Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat

(1)

JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME 2 NOMOR 1 JANUARI 2011

65

Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat

La Arapu

(Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo)

Abstrak: Telah dibahas lukisan irisan kerucut tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat.

Hasilnya menunjukkan bahwa proses pelukisan tidak berbeda jauh dengan proses pelukisan dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat. Tetapi untuk mengetahui unsur- unsur irisan kerucut (fokus, pusat(jika ada), sumbu, dan puncak) pada sistem koordinat awal lebih cepat dibandingkan dengan melukis irisan kerucut dengan transformasi sumbu-sumbu koordinat.

Sebab dalam lukisan irisan kerucut dengan transformasi sumbu-sumbu koordinat, untuk menentukan unsur-unsur irisan kerucut pada sistem koordinat semula harus dilakukan transformasi balikan lagi.

Kata kunci: irisan kerucut, transformasi sumbu koordinat.

PENDAHULUAN

Bentuk umum irisan kerucut (IK) adalah Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0⁽¹⁾. Untuk B = 0 dari (1) tidak sulit dilukis grafiknya, sebab sumbu-sumbu IK sejajar atau berimpit dengan sumbu-sumbu koordi-nat.

Tetapi untuk B  0, melukis grafik (1) tidak mudah, sebab sumbu-sumbu IK tidak sejajar dengan sumbu-sumbu koordi-nat. Karena itu diperlukan sumbu-sumbu koordinat baru yang sejajar atau berimpit dengan sumbu-sumbu IK itu, agar memudahkan kita melukis grafiknya.

Sumbu koordinat baru yang sejajar atau berimpit dengan sumbu-sumbu IK merupakan sumbu koordinat lama yang ditransformasi, baik dengan rotasi, translasi maupun komposisinya. Jika pada (1), setelah dilakukan transformasi rotasi sumbu-sumbu koordinat pada sistem koordinat (x, y) koefisien variabel berpangkat satu dalam sistem koordinat baru sudah nol (0), maka transformasi sumbu- sumbu koordinat cukup dengan rotasi saja.

Tetapi jika setelah langkah ini dilakukan

koefisien variabel berpangkat satu dalam sistem koordinat baru belum juga nol (0) keduanya, maka masih harus dilakukan translasi lagi agarkoefisien variabel berpangkat satu dalam sistem koordinat terakhir keduanya 0.

Sebagai akibat dari trans-formasi ini, unsur-unsur IK tidak lagi dapat dijelaskan seperti pada sistem koordinat semula. Tentu untuk melihat unsur-unsur ini pada sistem koordinat semula, tinggal dilakukan transformasi balik dari hubungan yang dibentuk oleh transformasi rotasi atau translasi. Memang ini dapat dilakukan tetapi kurang efisien.

Unsur-unsur IK dapat dijelaskan dengan tepat dan efisien pada sistem koordinat semula apabila lukisan IK ini dilakukan tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat. Tetapi melukis IK tanpa transformasi sumbu-sumbu sistem koordinat ini belum banyak dibahas.

Oleh karena itu pembahasan “Melukis grafik

(2)

66

IK tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat”

menjadi sesuatu yang menarik untuk disajikan.

Materi Pendukung

Irisan kerucut terbagi dalam dua kelompok besar, yaitu: irisan kerucut degenerate dan nondegenerate. Irisan kerucut degenerate adalah irisan kerucut yang melalui puncak kerucut dan terdiri dari titik, garis, dan dua garis berpo-tongan. Irisan kerucut nondegenerate adalah irisan kerucut yang tak melalui puncak kerucut dan terdiri dari parabola, elips dan hiperbola. Pada tulisan ini hanya membahas irisan kerucut nondegenerate.

Parabola, Elips dan Hiperbola

Definisi⁽²⁾ Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik di R² sehingga jaraknya terhadap suatu garis tertentu sama dengan jaraknya terhadap sebuah titik tertentu. Titik tertentu itu disebut fokus parabola dan garis tertentu itu disebut arah (direktris) parabola.

Misalkan F(x₁, y₁) adalah fokus suatu parabola dengan direktris d: px+qy + r = 0, maka dengan menggunakan Definisi (2) diperoleh persamaan parabola seperti (1) dengan























2 2 1 2 1 2 2

1 2 2

2 2

r - ) y (x ) q (p F

dan qr) y ) -2((p E

pr), x ) q -2((p D

, p C -2pq, B , q A

q

(3)

dan A, B dan C tidak sekaligus nol ketiganya.

