Metode Numerik. Integrasi Numerik. Umi Sa adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012 PENS-ITS

PENS-ITS 1

Integrasi Numerik

Umi Sa’adah Politeknik Elektronika Negeri Surabaya 2012

2

Topik

• Integral Reimann

• Trapezoida

• Simpson 1/3

• Simpson 3/8

• Kuadratur Gauss 2 titik

• Kuadratur Gauss 3 titik

PENS-ITS 3

INTEGRASI NUMERIK

• Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative)

• Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari

pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik.

4

INTEGRASI NUMERIK

• Fungsi yang dapat dihitung integralnya :

• Fungsi yang rumit misal :

dx e x x _0.5x 2 0 2 3 sin 5 . 0 1 ) 1 cos( 2



 _  C x x x dx x C x dx x C b ax a dx b ax C b ax a dx b ax C a e dx e C n ax dx ax ax ax n n                   













 | | ln | | ln | | ln 1 ) sin( 1 ) cos( ) cos( 1 ) sin( 1 1

PENS-ITS 5

INTEGRASI NUMERIK

• Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak

keperluan.

• digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x.

• Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putar

6

Dasar Pengintegralan Numerik

 Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi

) ( ... ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 0 0 0 n n i n i i b a x f c x f c x f c x f c dx x f     





 x₀ x₁ x_n-1 x_n x f(x)

PENS-ITS 7 0 2 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 13 15

• Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral – penjumlahan bagian-bagian.

• Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak.

8

Formula Newton-Cotes

- Berdasarkan pada

dx

x

f

dx

x

f

I

b a n b a









(

)

(

)

 Nilai hampiran f(x) dengan polinomial

n n 1 n 1 n 1 0 n

x

a

a

x

a

x

a

x

f

(

)











_ 



PENS-ITS 9

 f

_n

(x) bisa fungsi linear

10

 f

_n

(x) bisa juga fungsi kubik atau

12

INTEGRASI NUMERIK

• Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan : • L =

_

b

 

a dx x f

PENS-ITS 13

Metode Integral Reimann

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35 x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35

14

Metode Integral Reimann

• Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x

• Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x

= [a,b]

• Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi

panjang dimana

Li





xi

.

f

(

xi

)

PENS-ITS 15

Metode Integral Reimann

• Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan :

• Dimana • Didapat

 

 

 

 

 

_i n i i n n x x f x x f x x f x x f x x f L L L L L                



0 3 2 2 1 1 0 0 2 1 0 ... ..

 

_

 







n i i b a

x

f

h

dx

x

f

0 h x x x x        _n   _{0 1 2} ...

16

Contoh

• Hitung luas yang dibatasi y = x2 _{dan sumbu x}

untuk range x = [0,1] 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 x**2



1 0 2 dx x

L =

PENS-ITS 17

Contoh

• Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel :

• Secara kalkulus : • Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 • = 0,052





 

0.1 3,85



0,385 00 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0 ) ( . 10 0              



 i i x f h L ... 3333 , 0 | 3 1 ₁ 0 3 1 0 2   

_

x dx x L

18

Algoritma Metode Integral Reimann

• Definisikan fungsi f(x)

• Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi

• Tentukan jumlah pembagi area N

• Hitung h=(b-a)/N

• Hitung







N i i

x

f

h

L

0

)

(

.

PENS-ITS 19

Metode Integrasi Trapezoida

• Aproksimasi garis lurus (linier)



( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( 1 0 1 1 0 0 i 1 0 i i b a x f x f 2 h x f c x f c x f c dx x f     





 x₀ x₁ x f(x) L(x)

20















( ) ( ) ( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n 1 n i 1 0 n 1 n 2 1 1 0 x x x x x x b a x f x f 2 x 2f x f 2 x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h x f x f 2 h dx x f dx x f dx x f dx x f n 1 n 2 1 1 0                    









_      x x x f(x) x h h h x h x n a b h  

PENS-ITS 21

Metode Integrasi Trapezoida

   







