Slope-Deflection. Portal

Slope-Deflection

Portal

Prinsip Dasar

A

B C

D

E (a) Portal Kaku

θ_B θ_C

P₁ P₂

q P₁ P₂

θ_B

A B

M_AB M_BA

θ_C B

M_BC M_CB

θ_B q

C

B

D

M_BD

M_DB θ_B

C

E

M_CE

M_EC θ_C

(b) Diagram free body batang M_BC

M_BA

M_BD

M_CE M_CB

B C

(b) Diagram free body (momem) nodal B dan C

Kondisi joint B:

M_BA+ M_BC+ M_BD= 0 Kondisi Joint C:

M_CB+ M_CE= 0

Prinsip Dasar

Untuk mendapatkan nilai-nilai M, maka dapat didekati dengan prinsip superposisi sbb:

θ_B

A B

M_AB M_BA

θ_A =

P₁ P₂ P₁ P₂

M_FAB M_FBA

+

θ_A1 θ_B1

M_A’

+ M_B’

θ_A2 θ_B2

Kondisi geometri mengharuskan (pers 1&2):

θ_A= -θ_A1+ θ_A2 θ_B= θ_B1- θ_B2

Sedangkan berdasarkan prinsip superposisi maka (pers 3&4):

M_AB= M_FAB+ M_A’ M_BA= M_FBA+ M_B’

Selanjutnya nilai putaran sudut dapat dinyatakan dalam besaran momen yang mengakibatkannya (pers 5-8):

EI L M_A

A 3

'

1 =



EI

L M

_A

B

6

' 1

=



EI

L M_B

A 6

'

2 =

 EI

L M_B

B 3

'

2 =



Prinsip Dasar

Dengan mengetahui hubungan antara putaran sudut dan momen yang mengakibatkannya (atau sebaliknya), maka nilai-nilai ini dapat disubstitusikan ke dalam persamaan 3 & 4 sehingga menghasilkan persamaan dasar slope-deflection sbb:

) 2

2 (

B A

FAB

AB

L

M EI

M = + −  − 

) 2

2 (

A B

FBA

BA

L

M EI

M = + −  − 

Note: Dalam menyusun persamaan-persamaan tersebut perlu diingat bahwa momen berlawanan arah jarum jam adalah positif; sedangkan putaran sudut searah jarum jam adalah positif.

Prosedur Perhitungan

1. Bagilah struktur kedalam elemen-elemen batang dengan kondisi tumpuan jepit-jepit.

2. Tentukan fixed end momen pada tiap-tiap elemen batang dengan memperhatikan kondisi pembebanannya. Gunakan rumus berikut:

3. Aplikasikan persamaan slope-deflection pada semua batang.

4. Buatlah persamaan simultan dengan rotasi-rotasi perletakan sebagai bilangan yang tidak diketahui.

Persamaan ini dibangun dengan menggunakan kondisi kesetimbangan pada joint (nodal).

5. Selesaikan persamaan simultan diatas untuk mendapatkan rotasi pada semua perletakan.

6. Substitusikan nilai rotasi-rotasi tersebut ke dalam persamaan slope-deflection dan hitung momen- momen ujungnya.

7. Tentukan semua reaksi-reaksi dari stuktur statis tak tentu.

8. Gambarkan BMD, SFD dan NFD

12 qL2

M_FAB =

A B

q

12 qL2

M_FBA =−

a P b

A B

2 2

L

M_FAB = Pab ₂ ²

L M_FBA =−Pba

Prinsip Dasar

θ_A =

P₁ P₂ P₁ P₂

M_FAB M_FBA

+

θ_A1 θ_B1

M_A’

+ M_B’

θ_A2 θ_B2

Δ

Δ

M’_FAB

M’_FBA

L M _FAB 6EIR

' =

L M _FBA 6EIR

' = dan

; R L

= R + →searah jarum jam

Prinsip Dasar

Dengan mengetahui hubungan antara putaran sudut, pergerakan perletakan dan momen yang mengakibatkannya (atau sebaliknya), maka akan dihasilkan persamaan dasar slope-deflection sbb:

) 3 2

2 ( L R M EI

M

_AB

=

_FAB

+ − 

_A

− 

_B

+

) 3 2

2 ( L R M EI

M

_BA

=

_FBA

+ − 

_B

− 

_A

+

Note: Dalam menyusun persamaan-persamaan tersebut perlu diingat bahwa momen berlawanan arah jarum jam adalah positif; sedangkan putaran sudut searah jarum jam adalah positif.

