PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami defi nisi persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

2. Dapat menyelesaikan berbagai bentuk persamaan logaritma. 3. Dapat menyelesaikan berbagai bentuk pertidaksamaan logaritma.

A. Persamaan Logaritma

Jika sebelumnya kamu telah mengenal persamaan linear dan persamaan kuadrat, sekarang kamu akan mengenal persamaan logaritma. Apa itu persamaan logaritma? Bagaimana cara menyelesaikannya? Untuk memahaminya, mari simak penjelasan berikut ini dengan saksama.

1. Defi nisi Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang memuat bentuk logaritma. Pada persamaan logaritma, terdapat variabel pada numerus atau pada bilangan pokok.

2. Bentuk Persamaan Logaritma

Ada beberapa bentuk persamaan logaritma, di antaranya sebagai berikut.

matematika PEMINATAN

K

e

l

a

s X

2

a. Bentuk Persamaan a_{log f(x) =} a_{log p}

Pada persamaan a_{log f(x) =} a_{log p dengan a > 0, a ≠ 1, f(x) > 0, dan p > 0, berlaku sifat berikut.} a_{log f(x) =} a_{log p ⇒ f(x) = p}

Contoh Soal 1

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 5_{log (x +13) =} 5_{log 6!}

Pembahasan:

Berdasarkan sifat a_{log f(x) =} a_{log p ⇒ f(x) = p, diperoleh:} 5_{log (x +13) =} 5_{log 6 ⇔ x + 13 = 6}

⇔ x = 6 – 13 ⇔ x = –7

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 5_{log (x +13) =} 5_{log 6 adalah –7.}

b. Bentuk Persamaan a_{log f(x) =} a_{log g(x)}

Persamaan ini hampir serupa dengan persamaan sebelumnya. Perbedaannya adalah konstanta p sebagai numerus pada persamaan sebelumnya diganti dengan fungsi

g(x). Dengan demikian, pada persamaan a_{log f(x) =} a_{log g(x) dengan a > 0, dan a ≠ 1,}

f(x) > 0, dan g(x) > 0, berlaku sifat berikut.

a_{log f(x) =} a_{log g(x) ⇒ f(x) = g(x)}

Contoh Soal 2

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan log (x2 _{– x – 10) = log 2x!}

Pembahasan:

Berdasarkan sifat a_{log f(x) =} a_{log g(x) ⇒ f(x) = g(x), diperoleh:}

log (x2 _{– x – 10) = log 2x ⇔ x}2 _{– x – 10 = 2x} ⇔ − − − ⇔ − − ⇔ − x x x x x x x 2 2 2 10 = 0 3 10 = 0 + 2 5 = 0

(

)(

)

x + 2 = 0 atau x – 5 = 0 x = –2 atau x = 5

3

Jika x = –2, numerus bernilai negatif. Ini berarti, x = –2 tidak memenuhi. Jika x = 5, numerus bernilai positif. Ini berarti, x = 5 memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan log (x2 _{– x – 10) = log 2x adalah 5.}

c. Bentuk Persamaan a_{log f(x) =} b_{log f(x)}

Jika pada persamaan sebelumnya terdapat numerus yang berbeda, pada persamaan ini terdapat bilangan pokok yang berbeda. Pada persamaan a_{log f(x) =} b_{log f(x)}

dengan a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, a ≠ b, dan f(x) > 0, berlaku sifat berikut.

a_{log f(x) =} b_{log f(x) ⇔ f(x) = 1}

Contoh Soal 3

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2_{log (66 – 5x) =} 3_{log (66 – 5x)!}

Pembahasan:

Berdasarkan sifat a_{log f(x) =} b_{log f(x) ⇔ f(x) = 1, diperoleh:} 2_{log (66 – 5x) =} 3_{log (66 – 5x) ⇔ 66 – 5x = 1} ⇔ − − ⇔ − − ⇔ − − 5 = 1 66 5 = 65 = 65 5 = 13 x x x

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan 2_{log (66 – 5x) =} 3_{log (66 – 5x) adalah {13}.}

d. Bentuk Persamaan f(x)_{log g(x) =} f(x)_{log h(x)}

Sekarang kamu akan mengenal persamaan logaritma dengan bilangan pokok dan numerus berupa fungsi yang mengandung variabel. Pada persamaan f(x)_{log g(x) =} f(x)_{log h(x)}

dengan f(x) ≠ 1, f(x) > 0, g(x) > 0, dan h(x) > 0, berlaku sifat berikut.