_{i i}



_i i i i i i x f f L atau x x f x f L         . 2 1 . 2 1 1 1



 



1 0  i i

L

L







_{n n}



n i i i f f f f f h f f h L        _    



0 1 2 1 1 0 1 2 2 ... 2 2 2 1         



  n n i i f f f h L 1 1 0 2 2

22

Trapezoida

• Definisikan y=f(x)

• Tentukan batas bawah (a) dan batas atas

integrasi (b)

• Tentukan jumlah pembagi n

• Hitung h=(b-a)/n

• Hitung





















  n n i i

f

f

f

h

L

1 1 0

2

2

PENS-ITS 23

• Aproksimasi dengan fungsi parabola



( ) 4 ( ) ( )



3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 0 2 2 1 1 0 0 2 0 x f x f x f h x f c x f c x f c x f c dx x f _i i i b a       





 x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x)

24

Aturan Komposisi Simpson

x₀ x₂ x f(x) x₄ h h h x_n-2 x_n n a b h  

…...

h x₃ x₁ x_n-1

PENS-ITS 25

Cara II

(Buku Rinaldi Munir)

• Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb

0 2 2 0 0 0 2 2 0 0 2 ! 2 ) ( ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( f h h x x f h x f x f h h x x x f h x x f x p            

26

PENS-ITS 27

Newton Gregory

28

Cara II

(Buku Rinaldi Munir hlm 285)

• Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 2 3 0 2 0 2 0 0 2 2 0 0 2 0 2 2 0 3 2 2 3 4 2 2 4 4 6 8 2 4 2 | 4 6 2 ! 2 ) ( ) ( f h f h hf L f h h f h hf L f h h h h f h h hf L f h x h x f h x x f L dx f h h x x f h x f L xdx p dx x f L h x x h h h             _                                   _{  }  _        

PENS-ITS 29

Cara II

(Buku Rinaldi Munir hlm 286)

• Mengingat • Maka selanjutnya 0 1 0 f f f    ) 4 ( 3 3 3 4 3 3 3 2 3 2 2 2 ) 2 ( 3 ) ( 2 2 3 2 2 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0 1 0 0 1 2 0 1 0 0 2 0 0 f f f h L f h f h f h L f h f h f h hf hf hf L f f f h f f h hf L f h f h hf L                        0 1 2 0 1 1 2 0 1 0 2 2 ) ( ) ( f f f f f f f f f f           

30

Kaidah Simpson 1/3 (total)

L_total =

• Disyaratkan jumlah pias (n) harus genap

) 2 4 ( 3 ) 4 ( 3 ... ) 4 ( 3 ) 4 ( 3 ) ( ... ) ( ) ( ) ( 2 6 , 4 , 2 1 5 , 3 , 1 0 1 2 4 3 2 2 1 0 2 0 4 2 n 2 n n i i n i i n n n x x x x xn b a f f f f h f f f h f f f h f f f h dx x f dx x f dx x f dx x f x                  













      

PENS-ITS 31

Simpson 1/3

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

• atau dapat dituliskan dengan:

• Disyaratkan jml pias (n) genap

f f f  h f f f  h f f f  hf_n f_n f_n h L ₀ ₁ ₂  ₂ ₃ ₄  ₄ ₅ ₆   _2 4 _1 3 ... 4 3 4 3 4 3               _n genap i i ganjil i i f f f f h L ₀ 4 2 3 N = 0 – n L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

32

Contoh

• Hitung integral



1 0 3

2 dx

x

L_total L_total = 0.1/3*( f(0) + 4*f(1) + 2*f(2) + …+ 4*f(9) + f(10)) = 0.1/3*(0+0.008+0.032+0.216+0.256+1+0.864 +2.744+2.048+5.832+2) = 0.0333333 * 15 = 0.5 Nilai eksak = | = 0.5 Nilai error = 0.5 - 0.5 = 0 4 2 1

_x

0 1

PENS-ITS 33

Aturan Simpson 3/8

 Aproksimasi dengan fungsi kubik



( ) ( ) ( ) ( )



