = ap – q 3. ( ap )q = ap x q 4. ( a x b )p = ap x bp 5. p b a = p p b a
1. Dengan menggunakan sifat pangkat a p x a q = a p + q, sederhanakan bentuk berikut ini a. 52 x 53 f. 4 3 2 1 2 1 x b. a4 x a5 g. 5 4 4 3 4 3 x c. (-2)3 x (-2)6 h. 4 2 1 1 p x p d. 2b4 x b5 e. 8c5 x (-2)c6 i. 7 3 b a x b a
2. Dengan menggunakan sifat pangkat a p : a q = a p - q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. 48 : 43 f. 3 8 2 1 : 2 1 b. a6 : a2 g. 5 18 4 3 : 4 3 c. (-3)7 : (-3)4 h. 5 14 1 : 1 p p d. 8b9 : b5 e. 12c6 : (-2)c2 i. 7 12 : b a b a
3. Dengan menggunakan sifat pangkat (a p) q = a p x q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. ( 43 )5 e. 4 5 1 d b. ( a4 )2 f. 5 7 1 q c. ( b3 )4 d. 4 3 3 1 g. 3 2 2 1 2 UJI KOMPETENSI SIFAT PANGKAT BULAT
4. Dengan menggunakan sifat pangkat (a x b) p = a p x a q, sederhanakan bentuk berikut ini a. ( 4p3 )5 e. 4 5 4 1 3 d b. ( 8a4 )2 f. 5 2 4 1 q c. ( -2b3 )4 d. 5 3 3 1 q g. 3 2 2 1 p
5. Dengan menggunakan sifat pangkat (a : b) p = a p : a q, sederhanakan bentuk berikut ini a. 3 7 2 e. 4 5 3 5 4 3 d c b. 5 3 2 a f. 5 2 3 2 4 q p c. 2 3 8 b a d. 5 3 4 3 2 q g. 3 2 7 5 2 3 p
6. Nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk pangkat positif a. 3 2 7 2 5 − e. 6 5 3 5 2 6 − − − d c b. 5 3 4 − − a f. 5 7 3 4 6 − − q p c. 4 3 5 − − b a d. 5 3 4 7 3 2 − − q g. 6 2 5 5 2 3 − − − p
B. BENTUK AKAR
B.1 PENGERTIAN BENTUK AKAR
Bentuk-bentuk seperti 4, 25, 100,dan seterusnya bukan merupakan bentuk akar, sebab
bilangan tersebut jika ditarik akarnya merupakan bilangan rasional
( 4=2, 25=5, 100 =10). Namun bialangan-bilangan seperti 2, 3, 8, 12 dan seterusnya merupakan bilangan bentuk akar, sebab jika bilangan-bilangan tersebut ditarik akarnya hasilnya bukan bilangan rasional ( irasional ). Dengan demikian dapat didefinisikan :
1. Diantara bilangan berikut ini manakah yang merupakan bentuk akar ?
a. 15 d. 0,4 g. 72 b. 0,04 e. 2,56 h. 2 8 c. 4 1 f. 1024 i. 4 9
2. Dengan menggunakan teorema Phytagoras, tentukan sisi yang belum diketahui dari segitiga ABC siku-siku siku-siku di B berikut ini jika diketahui panjang sisinya sebagai berikut . Mana diantara panjang sisi yang dicari tersebut yang merupakan bentuk akar ?