Garis melalui fokus parabola dan tegak lurus direktris disebut sumbu parabola. Titik potong sumbu parabola dengan parabola disebut puncak parabola. Khusus parabola yang direktrisnya x + ₂¹p = 0 dengan fokus (

2

1p, 0) persamaannya adalah y² = 2px⁽⁴⁾. Selanjutnya hubungan (4) disebut

bentuk baku persamaan parabola.

Definisi⁽⁵⁾ Elips adalah tempat kedudukan titik-titik di R² sehingga jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus elips.

Misalkan F₁(x₁, y₁) dan F₂(x₂, y₂) adalah fokus-fokus suatu elips dengan jumlah jarak tetap setiap titik pada elips terhadap kedua fokus adalah k, maka persamaan elips ini adalah 1.1 dengan





















































] k y y x [x G

), y (x 4k G F

, k 8y )G y 4(y E

, k 8x )G x 4(x D

, 4k ) y 4(y C

), y )(y x 8(x B

, 4k ) x 4(x A

2 2 2 2 1 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2

2 2 1

2

2 2 1

2

2 2 1 2

1 2 1 2

2 2 1 2

(6)

dan A, B dan C tidak sekaligus nol ketiganya.

Garis yang melalui kedua fokus elips disebut sumbu mayor elips. Titik tengah ruas garis yang menghu-bungkan kedua fokus disebut pusat elips. Garis yang melalui pusat elips tegak lurus sumbu mayor disebut sumbu minor elips. Titik potong sumbu-sumbu elips dengan elips disebut puncak elips. Khusus elips dengan fokus (c, 0), puncak (a,0) dan (b, 0) persamaannya adalah

2 1

2 2 2



b y a

x ₍₇₎,

dengan a² = b² + c². Selanjutnya hubungan (7) disebut bentuk baku persamaan elips.

Definisi⁽⁸⁾ Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik di R² sehingga selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.

Misalkan F₁(x₁, y₁) dan F₂(x₂, y₂) adalah fokus-fokus suatu hiperbola dengan selisih jarak tetap setiap titik pada hiperbola terhadap kedua fokus adalah k, maka persamaan hiperbola ini adalah (1) dengan A, B, C, D, E dan F seperti pada (6).

(3)

67

Garis yang melalui kedua fokus hiperbola disebut sumbu real hiperbola. Titik tengah ruas garis yang menghubungkan kedua fokus disebut pusat hiperbola. Garis yang melalui pusat hiperbola tegak lurus sumbu real disebut sumbu imajiner hiperbola. Titik potong sumbu real dengan hiperbola disebut puncak real hiperbola. Jelas sumbu imajiner tak memotong hiperbola. Sebab apabila persamaan sumbu ini disubstitusi kepersamaan hiperbola diskriminan persamaan kuadratyang terbentuk kurang dari nol. Tetapi jika diambil nilai mutlak diskriminan ini, maka persamaan kuadrat yang terjadi akan mempunyai penyelesaian. Penyelesaian persamaan kuadrat yang diperoleh dengan menggunakan nilai mutlak diskriminan ini menghasilkan puncak imajiner hiperbola.

Persamaan hiperbola dengan fokus (c, 0), puncak real (a,0) dan imajiner (b, 0) adalah

2 1

2 2 2



b y a

x ₍₉₎,

dengan c² = a² + b². Selanjutnya hubungan (9) disebut bentuk baku persamaan hiperbola.

Gradien sumbu-sumbu IK (1) sangat ditentukan oleh nilai B. Sumbu IK untuk B = 0 telah dijelaskan pada pendahuluan dan untuk B  0 diberikan dalam teorema berikut.

