BAB 3 PEMBAHASAN. Contoh 1:

BAB 3 PEMBAHASAN

3.1 Pengolahan Data

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, rantai markov atau proses markov akan digunakan untuk menganalisa data yang diperoleh dalam penelitian ini. Contoh kasus yang digunakan dalam tulisan skripsi ini adalah peluang penyediaan kamera dari sebuah toko, besarnya biaya yang dibutuhkan untuk memperbaiki mesin yang rusak dan peluang steady state yang diperoleh dari suatu sistem PABX yang memiliki 4 line hunting

Contoh 1:

Sebuah toko kamera menyediakan model kamera yang terbaru yang dapat dipesan tiap minggu. Misalkan D1, D2 ,…. mewakili permintaan dari kamera (kamera- kamera akan dijual jika tidak dihabiskan) selama minggu pertama, minggu kedua,

…., berturut-turut. Ini dapat diasumsikan bahwa D_i adalah bebas dan variabel acak yang didistribusikan memiliki distribusi poisson dengan rata-rata 1. Misalkan X₀ mewakili jumlah kamera yang tersedia mula-mula, X₁ jumlah kamera yang tersedia pada akhir minggu 1, X₂

- Misalkan X

jumlah kamera yang tersedia pada akhir minggu 2, dan seterusnya.

0

- Pada malam sabtu toko memasukkan pesanan dimana pesanan dikirim pada saat toko dibuka hari senin.

= 3

- Toko mengeluarkan kebijaksanaan: Apabila tidak ada persediaan kamera, 3 kamera dipesan. Sebaliknya tidak dipesan jika persediaan ada.

- Penjual mengalami rugi apabila permintaan melebihi barang-barang yang ada

Tentukan Peluang Steady State dari permintaan kamera tersebut!

• X_t adalah jumlah kamera yang disediakan pada setiap akhir minggu t,

• D_t memiliki distribusi poisson dengan jumlah sama dengan 1. Artinya bahwa P(D_t+1 = n) = e^-11ⁿ / n untuk n = 0, 1,..

• P(Dt = 0) = e^-1

• P(D

= 0.368

t = 1) = e^-1

• P(D

= 0.368

t = 2) = (1/2) e^-1

• P(D

= 0.184

t

• X

≥ 3) = 1 – (0.368+0.368+0.184) = 0.08

t+1 = max(3-Dt+1, 0) if Xt = 0 and Xt+1 = max(Xt – Dt+1, 0) if Xt

• Matriks transisi satu langkah P

≥ 1, for t = 0,1,2,….

03 = P(Dt+1

• P

= 0) = 0.368

02 = P(D_t+1

• P

= 1) = 0.368

01 = P(Dt+1

• P

= 2) = 0.184

00 = P(Dt+1 ≥ 3) = 0.080

P =

Matriks Transisi 1 langkah

P =

Matriks Transisi 2 langkah

Matriks Transisi 4 langkah P⁽⁴⁾ = P⁽²⁾ P⁽²⁾

Matriks Transisi 8 langkah P⁽⁸⁾ = P⁽⁴⁾ P⁽⁴⁾

Peluang Steady State

Peluang peralihan tingkat keadaan seimbang (Peluang Steady State) adalah peluang peralihan yang sudah mencapai keseimbangan, sehingga tidak akan berubah terhadap perubahan waktu yang terjadi atau perubahan tahap yang terjadi. Secara formal peluang peralihan tingkat keadaan seimbang didefinisikan sebagai berikut:

dimana:

= batas distribusi peluang tingkat keadaan seimbang dalam keadaan j = Peluang perpindahan dari state i ke state j setelah n langkah Peluang Steady State memenuhi persamaan steady state dibawah ini

Dari matriks P yang ada maka dicari Pⁿ untuk mengetahui matriks P itu regular atau tidak.

Misalkan P²

Karena P² merupakan matriks regular yaitu memiliki elemen-elemen yang positif, maka dapat ditentukan peluang Steady State dari matriks P

+

+ 1 = π₀ + π₁ + π₂ + π₃

Sekarang perhatikan matriks peluangnya: Baris pertama menyatakan State 1 = 0.080 State 0 + 0.184 State 1 + 0.368 State 2 + 0.368 State 3 Demikian halnya dengan seterusnya.