a. a = 3, b = 5 c. b = 6 , c = 1 e. a = 23, c = 12
b. a = 5, b = 12 d. b = 12 , c = 13 f. a = 2, c = 7
B.2. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR
Untuk menyederhanakan bilngan bentuk akar dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan dalam akar tesebut dalam bentuk perkalian dari faktor-faktornya, dimana salah faktor harus merupakan bilangan bentuk kuadrat
Bentuk Akar : adalah akar dari suatu bilangan rasional, dimana hasilnya berupa bilangan irasional
3
Contoh 1 :
Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 8 b. 8 25 c. 3 12 Penyelesaian : a. 8 = 4x2 b. 8 25 = 8 25 c. 3 12= 3 4x3 = 4x 2 = 2 2 5 = 3 x 4x 3 = 2 2 = 3 x 2 x 3 = 6 3
1. Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 24 f. 50 k. 2 120
b. 72 g. 98 m. 3 300
c. 18 h. 63 n. 4 147
d. 75 i. 200 o. 5 432
e. 48 j. 192 p. 6 5000
2. Sederhanakan bentuk akar berikut ini
a. 4p f. 2 12d b. 8pq g. 3 98a c. a2b 75 h. 4 96b2 d. 5a2 i. 5 63p e. 48y j. 6 150q2 4 UJI KOMPETENSI MENYEDER-HANAKAN BENTUK AKAR
B.3. OPERASI BENTUK AKAR
B.3.1. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK AKAR
Bentuk akar yang dapat dijumlahkan adalah yang sejenis ( bilangan dalam tanda akar sama ), namun jika tidak sejenis maka bentuk akar tersebut tidak dapat dijumlahkan / dikurangkan.
Contoh :
Sederhanakan bentuk berikut ini
a. 3+2 3 c. 3 2+4 3− 3 b. 6 5−4 5 d. 5 7−2 7− 98 Penyelesaian : a. 3+2 3 = (1+2) 3 c. 3 2+4 3− 3 = 3 2+(4−1) 3 = 3 3 = 3 2+3 3 b. 6 5−4 5 = (6-4) 5 d. 5 7−2 7− 98 = (5−2) 7− 49x2 = 2 5 = (5−2) 7−7 2 = 3 7−7 2
B.3.2. Perkalian Bentuk Akar
Perkalian bentuk akar dapat didefinisikan :
Contoh :
Sederhanakan bentuk berikut ini
b c a b c b a + =( + ) b c a b c b a − =( − ) axb b x a =
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
a. 3x 5 c. 5(1− 6) b. 12x 2 d. ( 3+2)(2− 3) Penyelesaian : a. 3x 5 = 5x3= 15 b. 12x 2 = 24x2 = 48= 16x3=4 3 c. 5(1− 6) = 5− 30 d. ( 3+2)(2− 3) = 3(2− 3)+2(2− 3)= 2 3− 9+4−2 3= - 3 + 4 = 1
B.3.3. MENARIK AKAR KUADRAT
Bentuk umum menarik akarkuadrat adalah sebagai berikut :
dan
catatan : syarat harus a > b
Contoh :
Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk a+ batau a− b
a. 8+2 15 b. 12−2 35 c. 9+ 56 Penyelesaian : a. 8+2 15 = (5+3)+2 5x3= 5+ 3 b. 12−2 35= (7+5)−2 7x5 = 7− 5 c. 9+ 56 = 9+ 4x14= 9+2 14= (7+2)+2 7x2= 7+ 2 .
1. Sederhanakan bentuk penjumlahan / pengurangan dibawah ini
a. 2+3 2 f. 5 2+3 72
b. 2 8+5 32 g. 4 27−3 50
c. 4 75− 3 h. 6 5+ 50−5 75
d. 6 50−2 125 i. 3 24−4 12+5 125
e. 7 72+ 108−3 6 j. 5 200+3 72−2 500−4 128
2. Sederhanakan bentuk perkalian dibawah ini
a. 2x 2 f. 5 2x3 12 5 UJI KOMPETENSI b a axb b a+ )+2 = + ( (a+b)−2 axb = a− b OPERASI BENTUK AKAR
b. 2 3x4 2 g. 4 27x3 5
c. 4 75x 3 h. 6 5x 50x5 5
d. 6 5x2 125 i. 3 2x4 12x5 3
e. 7 7x 3x3 6 j. 5 20x3 2x2 5x4 8
3. Sederhanakan bentuk perkalian dibawah ini
a. 5
(
1− 3)
f.(
1− 3)
2b. 2
(
5− 3)
g.(
2+3 5)
2c. 3
(
2 6+4 3)
h.(
4 2−3)
2d.
(
2− 3)(
3+ 2)
i.(
3 2+3 7)
2e.
