PENGANTAR LISTRIK MAGNET DAN TERAPANNYA 2016

i

2016

Valentinus Galih V.P.,S.Si .,M.Sc.

Ngadiono, S.T.

Endah Purnomosari, S.T.

Dosen Fisika-Mekatronika Politeknik STTT Bandung 1/1/2016

PENGANTAR LISTRIK

MAGNET DAN

TERAPANNYA

ii

PENGANTAR LISTRIK MAGNET DAN TERAPANNYA

Penulis:

Valentinus Galih V.P., S.Si., M.Sc.

Endah Purnomosari. S.T.

Ngadiono, S.T.

iii

PENGANTAR LISTRIK MAGNET DAN TERAPANNYA

Penulis :

Valentinus Galih V.P.S.Si,.M.Sc Endah Purnomosari, S.T., A.Md Ngadiono, S.T., A.Md

ISBN : 978-602-72713-2-6

Editor :

Fransiska Vidiyana D.A, S.E., Ak

Penyunting :

Andi Risnawan, S.T

Desain Sampul dan Tata Letak

:

Agustinus Budi, S.S

Penerbit :

CV. Mulia Jaya

Redaksi :

Jalan Anggajaya II No. 291-A, Condong Catur

Kabupaten Sleman, Yogyakarta Telp: 0812-4994-0973 Email:

cv.muliajaya291@yahoo.com

CetakanPertama April 2016

Hak Cipta dilindungi undang-undang

Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan dengan cara Apapun tanpa ijin tertulis dari penerbit dan penulis

iv

KATA PENGANTAR

Dengan mempersembahkan puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat dan karunia-Nya, akhirnya penulis dapat menyelesaikan penyusunan buku yang berjudul “Pengantar Listrik Magnet dan Terapannya”. Buku ini ditulis untuk memberikan suatu pengantar tentang teori listrik magnet dan juga terapannya pada berbagai alat elektronika. Penulis menyadari bahwa Buku ini dapat diselesaikan berkat dukungan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, ucapan terima kasih kepada semua pihak yang secara langsung dan tidak langsung memberikan kontribusi dalam penyelesaian Buku ini. Pada kesempatan ini penulis juga menghaturkan terima kasih kepada:

1. Direktur Politeknik STTT Bandung.

2. Para dosen dan pegawai di lingkungan Fakultas MIPA UGM dan Politeknik STTT, Bandung.

Buku ini tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahan yang penulis tidak sadari. Untuk itu, saran dan masukan untuk perbaikan yang membangun sangat penulis harapkan. Semoga karya kecil ini dapat berguna bagi kita semua.

Yogyakarta, 4 Maret 2016

Penulis

v

DAFTAR ISI

Kata Pengantar Daftar Isi

Bab.1 VEKTOR DAN TENSOR

iv v Hal.1

Bab.2 HUKUM COLOUMB Hal.33

Bab.3 MEDAN LISTRIK DAN HUKUM

GAUSS

Hal. 41

Bab.4 KONDUKTOR DALAM MEDAN

LISTRIK

Hal. 49 Bab.5 RANGKAIAN ARUS DC DAN DIODE Hal. 58

Bab.6 RANGKAIAN TRANSIEN ARUS DC Hal. 72

Bab.7 MATERIAL SEMIKONDUKTOR

DAN MAGNETIK

Hal. 83

Bab.8 APLIKASI ELEKTRODINAMIKA

PADA MIKROKONTROLLER- SENSOR

Hal. 112

Bab.9 PENGANTAR PLC Hal. 135

DaftarPustaka Lampiran-1 Lampiran-2

Hal. 148 Hal. 149 Hal. 159

Biografi Hal. 165

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 1

BAB 1 VEKTOR DAN TENSOR

1.1.Material dan Koordinat

Piranti matematika untuk mendeskripsikan persamaan gerak suatu material padat yang mengalami deformasi bentuk biasanya berdasarkan suatu asumsi bahwa material padat tersebut terdistribusi dalam suatu ruang pada suatu waktu tertentu. Pada setiap waktu tertentu, setiap titik pada suatu daerah tersebut diisi oleh sebuah elemen kecil dari material padat yang disebut sebagai partikel padat. Berlainan dengan material rigid (kaku), pada material elastis, adanya gaya luar pada material tersebut akan mengakibatkan adanya deformasi. Pada bab ini akan dibahas bagaimana persamaan gerak dari suatu partikel dalam material yang terpengaruh deformasi dapat dijelaskan dan diukur.

Diasumsikan bahwa masing-masing partikel menempati suatu posisi tertentu dalam ruang tiga dimensi pada suatu ruang Euclidean pada suatu waktu tertentu. Jika ruang ℜ^𝑡 adalah daerah ruang yang ditempati oleh setiap partikel dan disebut sebagai ruang konfigurasi pada benda pada waktu t. ruang konfigurasi ℜ^𝑜( ruang konfigurasi partikel sebelum terjadi perubahan bentuk atau ruang konfigurasi alami) dipilih sebagai ruang konfigurasi acuan, dan masing-masing partikel pada ruang konfigurasi ini dapat diidentifikasi atau diketahui melalui koordinatnya yaitu 𝑥^𝑜 ∈ ℜ^𝑜 ( yang merupakan koordinat partikel P pada ruang konfigurasi acuan ℜ^𝑜). Setelah benda diberikan beban ( tegangan), maka terdapat suatu pergerakan partikel yang diiringi dengan sebuah perubahan bentuk ( deformasi). Partikel pada benda di ruang konfigurasi ℜ^𝑜 secara kontinu berubah hingga pada suatu posisi tertentu pada waktu t di ruang konfigurasi ℜ^𝑡 dan diketahui melalui koordinat 𝑥 ^𝑡 ∈ ℜ^𝑡. Diasumsikan bahwa konfigurasi pada benda saat waktu t dapat

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 2 dituliskan sebagai hubungan fungsional dengan bentuk 𝑥 ^𝑡 = 𝑥 ^𝑡 𝑥^𝑜, 𝑡 = 𝐹 𝑥^𝑜, 𝑡 .

Levrino (2011) dan Mal, A.K. & Sarva (1991) menyatakan bahwa Syarat transformasi koordinat adalah terdapat suatu pemetaan 𝐹: ℜ^𝑜 → 𝐹 ℜ⁰ dan terdapat invers 𝑓: ℜ^𝑡 → 𝑓 ℜ^𝑡 sehingga 𝐹 𝒙^𝒐, 𝑡 = 𝑓 𝒙 ^𝒕, 𝑡 memenuhi syarat transformasi koordinat yaitu inversibel , bikontinu ( bijektif dan kontinu), differensiabel dan pemetaan C¹ dengan kata lain besar Jacobian 𝒅𝑭 𝒙 = ^𝝏𝒙_𝝏𝒙 ^𝒌_𝝁 = 𝐽 ≠ 0 untuk setiap anggota 𝑥^𝑜 ∈ ℜ^𝑜 saat 𝑡 > 0. Suatu pemetaan yang diffeomorphism akan membawa suatu titik, kurva, permukaan dan juga volume pada ruang konfigurasi ℜ^𝑜 ke suatu ruang konfiguarsi lain ℜ^𝑡 dan sebaliknya. (seperti pada Gambar-1)

Gambar-1 Deformasi pada Suatu Material 1.2.Pengertian Dimensi

Dimensi di dalam ilmu matematika memiliki berbagai makna dan pengertian, contoh sederhana umumnya dimensi didefinisikan sebagai ℜ^𝐷 dengan pengertian bahwa ruang vektor ℜ^𝐷 memiliki dimensi D.