Teorema⁽¹⁰⁾ Jika sumbu IK (1) membentuk sudut  terhadap sb-x⁺, maka cot2 =

B C A . Bukti

Pada sistem koordinat (x, y) dibentuk sumbu-sumu koordinat baru x' dan y'

sehingga (sb-x⁺, sb-x'⁺) =  dan melalui O(0, 0). Ini berarti sistem koordinat baru (x',y') mempunyai pusat yang sama dengan sistem koordinat (x, y). Dari kedua sistem koordinat ini untuk setiap titik P dalam R² diperoleh dua koordinat, pertama terhadap (x, y) dan kedua terhadap (x',y'). Jika (x, y)

koordinat P terhadap (x, y) dan (x',y') koordinat P terhadap (x',y'), maka hubungan antara kedua koordinat ini adalah















 cos ' sin '

sin ' cos '

y x

y

y x

x ₍₁₁₎.

Oleh karena itu (1) menjadi

A(x'cos -y'sin)²+B(x'cos -

'

y sin)(x'sin +y'cos) +C(x'sin

+y'cos)²+D(x'cos -y'sin)+

E(x'sin +y'cos)+F = 0.

Dari penjabaran hubungan ini kemudian mengumpulkan suku-suku sejenis menghasilkan

A' x'²+B' x' y'+C' y'²+D' x'+E' y'+F' = 0⁽¹²⁾,

dengan

A' = Acos² + Bcos sin + Csin² ,

B' = Bcos2 - (A-C)sin2,

C' = Asin² - Bcos sin + Ccos² ,

D' = Dcos + Esin,

E' = -Dsin + Ecos dan F' = F.

Untuk B' = 0 pada (12), berarti sumbu- sumbu IK (12) sejajar atau berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat (x',y'). Tetapi jika

B' = 0, maka Bcos2 - (A-C)sin2 = 0.

Terbukti.

Jenis IK ditentukan oleh determinan matriks yang entrinya adalah koefisien variabel yang berpangkat dua dari (1). Sekarang misalkan

m =

C B

B A

2 1 21

(13), dengan A, B dan C koefisien variabel yang berpangkat dua dari (1). Jika m = 0, m > 0 dan m < 0, maka (1) berturut-turut adalah parabola, elips dan hiperbola.

Kita kadang-kadang ingin melihat kesamaan dua IK dari persamaan yang

(4)

68

diberikannya. Untuk melihat ini misalkan diberikan dua irisan kerucut berikut

IK₁: A₁x² + B₁xy + C₁y² + D₁x + E₁y + F₁ = 0 dan IK₂: A₂x² + B₂xy + C₂y² + D₂x + E₂y + F₂ = 0.

Dikatakan bahwa IK₁ sama dengan IK₂ jika terdapat suatu   0 sehingga

(A₁,B₁,C₁,D₁,E₁,F₁)

=(A₂,B₂,C₂,D₂,E₂,F₂)⁽¹⁴⁾.

Ketiga jenis IK non degenerate di atas hanya dua jenis yang mempunyai pusat, yaitu;

elips dan hiperbola. Lingkaran merupakan suatu kejadian khusus dari elips.

Teorema⁽¹⁵⁾. Misalkan (1) adalah elips atau hiperbola. Jika (x₀, y₀) adalah pusat IK, maka x₀ dan y₀memenuhi 2Ax₀ + By₀ + D = 0 dan Bx₀ + 2Cy₀ + E = 0.

Bukti. (La Arapu, 2010, 156).

Garis Singgung Parabola, Elips dan Hiperbola Pada setiap jenis IK (1) kita dapat membuat garis singgung. Dari proses pembentukannya ada tiga jenis garis singgung yang dapat dibuat pada setiap IK, yaitu; 1.

garis singgung melalui sebuah titik di luar IK, 2. garis singgung melalui sebuah titik pada IK, dan 3. garis singgung sejajar dengan suatu garis tertentu. Pada tulisan ini hanya dibahas jenis garis singgung pertama dan ketiga.

Jenis garis singgung pertama terkait dengan letak titik yang dilalui terhadap suatu IK. Oleh karena itu kita harus menentukan dahulu letak titik yang dilalui itu. Letak suatu titik yang tidak terletak pada IK dijelaskan dalam definisi berikut.

Definisi⁽¹⁶⁾ Diberikan suatu titik P tidak pada IK. Dikatakan bahwa P terletak di dalam IK apabila setiap garis melalui P memotong IK, apabila tidak dikatakan P terletak di luar IK.