(
5+1)(
1− 5)
j.(
2+3 5)
2 34. Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk a+ batau a − b
a. 8+2 15 d. 12−2 27 g. 7− 48
b. 8+2 12 e. 23−2 112 h. 14+ 180
c. 11+2 30 f. 8+ 60 i. 23+4 28
C. MERASIONALKAN PENYEBUT PECAHAN
Suatu pecahan yang penyebutnya bentuk akar haruslah dirasionalkan . Cara merasionalkan penyebut bentuk akar yaitu dengan mengalikan pecahan tersebut dengan bilangan 1. Namun bilangan 1 yang dipilih harus disesuaikan dengan model bentuk akarnya. Untuk itu perhatikan uraian berikut ini.
C.1. PECAHAN BENTUK b a
Pecahan bentuk ini harus dikalikan dengan bilangan 1 yaitu
b b
, secara umum dapat ditulis :
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan :
b b x b a b a =
a. 7 1 b. 6 2 c. 3 2 1+ Penyelesaian : a. 7 1 = 7 1 x 7 7 b. 6 2 = 6 2 x 6 6 c. 3 2 1+ = 3 2 1+ x 3 3 = 7 7 = 6 12 = 3 6 3+ = 6 3 2 = 3 3 C.2. PECAHAN BENTUK c b a + ATAU b c a −
Pecahan ini harus dikalikan dengan bilangan 1 yaitu sekawan dari penyebutnya. Secara umum dapat ditulis :
atau
Contoh :
Rasionalkan penyebut pecahan : a. 7 2 1 + b. 3 6 2 − c. 3 2 2 1 + + Penyelesaian : a. 7 2 1 + = 2 7 1 + x2 7 7 2 − − b. 6 3 2 − = 3 6 2 − x 3 6 6 3 + + = ) 7 2 ( 7 ) 7 2 ( 2 7 2 − + − − = ) 6 3 ( 6 ) 6 3 ( 3 ) 6 3 ( 2 + − + + = 7 7 2 7 2 4 7 2 − + − − = 6 6 3 6 3 9 ) 6 3 ( 2 − − + + = 3 7 2 − − = 3 ) 6 3 ( 2 + c. 2 3 2 1 + + = 2 3 2 1 + + x 2 3 2 3 − − c b c b x c b a c b a − − + = + b c c b x c b a c b a + + − = −
= ) 2 3 ( 2 ) 2 3 ( 3 ) 2 3 ( 2 ) 2 3 ( 1 − + − − + − = 2 6 6 3 2 6 2 3 − + − − + − = 1 2 6 2 3− + − = 3− 2+ 6−2
1. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini a. 2 1 d. 2 3 5 g. 2 6 1− b. 12 1 e. 72 4 2 − h. 6 2 3+ c. 3 4 f. 2 6 1−
2. Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini a. 2 9 1 + d. 3 2 5 3 8 − g. 5 7 4 3 + − b. 12 3 4 − e. 5 2 6 1 + − h. 50 2 72 4 3 3 2 − + − c. 6 3 5 + f. 5 7 4 3 + −
D. PANGKAT PECAHAN
Bilangan-bilangan seperti 5 4 3 , 3 2 6 , 7 68 dan sebagainya dinamakan bilangan dengan pangkat pecahan ( rasional ). Bilangan dengan pangkat pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk akar. Hubungan seperti itu dapat ditulis :
Syarat q harus bilangan asli lebih besar dari 2 Untuk q = 2 tidak perlu ditulis
6 UJI KOMPETENSI q p q p
a
a
=
MERASIONALKAN PENYEBUTContoh 1 :
Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk akar a. 5 4 3 b. 3 2 6− c. 7 6 2 8 Penyelesaian : a. 5 4 3 = 5 34 b. 3 2 6− = 3 6−2 c. 7 6 2 8 = 7 20 8 = 7 820 Contoh 2 :
Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk pangkat