Manifold atau keragaman dimensi D adalah suatu ruang yang secara lokal mirip dengan ruang vektor ℜ^𝐷.

Konsep lain yang mendasari pengertian dimensi adalah dimensi topologi pada ruang topologi. Semua himpunan diskret memiliki dimensi topologi 0, semua kurva yang injektif memiliki dimensi

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 3 topologi 1, sebuah permukaan cakram memiliki dimensi topologi 2 dan seterusnya. Himpunan bilangan kosong memiliki dimensi topologi ” - 1”.

Semua dimensi topologi pada suatu ruang topologi adalah bilangan bulat. Dimensi topologi adalah suatu dimensi yang digunakan untuk mendefinisikan perbedaan dasar antara himpunan-himpunan yang secara topologi saling berhubungan ( memiliki relasi), seperti ℜ^𝑛 dan ℜ^𝑚 dengan 𝑛 ≠ 𝑚.

Dimensi topologi memiliki nilai bilangan bulat seperti -1,0,1,2,3,…

dan secara topologi akan bersifat homeomorphism, sebagai contoh jika 𝑈 dan 𝑉 adalah homeomorphic ( memiliki dimensi yang sama, bikontinu dan inversibel), maka akan terdapat pemetaan yang bersifat C⁰ diffeomorphicyang merupakan syarat suatu ruang topologi dimensi D secara lokal adalah ruang koordinat nyata (Schleicer, 2007)

1.3.Keragaman

Keragaman atau manifold adalah suatu ruang topologi yang menyerupai ruang Euclidean ( ruang koordinat nyata ) di setiap titik yang berdekatan. Walaupun sebuah manifold atau keragaman menyerupai suatu ruang Euclidean pada tiap titik yang berdekatan, tetapi secara global tidak sama. Jika terdapat suatu keragaman licin ℕ dengan n,m ∈ ℕ ( keragaman licin ) dan suatu peta F memetakan suatu titik di 𝑈 ⊆ ℜ^𝑛 , ke 𝐹 𝑥 ⊆ ℜ^𝑚, dengan 𝐹: 𝑈 → ℜ^𝑚. Pemetaan F disebut sebagai pemetaan yang diferensiabel (licin) pada 𝑥 ∈ 𝑈 jika terdapat pemetaan linear L yang homomorphism (suatu pemetaan yang menjaga struktur yang dipilih diantara dua buah struktur aljabar) dari ℜ^𝑛 ke ℜ^𝑚(seperti pada Gambar-2 )

Gambar-2 Pemetaan Linear

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 4 Syarat pemetaan L yang licin adalah memenuhi norm sebagai berikut

) 0 ( ) ( ) lim (

0    

 h

h L x F h x F

h

) 0 ( ) ( ) lim (

0    

 t

th L x F th x F

t

) ( ) ( ) lim ( ) lim (

0

0 L h L h

t

x F th x F

t

t    





t

x F th x h F

L h x

dF t

) ( ) lim (

) ( : ) )(

( 0



 

 

L(h) adalah derivatif arah F pada x di arah h, dengan h adalah vektor basis. Suatu ruang topologi ℜ^𝑛 secara lokal Euclidean pada dimensi n untuk setiap titik 𝑥 ∈ ℜ^𝑛 , jika 𝑈 ⊆ ℜ^𝑛 dan 𝑉 ⊆ ℜ^𝑚 dan terdapat suatu pemetaan 𝐹: 𝑈 → ℜ^𝑚, maka terdapat pemetaan C^k jika 𝐹: 𝑈 → ℜ^𝑚, dan dapat disebut pemetaan C^k diffeomorphism jika terdapat pemetaan C^k dengan 𝐹: 𝑈 → 𝑉 dan terdapat pemetaan C^k 𝑔: 𝑉 → 𝑈 dengan 𝐹𝑜𝑔 = 𝑖𝑑_𝑉 dan 𝑔𝑜𝐹 = 𝑖𝑑_𝑈, dengan fungsi 𝐹 memiliki sifat bikontinu ( bijektif, kontinu), inversibel dan differensiabel, seperti pada Gambar-3 di bawah. Dapat disimpulkan bahwa jika terdapat suatu diffeomorphism pada suatu pemetaan, maka U dan V disebut C^k diffeomorphic. Jika pemetaan C^k memiliki k=0, maka pemetaannya bersifat homeomorphis atau topological isomorphism ( karena tidak differensiabel). Syarat suatu ruang topologi dimensi n secara lokal adalah ruang Euclidean yaitu jika U dan V disebut C⁰ diffeomorphic atau homeomorphic

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 5 Gambar-3 Pemetaan Diffeomorphism

Vektor singgung 𝑋 pada p∈ 𝑀 terhadap kurva 𝑐: (−𝜖, 𝜖) → 𝑀 atau 𝑐: 𝐼 → 𝑀 pada saat 𝑡 = 0 dan 𝑐 0 = 𝑝 adalah pemetaan terhadap suatu fungsi licin di M ke himpunan real, yaitu 𝑐^′(0): 𝐶^∞(𝑀)_𝑝 → ℝ = 𝐶^∞(𝑝) → ℝ dengan rumus 𝑋 𝑓 = 𝑐^′ 0 𝑓 ≔ ^{𝑑(𝑓𝑜𝑐 )}

𝑑𝑡 𝑡=0 dengan 𝑓 ∈ 𝐶^∞(𝑝). Suatu vektor singgung di p∈ 𝑀 dikenal sebagai fungsional linear jika memenuhi sifat Leibniz 𝑋 𝑓𝑔 = 𝑓𝑋 𝑔 + 𝑋 𝑓 𝑔

Ruang singgung di p∈ 𝑀 dinotasikan sebagai 𝑇_𝑃𝑀 adalah himpunan semua vektor singgung di p. beberapa vektor singgung 𝑐^′: = X ∈ 𝑇_𝑃𝑀 dituliskan sebagai 𝑋 ≔_𝜕𝑥^𝜕_𝑖^𝑑𝑥_𝑑𝑡^𝑖 = 𝑣^𝑖_𝜕𝑥^𝜕_𝑖

𝑝 = 𝑣^𝑖𝜕_𝑖.

Untingan singgung 𝑇𝑀 adalah kumpulan dari ruang singgung 𝑇_𝑃𝑀 yang diskret di 𝑝 ∈ 𝑀 dan dinotasikan sebagai 𝑇𝑀 ≔ _𝑝∈𝑀𝑇_𝑃𝑀. Menurut Waner (2005) Ruang singgung 𝑇_𝑃𝑀 mirip dengan ruang Euclidean ( ruang koordinat nyata) dan hubungan antara pemetaan dari suatu ruang ke ruang yang lain adalah homeomorphism ( isomorphism secara topologi).

