Extremos en Sucesiones
Extrema in Sequences
Jos´
e Heber Nieto
Departamento de Matem´atica y Computaci´on Facultad Experimental de Ciencias Universidad del Zulia. Apartado Postal 526
Maracaibo 4001. Venezuela (jhnieto@luz.ve)
Resumen
En este trabajo se calcula el n´umero de permutaciones de un conjunto linealmente ordenado finito, que presentan m´aximos de izquierda a derecha en posiciones determinadas. Se relacionan estos n´umeros con los n´umeros de Stirling de primera clase y se exhibe una aplicaci´on al an´alisis de algoritmos.
Palabras y frases clave: Permutaciones, m´aximos, n´umeros de Stirling.
Abstract
In this paper we compute the number of permutations of a fi-nite linearly ordered set which have left to right maxima at deter-mined positions. These numbers are related to Stirling numbers of the first kind and an application to the analysis of algorithms is exhibited.
Key words and phrases: Permutations, maxima, Stirling num-bers.
1
Introducci´
on
Sea A un conjunto linealmente ordenado (c.l.o. en lo sucesivo) y a0, a1, . . .
una sucesi´on (finita o infinita) de elementos de A. Diremos que ai es un
maxi en la posici´on i, si ai es mayor que cualquier elemento precedente (en
otras palabras si 0 ≤j < i ⇒aj < ai). Observemos que a0 es siempre un
maxi. An´alogamente se definen los m´ınimos de izquierda a derecha o minis. Este tipo de extremos aparece naturalmente en conexi´on con varios al-goritmos b´asicos, de los cuales el m´as sencillo es el siguiente, que halla el m´aximo elemento almacenado en un arregloa[0],...,a[n-1] de elementos de un c.l.o.:
Algoritmo 1
m:=a[0];
para i:=1 hasta n-1 haga si m<a[i] entonces m:=a[i];
Es claro que los valores que se asignan sucesivamente a la variablemson precisamente los maxis de la sucesi´on a[0],...,a[n-1], y el ´ultimo de ellos, que es el m´aximo elemento del arreglo, es el valor final dem.
2
Notaci´
on
Denotaremos Nn al conjunto de enteros no negativos menores quen, es decir Nn = {0,1, . . . , n−1} = {i ∈ Z : 0 ≤ i < n}. Si A es un c.l.o. con n
elementos yM ⊂Nn, llamaremosg(M, n) al n´umero de permutaciones deA
que presentan maxis exactamente en las posiciones se˜naladas porM (es claro queg(M, n) s´olo depende deM yny no de A, ya que todos los c.l.o.’s den
elementos son isomorfos).
Al n´umero de permutaciones deAque presentan exactamentekmaxis lo designaremosnk
. Obviamente
n
k
= X
M⊂Nn
|M|=k
g(M, n)
Al producto de todos los elementos de un conjunto finito de enterosM lo denotaremos Q
M. Por convenci´onQ∅
= 1 yQ
{k}=k.
3
Resultados b´
asicos
En esta secci´on nos proponemos calcular los n´umerosg(M, n) yn k
Lema 1. Sin∈M ⊂Nn+1 entonces g(M, n+ 1) =g(M\ {n}, n).
Demostraci´on. seaAun c.l.o. conn+ 1 elementos y seamel mayor de ellos. Es claro que una permutaci´ona0, . . . , andeApresenta un maxi en la posici´on
nsi y s´olo sian=m. por lo tanto el n´umero de estas permutaciones con maxis
enM es igual al de las permutaciones deA\ {m}con maxis enM \ {n}. Lema 2. SiM ⊂Nn entoncesg(M, n+ 1) =n·g(M, n).
Demostraci´on. Sea A un c.l.o. con n+ 1 elementos y m el mayor de ellos. Las permutaciones deAcon maxis enM pueden obtenerse as´ı: escojamos un elemento cualquiera xen A\ {m}. Tomemos una permutaci´ona0, . . . , an−1
de A\ {x} con maxis enM y agregu´emosle al finalan =x. As´ı resulta una
permutaci´on deAcon maxis enM y obviamente todas pueden obtenerse as´ı. Comoxpuede escogerse denmaneras y para cada una de ellas la permutaci´on de los elementos restantes puede seleccionarse deg(M, n) modos, la aplicaci´on del principio del producto concluye la demostraci´on.
Teorema 1. g(M, n) =Q
(Nn\M).
Demostraci´on. Procederemos por inducci´on en n. Para n = 1 el resultado es inmediato pues g({0},1) = 1 =Q∅yg(∅,1) = 0 =Q{0}. Supongamos
el teorema cierto para n: sea Aun c.l.o. con n+ 1 elementos y M ⊂Nn+1.
Distinguiremos dos casos:
a) n∈M. En este caso g(M, n+ 1) =g(M \ {n}, n) por el Lema 1, y por la hip´otesis inductiva esto es Q(N
n\(M \ {n})) =Q(Nn+1\M).
b) n6∈M. En este caso por el Lema 2 se tiene g(M, n+ 1) =n·g(M, n) y por la hip´otesis inductiva g(M, n) =Q
(Nn\M). Por lo tantog(M, n+ 1) =
n·Q
(Nn\M) =Q
(Nn+1\M).
Ejemplo
Paran= 4 yA={1,2,3,4}se tiene lo siguiente:
ConjuntoM Permutaciones deA con maxis enM g(M,4) {0} 4123 4132 4213 4231 4312 4321 6 = 1·2·3 {0,1} 1423 1432 2413 2431 3412 3421 6 = 2·3
{0,2} 2143 3142 3241 3 = 1·3
{0,3} 3124 3214 2 = 1·2
{0,1,2} 1243 1342 2341 3 =Q
{3} {0,1,3} 1324 2314 2 =Q
{2}
{0,2,3} 2134 1 =Q
Teorema 2. n k
es igual a la suma de todos los productos de n−kfactores enteros distintos comprendidos entre 1 yn−1. Equivalentemente:
x(x+ 1)· · ·(x+n−1) =
Demostraci´on. Como nk
=P
{g(M, n) :M ⊂Nn, |M| = k} este teorema
es consecuencia inmediata del anterior, ya que cada g(M, n) no nulo es el producto de losn−kenteros enNn\M, los cuales est´an comprendidos entre
1 y n−1, y al variarM se obtienen todos estos productos.
Estos mismos productos aparecen como coeficientes de las potencias dex
al desarrollar el productox(x+ 1)· · ·(x+n−1).
La identidad planteada en el teorema anterior se toma generalmente como
definici´on de los n´umerosnk
, los cuales son conocidos en la literatura como “n´umeros de Stirling de primera clase” (ver [1]).
4
Aplicaci´
on
De manera similar se puede calcular la varianza deX,
Var(X) =G′(1) +G′′(1)−G′(1)2=Hn−Hn(2) =γ−
π2
6 + lnn+o(n) siendoHn(2)=Pnk=11/k2. Para m´as detalles ver [1] o [2].
Referencias
[1] Knuth, D.E.Algoritmos Fundamentales, Revert´e, Barcelona, 1980. [2] Nieto, J.H. Teor´ıa Combinatoria (Notas de Matem´atica y Computaci´on