a. 253 b. 3 85 c. 3 274 Penyelesaian : a. 253 = 2 3 25 b. 3 85 = 3 5 8 c. 3 274 = 3 4 27 Contoh 3 :
Hitunglah nilai dari
a. 253 b. 3 85 c. 3 274 Penyelesaian : a. 253 = 2 3 25 b. 3 85 = 3 5 8 c. 3 274 = 3 4 27 =
( )
2 3 2 5 =( )
3 5 3 2 =( )
3 4 3 3 = 53 = 25 = 34 = 125 = 32 = 81 Contoh 4 :Nyatakan bilangan berikut dalam bentuk pangkat dengan bilangan pokok 2
a. 3 85 b. 7164 c. 4 8 1 Penyelesaian : a. 3 85 = 3 5 8 b. 7164 = 7 4 16 c. 4 8 1 = 4 2−3 =
( )
3 5 3 2 =( )
7 4 4 2 = 4 3 2− = 25 = 7 16 21. Nyatakan dalam bentuk akar a. 2 3 6 d. 5 6 − a g. 2 7 ) (a+b 7 PENGERTIAN PANGKAT PECAHAN
CONTOH SOAL DAN PENYELESAIAN
b. 3 5 7− e. 3 7 2b h. 5 9 ) (p−q − c. 7 1 1 9 f. 6 5 16c− i. 4 7 2 3 ) (a +b
2. Nyatakan dalam bentuk pangkat
a. 43 d. 5 2c6 g. 8 3 ) (p+q b. 3 a5 e. 7−3 h. 3 4 4 7 ) 3 2 ( − + c. 4 b5 f. 7 3d−5 i. (a2−b4)5
3. Hitunglah nilai dari a. 2 3 4 d. 5 6 32− g. 3 5 8 1 b. 3 5 27− e. 3 7 81 h. 2 9 9 4 − c. 4 1 64 f. 3 7 ) 27 (− i. 3 4 125 81 4. Hitunglah nilai dari
a. 2 3 4 + 3 5 27− d. 3 7 81 - 4 1 64 + 2 3 4 b. 4 1 64 - 2 3 4 e. 3 5 27− + 3 5 8 1 - 4 1 64 c. 5 6 32− + 4 1 64 - 3 5 27− f. 2 9 9 4 − - 3 7 ) 27 (− + 3 4 125 81 5. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 2
a. 3 165 c. 3 2 1 32 e. 7 5 128 1 − b. 3 64−4 d. 4 3 7 4− f. 5 4 3 256 1 6. Nyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat dengan bilangan pokok 3
a. 3 92 c. 7 2 1 81 e. 7 6 9 1 − b. 4 27−5 d. 4 5 8 243− f. 5 4 7 243 1
D.1. SIFAT PANGKAT PECAHAN ( RASIONAL )
Sifat pangkat pecahan sama dengan sifat pangkat bulat, yaitu :
Contoh :
Dengan menggunakan sifat bilangan pangkat bulat tersebut diatas , sederhanakan bentuk berikut :
1. 2 1 3 4 5 5 x 4.
( )
2 3 7 5x 2. 7 2 3 1 8 8 5. 2 5 3 4 3. 5 1 3 5 4 Penyelesaian : 1. 2 1 3 4 5 5 x = 2 1 3 4 5 + = 6 11 5 4.( )
2 3 7 5x = 2 3 2 3 7 5 x 2. 7 2 3 1 8 8 = 7 2 3 1 8 − = 21 1 8 5. 2 5 3 4 = 2 5 2 5 3 4 3. 5 1 3 5 4 = 5 1 3 5 4 x = 3 1 41. Dengan menggunakan sifat pangkat a p x a q = a p + q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. 4 1 6 7 4 4 x f. 7 4 3 4 2 1 2 1 x 1. ap x aq = ap + q 2. q p a a = ap – q 3. ( ap )q = ap x q 4. ( a x b )p = ap x bp 5. p b a = p p b a 8
UJI KOMPETENSI SIFAT PANGKAT
PECAHAN
b. 2 71 6 5 4 x a g. 5 2 7 2 4 3 4 3 − x c.
( ) ( )
3 1 3 4 2 2 − − x h. 2 3 5 2 1 1 − − p x p d. 4 3 5 3 4 4b x b e.( )
3 1 2 9 3 8c x− c i. 2 1 5 1 − − b a x b a2. Dengan menggunakan sifat pangkat a p : a q = a p - q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. 2 1 4 7 2 : 2 f. 2 1 4 3 3 1 : 3 1 b. 3 1 5 4 : a a g. 3 1 5 2 4 3 : 4 3 − c.