Portal Tak Bergoyang

L L

(a)

(b)

Portal-portal ini merupakan contoh portal tak bergoyang (tidak mengalami pergeseran horizontal). Pada contoh (a) kondisi perletakan mengekang

kemungkinan pergerakan horizontal, sementara pada contoh (b) pembebanan yang simetris menyebabkan portal tersebut tidak bergerak secara horizontal.

Untuk portal-portal ini, persamaan slope-deflection serupa dengan balok tanpa ada pergerakan perletakan:

) 2

2 (

B A

FAB

AB

L

M EI

M = + −  − 

Portal Bergoyang

A B C

D E

F

Δ Δ Δ

H₁ R_BE

R_CF

A

D

H_A

H_D M_DA

M_AD B

E

H_B

H_E M_EB

M_BE C

F

H_C

H_F M_FC

M_CF ^H1

M H_D = M^AD + ^DA

H1

M H_E = M^BE + ^EB

H2

M H_F = M^CF + ^FC

H1

R

R_{AD BE} 

=

= H₂

H2

R_CF  P₁ =

R_AD

Persamaan Slope-Deflection untuk batang horizontal:

) 2

2 (

B A

FAB

AB

L

M EI

M = + −  − 

) 2

(

_{A B}

AB FAB

AB

M k

M = + −  − 

Persamaan Slope-Deflection untuk batang vertikal:

) 3

2 2 (

AD D

A FAD

AD

R

L M EI

M = + −  −  +

Atau dapat dimodifikasi dengan menggunakaan kekakuan relatif dan rotasi relatif:

) 3

2

(

_{A D rel}

AD FAD

AD

M k R

M = + −  −  +

Atau dapat dimodifikasi dengan menggunakaan kekakuan relatifnya:

Mengingat adanya pergerakan horizontal ini menyebabkan ada tambahan bilangan yang tidak diketahui (semula hanya Θ, sekarang ada R), maka

dibutuhkan satu persamaan lagi. Persamaan tambahan ini dapat diperoleh dari kondisi geser (ΣFh=0), yaitu:

1 − H_D − H_E − H_F = 0 P

Prosedur Perhitungan

1. Tentukan fixed end momen masing-masing batang yang membentuk portal.

2. Aplikasikan persamaan slope-deflection terhadap masing-masing batang tersebut. Ingat: ada perbedaan persamaan antara batang horisontal

dengan batang vertikal!

3. Tuliskan kondisi joint dan kondisi geser yang harus dipenuhi.

4. Susun persamaan simultan dari kondisi joint dan kondisi geser tersebut.

5. Selesaikan persamaan simultan tersebut untuk mendapatkan nilai-nilai Θ maupun R

6. Substitusikan nilai-nilai Θ maupun R yang diperoleh ke dalam persamaan slope-deflection untuk mendapatkan momen ujung (M_AB, ....)

7. Hitung semua reaksi dengan menggunakan bantuan diagram free-body.

8. Gambarkan BMD, SFD dan NFD

Portal Bergoyang (Bertingkat)

Δ1 Δ1 Δ1

Δ2 Δ2 Δ2

P1

P2

H2

H1

H3

A B C

F E

D

G H

I

R_AD R_BE R_CF

R_DG R_EH

R_FI

1 2 1

R H R

R_AD = _BE = _CF =  −

2 2

R H

R_DG = _EH = 

3 2

R_FI = H

A

D

H_A

H_D M_DA

M_AD B

E

H_B

H_E M_EB

M_BE C

F

H_C

H_F M_FC M_CF

D

G

H_D

H_G M_GD M_DG

E

H

H_E

H_H M_HE

M_EH F

I

H_F

H_I M_FI

M_IF

H1

M H_D = M^AD + ^DA

H1

M H_E = M^BE + ^EB

H1

M H_F = M^CF + ^FC

H2

M H_G = M^DG + ^GD

H2

M H_H = M^EH + ^HE

H3

M H_I = M^FI + ^IF

P1 B C

H_D H_E H_F

1 − H_D − H_E − H_F = 0 P

P1 B C

H_G H_H H_I

P2

A

A

D E F

2 0

1 + P − H_G − H_H − H_I = P

Persamaan Slope-Deflection untuk batang horizontal:

) 2

2 (

B A

FAB

AB

L

M EI

M = + −  − 

Atau dapat dimodifikasi dengan menggunakaan kekakuan relatifnya:

