BAB 1
AKAR, PANGKAT, DAN LOGARITMA A. BENTUK PANGKAT
1. Pengertian Pangkat n
n faktor a a a a... a1 4 2 4 3� � �
Keterangan :
a disebut bilangan pokok n disebut pangkat / eksponen Dimana a Rdann 1,n A� �
2. Sifat – sifat bilangan pangkat bulat positif Basic concept :
Jika a dan b bilangan real, m dan n bilangan bulat positif, maka berlaku:
am. an = am + n
am: an = am - n
(am) n = amn
(a.b)m = am .bm
m m
m
a a
( ) b b Contoh : Sederhanakan : 1. a3.a5 = a3 + 5 = a8 2. a7 : a2 = a7 – 2 = a5
3. (a3b6c4)2 = a3.2b6.2c4.2 = a6b12c8 4. (a8 : a6)3 = (a8 – 6)3 = a2.3 = a6
5.
4 3 5
3 1 5 2 4 2 3 4 8 12 2
a b
(a .b ) (a b ) a b ab
� �
� �
� �
3. Pangkat bulat negatif dan rasional
Bentuk pangkat bulat negatif adalah 0
0 m m m m
1 a
a a
a a
Maka, m
m 1 a
a
Sedangkan bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat
dinyatakan dengan a
b dan a,b B� dan b 0� . amn merupakan bilangan dengan pangkat tak sebenarnya. Contoh :
1. Nyatakan dengan eksponen positif !
* 5
5 1 a
a
*
2 5 5 2 12a 4b
3b a
2. Sederhanakan bentuk berikut !
*
3 6 4
2 4
5 2 2
a b b
a b
a b a
*
5 5
4 6 2 2 2 1
5 5 5 1
b b b b
b
� � � �
� � � �
� � � �
*
2 1 2 15 5 3 3 2 5 3
32 . 27 2 3 2 .3 12 4. Persamaan bilangan berpangkat
Ada dua persamaan bilangan berpangkat, yaitu :
f x g x f x p
1 . a a f x g x 2 . a a f x p
�
�
5. Pertidaksamaan bilangan berpangkat Diketahui af x ag x jika dan hanya jika :
1 . f x2 . f x g x untuka 1g x untuk 0 a 1
B. BENTUK AKAR
a. Pengertian bentuk akar
Bentuk akar adalah bilangan-bilangan dibawah akar yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
Contoh : 5, 6, 7,dst
Dan dapat dinyatakan dalam bentuk anb�anb b. Sifat – sifat bentuk akar
Basic concept :
m m
n n
1 2 1 ab a. b
a a
2
b b
3 a( b c) ab ac 4 m a n a (m n) a 5 m a m b m( a b) 6 a. a a
7 a a 8 a a
� �
� �
� �
Contoh :
Sederhanakanlah !
2 21 48 16.3 4 3
2 2 162 2 81.2 2.9 2 18 2 3 5 3 2 3 7 3
4 108 48 36.3 16.3 6 3 4 3 10 3
5 4 20 2 45 4 4.5 2 9.5 4.2 5 2.3 5 8 5 6 5 6 4 6( 3 5 2) 4 18 20 12 4 9.2 20 4.3 12 2 40 3 7 (3 2 6)(3 2 6) (3 2) 3 12 3 12 ( 6) 18 6 12
c. Merasionalkan Penyebut
Beberapa bentuk merasionalkan penyebut :
21 1 a 1
1 a
a
a a a
a b a b
1 1
2
a b
a b a b a b
a b a b
1 1
3
a b
a b a b a b
�
�
�
Merasionalkan bentuk
c
a�b , caranya dengan mengalikan dengan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan.