( ) ( )
2 5 5 7 5 : 5 − − h. 5 2 7 1 1 : 1 − − p p d. 7 4 5 9 2 : 6b b e.( )
7 2 2 9 2 : 4c − i. 3 2 1 4 3 1 : − b a b a3. Dengan menggunakan sifat pangkat (a p) q = a p x q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. 3 2 5 1 3 e. 3 4 3 1 1 − p b. 3 1 3 2 a f. 9 2 5 1 1 − q c. 7 2 5 2 b d. 5 2 7 2 6 1 − g. 4 3 2 3 1 2 1 −
a. 3 5 4 1 9 p e. 5 2 3 1 4 1 3 − d b. 3 4 3 2 6 q f. 2 3 1 3 5 4 1 − q c. 2 7 4 5 3 − p d. 2 1 5 2 6 1 q g. 7 1 3 3 1 1 2 1 − p
5. Dengan menggunakan sifat pangkat (a : b) p = a p : a q, sederhanakan bentuk berikut ini
a. 4 1 5 2 e. 2 9 5 2 1 3 5 4 3 d c b. 3 1 6 5 a f. 5 4 3 1 3 1 2 4 − q p c. 4 5 3 3 4 b a d. 3 4 6 1 4 3 2 q g. 5 3 2 7 5 3 2 2 3 − − p
6. Nyatakan bentuk berikut ini dalam bentuk pangkat positif
a. 5 1 2 5 3 5 − − e. 8 3 2 3 5 2 7 − − − d c b. 2 3 4 1 7 − − a f. 2 1 7 3 1 4 5 − − − q p
c. 4 6 1 7 2 − − b a d. 7 2 4 1 4 7 7 2 − − q g. 7 2 3 1 2 5 5 2 9 − − − p
E. PERSAMAAN PANGKAT SEDERHANA
Jika a > 0 , a ≠ 1 dan p = konstanta, maka berlaku hubungan :
Contoh :
Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan
a. 2 x = 4 b. 4 x – 1 = 2 x c. 3x =9 Penyelesaian : a. 2 x = 4 b. 4 x – 1 = 2 x c. 3x =9 2 x = 2 2
( )
22 x−1 =2x 32 =32 x x = 2 2 2x – 2 = 2 x 2 2 = x 2x – 2 = x x = 4 x = 21. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikt ini
a. 3 x = 27 e. 4 x – 5 = 16 i. 2 1 8 1 4 7 = x−
1. Jika a f(x) = a c maka berlaku f(x) = c 2. Jika a f(x) = ag(x) maka berlaku f(x) = g(x)
9 UJI KOMPETENSI
PERSAMAAN PANGKAT SEDERHANA
b. 2 x + 3 = 16 f. 27 2x +7 = 9 j. 27 1 9 1 2 5 = x− c. 3 2x – 1 = 81 g. 64 4x – 3 = 2 d. 2 3x + 2 = 64 1 h. 27 81 1 4 5 = x− k. 4 3 6 9 1 81 1 + − = x
2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikt ini
a. 3 x + 3 = 3 2x + 5 e. 4 x – 5 = 16 3 – 2x i. 7 6 7 4 64 1 2 1 − − = x x b. 2 2x - 3 = 4 3x + 1 f. 27 2x +7 = 9 5 – 3x j. 4 3 5 2 81 1 9 1 − − = x x c. 3 2x + 5= 9 4x - 1 g. 64 4x – 3 = 2 x + 8 d. 8 3x - 2 = 16 1 – 3x h. 27 81 1 4 5 = x− 1 – 6x k. 2 4 3 6 27 1 3 1 + −+ = x
3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikt ini
a. 3x = 3 2x + 5 e. 83x+8 = 5166x-1 i. 5 8 2 1 + x = 9 4 1 + x b. 2 2x - 3 = 83x f. 8 3x+6 = 3 278−2x j. 3 9 81 1 − x = 5 7 2 9 1 + x c. 813x+7 = 9 4x - 1 g. 3 643x−8 = 25x+1 d. 8 3x - 2 = 5 23−6 h. 7 52x−1 = 31254x−9 k. 3 4 8 1 − x = 9 7 2 1 + x
F. LOGARITMA
Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan dimana bilangan pokok (x) dan hasilnya diketahui, misalnya bagaimana mencari pangkat :
