w w w . a p l u s - m e . c o m Page 1 TORSI
Untuk membuat suatu benda diam menjadi bergerak translasi (lurus), maka dibutuhkan gaya yang bekerja pada benda itu. Analog dengan itu, untuk membuat suatu benda tegar berotasi (berputar) terhadap poros tertentu, maka diperlukan torsi yang bekerja pada benda itu.
Torsi atau momen gaya () adalah ukuran keefektifan sebuah gaya yang bekerja pada suatu
benda untuk
memutar benda tersebut terhadap suatu titik poros tertentu.
Lengan torsi (l)dari sebuah gaya didefinisikan sebagai panjang garis yang ditarik dari titik poros rotasi sampai memotong tegak lurus garis kerja gaya.
F l =
Perjanjian tanda : Jika gaya F membuat benda berotasi searah jarum jam, maka arah rotasi negatif dan sebaliknya.
Contoh :
1. Pada sebuah buku ABCD, dikerjakan gaya-gaya seperti pada gambar di bawah ini.
A B C D O F 2 F1 F3 F4 F5 F6 a Besar F1= =F2 10 N, F3= =F4 15 N, F5= =F6 20 N, 53
a= , AB = 20 meter, BC = 10 meter. Tentukan besar torsi dan kemana buku berputar, bila poros buku adalah :
a) titik O b) titik B
2. Persegi pada gambar di bawah ini diberi posos melalui pusatnya dan gaya-gaya seperti ditunjukkan bekerja sepanjang sisi-sisi dan diagonalnya.
Panjang sebuah sisi dari persegi adalah 2 meter. Tentukan momen total terhadap poros.
INERSIA DAN DINAMIKA ROTASI
Ketika lebih dari satu torsi bekerja pada sebuah benda, percepatan a ternyata berbanding lurus dengan torsi total.
Seperti dikatakan di atas bahwa percepatan sudut a dari benda yang berotasi sebanding dengan torsi total yang diberikan padanya :
a
Hal ini berhubungan dengan hukum Newton kedua untuk gerak translasi, percepatan sudut a menggantikan percepatan linear a. Pada kasus linear, percepatan tidak hanya berbanding lurus dengan gaya total, tetapi juga berbanding terbalik dengan inersia benda, yang kita sebut massa, m. Dengan demikian kita dapat menuliskan a F
m
=
. Tetapi apa yang memerankan massa pada kasus rotasi? Itulah yang akan kita tentukan sekarang. Pada saat yang sama, kita akan melihat bahwa hubungan a
langsung mengikuti hukum Newton kedua,
F m a= Pertama, kita anggap sebuah partikel bermassa m berotasi membentuk lingkaran dengan radius r diujung sebuah tali atau tongkat yang massanya dapat diabaikan, dan kita anggap satu gaya F yang bekerja padanya seperti
pada gambar. Torsi yang mengakibatkan percepatan sudut adalah
= F r. Jika kita gunakan hukum Newton kedua untuk besaran linear,
F m a= , dan percepatan linear tangensial, atan= , kita r a dapatkanF m a m r a = =
Jika kita kalikan kedua ruas dengan r, kita dapatkan bahwa torsi = r F dinyatakan dengan
2 2 r F m r m r a a = = PINTU F a l F m 1 N 1 N 1 N 2 N 2 N 3 N
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 2 Akhirnya, disini kita dapatkan hubungan langsung
antara percepatan sudut dan torsi yang diberikan. Kuantitas mr2 menyatakan inersia rotasi partikel dan disebut momen inersia (I).
Jadi persamaan tersebut dapat kita tuliskan sebagai I
= a
Rumus tersebut adalah hukum II Newton untuk benda yang bergerak rotasi, yang analog dengan F = m a.
Dalam gerak rotasi, torsi berperan seperti gaya pada gerak translasi.
