Momentos no Centrados de la
Distribuci´
on Hipergeom´
etrica
Uncorrected Moments of the Hypergeometric Distribution
Juan Antonio Garc´
ıa Ramos
Departamento de Matem´aticas.
Escuela Universitaria de Estudios Empresariales. Universidad de C´adiz. Porvera 54.
11403 Jerez de la Frontera. C´adiz. Espa˜na.
Resumen
Se dedican las l´ıneas que siguen al estudio de los momentos no centrados de la gran desconocida entre las distribuciones de pro-babilidad elementales: la distribuci´on hipergeom´etrica. En De Ratiociniis in Ludo Aleae, Huygens propone cinco problemas de gran importancia en el desarrollo de la teor´ıa de la Probabilidad. De Moivre, en 1711, resuelve el cuarto utilizando lo que hoy co-nocemos como funci´on de probabilidad hipergeom´etrica, siendo ´esta la primera referencia hist´orica que sobre la citada distribu-ci´on aparece en la literatura probabil´ıstica (ver [2] y [6]). Los momentos han sido estudiados, principalmente, por Karl Pear-son [4] y V. Romanovsky [5], en sucesivos art´ıculos publicados entre 1899 y 1925. En este ´ultimo a˜no Pearson encuentra la rela-ci´on entre susk+ 1 primeros momentos centrados. Siguiendo la idea usada por Pearson, presentamos en este trabajo una expre-si´on similar para los momentos no centrados de la distribuci´on hipergeom´etrica.
Palabras y frases clave: distribuci´on hipergeom´etrica, funci´on generatriz de probabilidad, momentos no centrados (momentos respecto al origen), funci´on generatriz de momentos ordinarios.
Abstract
distributions: the hypergeometric distribution. InDe Ratiociniis in Ludo Aleae, Huygens proposes five problems of great impor-tance in the development of Probability Theory. De Moivre, in 1711, solves the fourth one by using what we know today as hy-pergeometric probability function, being this the first historical reference to this distribution in the probabilisty literature (see [2] and [6]). The moments have been studied mainly by Karl Pearson [4] and V. Romanovsky [5], in succesive papers published between 1899 and 1925. In this last year Pearson found the relation be-tween itsk+ 1 first corrected moments. Following the idea used by Pearson, we present a similar expresion for the uncorrected moments of the hypergeometric distribution.
Key words and phrases: hypergeometric distribution, proba-bility generating function, uncorrected moments (moments about zero), uncorrected moments generating function.
1
Introducci´
on
Aparece la distribuci´on hipergeom´etrica al considerar una poblaci´on de N elementos, dividida en dos clases exhaustivas formadas por A y B puntos muestrales, respectivamente. Considerados los elementos de la primera cla-se como “´exitos” y los de la cla-segunda como “fracasos”, cla-se define la variable aleatoria X como el n´umero de ´exitos o puntos de la primera clase obteni-dos al realizar n pruebas o extracciones sin reemplazamiento. La funci´on de probabilidad de la variableXes
hx=P(X=x) = A x
B n−x
A+B n
, para max{0, n−B} ≤x≤min{n, A}
Si llamamos N al tama˜no de la poblaci´on, es decirN = A+B, y p y q a las probabilidades de ´exito y fracaso iniciales, respectivamente p = A/N y q=B/N, podemos escribir
hx=P(X=x) = N p
x
N q n−x
N n
=
n x
N−n N p−x
N N p
para max{0, n−B} ≤x≤min{n, A}.
deXk. Lo denotaremos
µ′k(X) =µ′k =E(X k
) Se verifica que µ′
0 = 1 y µ′1=E(X) =µ. A E(etX), parat∈R, se le llama
funci´on generatriz de momentosde la variableX, y se representa porMX(t) cuando exista, es decir cuando sea finita.
Si MX(t) existe en un intervalo|t|< T, conT >0, se verifica queµ′ k es
el coeficiente detk/k! en el desarrollo de Taylor deM
X(t). MX(t) =E(etX) =
∞
X
k=0
µ′ k
tk
k!
Se conoce como serie hipergeom´etrica o serie hipergeom´etrica de Gauss a la siguiente:
2F1(a, b;c;x) =
∞
X
i=0
a(i)b(i)
c(i)
ci
i!
dondec6= 0,−1,−2, . . . y los m(i)son los s´ımbolos de Pochhammer:
m(i)=m(m+ 1). . .(m+i−1), mo= 1.