2 .x = 4, maka x = 2 sebab 2 2 = 4 3 .x = 27 , maka x = 3 sebab 3 3 = 27
Proses mencari nilai x pada persamaan tersebut dinamakan logaritma. Dari uraian tersebut dapat didefinisikan :
Syarat : a > 0, b > 0 , b ≠ 1
x b
a =
Contoh 1 :
Nyatakan dalam bentuk logaritma bilangan berpangkat berikut ini
a. 2 2 = 8 b. 3 2 = 9 c. 8 1 2 1 3 = Penyelesaian : a. 2 3 = 8 ↔ 2log8=3 b. 3 2 = 9 ↔ 3log9=2 c. 8 1 2 1 3 = ↔ 3 8 1 log 2 1 = Contoh 2 :
Nyatakan dalam bentuk pangkat bilangan logaritma berikut ini
a. 2log16=4 b. 3log81=4 c. 2 4 1 log 2 =− Penyelesaian : a. 2log16=4↔ 2 4 = 16 b. 3log81=4 ↔ 3 4 = 81 c. 2 4 1 log 2 =− ↔ 2 -2 = 4 1 Contoh 3 :
Tentukan nilai dari logaritma berikut ini
a. 2log8 b. 4log16 c. 9 1 log 3 Penyelesaian : a. 2log8 = 3, sebab 2 3 = 8 b. 4log16 = 2, sebab 4 2 = 16 c. 9 1 log 3 = -2,sebab 3 -2 = 9 1
1. Nyatakan bentuk berikut dalam logaritma
a. 3 2 = 9 e. 4 1 2 1 2 = i. 10 -3 = 0,001 b. 4 3 = 64 f. 2 1 25 = 5 j. 2 3 1 − = 9 c. (-2) 4 = 16 g. 10 2 = 100 k. (0,1) -2 = 100 d. 8 -2 = 64 1 h. 5 0 = 1 l. 4 9 3 2 2 = −
2. Nyatakan bentuk berikut dalam bentuk pangkat
a. 2log4=2 d. 4log16=2 g. 4 81 1 log 3 =− 10
UJI KOMPETENSI PENGERTIAN
LOGARITMA
b. log 1000 = 3 e. 5log125=3 h. 3 64 1 log 4 =− c. 3log8=2 f. 1 2 1 log 2 =− i. log
(
0,00001)
=−53. Hitunglah nilai dari logaritma berikut ini
a. 2log256 e. 4log64 i. 3 3 9 1 log b. log (0,0000001) f. 5log625 j. 5 4 4 1 log − c. 3log81 g. 16 1 log 2 k. log
(
0,00001)
4 d. 5 1 log 25 h. 9 1 log 81 l. 27 1 log 34. Hitunglah nilai dari penjumlahan / pengurangan logaritma berikut ini a. 2log256+ 5log625 e. 4log64+
3 3 9 1 log b. 5log625 - 16 1 log 2 f. 5 4 4 1 log − - 5log625 c. 9 1 log 81 + 3log81 g. 16 1 log 2 + log
(
0,00001)
4 d. 4log64 - 5 1 log 25 h. 9 1 log 81 - 27 1 log 35. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan logaritma berikut ini a. xlog25=2 b. 6 64 1 log =− x c. 2 1 5 log = x F.1 SIFAT-SIFAT LOGARITMA 1. a pxq a p a q log log ) log( = + 5. a b b a log 1 log = 2. p q q p a a a log log log = −
6. alogb.blogc=alogc
3. alogbn =n.alogb 7. b p q bq a ap log . log = 4. a b b p p a log log log = 8. aalogb =b
Contoh 1 :
Sederhanakan penjumlahan logaritma berikut :
a. 2log8+2log4 b. log81
9 1
log 3
3 +
Penyelesaian :
a. 2log8+2log4 =2log(8x4) b. log81
9 1 log 3 3 + = 81) 9 1 log( 3 x =2log32 = 3log9 = 5 = 2 Contoh 2 :
Sederhanakan pengurangan logaritma berikut :
a. 2log400−2log100 b. 3log9−3log81 Penyelesaian : a. 2log400−2log100 = 100 400 log 2 b. 3log9−3log81 = 81 9 log 3 =2log4 = 9 1 log 3 = 2 = - 2 Contoh 3 :