Misalkan ada sebuah benda tegar tersusun oleh banyak partikel terpisah yang massanya masing-masing m1, m2, m3, ... , maka momen inersia benda tersebut adalah
2 2 2
1 1 2 2 3 3 I m r= +m r +m r +
Momen inersia berbagai benda yang umum diberikan pada tabel di bawah ini :
BENDA LOKASI
SUMBU GAMBAR MOMEN INERSIA
Silinder tipis dengan radius R Melalui diameter pusat 2 mR Silinder padat dengan radius R Melalui pusat 2 1 2mR Silinder berongga dengan radius dalam R1 dan radius
luar R2 Melalui pusat 2 2 1 1 2 2m R( +R )
Bola serba sama dengan radius R Melalui pusat 2 2 5mR
Batang serba sama dengan panjang L Melalui pusat 2 1 12mL
Batang serba sama dengan panjang L Melalui ujung 2 1 3mL Lempengan persegi panjang tipis dengan panjang b dan lebar a Melalui pusat 2 2 1 12m(a +b ) Lempengan persegi panjang tipis dengan panjang b dan lebar a Melalui tepi 1 3m a
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 3
Contoh :
1. Sebuah batang bermassa 1,5 kg dan panjangnya 1 m diujungnya diikatkan suatu partikel bermassa 0.5 kg seperti pada gambar.
sumbu putar
1
Bila batang diputar melalui sebuah sumbu tegak lurus batang pada ujung lain, maka momen inersia susunan ini ... kg m2.
2. Ruji-ruji pada gambar di bawah ini memiliki panjang (jari-jari) 0,5 m dan massanya dapat diabaikan terhadap massa partikel 3,0 kg yang terpasang di ujung tiap ruji.
Tentukan momen inersia sistem terhadap AA’. 3. Dua buah benda masing-masing
bermassa m1 = 7 kg dan m2 = 2 kg
dihubungkan dengan katrol pejal bermassa = 2 kg seperti tampak pada gambar. Tentukan besar percepatan masing-masing benda dan besarnya tegangan tali. 4. Perhatikan gambar di bawah!
1 2
Diketahui r1 = 2 m ; r2 = 1 m; m1 = 4 kg dan m2 = 5 kg. Momen inersia katrol 4 kg.m2. Tentukan percepatan sudut dari sistem katrol tersebu. ENERGI KINETIK ROTASI
Jika benda bermassa m bergerak traslasi dengan kecepatan v memiliki energi kinetik 1 2
2mv Jika benda tersebut bergerak rotasi, maka benda tersebut memiliki energi kinetik yang disebut energi kinetik rotasi. 2 1 2 I rotasi Ek =
Untuk benda yang bertranslasi dan berotasi, misalnya gerak bola yang menggelinding, maka besar energi kinetiknya : 2 2 1 1 2 2 I translasi rotasi Ek Ek Ek m v = + = +
Untuk menggelinding ke bawah pada sebuah bidang miring licin, maka persamaan kecepatan dan percepatan bola pejal adalah
a h 0 0 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 0 0 2 2I 0 2 2I EP EK EP EK mgh mv mv + = + + + = + + subsitusikan 2 2 5
I= mr dan v=r, maka didapat 2
0 10
7
v= v + gh
Jika kita subsitusikan persamaan kecepatan tadi ke persamaan vt2=v02+2aS, maka didapat percepatan
5 sin 7
a= g a
Berikut ini diberikan persamaan kecepatan dan percepatan untuk beberapa benda :
Silinder Pejal Bola Berongga
a 2 sin 3 a= g a 3 sin 5 a= g a v 02 4 3 v= v + gh 02 6 5 v= v + gh
Rumus dalam tabel di atas dapat dipersingkat menjadi Kecepatan 2 0 2 1 gh v v k = + + ; Percepatan sin 1 g a k a = + , dimana
k konstanta pada rumus inersia benda Contoh :
1. Sebuah bola pejal (m = 10 kg) menggelinding tanpa slip dengan kecepatan konstan 10 m/s. Tentukan energi kinetik bola pejal tersebut. 2. Sebuah silinder pejal menggelinding dari keadaan
diam menuruni suatu bidang miring yang 450 450 A A’ 3,0 kg m m 2 T2 T1
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 4 tingginya 15 m. Kelajuan linier silinder ketika tiba
di kaki bidang adalah …. m/s. (percepatan gravitasi = 9,8 m/s2)
3. Dua bola diluncurkan tanpa kecepatan awal dari puncak bidang miring yang ketinggiannya sama dan sudut kemiringannya sama. Bidang miring dimana bola A meluncur licin sempurna dan bidang miring dimana bola B meluncur merupakan bidang kasar. Massa bola A lebih besar dari massa bola B. Apakah bola A dan bola B sampai di dasar bidang miring bersamaan? Jika tidak, tentukan bola mana yang sampai terlebih dahulu di dasar. Jelaskan jawaban Anda melalui perhitungan! HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT
Pada bab sebelumnya, kita telah mempelajari momentum linear, yaitu p m v= . Pada gerak rotasi, yang analog dengan momentum linear adalah momentum sudut. Misalkan L adalah momentum sudut, maka
I L=
, dimana I adalah momen inersia yang analog dengan massa, adalah kecepatan sudut yang analog dengan kecepatan linear.
