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Divulgaciones Matem´aticas Vol. 11 No. 2(2003), pp. 149–152

Sobre la Divisibilidad de Polinomios

con Coeficientes Enteros

On the Divisibility of Polynomials

with Integer Coefficients

Jos´e H. Nieto (

jhnieto@luz.ve

)

Departamento de Matem´atica, Facultad de Ciencias Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela

Resumen

Sean f, g ∈ Z[x]. En este trabajo se prueba que g | f si y s´olo si

c(g) | c(f) (dondec(f) denota elcontenido _de _f_{, es decir el m´}_aximo

común divisor de sus coeficientes) y g(n) |f(n) para infinitosn ∈Z. Como aplicación se prueba que los polinomios mónicos irreducibles y no constantesf ∈Z[x] tales quef(n) divide af(nk_{) para todo entero}

n (siendok ≥2 un entero fijo) son los polinomios ciclot´omicos Φj de ordenjcoprimo conk.

Palabras y frases clave:polinomios, divisibilidad, ciclot´omico.

Abstract

Let f, g ∈ Z[x]. In this paper it is proved that g | f if and only if c(g) | c(f) (where c(f) denotes the content _of _f_{, i.e. the greatest}

common divisor of its coefficients) andg(n)|f(n) for infinitely many

n∈ Z. As an application it is proved that the monic irreducible non constant polynomials f ∈ Z[x] such that f(n) divides P(nk_{) for all} integersn(k≥2 being a fixed integer) are the cyclotomic polynomials Φjwith orderjcoprime withk.

Key words and phrases: polynomials, divisibility, cyclotomic.

1 Introducci´

on

Denotemos con Z[x] al anillo de los polinomios con coeficientes enteros en una indeterminada x, y conQ[x] al anillo de los polinomios con coeficientes

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racionales. Sif, g∈Z[x] se dice quegdivide af enZ[x] (y se denotag|f) si existeh∈Z[x] tal quef =gh. Sig|f entonces es claro queg(n)|f(n) para todo enteron. El propósito de esta nota es establecer algún tipo de rec´ıproco para esta propiedad, en otras palabras deducir la relación de divisibilidad entre dos polinomios a partir de la divisibilidad entre los valores adoptados por ellos. El teorema de identidad de polinomios establece que si dos polinomios toman valores iguales al ser evaluados en un número de valores superior al grado de ambos, entonces son idénticos. Estamos interesados en un resultado similar pero sustituyendo la relación de igualdad por la de divisibilidad. Los siguientes ejemplos muestran las dificultades inherentes a este problema.

Ejemplo 1. Sea N un entero positivo y consideremos los polinomios f(x) =

x+N! yg(x) =x. Entoncesg(n)|f(n) paran= 1,2, . . . , N perog∤f. Este ejemplo muestra que ning´un n´umero finito de valores es suficiente para deducir la divisibilidad de polinomios a partir de los valores adoptados por ellos.

Ejemplo 2. Seanf(x) =x2₊_x_y_g₍_x_{) = 2. Entonces} _g₍_n₎_|_f₍_n_{) para todo}

n∈Zperog∤f enZ[x].

¡Este ejemplo muestra que ni siquiera la totalidad de los valores es sufi-ciente! Pero es claro que esta situaci´on es consecuencia de que los coeficientes de g admiten un divisor com´un (en este caso el 2) que no divide a todos los coeficientes def.

Definamos el contenido c(f) de un polinomio f ∈ Z[x] como el m´aximo com´un divisor de todos sus coeficientes. Si c(f) = 1 entonces se dice que el polinomio f es primitivo. Es claro que para cualquier polinomio f ∈ Z[x] existef1∈Z[x] tal que f1 es primitivo yf =c(f)f1.

A continuaci´on se enuncian un resultado cl´asico de Gauss y dos corolarios inmediatos:

Lema 1 (Gauss). Sif, g∈Z[x] son ambos primitivos entonces su producto

f g tambi´en es primitivo.

La demostraci´on puede verse en [3] o [1].

Corolario 1. Si f, g∈Z[x]entonces c(f g) =c(f)c(g).

Corolario 2. Si f, g∈Z[x]y g|f entonces c(g)|c(f).

2 El resultado principal

Teorema 1. Si f, g ∈Z[X], c(g) |c(f) y g(n)| f(n) para infinitos enteros

n, entonces g|f en Z[X].