Medan vektor V pada suatu keragaman licin 𝑀 adalah pemetaan licin dari suatu keragaman licin M ke suatu untingan singgung 𝑇𝑀, yaitu 𝑉: 𝑀 → 𝑇𝑀 dengan 𝑝 → 𝑉(𝑝) ≡ 𝑉_𝑝. Maka 𝑉 ≔ 𝔵(𝑀) dan 𝔵(𝑀) adalah sebuah ruang vektor ℜ. Untuk 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀), 𝑝 ∈ 𝑀 dan 𝑎, 𝑏 ∈

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 6 ℝ, maka 𝑎𝑌 + 𝑏𝑍 𝑝 = 𝑎𝑌 + 𝑏𝑍 _𝑝 = 𝑎𝑌_𝑝 + 𝐵𝑍_𝑝. Untuk 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀), maka kurung Lie 𝑌, 𝑍 = 𝑌𝑍 − 𝑍𝑌, maka jika 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀)maka akan memenuhi identitas Jacobi [𝑋, 𝑌], 𝑍 + [𝑌, 𝑍], 𝑋 + [𝑍, 𝑋], 𝑌 = 0.

Jika 𝑀 adalah suatu keragaman licin dan 𝑝 ∈ 𝑀 maka dapat didefinisikan bahwa ruang cotangent pada p adalah 𝑇_𝑃^∗𝑀 yang merupakan sebagai ruang jodoh ( dual space) dari ruang singgung 𝑇_𝑃𝑀 di p. maka pemetaan halus 𝑓 : 𝑇_𝑃𝑀 → ℜ. Dengan ℝ ∈ 𝑇_𝑃^∗𝑀 ≔ ( 𝑇_𝑃𝑀)^∗ Himpunan dari 𝑇_𝑃^∗𝑀 disebut sebagai vektor cotangent atau convektor singgung. Kumpulan dari ruang cotangent adalah untingan cotangent 𝑇^∗𝑀 ≔ _𝑝∈𝑀𝑇_𝑃^∗𝑀.

Waner (2005) menyatakan bahwa Medan Tensor adalah suatu produk tensor dari banyak medan vektor. Suatu produk tensor dari ruang singggung 𝑣_𝑖 = 𝑣₁… 𝑣_𝑘 didefinisikan sebagai himpunan 𝑣₁ … 𝑣_𝑘. Medan tensor dapat didefinisikan sebagai 𝑇 ≔ 𝑣₁× … × 𝑣_𝑘 → ℝ . Jika vT_pM , atau vT_p*M , maka suatu medan tensor T kontravarian didefinisikan T :T_p*M....T_p*M  dan disebut sebagai medan tensor kontravarian berderajat k di pMdan dituliskan ( k,0). Medan tensor T kovarian didefinisikan sebagai









T M T M

M T

T : _{p p} .... _p dan disebut sebagai medan tensor kovarian berderajat k di pMdan dituliskan ( 0,k). Medan tensor T disebut suatu medan tensor gabungan kovarian dan kontravarian jika memetakan T:T_p *MT_p*M....T_pMT_pM  dan disebut sebagai medan tensor kontravarian berderajat k dan medan tensor kovarian berderajat l di pMdan dituliskan ( k,l). Ruang vektor didefinisikan sebagai himpunan dari produk tensor 𝑉_𝑠^𝑟 ≔ 𝑉¹ . . . 𝑉^𝑘 𝑉₁ … 𝑉_𝑠 atau T :T_p*M....T_pM 

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 7 1.4. Medan Vektor Licin

Syarat dari suatu medan vektor V pada keragaman licin M adalah medan vektor licin di M yaitu jika suatu medan vektor V pada suatu keragaman licin 𝑀 adalah pemetaan licin 𝑉: 𝑀 → 𝑇𝑀 dengan 𝑝 → 𝑉(𝑝) ≡ 𝑉_𝑝. Maka 𝑉 ≔ 𝔵(𝑀) dengan 𝔵(𝑀) adalah sebuah medan vektor licin di keragaman licin M. Untuk 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀), 𝑝 ∈ 𝑀 dan 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, maka 𝑎𝑌 + 𝑏𝑍 𝑝 = 𝑎𝑌 + 𝑏𝑍 _𝑝 = 𝑎𝑌_𝑝+ 𝐵𝑍_𝑝. Untuk 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀), dengan kurung Lie 𝑌, 𝑍 = 𝑌𝑍 − 𝑍𝑌, maka jika 𝑋, 𝑌, 𝑍 ∈ 𝔵(𝑀), maka syarat dari suatu medan vektor pada keragaman licin M akan memenuhi bentuk identitas Jacobi [𝑋, 𝑌], 𝑍 + [𝑌, 𝑍], 𝑋 + [𝑍, 𝑋], 𝑌 = 0. Dapat dibuktikan identitas Jacobi sebagai berikut

[𝑋, 𝑌], 𝑍 + [𝑌, 𝑍], 𝑋 + [𝑍, 𝑋], 𝑌 = 0 𝑋𝑌 − 𝑌𝑋, 𝑍 + 𝑌𝑍 − 𝑍𝑌, 𝑋 + 𝑍𝑋 − 𝑋𝑍, 𝑌 = 0 𝑋𝑌𝑍 − 𝑌𝑋𝑍 − 𝑍𝑋𝑌 + 𝑍𝑌𝑋 + 𝑌𝑍𝑋 − 𝑍𝑌𝑋 − 𝑋𝑌𝑍 − 𝑋𝑍𝑌

+ 𝑍𝑋𝑌 − 𝑋𝑍𝑌 − 𝑌𝑍𝑋 + 𝑌𝑋𝑍 = 0

1.5. Keragaman Riemann dan Tensor Metrik

Produk skalar atau perkalian dalam pada suatu ruang vektor V adalah suatu fungsi … : 𝑉 × 𝑉 → ℝ dan memiliki sifat:

1. Simetri 𝑢, 𝑣 = 𝑣, 𝑢 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉.

2. Bilinear 𝑢, 𝑎𝑣 + 𝑏𝑤 = 𝑎 𝑢, 𝑣 + 𝑏 𝑢, 𝑤 . 3. Positif definite 𝑢, 𝑣 > 0, non singular.

4. Inversibel .

5. Suatu pasangan (𝑀, 𝑔) sebuah keragaman 𝑀 yang dilengkapi dengan sebuah metrik Riemann 𝑔 disebut sebagai keragaman Riemann.