) 2

(

_{A B}

AB FAB

AB

M k

M = + −  − 

Persamaan Slope-Deflection untuk batang vertikal:

) 3

2 2 (

AD D

A FAD

AD

R

L M EI

M = + −  −  +

Atau dapat dimodifikasi dengan menggunakaan kekakuan relatif dan rotasi relatif:

) 3

2

(

_{A D rel}

AD FAD

AD

M k R

M = + −  −  +

Prosedur Perhitungan

1. Tentukan fixed end momen masing-masing batang yang membentuk portal.

2. Aplikasikan persamaan slope-deflection terhadap masing-masing batang tersebut. Ingat: ada perbedaan persamaan antara batang horisontal

dengan batang vertikal!

3. Tuliskan kondisi joint dan kondisi geser yang harus dipenuhi.

4. Susun persamaan simultan dari kondisi joint dan kondisi geser tersebut.

5. Selesaikan persamaan simultan tersebut untuk mendapatkan nilai-nilai Θ maupun R

6. Substitusikan nilai-nilai Θ maupun R yang diperoleh ke dalam persamaan slope-deflection untuk mendapatkan momen ujung (M_AB, ....)

7. Hitung semua reaksi dengan menggunakan bantuan diagram free-body.

8. Gambarkan BMD, SFD dan NFD

Portal Bergoyang

(akibat pergerakan perletakan)

A B C

D

E E’

Δ₁ F

Δ₂ Δ₂

Δ₃

Δ₃ Δ₃

A’ B’ C’

α

AB AB L R = ²

BC

BC L

R = − ²



 −

=

AD AD L

R ³

BE

BE L

R ³ −¹

=

CF

CF L

R = ³

Portal ini mengalami pergerakan perletakan di D dan E. Pada perletakan D terjadi rotasi sebesar α radian dan pada

perletakan E terjadi pergeseran horizontal sebesar Δ₁ dan pergeseran vertikal sebesar Δ₂. Sebagai akibat pergerakan perletakan-perletakan ini, maka joint A dan C bergeser horizontal sebesar Δ₃ dan joint B bergeser horizontal dan vertikal masing-masing sebesar Δ₃ dan Δ₂ .

Persamaan Slope-Deflection yang berlaku untuk masing-masing batang adalah:

) 3

2 2 (

AD D

A FAD

AD

R

L M EI

M = + −  −  +

Persamaan yang dibangun untuk menyelesaikan persoalan ini selain disusun dari kondisi joint, juga diperoleh dari kondisi geser sebagai berikut:

= 0 +

+ _{E F}

D H H

H

= 0 + +

+ + +

CF FC CF

BE EB BE

AD DA AD

L M M

L M M

L M M

Note:

Nilai R pada persamaan slope-deflection sebagian sudah dapat diketahui, sebagian lain harus dicari.

Dalam kasus portal diatas: R_AB dan R_BC sudah diketahui nilainya karena Δ₂ sudah ditentukan, sedangkan R_AD, R_BE dan R_CF harus dicari karena Δ₃ belum diketahui. Nilai R yang belum diketahui ini dapat dinyatakan dengan nilai Δ₃ sehingga bilangan yang harus dicari berubah dari R menjadi Δ₃.

Prosedur Perhitungan

1. Tentukan fixed end momen masing-masing batang yang membentuk portal (sama dengan nol bila tidak ada gaya luar yang bekerja pada portal).

2. Aplikasikan persamaan slope-deflection terhadap masing-masing batang tersebut. Ingat dalam persamaan slope-deflection ini, ada yang

mengandung nilai R yang belum diketahui dan ada pula nilai R yang sudah dapat ditentukan. Nilai R yang belum diketahui dapat dinyatakan dengan nilai Δ sehingga bilangan yang harus dicari berubah dari R

menjadi Δ.

3. Tuliskan kondisi joint dan kondisi geser yang harus dipenuhi.

4. Susun persamaan simultan dari kondisi joint dan kondisi geser tersebut.

5. Selesaikan persamaan simultan tersebut untuk mendapatkan nilai-nilai Θ maupun Δ yang belum diketahui.

6. Substitusikan nilai-nilai Θ maupun Δ yang diperoleh ke dalam persamaan slope-deflection untuk mendapatkan momen ujung (M_AB, ....)

7. Hitung semua reaksi dengan menggunakan bantuan diagram free-body.

8. Gambarkan BMD, SFD dan NFD