Si ao b son enteros negativos la serie tiene un n´umero finito de t´erminos no nulos.
Es absolutamente convergente para|x|<1 y divergente para|x|>1. Si |x|= 1 es:
a) absolutamente convergente sic−a−b >0,
b) condicionalmente convergente si−1< c−a−b≤0 yx=−1, c) divergente sic−a−b≤ −1.
2
Exposici´
on
La funci´on generatriz de probabilidad de la distribuci´on hipergeom´etrica es (ver [3]):
Gn(z) =
min{n,N p}
X
x=max{0,n−N q}
P(X=x)zx
siendom= max{0, n−N q}.
Consideremos la expresi´on deMX(t) (que en lo sucesivo denotaremos simple-mente como M(t)) para la distribuci´on hipergeom´etrica
M(t) = E(etX) =
min{n,N p}
X
x=max{0,n−N q}
P(X=x)etx
= hmetm2F1(−n+m,−N p+m;N q−n+ 1 + 2m;et),
siendom= max{0, n−N q}.
La serie2F1(a, b;c;x) es una soluci´on de la “ecuaci´on de Gauss” (ver [1]):
x(1−x)d
2 2F1(x)
dx2 + [c−(a+b+ 1)x]
d2F1(x)
dx −ab2F1(x) = 0 Si hacemos
x=et, d2F1(x)
dx = dF
dte
−t, d22F1(x)
dx2 =
d2F
dt2e
−2t−dF
dte
−2t
comoM(t) =hmetmF se tiene queF = (1/hm)e−tmM y adem´as
F′= e
−tm
hm
(M′−mM)
F′′= e−tm
hm
(M′′−2mM′+m2M).
Luego, sustituyendo en la ecuaci´on
et(1−et)[e−tm
hm
(M′′−2mM′+m2M e−2t−e−tm
hm
(M′−mM)e−2t]
+[N q−n+ 1 + 2m−(−n+m−N p+m+ 1)et]e
−tm
hm
(M′−mM)e−t
−(−n+m)(−N p+m)e
−tm
hm
M = 0. y simplificando convenientemente, se obtiene
+[N q−n+ 1 + 2m−(−n+ 2m−N p+ 1)et](M′−mM)−(n−m)(N p−m)etM = 0. Igualando ahora a cero el coeficiente detk resulta
k
y utilizando el operador desplazamiento E,Ep(µ′
s) =µ′s+p, tenemos
[(1 +E)k−Ek][µ′
resultado v´alido para k≤0.
La expresi´on (1) puede escribirse tambi´en en la forma
k
X
i=1
k i−1
[µ′i+1−(n+N p)µ′i+nN pµ′i−1] =N µ′k+1−nN pµ′k
y de aqu´ı, si convenimos que −k2
= −k1
= 0 para todok, podemos obtener el valor del (k+ 1)-´esimo momento en funci´on de losk+ 1 precedentes:
µ′k+1=
Pk
i=0µ′i[ k i−2
−(n+N p) i−k1
+nN p ki
]
N−k (3)
v´alido parak≥0.
Para finalizar, si aplicamos los resultados (1), (2) o (3) para los primeros valores de kse obtiene:
µ′0 = 1
µ′
1 = np
µ′
2 =
np(nN p−n−N p+N) N−1
µ′3 =
np(2n2+N2+3nN p+3nN2p+n2N2p2+2N2p2−3n2N p−3nN2p2−3nN−3N2p)
(N−1)(N−2)
Referencias
[1] Bronson, Richard, Ecuaciones Diferenciales Modernas, Mc-Graw-Hill, Mexico, 1985.
[2] Hald, A. A History of Probability and Statistics and their Applications before 1750, John Wiley&Sons, New York, 1990.
[3] Ollero Hinojosa, J., Ramos Romero, H. M. La Distribuci´on Hiper-geom´etrica como Binomial de Poisson, Trabajos de Estad´ıstica vol. 6 No. 1 (1991), C.S.I.I., Sociedad de Estad´istica e Investigaci´on Operativa, 35–43.
[4] Pearson, K.,On the Moments of the Hypergeometrical Series, Biometri-ka,16(1924), 157–162.
[5] Romanovsky, V.,On the Moments of the Hypergeometrical Series, Bio-metrika,17 (1925), 57–60.