Sederhanakan penjumlahan / pengurangan logaritma berikut :
a. 2 log5+ log4 b. log81 2 log3
2
12 − 2
Penyelesaian :
a. 2 log5+ log4 = log52 +log4
b. log81 2 log3 2 12 − 2 = 2 2 2 1 2 3 log 81 log − = log(25x4) = 9 9 log 2 = log 100 = 2log1 = 2 = 0 Contoh 4 :
Jika diketahui 3log2= p
, nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p
a. 3log4 b. 9log4 Penyelesaian : a. 3log4 = 3log22=2.3log2 = 2.p b. 9log4 = 9 log 4 log = 2 2 3 log 2 log = 3 log . 2 2 log . 2 = 3 log 2 log = 3log2 = p Contoh 5 :
Jika diketahui 3log2= p, nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p
a. 2log3 b. 4log9
Penyelesaian : a. 2log3 = 2 log 1 3 = p 1 b. 4log9 = 4 log 1 9 = 3 2 2 log 1 2 = 2 log . 2 2 1 3 = 2 log 1 3 = p 1 Contoh 6 :
Hitunglah nilai dari
a. 2log7.7log64 b. 3log25.5log27
Penyelesaian :
a. 2log7.7log64 = 2log64= 6
b. 3log25.5log27 = 3log52.5log27= 2.3log5.5log27= 2.3log27= 2 x 3 = 6
Contoh 7 :
Hitunglah nilai dari
a. 9log27 b. 4log16.25log5
Penyelesaian :
a. 9log27 = 32log33= . log3 2 33 = 1 2 3 x = 2 3 b. 4log16.25log5 = 22log24.52log5= . log5
2 1 2 log . 2 22 5 x = 1 2 1 1 2 2 x x x = 2 1 Contoh 8 :
Hitunglah nilai dari
a. 33log2 b. 255log3 Penyelesaian : a . 33log2 = 2 b. 255log3 =
( )
2 log3 5 5 =( )
55log3 2= 5 2 = 251 . Sederhanakan penjumlahan logaritma berikut :
a. 2log3+2log4 c.. 4log16+4log2 e. 2log8+2log32
b. 3log5+3log7 d. log25
25 1 log 5 5 + f. 2 9 log 6 log 3 3 +
2. Sederhanakan pengurangan logaritma berikut :
a. 2log3−2log24 c.. 3log14−3log42 e. 4log9−4log36
b. 2log28−2log7 d. 5log50−5log10 f.
9 1 log 27 1 log 3 3 +
3. Sederhanakan penjumlahan / pengurangan logaritma berikut :
a. 2 log5+ log40 c. log81 2 log9
2 12 − 2 11 UJI KOMPETENSI SIFAT-SIFAT LOGARITMA
b. 125 1 log 25 log 2 15 +5 d. 52log2−22log16
4. Jika diketahui 2log5= p, nyatakan bentuk logaritma berikut dalam p a. 2log25 c. 4log25 e. 2log125 1 b. 4log5 b. 125 1 log 8 f. 2log3 52
5. Jika diketahui 3log6=q, nyatakan bentuk logaritma berikut dalam q
a. 6log3 c. 6log 27 e. 3 1 log 6 1 b. 36log9 d. 36log81 1 f. 36log4 35
6. Hitunglah nilai dari
a. 2log3.3log64 c. 2log25.5log32 e. . log 8 125
1
log 5
2
b. 3log5.5log27 d. 3log8.2log81 f. 3log3 72.7log4 35
7. Hitunglah nilai dari
a. 9log81 c. 4log32.25log125 e. log16.5log25 1 2
1
b. 25log625 d. 81log27.4log 8 f.
125 1 log . 27 log 352 3
8. Hitunglah nilai dari
a. 66log9 c. log16 2 2 e. 55log3+33log2 b. 77log 3 d. 1255log2 f. 8 log 4 log 2 3 2 1 3 −