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 8 Metrik Riemann adalah pemetaan 𝑔_𝑝: 𝑀 → ℝ dengan 𝑝 ∈ 𝑀 dan untuk setiap 𝑢, 𝑣 ∈ 𝔵(𝑀) dan 𝑝 → 𝑣, 𝑢 (p) yang licin, maka sifat dari metrik Riemann adalah simetri, positif definite dan medan tensor (0,2) pada keragaman M. Jika diberikan suatu keragaman Riemannian (𝑀, 𝑔) dan suatu peta (𝑈, 𝑥^𝑖) dengan suatu pemetaan 𝑔_𝑖𝑗: 𝑈 → ℝ yang memetakan 𝑝 ↦ 𝑔_𝑖𝑗 𝑝 ≔ _𝜕𝑥^𝜕_𝑖,_𝜕𝑥^𝜕_{𝑗 𝑝} dengan 𝑝 ∈ 𝑈 ⊆ 𝑀, maka sifat 𝑔_𝑖𝑗 adalah simetri dan positif definite. Fungsi 𝒈_𝒊𝒋 disebut sebagai wakilan lokal dari metrik Riemann 𝑔 terhadap peta (𝑈, 𝑥^𝑖). Jika (𝑀, 𝑔) adalah keragaman Riemann dan 𝑝 ∈ 𝑀 maka dapat didefinisikan panjang dari suatu vektor singgung 𝑣 ∈ 𝑇_𝑝𝑀 adalah 𝑣 ≔ 𝑣, 𝑣 _𝑝 . Dua buah vektor dikatakan orthogonal jika 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑇_𝑝𝑀 dengan 𝑢, 𝑣 _𝑝 = 0 dan dikatakan orthonormal jika 𝑢, 𝑣 _𝑝 = 0 dan 𝑢 = 1.

Levrino (2011),Clarke, D.A., (2011) dan Moore (1934) menyatakan bahwa transformasi koordinat bergantung pada tensor metrik, sifat dari tensor metrik adalah simetri pada bagian kovarian, yaitu 𝑔_𝑖𝑗 = 𝑔_𝑗𝑖, tidak singular 𝑔_𝑖𝑗 ≠ 0, merupakan tensor dengan pemetaan C² diffeomorphism (differensiabel, inversibel, kontinu dan bijektif) serta 𝑔_𝑖𝑗 adalah positive definite. Dengan pemetaan C² diffeomorphism maka tensor metrik 𝑔_𝑖𝑗 memiliki invers metrik 𝑔^𝑖𝑗 = 𝑔_𝑖𝑗⁻¹. Tensor metrik dapat digunakan untuk membuat sebuah tensor baru, yaitu dengan melakukan perkalian dalam ( inner product) antara suatu tensor dengan tensor metrik. Bentuk perkalian dalam untuk mendapatkan tensor baru disebut sebagai operasi lowering atau raising pada sebuah tensor dan dijabarkan sebagai berikut ( Moore, 1934) :

𝑣 = 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇𝑥 ^𝜇 = 𝛽 _𝜇𝑥 ^𝜇 = 𝑥 _𝑐𝛽 ^𝑐 𝛽 ^𝑐 = 𝐾^𝜇𝑐𝛽 _𝜇

𝛽 ^𝑠∙ 𝛽 ^𝑐 = 𝐾^𝜇𝑐𝛽 ^𝑠∙ 𝛽 _𝜇 𝑔 ^𝑠𝑐 = 𝐾^𝜇𝑐𝛿_𝜇^𝑠 = 𝐾^𝑠𝑐

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 9 𝛽 ^𝑐 = 𝑔 ^𝜇𝑐𝛽 _𝜇 = 𝑔_𝜇𝑐⁻¹𝛽 _𝜇

1.6. Koneksi Affine

Koneksi affine, ∇ , adalah jenis derivatif arah dari suatu medan vektor pada sebuah keragaman. Koneksi affine atau Koneksi linear pada suatu keragaman 𝑀 adalah pemetaan ∇: 𝔵(𝑀) × 𝔵(𝑀) → 𝔵(𝑀) yaitu memetakan (𝑋, 𝑌) → ∇_X𝑌 untuk setiap 𝑌 ∈ 𝔵 𝑀 . Jika terdapat sebuah medan vektor 𝑌 pada ℜ^𝑛 dan 𝑝 ∈ ℝ^𝑛 ∈ 𝑀 dan terdapat vektor singgung pada 𝑋 ∈ 𝑇_𝑝ℝ^𝑛 ≅ ℝ^𝑛. Disimbolkan bahwa ∇_X𝑌 adalah derivatif arah pada medan vektor Y di p dengan arah X pada sebuah keragaman M, maka ∇_X𝑌 ∈ 𝑇_𝑝ℝ^𝑛. Jika didefinisikan bahwa 𝑋 = 𝑣^𝑖𝜕_𝑖, maka ∇_X𝑌 = X𝑌 = 𝑣^𝑖𝜕_𝑖𝑌. ∇ adalah koneksi affine pada suatu keragaman M dan jika 𝑋, 𝑌 ∈ 𝔛(𝑀) yang ditunjukkan pada kerangka lokal 𝜕_𝑖 pada 𝑈 ⊂ 𝑀 di TM oleh X=𝑣^𝑖𝜕_𝑖 danY=𝑦^𝑗𝜕_𝑗, maka seperti pada Gambar-4 di bawah

Gambar-4 Koneksi Affine pada Keragaman M

∇_X𝑌 = X𝑌 = 𝑣^𝑖𝜕_𝑖𝑌

∇_𝑣𝑖𝜕_𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗 = 𝑣^𝑖 ∇_𝜕𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗 = 𝑣^𝑖 𝑦^𝑗∇_𝜕𝑖 𝜕_𝑗 + ∇_𝜕𝑖 𝑦^𝑗 𝜕_𝑗

= 𝑣^𝑖 𝑦^𝑗∇_𝜕𝑖 𝜕_𝑗 + 𝜕_𝑖 𝑦^𝑗 𝜕_𝑗

= 𝑣^𝑖𝑦^𝑗∇_𝜕𝑖 𝜕_𝑗 + 𝑣^𝑖𝜕_𝑖 𝑦^𝑗 𝜕_𝑗 = 𝑣^𝑖𝑦^𝑗∇_𝜕𝑖 𝜕_𝑗 + 𝑋 𝑦^𝑗 𝜕_𝑗

= 𝑣^𝑖𝑦^𝑗Γ_𝑖𝑗^𝑘𝜕_𝑘 + 𝑋 𝑦^𝑗 𝜕_𝑗 = 𝑣^𝑖𝑦^𝑗Γ_𝑖𝑗^𝑘 + 𝑋 𝑦^𝑘 𝜕_𝑘

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 10

∇_iy^k = ∂_iy^k+ Γ_𝑖𝑗^𝑘𝑦^𝑗 Pada ruang Euclidean, maka dapat dituliskan

∇_X𝑌 _p = ∇_𝑣^𝑖_𝜕𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗 = 𝑋 𝑦^𝑘 𝜕_𝑘 = 𝑣^𝑖𝜕_𝑖𝑌 = lim

𝑡→0

𝑌 𝑝 + 𝑡𝑋_𝑝 − 𝑌(𝑝) 𝑡

Turunan pada sebuah medan tensor yang terdiri dari dua buah medan vektor terhadap suatu vektor singgung dapat dijabarkan sebagai berikut

∇_𝑥𝑖𝜕_𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗𝑧^𝑘𝜕_𝑘 = 𝑥^𝑖 ∇_𝜕𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗𝑧^𝑘𝜕_𝑘

= 𝑥^𝑖 ∇_𝜕𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗 𝑧^𝑘𝜕_𝑘 + 𝑦^𝑗𝜕_𝑗∇_𝜕𝑖 𝑧^𝑘𝜕_𝑘