Sama halnya dengan momentum linear, momentum sudut juga merupakan suatu besaran vektor. Untuk menentukan arah momentum sudut L digunakan aturan tangan kanan, yaitu : putar keempat jari yang dirapatkan sesuai dengan arah gerak rotasi, maka arah ibu jari menyatakan arah momentum sudut. Hukum kekekalan momentum linear menyatakan : jika pada suatu sistem tidak bekerja resultan gaya luar (
0 F =
), maka momentum linear sistem adalah kekal. Dalam gerak rotasi pun berlaku hukum kekekalan momentum, yang disebut hukum kekekalan momentum sudut.Bunyi hukum kekekalan momentum sudut : jika tidak ada resultan momen gaya luar yang bekerja pada sistem ( = 0), maka momentum sudut sistem adalah kekal.
momentum sudut awal = momentum sudut akhir L1 + L2 = L1’ + L2’
1 I1 + 2 I2 = 1’ I1 + 2’ I2
Sebagai contoh pada penari balet yang memutar badannya. Saat kedua lengannya terentang, momen inersianya besar tetapi kecepatan sudutnya kecil dan saat kedua lengannya dilipat ke badan, maka
kecepatan sudutnya besar tetapi momen inersianya kecil.
Contoh :
1. Sebuah bola pejal bermassa 0,25 kg dan jari-jari 10 cm, diputar pada sumbunya yang melalui pusat bola dengan kecepatan sudut 1200 rpm. Maka besarnya momentum sudut bola tersebut adalah…. kg m2/s.
2. Seorang penari balet memiliki momen inersia 6 kg m2 ketika kedua tangannya terlentang,dan 2 kg m2 ketika kedua lengan dirapatkan ketubuhnya. Jika badan penari sebagai sumbu putar, dan penari mulai berputar pada kecepatan 3 putaran/s ketika kedua lengannya terentang, maka tentukan kecepatan sudut ketika kedua lengannya merapat ketubuhnya.
TITIK BERAT
Setiap partikel dalam suatu benda tegar memiliki berat. Berat keseluruhan benda adalah resultan dari semua gaya gravitasi berarah vertikal ke bawah dari semua partikel ini, dan resultan ini bekerja melalui suatu titik tunggal, yang disebut titik berat.
W
Gaya gravitasi partikel-partikel terkonsentrasi pada titik berat, maka resultan torsi dari gaya gravitasi partikel-partikel pada titik beratnya haruslah nol. Oleh karena itu, jika suatu benda ditumpu pada titik beratnya, maka benda itu akan setimbang atau diam.
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 5 Letak titik berat / pusat massa dari secara umum ditentukan dengan
Bentuk Benda Letak Titik Berat (sb. x) Letak Titik Berat (sb. y) Berbentuk Garis = i i i L L x x = i i i L L y y
Berbentuk Bidang (luas) =
i i i A A x x = i i i A A y y Berbentuk Ruang (volume) = i i i V V x x = i i i V V y y
Berikut ini diberikan letak titik berat dari berbagai benda.
