persamaan dan pertidaksamaan Nilai Mutlak

(1)

MA5032 ANALISIS REAL

(Semester I Tahun 2011-2012)

Hendra Gunawan∗

∗_{Dosen FMIPA - ITB}

E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id.

(2)

0.1 Sekilas Bilangan Real 0.2 Sifat Lapangan 0.3 Sifat Urutan

(3)

Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan rasional. Himpunan semua bilangan asli dilambangkan denganN, yakni

N:=_{1,2,3, . . ._}.

Himpunan semua bilangan bulat dilambangkan denganZ, yakni

Z:=_{0,_±1,_±2,_±3, . . ._}.

(4)

Sementara itu, himpunan semua bilangan rasional dilambangkan denganQ, yakni

Q:=p

q : p ∈Z, q ∈N, dan FPB(p,q) = 1 .

(5)

Selain itu, anda juga diasumsikan telah mengenal notasi bilangan dalam bentuk desimal. Sebagai contoh,

(6)

Sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang ‘berhenti’, seperti 1

2 = 0.5, dan sebagian bilangan mempunyai bentuk desimal yang ‘berulang’, seperti 1₃ = 0.33333. . .. Bilangan rasional

(7)

Bilangan yang mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun berulang merupakan bilanganirasional. Sebagai contoh,√2 yang memang bukan merupakan bilangan rasional mempunyai bentuk desimal tak berhenti ataupun berulang. Contoh lainnya, bilangan

0.1010010001. . .

(8)

Himpunan semua bilangan rasional dan bilangan irasional disebut sebagai himpunan bilanganreal, yang dilambangkan dengan R. Dalam hal ini, kita mempunyai

N_⊂Z _⊂Q_⊂R.

(9)

Soal Latihan

1 Nyatakan 1

12 dalam bentuk desimal. Apakah bentuk desimalnya berhenti atau berulang?

2 Nyatakan 0.123123123. . . sebagai bentuk pecahan.

3 Buktikan bahwa tidak ada bilangan rasional x yang memenuhi

(10)

Himpunan bilangan realRmemenuhiSifat Lapangan yang terkait dengan operasi penjumlahan dan perkalian padanya, yakni: A1. x+y =y+x untuk setiap x,y_∈R.

A2. (x+y) +z =x+ (y+z) untuk setiap x,y,z _∈R.

A3. Terdapat 0_∈R sedemikian sehinggax+ 0 =x untuk setiap x_∈R.

(11)

Perlu diingat bahwa 0 tidak mempunyai unsur kebalikan, dan secara umum pembagian dengan 0 tidak didefinisikan. Sehubungan dengan itu tidak benar bahwa

1 0 =∞.

(12)

Teorema 1 (Hukum Pencoretan)

Misalkan x,y , dan z adalah bilangan real sembarang.

(a)Jika x+z =y+z, maka x =y .

(13)

Bukti. (a) Misalkanx+z =y+z. Tambahkan kedua ruas dengan −z, sehingga kita dapatkan

(x+z) + (₋z) = (y+z) + (₋z).

Dengan menggunakan sifat asosiatif dan sifat unsur lawan, kita peroleh

x+ 0 =y+ 0,

dan berdasarkan sifat unsur identitas pada penjumlahan, kita sampai pada kesimpulan bahwax=y.

(14)

Soal Latihan

1 Buktikan Teorema 1 bagian (b).

2 Diketahui bilangan real_a sembarang. Buktikan bahwa 1 a.0 = 0.

2 (−1)a=−a. 3 −(−a) =a. 4 (−1)(−1) = 1.

3 Diketahui bilangan reala danb. Buktikan jika ab= 0, maka

(15)

Selain memenuhi Sifat Lapangan, sistem bilangan realRdengan operasi penjumlahan dan perkalian juga memenuhiSifat Urutan, yakni terdapat himpunan bagianP _⊆R yang bersifat:

B1. Jikax,y _∈P, maka x+y _∈P. B2. Jikax,y _∈P, maka xy _∈P. B3. Jikax _∈P, maka ₋x _∈/P.