Contoh :
Bentuk sederhana dari 2
Sekawan dari 6 4 adalah 6 4
2 6 4
6 4 6 4
2 6 4 2
6 4
۴
�
6 4
2
6 4 6 2
d. Bentuk Akar di dalam Akar Metode supertrik :
Untuk a > b berlaku :
a b
�2 ab a� bContoh :
8 2 15� 5 3 �2 5.3 5� 3 C. LOGARITMA
a. Pengertian logaritma
Logaritma merupakan kebalikan dari perpangkatan. Jadi apabila diketahui ax=b maka x dapat ditentukan dengan logaritma yang berbentuk x = a log b
Contoh :
3 2
2 8� log8 3
b. Sifat – sifat logaritma Basic concept :
Misalkan a adalah bilangan positif (a > 0) dan g juga bilangan positif dengan g ≠ 1, maka berlaku :
n
g
g g g
g g g
g n g
p g
p g
a
g a g
g m g
log a
1 log a.b loga logb a
2 log loga logb b
3 loga n. loga loga 4 loga
logg 1 5 loga
logg 6 loga logh logh
m 7 loga loga
n
8 g a
� � � �
� �
�
Metode supertrik :
- Bilangan pokok harus sama - Jadikan bilangan terkecil : 2,3,5 Contoh :
2 3
2 3
8
3 3 3 3
8
3 3 3 3
log3 m dan log 5 n 1 log3 mdapat ditulis log2
m makanilai log15 ...
jawab:
log15 log3.5 log3 log5 log15
log8 log2 3 log2 m 1 n
1 n
1 3
3. m
PAKET SOAL DAN PEMBAHASAN 1. UN 2010
Bentuk sederhana dari
6 3 5 3 5
2 6 . . . A. 24 12 6 D. 24 6 B. 24 12 6 E. 24 12 6 C. 24 12 6
Pembahasan :
�
�
� �
�
2 2 6 3 5 6 3 5 3 5
2 6 2 6
6 9 5 24
2 6 2 6
24 2 6 2 6 2 6 24 2 6
24 12 6 2
2. UN 2012
Bentuk
3 3 7 7 2 3
dapat disederhanakan menjadi bentuk . . .
A. 25 5 21 D. 5 21 B. 25 5 21 E. 5 21 C. 5 5 21
Pembahasan :
3 3 7 3 3 7 7 2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3 3 21 18 7 2 21
7 12 25 5 21
5 5 21
�
Jawaban:E 3. UN 2012
Bentuk
2 3 5 2 5
dapat disederhanakan menjadi bentuk . . .
A.
1
17 4 10
3 D.
1
17 4 10 3
B.
2
15 4 10 3
E.
1
17 4 10 3
C.
2 3 5 2 3 5 2 5
2 5 2 5 2 5
2 10 3 10 15 2 5 17 4 10
3 117 4 10 3
�
Jawaban:E 4. UN 2012
Bentuk
2 2 3 2 3
dapat disederhanakan menjadi bentuk . . .
A. 4 3 6 D. 4 6
B. 4 6 E. 4 6
C. 4 6 Pembahasan :
2 2 3 2 2 3 2 3
2 3 2 3 2 3
2 6 2 6 6 2 3 4 6
1 4 6
�
Jawaban:E 5. UN 2012
Bentuk sederhana dari
5 2
5 3 2 adalah . . .
A.
1 11 4 1013 D.
1 11 4 10 13
B.
11 11 4 1013 E.
C.
111 4 10 13
Pembahasan :
�
5 2 5 2 5 3 2
5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 3 10 10 6
5 18 11 4 10
13 1 11 4 10 13
1 11 4 10 13
Jawaban:E 6. UN 2010
Bentuk sederhana dari
4 3 -2
-2 -4 -5 5a b
=... 5a b
A. 4 2
18 5 a
b D.
6 4 18 5 a b
B. 6 4
18 5 a
b E.
6 4 18 5 b a
C. 2 18
4 5 b a
Pembahasan :
�
� 4
3 2 4 12 8 2 2 8 10 4 5
4 2 12 8 8 10 6 4 6 4 18
18 5a b 5 a b
5 a b 5a b
5 a b
5 a 5 a b
b
Diketahui a = 1
2 , b = 2, c = 1. Nilai dari 2 3
2 1 a bc ab c
adalah . . .
A. 1 D. 64
B. 4 E. 96
C. 16
Pembahasan :
2 3 4 4
2 1 3 3
a bc c 1
ab c a b 1 2 2 1 1 4 4
� �� � � � �
Jawaban:B 8. UN 2012
Jika diketahui
1 1
x , y , danz 2
3 5
. Nilai 4 2 3 2 4 x yz x y z
adalah . . .