𝛻_𝑥𝑖𝜕_𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗𝑧^𝑘𝜕_𝑘

= 𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑗^𝑐𝑦^𝑗 + 𝑋 𝑦^𝑐 𝜕_𝑐𝑧^𝑘𝜕_𝑘 + 𝑦^𝑗𝜕_𝑗 𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑘^𝑚𝑧^𝑘 + 𝑋 𝑧^𝑚 𝜕_𝑚

∇_𝑥𝑖𝜕_𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗𝑧^𝑘𝜕_𝑘

= 𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑗^𝑐𝑦^𝑗𝑧^𝑘 + 𝑋 𝑦^𝑐 𝑧^𝑘 𝜕_𝑐𝜕_𝑘 + 𝑦^𝑗𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑘^𝑚𝑧^𝑘+ 𝑦^𝑗𝑋 𝑧^𝑚 𝜕_𝑗𝜕_𝑚

= 𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑐^𝑗𝑦^𝑐𝑧^𝑚+ 𝑋 𝑦^𝑗 𝑧^𝑚 𝜕_𝑗𝜕_𝑚 + 𝑦^𝑗𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑘^𝑚𝑧^𝑘+ 𝑦^𝑗𝑋 𝑧^𝑚 𝜕_𝑗𝜕_𝑚

∇_𝑥𝑖𝜕_𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗𝑧^𝑘𝜕_𝑘

= 𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑐^𝑗𝑦^𝑐𝑧^𝑚 + 𝑋 𝑦^𝑗 𝑧^𝑚+ 𝑦^𝑗𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑘^𝑚𝑧^𝑘 + 𝑦^𝑗𝑋 𝑧^𝑚 𝜕_𝑗𝜕_𝑚

= 𝑋 𝑦^𝑗 𝑧^𝑚 + 𝑦^𝑗𝑋 𝑧^𝑚 + 𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑐^𝑗𝑦^𝑐𝑧^𝑚 + 𝑦^𝑗𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑘^𝑚𝑧^𝑘 𝜕_𝑗𝜕_𝑚

∇_𝑥𝑖𝜕_𝑖 𝑦^𝑗𝜕_𝑗𝑧^𝑘𝜕_𝑘 = ∇_i 𝑇^𝑗𝑚 + 𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑐^𝑗𝑇^𝑐𝑚 + 𝑥^𝑖Γ_𝑖𝑘^𝑚𝑇^𝑗𝑘 𝜕_𝑗𝜕_𝑚

= 𝑇_,𝑖^𝑗𝑚 + Γ_𝑖𝑎^𝑗 𝑇^𝑎𝑚 + Γ_𝑖𝑎^𝑚𝑇^𝑗𝑎 𝜕_𝑗𝜕_𝑚 Pada kerangka lokal dapat dituliskan sebagai berikut

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 11 d_𝑖𝑇^𝑗𝑚 = ∇_𝑖𝑇^𝑗𝑚 + Γ_𝑖𝑎^𝑗 𝑇^𝑎𝑚 + Γ_𝑖𝑎^𝑚𝑇^𝑗𝑎

d_𝑖𝐴^𝑗𝑚 = d_𝑖 𝐴^𝑗𝐴^𝑚 + 𝐴^𝑗d_𝑖 𝐴^𝑚 + d_𝑖 𝐴^𝑗 𝐴^𝑚

d_𝑖𝐴^𝑗𝑚 = ∇_𝑖𝐴^𝑗𝑚 + 𝐴^𝑗Γ_𝑖𝑎^𝑚𝐴^𝑎 + Γ_𝑖𝑎^𝑗 𝐴^𝑎𝐴^𝑚 = ∇_𝑖𝑇^𝑗𝑚 + Γ_𝑖𝑎^𝑗 𝑇^𝑎𝑚 + Γ_𝑖𝑎^𝑚𝑇^𝑗𝑎 Untuk tensor kovarian didapatkan menggunakan anologi turunan terhadap suatu metrik

𝜕𝑔_𝑛𝑚

𝜕𝑥^𝜇 = 𝜕_μ 𝛽_n. 𝛽_m = 𝛽_n. 𝜕_μ𝛽_m + 𝜕_μ𝛽_n. 𝛽_m

𝜕_μ 𝛽_n. 𝛽_m = 𝛽_n. Γ_μm^ρ 𝛽_ρ+ Γ_μn^ρ 𝛽_ρ. 𝛽_m

𝜕_μ 𝛽_n. 𝛽_m = Γ_μm^ρ 𝑔_nρ+ Γ_μn^ρ 𝑔_ρm 𝑑𝑔_𝑛𝑚 =𝜕𝑔_𝑛𝑚

𝜕𝑥^𝜇 𝑑𝑥^𝜇 = Γ_μm^ρ 𝑔_nρ+ Γ_μn^ρ 𝑔_ρm 𝑑𝑥^𝜇 = 0

𝜕𝑔_𝑛𝑚

𝜕𝑥^𝜇 − Γ_μm^ρ 𝑔_nρ− Γ_μn^ρ 𝑔_ρm 𝑑𝑥^𝜇 = 0 ∇_μ𝑔_𝑛𝑚 − Γ_μn^ρ 𝑔_ρm − Γ_μm^ρ 𝑔_nρ = d_μ𝑔_𝑛𝑚 d_μ𝑔_𝑛𝑚 = ∇_μ(𝐴_𝑛𝐴_𝑚) − 𝐴_𝑛∇_μ(𝐴_𝑚) − ∇_μ(𝐴_𝑛)𝐴_𝑚

= ∇_μ(𝑔_𝑛𝑚) − 𝐴_𝑛Γ_μm^ρ 𝐴_ρ− Γ_μn^ρ 𝐴_ρ𝐴_𝑚

=𝜕𝑔_𝑛𝑚

𝜕𝑥^𝜇 − Γ_μm^ρ 𝑔_nρ − Γ_μn^ρ 𝑔_ρm Untuk tensor gabungan dapat digunakan relasi berikut

𝑑_𝜇𝑇_𝑚^𝜌 = 𝑑_𝜇(𝐴^𝜌𝐴_𝑚) + 𝑑_𝜇(𝐴^𝜌)𝐴_𝑚− 𝐴^𝜌𝑑_𝜇(𝐴_𝑚)

= 𝑑_𝜇𝑇_𝑚^𝜌 + 𝛤_𝜇𝑘^𝜌𝐴^𝑘𝐴_𝑚 − 𝐴^𝜌𝛤_𝜇𝑚^𝑘 𝐴_𝑘

= 𝑑_𝜇𝑇_𝑚^𝜌 + 𝛤_𝜇𝑘^𝜌𝑇_𝑚^𝑘 − 𝛤_𝜇𝑚^𝑘 𝑇_𝑘^𝜌 1.7. Panjang Vektor Singgung

Jika (𝑀, 𝑔) adalah keragaman Riemann dan 𝑝 ∈ 𝑀 maka dapat didefinisikan panjang dari suatu vektor singgung 𝑣 ∈ 𝑇_𝑝𝑀 adalah 𝑣 ≔ 𝑣, 𝑣 _𝑝

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 12 𝑑𝑠² = 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇 ∙ 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝑚𝑑𝑥 ^𝜇𝑑𝑥 ^𝑚 = 𝜕𝑥^𝑘