4

Contoh Soal 4

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2x + 1_{log (x}2 _{– 10) =} 2x + 1_{log (5 – 2x)!}

Pembahasan:

Berdasarkan sifat f(x)_{log g(x) =} f(x)_{log h(x) ⇔ g(x) = h(x), diperoleh:} 2x + 1_{log (x}2 _{– 10) =} 2x + 1_{log (5 – 2x) ⇔ x}2 _{– 10 = 5 – 2x} ⇔ − − ⇔ − ⇔ − x x x x x x 2 2 + 2 10 5 = 0 + 2 15 = 0 + 5 3 = 0

(

)(

)

x + 5 = 0 atau x – 3 = 0 x = –5 atau x = 3

Substitusi nilai x pada bilangan pokok dan numerus. Bilangan pokok dan numerus harus bernilai positif dengan bilangan pokok tidak sama dengan 1.

Nilai x Numerus Bilangan Pokok Keterangan

x2 _{– 10 5 – 2x}

3 –1 –1 7 Tidak memenuhi

–5 15 15 –9 Tidak memenuhi

Jadi, tidak ada nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. e. Bentuk Persamaan f(x)_{log h(x) =} g(x)_{log h(x)}

Jika pada persamaan sebelumnya terdapat numerus yang berbeda, pada persamaan ini terdapat bilangan pokok yang berbeda. Pada persamaan f(x)_{log h(x) =} g(x)_{log h(x)}

dengan h(x) > 0, f(x) ≠ 1, f(x) > 0, g(x) ≠ 1, dan g(x) > 0, berlaku sifat berikut.

f x _{h x} g x _{h x} f x g x h x ( )_{log ( ) =} ( )_{log ( )} 1. ( ) = ( ) 2. ( ) = 1

Contoh Soal 5

5

Pembahasan: Solusi pertama: x+1_{log (x}2_{+ =1)} x2 5-_log(x2₊₁₎ ⇔ x + 1 = x2 _{– 5} ⇔ − ⇔ − − − ⇔ − − ⇔ − x x x x x x x x +1= 5 0 = 5 1 0 = 6 0 = + 2 3 2 2 2

(

)(

)

0 = x + 2 atau 0 = x – 3 x = –2 atau x = 3

Periksa syarat untuk x = –2 dan x = 3. Untuk x = –2: x2 _{+ 1 = (–2)}2 _{+ 1 = 4 + 1 = 5 > 0 (memenuhi)} x + 1 = (-2) + 1 = –1 < 0 (tidak memenuhi) x2 _{– 5 = (–2)}2 _{– 5 = 4 – 5 = –1 < 0 (tidak memenuhi)} Untuk x = 3: x2 _{+ 1 = 3}2 _{+ 1 = 9 + 1 = 10 > 0 (memenuhi)} x + 1 = 3 + 1 = 4 > 0 (memenuhi) x2 _{– 5 = 3}2 _{– 5 = 9 – 5 = 4 > 0 (memenuhi)}

Ini berarti, nilai x = 3 merupakan solusi. Solusi kedua:

x+1_{log (x}2_{+ =1)} x2 5-_log(x2_{+1) ⇔ x}2 _{+ 1 = 1}

⇔ x2 _{= 0}

⇔ x = 0

Periksa syarat untuk x = 0.

x2 _{+ 1 = 0}2 _{+ 1 = 0 + 1 = 1 > 0 (memenuhi)}

x + 1 = 0 + 1 = 1 > 0 (memenuhi)

x2 _{– 5 = 0}2 _{– 5 = 0 – 5 = –5 < 0 (tidak memenuhi)}

Ini berarti, nilai x = 0 bukan solusi.