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 2 1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 i 3 0 i i b a x f x f 3 x f 3 x f 8 h 3 x f c x f c x f c x f c x f c dx x f         





 x₀ x₁ x f(x) x₂ h h L(x) x₃ h

34

Simpson 3/ 8

• Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut:

• atau dapat dituliskan dengan:

f f f f  hf f f f  h hf_n f_n f_n f_n h L  ₀  ₁  ₂  ₃  ₃  ₄  ₅  ₆    _3 3 _2 3 _1  8 3 ... 8 3 3 3 8 3 3 3 8 3 N = 0 – n L = L1 + L2 + L3 + . . . + Ln

PENS-ITS 35

Latihan Soal

• Hitung Integral dengan menggunakan

– Integral Reimann – Integrasi Trapezoida

– Integrasi Simpson 1/3 dan 3/8

dx ex



1 _ 0 1

36

Metode Integrasi Gauss

• Metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson)

 berdasarkan titik-titik data diskrit. Dengan

batasan :

– h sama

– Luas dihitung dari a sampai b

• Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup

besar.

PENS-ITS 37

Metode Integrasi Gauss

• Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang [-1,1]

• Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss)

• Misal x₁=-1, x₂=1 dan c₁=c₂=h/2=1  menjadi metode trapezoida

• Karena x₁, x_2,,c₁ dan c₂ sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya minimum





2 ) 1 ( 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) ( 1 1           



 h f f f f h dx x f I ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2} 1 1 x f c x f c dx x f I 



  

38

Metode Integrasi Gauss

• Bagaimana mencari x₁, x_2,,c₁ dan c₂ ? Karena ada 4 perubah yang tidak diketahui, maka harus ada 4 persamaan simultan yang mengandung x₁, x_2,,c₁ dan c₂.

• Dapat dilihat bahwa nilai integrasi numerik dengan metode trapesium akan tepat (error = 0) untuk fungsi tetap dan fungsi linier.

• Misalnya persamaan-persamaan di bawah ini dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1]

PENS-ITS 39

Metode Integrasi Gauss

3 2 2 3 1 1 4 4 1 1 4 1 1 3 3 2 2 2 2 1 1 3 3 1 1 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 ) 1 ( 4 1 ) 1 ( 4 1 | 4 1 ) ( 3 2 ) 1 ( 3 1 ) 1 ( 3 1 | 3 1 ) ( 0 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( 2 1 | 2 1 ) ( 2 1 2 ) 1 ( 1 | 1 1 ) ( x c x c x dx x x x f x c x c x dx x x x f x c x c x dx x x x f c c x dx x f x x x x x x x x                                                    









)

(

)

(

)

(

_{1 1 2 2} 1 1

x

f

c

x

f

c

dx

x

f

I











40

0

3

2

0

2

3 2 2 3 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1

















x

c

x

c

x

c

x

c

x

c

x

c

c

c

577350269 . 0 3 1 577350269 . 0 3 1 1 2 1 2 1         x x c c ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( 1 1    



 f f dx x f I Sehingga : apabila dipecahkan menghasilkan

Sekarang sudah didapatkan 4 persamaan simultan sbb :

PENS-ITS 41

Metode Integrasi Gauss

• Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik

• Dengan kaidah ini, menghitung integral f(x) di dalam selang[-1, 1] cukup hanya dengan

mengevaluasi nilai fungsi g pada dan_{x 1 3}

) 3 1 ( ) 3 1 ( ) ( 1 1   



 g g dx x f 3 1   x

42

Transformasi

• Range [a,b]



[-1,1]

• x



u

• f(x)



g(u)

• dx



du





b a i

f

x

dx

L

(

)







1 1

)

( du

u

g

L

_i

PENS-ITS 43

Transformasi

du a b dx u a b a b x a au bu a b x a a b u x a b u a x u a b a x 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 2 ) )( 1 ( 2 ) )( 1 ( 2 2 2 1                        a x _b -1 u ₁

44

Transformasi

du

u

a

b

b

a

f

a

b

du

u

g





 















_







1 1 1 1

2

)

(

2

)

(

2

)

(

)

(











b a i

f

x

dx

g

u

du

L

1 1

)

(

)

(

2

)

(

2

)

(

2

)

(

)

(

u

f

b

a

b

a

u

b

a

g

















_





PENS-ITS 45

Analisa

• Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi.

• Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes. • Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu

menjadi



 1 1 ) ( duu g

46

Integrasi Kuadratur Gauss

dgn Pendekatan 2 titik (1) Definisikan fungsi f(x)

(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) (3) Hitung nilai konversi variabel :

(4) Tentukan fungsi f(u) dengan:

(5) Hitung:               3 1 3 1 g g L u a b a b x 2 ) ( 2 ) (  _          _    b a f b a b a u u g 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) (

48

Metode Gauss Legendre 3 Titik

• Parameter x₁, x₂ , x₃ ,c₁ ,c₂ dan c₃ dapat dicari dengan membuat penalaran

bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat (error = 0) untuk 6 buah fungsi berikut :

• Dengan cara yang sama dengan 2 titik didapatkan

) ( ) ( ) ( ) ( _{1 1 2 2 3 3} 1 1 x f c x f c x f c dx x f I 



    5 4 3 2 ) ( ; ) ( ; ) ( ) ( ; ) ( ; 1 ) ( x x f x x f x x f x x f x x f x f       9 5 ; 9 8 ; 9 5 3 2 1  c  c  c 774596669 . 0 5 3 0 774596669 . 0 5 3 3 2 1        x x x

PENS-ITS 49

Metode Gauss Legendre 3 Titik

 

_



































5

3

9

5

0

9

8

5

3

9

5

)

(

1 1

g

g

g

du

u

g

50

dengan Pendekatan 3 Titik

(1) Definisikan fungsi f(x)

(2) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b) (3) Hitung nilai konversi variabel :

(4) Tentukan fungsi f(u) :

(5) Hitung: u a b a b x 2 ) ( 2 ) (  _          _    b a f b a b a u u g 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) (

 

_               



 5 3 9 5 0 9 8 5 3 9 5 ) ( 1 1 g g g du u g

PENS-ITS 51

52

Numerik

• Menghitung Luas Daerah Berdasarkan

Gambar

PENS-ITS 53

Gambar

• Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m.

• Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=16). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Skala 1:100000 0 5 10 6 3 15 9

54

Menghitung Luas Daerah

Berdasarkan Gambar

• Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode:

• Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

• Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

• Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

5 . 73 2 2 15 1 16 0        _{ }    i i y y y h L 5 . 73 16 0     i i y h L 74 2 4 3 0 16_         





  i genap i ganjil i i y y y y h L

PENS-ITS 55

Benda Putar

• Luas benda putar:

• Volume benda putar:



 b a p f x dx L 2



( )







 b a p f x dx V  ( ) 2

56

Contoh :

• Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian

– bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya,

– bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

• Bagian I: • Bagian III: 4 cm 6 cm 7 cm 12 cm 7 cm 5 cm I II III IV satuan dalam cm  (4)(7) 56 2   I L _(4)(7)2 _196 I V

 

  12 (12) 288 2   III L VIII  2  12 12 2 3456

PENS-ITS 57

Contoh :

• Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

• Pada bagian II dan IV: dan

• Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

  2 108 2 2 ) ( 4 1 5 0        _{ }    i i IV II y y y h L L    2 1187.5 2 4 1 2 2 5 2 0              i i IV II y y y h V V IV II L L  IV II V V 

58

Contoh :

• Luas permukaan dari botol adalah:

• Luas = 1758.4 cm2 • Volume botol adalah:

• Volume = 18924.78 cm3 4 . 1758 560 108 288 108 56                IV III II I L L L L L      6024 5 . 1187 3456 5 . 1187 196          V_I V_II V_III V_IV V