Sehingga sistem linear F = (I – P ^t) = 0 adalah

I =

P =

(I – P) =

Maka Sistem Linear F = (I – P ^t) = 0 adalah:

Jika persamaan diatas diselesaikan dengan bentuk eselon baris tereduksi untuk matriks maka diperoleh:

Vektor Steady State dari sistem tersebut adalah :

1. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 0 atau mula – mula dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah 0.286 2. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 1 atau pada akhir minggu 1

dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah 0.285

3. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 2 atau pada akhir minggu 2 dalam keadaan seimbang tanpa memperhitungkan keadaan awal adalah 0.264

4. Peluang permintaan kamera terbaru pada state 3 atau pada akhir minggu 3

Contoh 2:

Seorang pengusaha mencoba memperhitungkan berapa banyaknya biaya untuk perawatan mesin Mr. Andrew. Dia memperhitungkan bahwa biaya untuk perawatan $300 setiap hari jika mesin dalam perbaikan.

Mereka memperkirakan bekerjanya mesin dengan baik menurut peraturan Rantai Markov. Jika mesin itu bekerja hari ini, maka peluang untuk bekerja waktu yang akan datang 95%. Berapa akan dibayar Mr. Andrew tiap tahunnya?

0.95 0.05 0.6

0.4

Gambar 3.1 Peluang Mesin dalam kondisi Bekerja atau Rusak

Untuk menjawab pertanyaan di atas. Diperoleh batas distribusi = ( ) untuk rantainya.

dimana P =

Maka:

Dari persamaan di atas diperoleh:

Maka diperoleh persamaan =

,

⁼

Bekerja (w)

Rusak

(B)

Maka mesin yang rusak diperkirakan 9 hari sekali. Maka biaya yang dibutuhkan untuk memperbaiki mesin tersebut

Maka Biaya untuk tiap tahun diperkirakan $12,000

Contoh 3

Suatu sistem PABX memiliki 4 jalur sibuk (line hunting) dengan satu nomor yang sama. Rata-rata penggunaan jalur (line) dari luar / dalam diasumsikan tetap mengikuti proses Poisson dengan parameter . Lama bicara rata-rata juga tetap dan mengikuti proses eksponensial dengan parameter . Sistem ini memiliki lima status . Diketahui = 6 call / jam dan lama pembicaraan rata – rata 15 menit ( pembicaraan / jam). Hitung peluang steady state sistem tersebut!

Jawab:

Karena ada lima status , E_n

Maka dalam keadaan steady state diperoleh:

, maka ada n jalur yang sedang digunakan.

S = 1 + S = 1 + S = 13,1875

untuk n = 0, 1, 2, 3, 4

= 0,07583

= 0,25592

= 0,38389

Dengan melihat rata-rata peluang diatas maka dapat disimpulkan sistem akan cenderung sibuk walaupun jumlah jalur (line) ditambah. Namun apabila berkurang, misalnya jika berturut-turut 6, 5, 4, 3 akan menghasilkan kemungkinan ada line yang kosong yang lebih baik sebagai berikut:

p₀ p

= 0,13061

1

p

= 0,19592

2

p

= 0,24490

3

p

= 0,24490

4 = 0,18367

1. Peluang steady state yang diperoleh pada Sistem PABX adalah:

0,07583

= 0,11374 = 0,25592 = 0,38389

Dengan melihat peluang steady state dapat disimpulkan bahwa sistem tersebut akan cenderung sibuk walaupun jumlah line ditambah.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

Dari uraian bab-bab sebelumnya dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:

2. Peluang steady state yang diperoleh pada perusahaan kamera tersebut adalah:

Dimana peluang permintaan kamera terbaru pada state 0 atau mula – mula sampai pada akhir minggu atau state 3 mengalami penurunan.

Karena nilai steady statenya sudah sama dengan pⁿ maka hasil yang diperoleh sudah benar.

3. Peluang steady state yang diperoleh pada Sistem PABX adalah:

0,07583

= 0,11374 = 0,25592 = 0,38389

Dengan melihat peluang steady state dapat disimpulkan bahwa sistem tersebut akan cenderung sibuk walaupun jumlah line ditambah.

4.2 Saran

kesehatan dan lain lain. Untuk penerapan rantai markov pada waktu diskrit sudah banyak diteliti. Bagi seseorang yang ingin meneliti tentang rantai markov, dapat juga menerapkan rantai markov pada waktu kontinu dalam kasus-kasus yang lain.

2) Peluang steady state pada perusahaan kamera menunjukkan bahwa permintaan kamera tiap minggunya berkurang. Oleh karena itu penyediaan kamera tidak perlu ditambah lagi.

3) Peluang steady state pada sistem PABX menunjukkan sistem akan cenderung berada dalam kondisi sibuk. Untuk menanggulanginya maka harus semakin kecil, artinya penggunaan line atau jalur harus menurun supaya ada line yang kosong sehingga sistem tersebut tidak terlalu sibuk.