A. 32 D. 320
B. 60 E. 640
C. 100 Pembahasan :
4 2
4 3 1 2 2 4 3 2 4
1 1 2 1 1
2 x yz
x y z
x y z
x y z
1 1 2
3 5
3 5 4 60
� � � � � � � � � � � � ��
Jawaban:B 9. UN 2012
Diketahui a = 4, b = 2, dan c = 1
2 . Nilai
4 2 13 b a
c
A. 1
2 D.
1 16
B. 1
4 E.
1 32
C. 1 8
Pembahasan :
1 2 4
1 2 43 3
b 2
a 4
c 1
2 1 16 16 8 1 8
� �
� � � � � �
�
Jawaban:C 10.UN 2012
Nilai dari
2 3 1 2 2 a b c
a bc , untuk a = 2, b = 3, dan c = 5 adalah ...
A. 81
125 D.
1296 125
B. 144
125 E.
2596 125
C. 432 125
2 3 1
2 ( 2) 3 1 1 2 2 2
4 2 3 4 2
3 4 2
3 a b c
a b c a bc
a b c a b
c 2 3
5 144 125
Jawaban:B 11.UN 2010
Nilai dari
�
27 2 3
3 3
log9+ log3 log4 = log2- log18 . . .
A. 14
3 D.
14 6
B. 14
6 E.
14 3
C. 10
6
Pembahasan :
�
�
1
3 2
27 2 3
3 3
3 2 2 3 2
3
3 2 3
log9 log3. log4 log2 log18 log3 log3. log2
2 log
18 2 1 2
.1 2 2 12
3 1 4
14
3 3
2
1 log3 2 6
log 9
Bentuk sederhana dari 3 3 7
7 2 3 =…
A. 21 10 D. 21 5
B. 21 10 E. 2 21 5 C. 21 5
Pembahasan :
�
�
�
�
3 3 7 7 2 3 7 2 3 7 2 3 3 3 7 7 2 3
7 4.3 3 21 18 7 2 21
7 12 5 21 25
21 5 5
Jawaban:C 13.UN 2011
Bentuk sederhana dari
3 4 6 7 1 4 7x y z 84x y z
= . . .
A. 10 10
3 x z
12y D.
3 2 4 y z 12x
B. 2 4 3 z
12x y E.
10 3 2 x 12y z
C. 10 5
2 x y 12z
Pembahasan :
3 4 6 3 4 6
7 1 4 7 1 4 10 3 2 10
3 2
7x y z 7 x y z 84
84x y z x y z 1
x y z 12
x 12y z
� � �
� � �
14.UN 2011
Diketahui a = 4, b = 2, dan c = 1
2 . Nilai dari
�4 2 1
3 b
a ...
c
A. 1
16 D. 8
B. 1
8 E. 16
C. 1 4
Pembahasan :
�
4 4 4
2 1
3 2 3 2 1 3
3
b b 2
a
c a c 4 2 1 1
8 2
Jawaban:B 15.UN 2011
Nilai x yang memenuhi persamaan
2log x27x 3adalah… A. – 1 dan 8
B. 1 dan – 8 C. 0 dan 2 D. 1 saja E. – 8 saja Pembahasan :
2 2
a c
3 2 2
log x 7x 3 Pakai aturanparuh!
logb c a b 2 x 7x x 7x 8 0
x 8 x 1 0 x 8 ataux 1
� �
�
�
�
Metode supertrik :
2 2
2 2
x 8 maka x 7x 8 7 8 64 56 8 positif x 1 maka x 7x 1 7 1
1 7 8 positif
Jawaban:B 16.UN 2012
Diketahui 5log3 a dan 3log4 b . Nilai 4log15 . . .
A. 1 a
ab
D. ab 1 a
B. 1 a 1 b
E.
ab 1 b
C. 1 b 1 a
Pembahasan :
3 4
3 3
3
3 3
3 log15 log15
log4 log 3 5
log4 log3 log5
log4 1
1 a
a b a a 1
ab
�
�
Jawaban:A 17.UN 2012
Diketahui 2log3 x, log10 y 2 . Nilai 6log120 = . . .