𝜕𝑥 ^𝜇𝛽 _𝑘 ∙ 𝜕𝑥^𝑓

𝜕𝑥 ^𝑚𝛽 _𝑓𝑑𝑥 ^𝜇𝑑𝑥 ^𝑚

=𝜕𝑥^𝑘

𝜕𝑥 ^𝜇

𝜕𝑥^𝑓

𝜕𝑥 ^𝑚𝑔_𝑘𝑓𝑑𝑥 ^𝜇𝑑𝑥 ^𝑚 = 𝑔 _𝑘𝑓𝑑𝑥 ^𝜇𝑑𝑥 ^𝑚 𝑑𝑠 = 𝑔 𝑘𝑓𝑑𝑥 ^𝜇𝑑𝑥 ^𝑚

1.8.Luas Elemen Permukaan

Dapat dijabarkan luas elemen suatu permukaan adalah sebagai berikut (Margenau, 1956)

𝑑𝐴₁ = 𝑑𝑠₂ × 𝑑𝑠₃ = 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ²𝑑𝑥 ²× 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ³𝑑𝑥 ³= 𝛽 ₂× 𝛽 ₃𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ Besar skalar luas permukaan tersebut adalah

𝑑𝐴₁ = 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ 𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ Dapat dijabarkan

𝑨 × 𝑩 ∙ 𝑪 × 𝑫 = 𝐴_𝑖𝑒 _𝑖× 𝐵_𝑗𝑒 _𝑗 ∙ 𝐶_𝑘𝑒 _𝑘 × 𝐷_𝑛𝑒 _𝑛

= 𝐴_𝑖𝐵_𝑗𝜀_𝑖𝑗𝑚𝑒 _𝑚 ∙ 𝐶_𝑘𝐷_𝑛𝜀_𝑘𝑛𝑚𝑒 _𝑚 = 𝐴_𝑖𝐵_𝑗𝐶_𝑘𝐷_𝑛𝜀_𝑖𝑗𝑚𝜀_𝑘𝑛𝑚

= 𝐴_𝑖𝐵_𝑗𝐶_𝑘𝐷_𝑛 𝛿_𝑖𝑘𝛿_𝑗𝑛 − 𝛿_𝑖𝑛𝛿_𝑗𝑘 = 𝐴_𝑖𝐵_𝑗𝐶_𝑖𝐷_𝑗 − 𝐴_𝑖𝐵_𝑗𝐶_𝑗𝐷_𝑖

= 𝑨. 𝑪 𝑩. 𝑫 − 𝑨. 𝑫 𝑩. 𝑪

𝑨 × 𝑩 ∙ 𝑨 × 𝑩 = 𝑨. 𝑨 𝑩. 𝑩 − 𝑨. 𝑩 𝑩. 𝑨 sehingga

𝑑𝐴₁ = 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₃ − 𝑔 ₂₃²𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³

Dapat dilakukan cara yang sama, sehingga didapatkan bahwa 𝑑𝐴₂ = 𝑔 ₃₃𝑔 ₁₁− 𝑔 ₃₁²𝑑𝑥 ³𝑑𝑥 ¹

𝑑𝐴₃ = 𝑔 ₁₁𝑔 ₂₂− 𝑔 ₁₂²𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 13 1.9. Volume Suatu Elemen

Dapat dijabarkan volume suatu elemen sebagai berikut di bawah (Margenau, 1956)

𝑑𝑉 = 𝑑𝑠₁∙ 𝑑𝑠₂× 𝑑𝑠₃ = 𝛽 ₁𝑑𝑥 ¹∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ 𝑑𝑉 = 𝛽 ₁𝛽 ₂𝛽 ₃ 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³

Jika 𝑑𝑠₂× 𝑑𝑠₃ = 𝛽 ₂× 𝛽 ₃𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ = 𝑑𝑟 , maka 𝑑𝑉 = 𝑑𝑠₁∙ 𝑑𝑟 Dengan mengingat bahwa

𝑑𝑟 = 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇𝑑𝑥 ^𝜇 = 𝛽 _𝜇𝑑𝑥 ^𝜇 = 𝑑𝑥 _𝜇𝛽 ^𝜇 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ^𝑚 = 𝛽 _𝜇𝑑𝑥 ^𝜇 ∙ 𝛽 ^𝑚 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ^𝑚 = 𝑑𝑥 ^𝜇 ∙ 𝛿_𝜇^𝑚 = 𝑑𝑥 ^𝑚 Sehingga

𝑑𝑟 = 𝛽 _𝑚𝑑𝑥 ^𝑚 = 𝛽 _𝑚 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ^𝑚 Dengan cara yang sama didapatkan bahwa

𝑑𝑟 = 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 _𝑚 𝛽 ^𝑚 = 𝛽 _𝑚 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ^𝑚 Sehingga besar volume suatu elemen

𝑑𝑉 = 𝑑𝑠₁∙ 𝑑𝑟 = 𝑑𝑠₁∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 _𝑚 𝛽 ^𝑚

𝑑𝑉 = 𝑑𝑠₁∙ 𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ₁ 𝛽 ¹ + 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ₂ 𝛽 ² + 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ₃ 𝛽 ³ 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³𝛽 ₁

∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₁ 𝛽 ¹ + 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₂ 𝛽 ² + 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₃ 𝛽 ³

Margenau (1956) dan Moore (1934) menyatakan bahwa

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 14 𝛽 ¹ = 𝛽 ₂× 𝛽 ₃

𝛽 ₂𝛽 ₃𝛽 ₁ =𝛽 ₂× 𝛽 ₃ 𝑣 𝛽 ² = 𝛽 ₃× 𝛽 ₁

𝛽 ₂𝛽 ₃𝛽 ₁ = 𝛽 ₃ × 𝛽 ₁ 𝑣 𝛽 ³ = 𝛽 ₁× 𝛽 ₂

𝛽 ₂𝛽 ₃𝛽 ₁ = 𝛽 ₁× 𝛽 ₂ 𝑣 Sehingga

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³𝛽 ₁

∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₁ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃

𝑣 + 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₂ 𝛽 ₃× 𝛽 ₁ 𝑣 + 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₃ 𝛽 ₁× 𝛽 ₂

𝑣 𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ 𝛽 ₁

𝑣 ∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₁ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ + 𝛽 ₁

∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₂ 𝛽 ₃× 𝛽 ₁ + 𝛽 ₁

∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₃ 𝛽 ₁× 𝛽 ₂ Dengan mengingat bahwa

𝑑𝑉 = 𝑑𝑠₁∙ 𝑑𝑟 = 𝑑𝑠₁∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 _𝑚 𝛽 ^𝑚 = 𝑑𝑠₁∙ 𝛽 _𝑚 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ^𝑚

= 𝑑𝑠₁∙ 𝛽 ₁ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ¹ + 𝑑𝑠₁∙ 𝛽 ₂ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ² + 𝑑𝑠₁

∙ 𝛽 ₃ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ³

𝑑𝑉 = 𝛽 ₁𝑑𝑥 ¹∙ 𝛽 ₁ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ¹ + 𝛽 ₂ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ² + 𝛽 ₃ 𝑑𝑟 ∙ 𝛽 ³