NO NAMA BENDA GAMBAR LETAK TITIK BERAT LUAS/VOLUME
1 Garis Lurus A L B 1
2L −
2 Busur
Lingkaran A B
Jari-jari tali busur AB
busur AB − 3 Busur setengah Lingkaran A B 2R − 4 Kulit Silinder (tanpa tutup) 1 2t 2 R t 5 Kulit Kerucut 1 3t R s 6 Kulit setengah Bola 1 2R 2 2
R 7 Segitiga 1 3t 1 2at 8 Bujur sangkar 1 2t 2 s 9 Persegi panjang 1 2t p l 10 Juring Lingkaran 2 tali busur AB 3 busur AB 2 360a R 11 Setengah Lingkaran 4 3 R 2 1 2R 12 Prisma Pejal Teratur 1 2t LAt 13 Silinder Pejal 1 2t 2 R t
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 6 14 Limas Pejal Teratur 1 4t 1 3 LA t 15 Kerucut Pejal 1 4t 2 2 3R t 16 Setengah Bola Pejal 3 8R 3 2 3R Contoh : 1. Perhatikan gambar di samping!
Koordinat titik berat benda (2, 3). Nilai x2 = ….
2. Diketahui silinder pejal tingginya 2R dan diameternya 2R. Terdapat rongga pada alasnya berupa setengah bola. Potongan rongga alas tersebut diletakkan di atas silinder tersebut dan tepat di tengah-tengahnya. Titik berat bangun tersebut diukur dari lantai adalah ... R.
KESETIMBANGAN BENDA TEGAR
Suatu benda tegar disebut setimbang statis jika benda tegar ini tidak bergerak translasi dan juga tidak bergerak rotasi. Jadi syarat pertama untuk kesetimbangan adalah jumlah semua gaya adalah nol. Syarat kedua kesetimbangan adalah jumlah semua torsi adalah nol.
0 F =
dan
=0 Jenis-jenis keseimbangan benda tegar : 1. Keseimbangan Stabil / MantapKeseimbangan stabil ditandai dengan saat gaya-gaya yang bekerja pada benda ditiadakan, maka benda akan kembali ke keadaan semula.
Ciri-ciri keseimbangan ini ditandai dengan berubahnya letak titik berat dan energi potensial benda pada saat gaya-gaya yang bekerja pada benda.
2. Keseimbangan Labil / Goyah
Keseimbangan labil ditandai dengan saat gaya-gaya yang bekerja pada benda ditiadakan, maka benda tidak kembali ke keadaan semula.
Ciri-ciri keseimbangan ini ditandai dengan berubahnya letak titik berat benda dan energi potensial benda walaupun gaya-gaya yang bekerja telah ditiadakan. 3. Keseimbangan Netral
Keseimbangan netral ditandai dengan tidak kembalinya benda ke posisi awal walaupun gaya-gaya yang bekerja ditiadakan.
Ciri-ciri keseimbangan ini ditandai dengan tidak berubahnya letak titik berat dan energi potensial benda walaupun gaya-gaya yang bekerja telah ditiadakan.
Contoh :
1. Bila massa batang AB diabaikan maka besar dan titik tangkap gaya resultannya adalah …. N dan letaknya ……. 20 N 10 N 40 N A B 0,4 m 1 m 2 2 8 x2
w w w . a p l u s - m e . c o m Page 7 2. Pada sistem keseimbangan
benda tegar seperti gambar, AB batang homogen panjang 80 cm, beratnya 18 N, berat beban = 30 N, BC adalah tali. Jika jarak AC = 60 cm, tegangan tali adalah …. N. 3. Sebuah tangga dengan panjang 5 meter dan
massanya 12 kg bersandar pada sebuah dinding. Tangga membentuk sudut 37 terhadap dinding. Dinding adalah licin, tetapi lantai kasar dengan koefisien gesekan 0,3. Berapa jauh dari kaki tangga, seorang anak bermassa 60 kg dapat meniti tangga tanpa tergelincir?
4. Sebuah batang homogen yang beratnya 500 N menopang suatu beban seperti gambar di bawah ini. Jika tegangan tali horisontal hanya mampu menahan 3000 N dan
= 37 maka beban
maksimum yang dapat ditopang oleh batang adalah …. N.0,625 L 0,375 L
A
B C