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Demostraci´on. Dividamos f entreg enQ[x] para obtenerf(x) =g(x)q(x) +

r(x), conq, r∈Q[x] y el grado de r es menor que el deg. Sea mel m´ınimo común múltiplo de los denominadores de todos los coeficientes de q yr, de modo tal quemq, mr∈Z[x]. Sean1, n2, . . .una sucesión de enteros diferentes tales queg(ni)|f(ni) yg(ni)6= 0 para todoi= 1,2, . . .

Entoncesmf(ni)/g(ni)−mq(ni) =mr(ni)/g(ni) parai= 1,2, . . .y como el miembro izquierdo es entero el miembro derecho tambi´en debe serlo. Pero como l´ımi→∞|ni| = ∞ y el grado de r es menor que el de g se tiene que

l´ımi→∞mr(ni)/g(ni) = 0. Por lo tanto r(ni) = 0 a partir de un ciertoi0 en

adelante. Esto implica que r es id´enticamente nulo y por lo tantof =gq y

mf =g(mq). Aplicando ahora el Corolario 2 resulta quemc(f) =c(mf) =

c(g)c(mq), y como por hip´otesisc(g)|c(f) se sigue quem(c(f)/c(g)) =c(mq). Por lo tanto todos los coeficientes demq son m´ultiplos de my q∈Z[x], con lo cual g|f enZ[X].

3 Una aplicaci´

on

En [2] se plantea el problema siguiente: “Hallar todos los polinomios P con coeficientes enteros, irreducibles, mónicos y de grado 2000, tales que P(n) divide a P(n2_{) para todo entero} _n_{”. Es fácil hallar los polinomios de grado} 1 que satisfacen las demás condiciones del problema, a saber xy x−1. De grado 2 hay sólo uno, a saberx2₊_x_{+ 1. Pero tratar de hallar los de grado} 2000 por métodos directos no parece factible. Una generalización natural de este problema consiste en buscar polinomios de grado arbitrario, irreducibles y mónicos, tales que P(n) divida aP(nk_{) para todo entero}_n _(siendo_k_≥₂ un entero fijo).

Denotemos medianteΦn alpolinomio ciclot´omicode ordenn, es decir

Φn(x) = nY−1

d=1 (d,n)=1

(x−e2πidn ).

Es bien conocido (ver [3]) que Φn es un polinomio con coeficientes enteros, m´onico e irreducible. Sus ra´ıces son las ra´ıces primitivas de la unidad de orden

n, y su grado es por lo tanto igual a φ(n) (siendo φla funci´on de Euler). Se tiene entonces el siguiente resultado:

Teorema 2. Sea k ≥ 2 un entero. Los polinomios con coeficientes enteros, m´onicos e irreducibles tales queP(n)|P(nk₎_{para infinitos enteros}_n_{son 1,}_x

y los polinomios ciclot´omicosΦj paraj coprimo conk.

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Demostración. Obviamente el polinomio constante 1 y el polinomio x satis-facen las condiciones del problema, y los consideraremos como soluciones tri-viales. Si P es otro polinomio solución entonces por el Teorema 1 se tiene que P(xk_{) =} _P₍_x₎_Q₍_x_{), para alg´}_un _Q _∈ _Z_[_x_{]. Si} _ζ _{es una ra´ız (compleja)} de P entonces P(ζk_{) =} _P₍_ζ₎_Q₍_ζ_{) = 0, es decir que} _ζk _{también es ra´ız de}

P. Aplicando reiteradamente este razonamiento resulta que tambi´enζk2

,ζk3

,

ζk4

,. . . son ra´ıces de P. Pero como P s´olo puede tener un n´umero finito de ra´ıces, deben existir enteros r > s > 0 tales que ζkr ₌ _ζks_{, es decir que}

ζks₍_ζkr−ks₋_{1) = 0. Pero}_ζ₆_{= 0 (pues}_P _{no es una de las soluciones triviales),} por lo tantoζes una ra´ız de la unidad. Siζes primitiva de ordenj, entonces las demás ra´ıces primitivas de la unidad de orden j deben ser ra´ıces deP, es decir queP debe ser múltiplo deΦj, y comoP es irreducible en realidad se tiene queP =Φj. Ahora bien, para queζk sea también primitiva de ordenj,

k yj deben ser coprimos.

Referencias

[1] Herstein, I. N.Topics in Algebra, Blaisdell, Waltham, 1964. Hay traducci´on al castellano:Algebra Moderna´ , Trillas, M´exico, 1970.

[2] Caragea, D., Ene, V. Problem 10802, The American Mathematical Monthly,107(5) (2000), p. 462.

[3] Lang, S. Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1965.