A.
x y 2 x 1
D.
xy 2 x
B.
x 1 x y 2
C. x xy 2 Pembahasan :
2 6
2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
log120 log120
log6 log 2 3 10
log 2 3
log2 log3 log10 log2 log3 2 log2 log3 log10
log2 log3 2 x y
1 x �
� � �
�
�
� �
�
Jawaban:A 18.UN 2012
Diketahui 3log6 p , log2 q 3 . Nilai 24log288 = . . .
A.
2p 3q p 2q
D.
p 2q 3p 2q
B.
3p 2q p 2q
E.
q 2p 2p 3q
C.
p 2q 2p 3q
3 24
3
3 3 2 3 2 3 3 3 2
3 2 3
3 3
3 3
log288 log288
log24 log 2 6
log 2 6 log2 log6
log2 log6 3 log2 2 log6
2 log2 log6 3q 2p
2q p �
� �
� �
� �
�
� �
Jawaban:A
PAKET SOAL LATIHAN
1. Bentuk sederhana dari 1
3 2 2 adalah…
A. 6 4 2 D. 6 3 2
B. 6 2 2 E. 3 2 2
C. 6 4 2
2. Bentuk sederhana dari 6
8 60 adalah… A. 6 5 6 3 D. 3 5 3 3 B. 6 5 6 3 E. 3 5 3 3 C. 3 5 6 3
3. Bentuk sederhana dari 3 5
2 12x y
3x y
4. Diketahui nilai a = 8 , b = 25 , dan c = 81. Nilai 2 1 1 3 2 4 a b c adalah…
A. 10 D. 54
B. 20 E. 60
C. 30
5. Nilai x yang memenuhi persamaan : 2x 3 3 x 5
3 27
adalah…
A. – 8 D. 2
B. – 2 E. 8
C. 0
6. Nilai x yang memenuhi persamaan : 2x 1 5x 2
8 4
adalah…
A. 6 D. 3
B. 5 E. 2
C. 4
7. Diketahui p = 81, q = 8 , dan r = 16. Nilai dari
2 1
3 4
3 4 2p .q
r
� �
� �
� �
� �
� �=…
A. 24 D. 3
B. 12 E.
3 2 C. 6
8. Nilai dari 9log 25. log 33 5 27log3 ...
A. 1
2 D.
1 3
B. 1
3 E.
1 2
C. 1 6
9. Bentuk sederhana dari
3 6 2 5 2
36
A.
4 6
18 D.
7 6 18
B.
5 6
18 E.
8 6 18
C. 6 6 18
10. Hasil dari 3
3 2
3 7 7
log21 1
log18 6 ... log18 2. log3 log2
A. 2log7 D. 2
B. 7log2 E. 3
C. 1
11. Nilai 3 8 4 32 2 18
dapat disederhanakan menjadi…A. 2 2 D. 16 2
B. 5 2 E. 22 2
C. 12 2
12. Jika
2 3
a b 6
2 3
, maka a + b = …
A. 3 D. – 3
B. 2 E. – 5
C. – 2
13. Nilai 16log2 3log 3 ...
A. 2 D.
1 4
B. 1
2 E.
1 2
C. 1 4
14. Hasil dari
82 2
2 2
log216 log12 log3
A. 8 D. 1 2
B. 2 E.
1 4
C. 3 4
15. Jika 3log2 p . Nilai dari 3log4 2 = …
A. 5p D. – 2p
B. 4p E. – 4p
C. 2p
16. Jika 2 log 3 = m dan 3 log 5 = n , maka 6 log 75 =…
A.
2mn m m 1
D.
2mn m m 1
B.
2n 1 m 1
E.
2n 1 n m 1
C.
2m 1 n 1
17. Diketahui 3log4 p dan log5 q 2 , maka nilai 6log90 ...
A.
pq p 4 p 1
D.
pq q 4 p 1
B.
pq p 4 p 2
E.
pq q 4 q 2
C.
pq 4 p 2
18. Nilai x yang memenuhi log x + log 2 = 1 adalah…
A. 10 D.
1 2
B. 5 E.
1 4 C. 2
A. – 1 dan 3 D.
1dan8 2 B. – 3 dan 1 E. 1 saja
C. 1
dan2 8
20. Jika a dan b adalah penyelesaian dari persamaan :
2log log x 7 12 2log logx2 2log x 3
, maka a .b = ....
A. – 14 D. 5
B. – 5 E. 14