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 15 Sehingga dapat dituliskan

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ 𝛽 ₁ 𝑣

∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ 𝛽 ₁ + 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₃× 𝛽 ₁ 𝛽 ₂ + 𝛽 ₂× 𝛽 ₃ ∙ 𝛽 ₁× 𝛽 ₂ 𝛽 ₃ Dengan mengingat bahwa

𝑨 × 𝑩 ∙ 𝑪 × 𝑫 = 𝑨. 𝑪 𝑩. 𝑫 − 𝑨. 𝑫 𝑩. 𝑪 Maka dengan mengingat bahwa 𝛽 _𝑖 ∙ 𝛽 _𝑗 = 𝑔 _𝑖𝑗 , sehingga

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ 𝛽 ₁ 𝑣

∙ 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₃− 𝑔 ₂₃𝑔 ₃₂ 𝛽 ₁+ 𝑔 ₂₃𝑔 ₃₁− 𝑔 ₂₁𝑔 ₃₃ 𝛽 ₂ + 𝑔 ₂₁𝑔 ₃₂ − 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₁ 𝛽 ₃

𝑑𝑉 = 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ 1

𝑣 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₃ − 𝑔 ₂₃𝑔 ₃₂ 𝛽 ₁∙ 𝛽 ₁

+ 𝑔 ₂₃𝑔 ₃₁ − 𝑔 ₂₁𝑔 ₃₃ 𝛽 ₁∙ 𝛽 ₂+ 𝑔 ₂₁𝑔 ₃₂ − 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₁ 𝛽 ₁

∙ 𝛽 ₃ 𝛽 ₁𝛽 ₂𝛽 ₃ 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³

= 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ 1

𝛽 ₂𝛽 ₃𝛽 ₁ 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₃ − 𝑔 ₂₃𝑔 ₃₂ 𝑔 ₁₁ + 𝑔 ₂₃𝑔 ₃₁ − 𝑔 ₂₁𝑔 ₃₃ 𝑔 ₁₂+ 𝑔 ₂₁𝑔 ₃₂− 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₁ 𝑔 ₁₃ 𝛽 ₁𝛽 ₂𝛽 ₃ = 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₃− 𝑔 ₂₃𝑔 ₃₂ 𝑔 ₁₁ + 𝑔 ₂₃𝑔 ₃₁− 𝑔 ₂₁𝑔 ₃₃ 𝑔 ₁₂

+ 𝑔 ₂₁𝑔 ₃₂− 𝑔 ₂₂𝑔 ₃₁ 𝑔 ₁₃ ^1/2 = 𝑔 Maka dapat ditentukan bahwa

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 16 𝑑𝑉 = 𝛽 ₁𝛽 ₂𝛽 ₃ 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³ = 𝑔 𝑑𝑥 ¹𝑑𝑥 ²𝑑𝑥 ³

1.10. Vektor Satuan dan Vektor Basis

Dapat dijelaskan hubungan antara vektor satuan dengan vektor basis sebagai berikut (Margenau (1956) dan Clarke (2011)). Suatu vektor dapat dituliskan sebagai berikut

𝑑𝑟 = 𝑑𝑥_(𝑖)𝒖_(𝑖)

Dalam konsep vektor dalam suatu vektor basis dapat dituliskan sebagai berikut ( Clarke, 2011)

𝑑𝑟 = 𝑕_(𝑖)𝒖_(𝑖) 𝑑𝑥^𝑖 = 𝜷_𝒊𝑑𝑥^𝑖

𝑑𝑟 ² = 𝑕_(𝑖)𝑕_{(𝑗 )}𝒖_(𝑖)∙ 𝒖_{(𝑗 )} 𝑑𝑥^𝑖𝑑𝑥^𝑗 = 𝜷_𝒊∙ 𝜷_𝒋𝑑𝑥^𝑖𝑑𝑥^𝑗 Maka

𝑕_(𝑖)𝑕_{(𝑗 )}𝒖_(𝑖)∙ 𝒖_{(𝑗 )} = 𝜷_𝒊∙ 𝜷_𝒋 𝑔_𝑖𝑗 = 𝑕_(𝑖)𝑕_{(𝑗 )}𝒖_(𝑖) ∙ 𝒖_{(𝑗 )}

Clarke (2011) menyatakan bahwa metrik untuk sistem koordinat orthogonal dapat dinyatakan sebagai berikut

𝑔_𝑖𝑗 = 𝑕_(𝑖)𝑕_{(𝑗 )}𝛿_𝑖𝑗 𝑔^𝑖𝑗 = 𝛿^𝑖𝑗

𝑕 _𝑖 𝑕 _𝑗

Dapat diperlihatkan hubungan besar panjang suatu vektor 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟

𝑕_(𝑖)𝒖_(𝑖) 𝑑𝑥^𝑖 = 𝑑𝑥_(𝑖)𝒖_(𝑖) 𝑕_(𝑖)𝒖_(𝑖) 𝑔^𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑗 = 𝑑𝑥_(𝑖)𝒖_(𝑖) Sehingga didapatkan bahwa besar panjang adalah

𝑑𝑥_(𝑖) = 𝑕_(𝑖)𝑔^𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑗

Sedangkan hubungan antara vektor satuan dengan vektor basis adalah 𝑑𝑟 = 𝑑𝑟

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 17 𝑕_(𝑖)𝒖_(𝑖) 𝑑𝑥^𝑖 = 𝜷_𝒊𝑑𝑥^𝑖

𝜷_𝒊= 𝑕_(𝑖)𝒖_(𝑖) 𝒖_(𝑖)= 𝜷_𝒊

𝑕_(𝑖) = 𝜷_𝒊 𝑔𝑖𝑖

Atau dapat pula dalam bentuk 𝒖_(𝑖)= 𝜷_𝒊

𝑕_(𝑖) = 𝑔_𝑖𝑗𝜷^𝑗

𝑕_(𝑖) 𝑔_𝑖𝑗𝜷^𝑗

𝑕_(𝑖) = 𝑕_(𝑖)𝑕_{(𝑗 )}𝛿_𝑖𝑗𝜷^𝑗

𝑕_(𝑖) = 𝑕_(𝑖)𝜷^𝑖 𝜷^𝑖 = 𝒖 _𝑖

𝑕 _𝑖 = 𝒖 _𝑖 𝑔𝑖𝑖

𝒖_(𝑖)= 𝑕_(𝑖)𝜷^𝑖 Untuk sistem Nonortogonal, maka

𝒖_(𝑖)= 𝑔_𝑖𝑗𝜷^𝑗

𝑕_(𝑖) 𝜷^𝑗 =𝑕 _𝑖 𝒖 _𝑖

𝑔_𝑖𝑗 = 𝑔𝑖𝑖𝒖 _𝑖 𝑔_𝑖𝑗

𝜷^𝑗 = 𝑔^𝑖𝑗𝜷_𝒋 = 𝑔^𝑖𝑗𝑕_(𝑖)𝒖_(𝑖)= 𝑔^𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑖𝒖_(𝑖) Maka