B4. Jikax _∈R, maka: ataux _∈P, atau x= 0, atau₋x _∈P.

(16)

Selanjutnya kita tuliskanx<y (y>x) apabilay₋x_∈P; dan x_≤y (y_≥x) apabilax <y ataux =y.

Notasix<y (y >x) dibaca ‘x lebih kecil daripaday’ (‘y lebih besar daripadax’). Sementara itu,x _≤y (y _≥x) dibaca ‘x lebih kecil daripada atau sama dengany’ (‘y lebih besar daripada atau sama denganx’.

Catat bahwax>0 berartix _∈P, yakni x merupakan bilangan positif.

Diberikan tiga bilangan reala,b, dan c, notasia<b <c berarti a<b danb <c. Sebagai contoh, kita mempunyai 0< 1

(17)

Perhatikan bahwa, menurut sifat B4, untuk sembarang bilangan realadanb, terdapat tiga kemungkinan dan hanya satu di antara tiga kemungkinan tersebut yang benar — yaitu:

ataua>b, ataua=b, ataua<b.

(18)

Teorema 2

.

(i)Jika a>b dan b>c, maka a>c.

(ii)Jika a>b dan c _∈R, maka a+c >b+c.

(iii)Jika a>b dan c>0, maka ac >bc; Jika a>b dan c <0, maka ac<bc.

(19)

Contoh 3

(20)

Contoh 4

Misalkan diketahuia<b+ǫuntuk setiap ǫ >0. Maka dapat disimpulkan bahwaa_≤b. (Andaikana>b. Maka, untuk

(21)

Soal Latihan

(22)

Untukn_∈N, kita tuliskan xn=x x_{· · ·}x (n kali).

Asumsi berikutnya tentang sistem bilangan real (yang akan dibahas pada Bab 1) menjamin eksistensi akar ke-n. Persisnya, diberikan y_≥0, terdapat sebuah bilanganx _≥0 (tunggal) sedemikian sehingga

(23)

Untuky _≥0, nilai x_≥0 yang memenuhi persamaany =xn disebut sebagaiakar ke-ndari y dan dilambangkan dengan

x=y1/n.

(24)

Jikar = mn adalah suatu bilangan rasional positif dany≥0, kita definisikan

yr := (y1/n)m.

Jikar adalah suatu bilangan rasional negatif, maka₋r merupakan bilangan rasional positif dan karenanyay−r

terdefinisi. Khususnya, jikay >0, maka kita dapat mendefinisikanyr

sebagai

yr := 1 y−r.

(25)

Seperti telah disinggung di atas, untuky >0, persamaan x2 ₌_y mempunyai dua buah solusi, yaitux =_±√y. Persamaanx2 ₌_y _di sini merupakan suatupersamaan kuadrat. Bentuk umum

persamaan kuadrat (dalamx) adalah

ax2+bx+c = 0,

(26)

(27)

(28)

Soal Latihan

1 Misalkan koefisien_a,_b dan_c pada persamaan kuadrat

ax2+bx+c = 0 merupakan bilangan rasional (dengan, tentu saja, a₆= 0). Buktikan jikaα =r+s√2 merupakan akar

(29)

(30)

Teorema 5

Untuk setiap bilangan real x berlaku

(31)

Teorema 6

Untuk setiap bilangan real a dan b berlaku

(32)

Teorema 7 (Ketaksamaan Segitiga)

Untuk setiap a,b _∈R berlaku

(33)

Bukti. Perhatikan bahwa untuk setiapa,b_∈Rberlaku

|a+b_|2 = (a+b)2

=_|a_|2+ 2ab+_|b_|2

≤ |a_|2+ 2_|a_{| · |}b_|+_|b_|2 = (_|a_|+_|b_|)2.

Karena itu (lihat Soal Latihan 0.3 No. 4), kita peroleh

|a+b_{| ≤ |}a_|+_|b_|,

(34)

Soal Latihan

1 Buktikan Teorema 5. 2 Buktikan Teorema 6.

3 Buktikan bahwa |a|<b jika dan hanya jika −b <a<b. 4 Buktikan bahwa untuk setiapa,b∈Rberlaku