6

f. Bentuk Persamaan A(a_{log f(x))}2 _{+ B}a_{log f(x) + C = 0}

Persamaan ini sebenarnya adalah bentuk persamaan kuadrat dengan logaritma sebagai variabelnya. Agar dapat menyelesaikan persamaan ini, kamu harus memisalkan y = a_{log f(x) sehingga didapat persamaan Ay}2 _{+ By + C = 0. Setelah}

diperoleh nilai y, substitusikan kembali pada pemisalan y = a_{log f(x) sehingga}

diperoleh nilai x.

Contoh Soal 6

Tentukanlah himpunan penyelesaian dari persamaan 2_log2 _{x –} 2_{log x}3 _{+ 2 = 0!}

Pembahasan:

2_log2 _{x –} 2_{log x}3 _{+ 2 = 0 ⇔ (}2_{log x)}2 _{– 3.} 2_{log x + 2 = 0}

Misalkan y = 2_{log x, maka:}

2_log 2 _{3. log + 2 = 0}2 2 _{3 + 2 = 0} 2 ( 1) = 0 = 2 atau =1 x x y y y y y y

(

)

(

)

− ⇔ − ⇔ − − ⇔

Untuk mendapatkan nilai x, substitusikan nilai y yang diperoleh pada pemisalan.

y = 2 ⇔ 2_{log x = 2 ⇔ x = 2}2 _{⇔ x = 4}

y = 1 ⇔ 2_{log x = 1 ⇔ x = 2}1 _{⇔ x = 2}

Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut adalah {2, 4}.

B. Pertidaksamaan Logaritma

Setelah kamu memahami persamaan logaritma, sekarang kamu akan belajar tentang pertidaksamaan logaritma. Apa itu pertidaksamaan logaritma? Bagaimana cara menyelesaikannya? Untuk memahaminya, mari simak penjelasan berikut ini dengan saksama.

1. Definisi Pertidaksamaan Logaritma

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki tanda penghubung berupa tanda ketidaksamaan, yaitu tanda >, <, ≥, atau ≤. Dengan demikian, yang dimaksud dengan pertidaksamaan logaritma adalah pertidaksamaan yang memuat bentuk logaritma. Seperti pada persamaan logaritma, variabel pada pertidaksamaan logaritma terdapat pada numerus atau pada bilangan pokok.

7

Super "Solusi Quipper"

2. Bentuk Pertidaksamaan Logaritma

a. Untuk Bilangan Pokok a > 1

a_{log f(x) >} a_{log g(x) ⇔ f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0} a_{log f(x) ≥} a_{log g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0} a_{log f(x) <} a_{log g(x) ⇔ f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0} a_{log f(x) ≤} a_{log g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0}

b. Untuk Bilangan Pokok 0 < a < 1

a_{log f(x) >} a_{log g(x) ⇔ f(x) < g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0} a_{log f(x) ≥} a_{log g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0} a_{log f(x) <} a_{log g(x) ⇔ f(x) > g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0} a_{log f(x) ≤} a_{log g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) dengan f(x) > 0 dan g(x) > 0}

Kamu tidak harus menghafal semua bentuk pertidaksamaan logaritma. Akan tetapi, cukup perhatikan perubahan tanda ketidaksamaannya.

• Jika bilangan pokok a > 1, kamu cukup mengambil numerus pada masing-masing bentuk logaritma dan gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang sama. • Jika bilangan pokok memiliki nilai 0 < a < 1, kamu cukup mengambil numerus pada

masing-masing bentuk logaritma dan gunakan tanda penghubung ketidaksamaan yang berlawanan. Misalkan tanda > menjadi < dan ≥ menjadi ≤.

• Jangan lupa bahwa setiap numerus harus bernilai positif (> 0).