𝑔𝑖𝑖

𝑔_𝑖𝑗 = 𝑔^𝑖𝑗 𝑔_𝑖𝑖

Hubungan antara vektor satuan dan vektor basis daapt dijabarkan sebagai berikut

𝑑𝑟 = 𝑑𝑥_(𝑖)𝒖_(𝑖)= 𝑕_(𝑖)𝑔^𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑗 𝜷_𝒊

𝑕_(𝑖) = 𝑔^𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑗𝜷_𝒊= 𝜷_𝒊𝑑𝑥^𝑖

Menurut Margenau (1956) 𝑕_(𝑖) adalah suatu faktor skala ( bukan sebuah tensor). Menurut Clarke ( 2011) dapat dihubungkan besar tensor secara fisik dengan tensor kontravarian dan juga kovarian

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 18 sebagai berikut: Jika tensor orde-1 dituliskan sebagai berikut 𝑑𝑥_(𝑖) =

𝑕_(𝑖)𝑔^𝑖𝑗𝑑𝑥_𝑗, maka medan tensor adalah suatu produk tensor dari banyak medan vektor dan dapat didefinisikan sebagai 𝑇 ≔ 𝑣₁× … × 𝑣_𝑘 → ℝ, sehingga besar tensor fisik dapat dituliskan sebagai berikut

𝑻^𝒊𝒋 = 𝑻 _𝒊𝒋

𝑕 _𝑖 𝑕 _𝑗 = 𝑻 _𝒊𝒋 𝑔𝑖𝑖 𝑔𝑗𝑗

Untuk sistem Nonortogonal, maka

𝜷^𝑗 = 𝑔^𝑖𝑗 𝑔𝑖𝑖𝒖_(𝑖) 𝑻^𝑖𝑗 = 𝑔^𝑖𝑚𝑔^𝑗𝑛 𝑔𝑖𝑖 𝑔𝑗𝑗𝑻_{(𝑖𝑗 )}

1.11. Gradien dari Skalar

𝜵 = 𝛽 ^𝑖∇_𝑖= 𝑔^𝑖𝑗𝛽 _𝑗∇_𝑖= 𝑔^𝑖𝑗 𝑔𝑗𝑗𝑢 _𝑗∇_𝑖 Dengan notasi

𝐴^𝑖 = 𝑔^𝑖𝑗 𝑔𝑗𝑗𝐴_{(𝑗 )}

𝑇^𝑖𝑗 = 𝑔^𝑖𝑚𝑔^𝑗𝑛 𝑔𝑚𝑚 𝑔𝑛𝑛𝑇_{(𝑚𝑛 )}

𝜵 = 𝑔¹¹𝛻₁+ 𝑔²¹𝛻₂+ 𝑔³¹𝛻₃ 𝑔11𝑢 ₍₁₎

+ 𝑔¹²𝛻₁+ 𝑔²²𝛻₂+ 𝑔³²𝛻₃ 𝑔22𝑢 ₍₂₎ + 𝑔¹³𝛻₁+ 𝑔²³𝛻₂+ 𝑔³³𝛻₃ 𝑔33𝑢 ₍₃₎

= 𝑔¹¹𝛻₁ 𝑔₁₁𝑢 ₍₁₎+ 𝑔²²𝛻₂ 𝑔₂₂𝑢 ₍₂₎+ 𝑔³³𝛻₃ 𝑔₃₃𝑢 ₍₃₎ 1.12. Simbol Christoffel

Simbol christoffel adalah salah satu jenis dari koneksi affine.

Memiliki sifat simetri pada bagian kovarian dan besarnya pada ruang datar akan bernilai nol. Simbol Christoffel dapat dijabarkan sebagai berikut

Bab.1 Vektor dan Tensor Hal. 19 𝑎 = 𝑑𝑣

𝑑𝑡 = 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇 𝑥 ^𝜇 𝑑

𝑑𝑡

𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇 𝑥 ^𝜇 = 𝑥 ^𝜇 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇 + 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇 𝑑 𝑑𝑡 𝑥 ^𝜇

= 𝑥 ^𝜇 𝑑 𝑑𝑡

𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇 + 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇 𝑥 ^𝜇 𝑥 ^𝜇 𝑑

𝑑𝑡 𝛽 _𝜇 + 𝜕𝑟

𝜕𝑥 ^𝜇 𝑥 ^𝜇 = 𝑥 ^𝜇𝑥 ^𝑚 𝑑𝛽 _𝜇

𝑑𝑥 ^𝑚 + 𝛽 _𝜇 𝑥 ^𝜇

= 𝑥 ^𝜇𝑥 ^𝑚Γ_μm^s 𝛽 _𝑠+ 𝛽 _𝜇 𝑥 ^𝜇

𝑥 ^𝜇𝑥 ^𝑚Γ_mμ^s 𝛽 _𝑠+ 𝛽 _𝜇 𝑥 ^𝜇 = 𝑥 ^𝜇𝑥 ^𝑚Γ_μm^s + 𝑥 ^𝑠 𝛽 _𝑠 = 𝑎^𝑠𝛽 _𝑠 = 𝑎 Dengan

Γ_μ𝑣^s 𝛽 _𝑠 = 𝑑𝛽 _𝜇 𝑑𝑥 ^𝑣= 𝑑

𝑑𝑥 ^𝑣 𝑑𝜉^𝑐 𝑑𝑥 ^𝜇 Γ_μ𝑣^s 𝛽 _𝑠∙ 𝛽 ^λ = Γ_μ𝑣^λ = 𝑑𝑥 ^λ

𝑑𝜉^𝑐 𝑑 𝑑𝑥 ^𝑣

𝑑𝜉^𝑐 𝑑𝑥 ^𝜇 Maka dapat dijabarkan bahwa saat pada kerangka K

Γ_μv^λ = 𝜕𝑥^λ

𝜕𝜉^𝑐

𝜕²𝜉^𝑐

𝜕𝑥^𝜇𝜕𝑥^𝑣 Sedangkan pada kerangka K’

Γ _μv^λ = 𝜕𝑥 ^λ

𝜕𝜉^𝑐

𝜕²𝜉^𝑐

𝜕𝑥 ^𝜇𝜕𝑥 ^𝑣

Syarat sebuah tensor adalah adanya keseragaman seperti di bawah Γ _μv^λ =𝜕𝑥 ^λ

𝜕𝑥^𝑐

𝜕𝑥^d

𝜕𝑥 ^μ

𝜕𝑥^e

𝜕𝑥 ^vΓ_de^c Tetapi bentuk penjabaran dari

Γ _μv^λ = 𝜕𝑥 ^λ

𝜕𝜉^𝑐

𝜕²𝜉^𝑐

𝜕𝑥 ^𝜇𝜕𝑥 ^𝑣 = 𝜕𝑥 ^λ

𝜕𝑥^𝑑

𝜕𝑥^𝑑

𝜕𝜉^𝑐

𝜕²𝜉^𝑐

𝜕𝑥 ^𝜇𝜕𝑥 ^𝑣 = 𝜕𝑥 ^λ

𝜕𝑥^𝑑

𝜕𝑥^𝑑

𝜕𝜉^𝑐

𝜕

𝜕𝑥 ^𝜇

𝜕𝜉^𝑐

𝜕𝑥 ^𝑣