Contoh Soal 7

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 3_{log (x}2 _{+ x) ≤} 3_{log (21 – 3x)!}

Pembahasan:

Bilangan pokok pada pertidaksamaan logaritma tersebut adalah 3 > 1. Dengan demikian, untuk menentukan penyelesaiannya, cukup ambil numerus pada masing-masing bentuk logaritma yaitu (x2 _{+ x) dan (21 – 3x), serta gunakan tanda penghubung}

8

Syarat numerus:

x2 _{+ x > 0}

⇔ x(x + 1) > 0

⇔ x = 0 atau x = –1 (titik pembuat nol)

+ – +

–1 0

Dengan demikian, x < –1 atau x > 0. 21 – 3x > 0 ⇔ − − ⇔ − − ⇔ 3 > 21 < 21 3 < 7 x x x Solusi: 3_{log (x}2 _{+ x) ≤} 3_{log (21 – 3x) ⇔ x}2 _{+ x ≤ 21 – 3} ⇔ x2 _{+ x + 3x – 21 ≤ 0} ⇔ x2 _{+ 4x – 21 ≤ 0} ⇔ (x – 3) (x + 7) ≤ 0

⇔ x = 3 atau x = –7 (titik pembuat nol)

+ –

–7 3

+

Dengan demikian, –7 ≤ x ≤ 3.

Selanjutnya, tentukan irisan dari ketiga daerah hasil tersebut.

7 -+

9

–7 –7 –1 0 3 3 7 –1 0

Jadi, penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah –7 ≤ x < –1 atau 0 < x ≤ 3.

Contoh Soal 8

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan 3_{log x +} 3_{log (x + 1) ≤ 1 +} 3_{log (7 – x)!}

Pembahasan:

Ubah dahulu bentuk pertidaksamaan pada soal ke dalam bentuk umum pertidaksamaan logaritma. Dengan menggunakan sifat logaritma, diperoleh:

3_{log x +} 3_{log (x + 1) ≤ 1 +} 3_{log (7 – x)}

⇔ 3_{log x (x + 1) ≤} 3_{log 3(7 – x)} ⇔ 3_{log (x}2 _{+ x) ≤} 3_{log (21 – 3x)} Solusi: x2 _{+ x ≤ 21 – 3x} ⇔ x2 _{+ 4x – 21 ≤ 0} ⇔ (x + 7) (x – 3) ≤ 0 ⇔ –7 ≤ x ≤ 3

10

Syarat numerus: • x > 0

• x + 1 > 0 → x > –1

• 7 – x > 0 → x < 7

Jadi, penyelesaiannya adalah 0 < x ≤ 3. c. Bentuk A(a_{log f(x))}2 _{+ B}a _{log f(x) + C ≤ 0}

Langkah penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini hampir sama dengan bentuk persamaan logaritma yang telah kamu pelajari sebelumnya. Untuk memahaminya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh Soal 9

Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut.

1 2 2 1 2 log

(

x+1

)

− log +1 6 0

(

x

)

− ≥ Pembahasan: Syarat numerus: x + 1 > 0 → x > –1 ... HP₁

Misal log +1 = , maka :21

(

_x

)

_y

y2 _{– y – 6 ≥ 0}

⇔ (y – 3) (y + 2) ≥ 0

⇔ y = 3 atau y = –2 (titik pembuat nol)

+ – +

–2 3 y

Dengan demikian, diperoleh:

11

Selanjutnya, gunakan permisalan sebelumnya untuk menentukan nilai x. Untuk y ≤ –2: Untuk y ≥ 3: log +1 2 log +1 log 1 2 +1 4 3... HP 1 2 1 2 1 2 2 x x x x

(

)

(

)

    ≤ − ⇔ ≤ ⇔ ≥ ⇔ ≥ − 22 log +1 3 log +1 log 1 2 +1 1 8 7 8 ... 1 2 1 2 1 2 3 x x x x

(

)

(

)

    ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ ≤ − HP₃

Jika digambarkan garis bilangan, diperoleh:

–1 3

x

−7 8

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah x x R| , 1<x 7 x

8 3 . ∈ − ≤ − ∪ ≥      