Diberikan suatu IK (1) dan suatu titik P(x₁, y₁) tidak pada IK. Melalui P dibuat garis g dengan gradien m, maka g: y = m(x₁ –

x₁) + y₁. Jika g dipotongkan dengan IK, maka diperoleh

[A+Bm+Cm²]x²+[(B+2Cm)(y₁-mx₁)+

D+Em]x+C(y₁-mx₁)²+E(y₁-mx₁)+

F=0⁽¹⁷⁾. Diskriminan (17) adalah D* = A*m² + 2B*m + C*⁽¹⁸⁾, dengan

A* =

E Bx F Dx Ax

4C E

Bx

1 1

2 1

1



 ,

B* =

E 2Cy 2F Ey Dx y Bx

B D

2Ax

1 1

1 1 1

1



 dan

C* =

D By F Ey Cy

4A D

By

1 1

2 1

1



 .

Semua g akan memotong IK apabila D*  0 untuk setiap m. Sekarang mari kita tinjau 3 kasus.

Jika A* = B* = 0^(19a), maka

 D* < 0 apabila C* < 0 untuk setiap m^(19a(1)) dan

 D*  0 apabila C*  0 untuk setiap m^(19a(2)).

Jika A* = 0 dan B*  0, maka terdapat m₀<- C*/2B* sehingga D*< 0^(19b).

Jika A*  0, maka diperoleh D*=

A*(m+B*/A*)²+

*

*)2 (

*

* A

B C

A  .^(19c)

 Jika A* < 0, maka A*(m+B*/A*)² < 0 untuk m  -B*/A*. Ini berarti terdapat m₁R

sehingga A*(m₁+ B*/A*)²

+ *

*)2 (

*

* A

B C

A  <0.^(19c(1))

x

y s

d Gbr.1

F



(5)

69

 Jika A* > 0, maka A*(m₁+B*/A*)² = 0 untuk m = -B*/A* dan D* minimum^(19c(2)). Jadi

 D* < 0 apabila

*

*)2 (

*

* A

B C

A  < 0, untuk suatu m^(19c(2i)) dan

 D*  0 apabila 0

*

*)2 (

*

*  

A B C

A untuk

setiap m^(19c(2ii)).

Uraian ini menghasilkan teorema letak suatu titik terhadap IK berikut.

Teorema⁽²⁰⁾ Jika P(x₁, y₁) tidak pada (1), maka P terletak di luar IK apabila memenuhi (19a(1)) atau (19b) atau (19c(1)) atau (19c(2i)) dari 3 kasus di atas dan sebaliknya P terletak di dalam IK apabila memenuhi (19a(2)) atau (19c(2ii)) dari 3 kasus di atas, dengan A*, B* dan C* seperti pada (18).

Selanjutnya jika P di luar IK, maka melalui P dapat dibuat garis singgung IK. Jika m gradien garis singgung IK (1) melalui P(x₁, y₁), maka m memenuhi

A*m² + 2B*m + C* = 0⁽²¹⁾, dengan A*, B* dan C* seperti pada (18).

Jenis IK yang mempunyai asimptot hanya hiperbola. Asimptot hiperbola adalah garis singgung hiperbola yang melalui pusatnya. Misalkan m adalah gradien asimptot hiperbola. Jika (1) adalah hiperbola, maka m memenuhi

A + Bm + Cm² = 0⁽²²⁾.

Jika C = 0 pada (22), maka nilai m tunggal, padahal asimptot hiperbola harus dua. Untuk itu misalkan m = 1/k, sehingga (22) menjadi

Ak² + Bk = 0⁽²³⁾.

Pada (23) kita mempunyai dua gradien garis, yaitu m₁   dan m₂ = 1/k₂. Dalam hal (23) salah satu asimptotnya sejajar sumbu y.

Teorema⁽²⁴⁾ Diberikan suatu garis g dengan gradien m. Jika garis h: y = mx + k menyinggung (1), maka k memenuhi Pk² + 2Qk + R = 0, dengan

P = C B A B 2

2 , Q =

D B A

E C B

m 2

2

0

1

dan R =

Em D Cm Bm A

F Em

D



2

4 .

Bukti. (La Arapu, 2010, 189).

Untuk garis sunggung (1) yang sejajar sb-y dapat ditentukan dengan mudah.

PEMBAHASAN

Lukisan IK tanpa transformasi sumbu- sumbu koordinat akan dibahas berdasarkan jenisnya. Jadi ada 3 jenis IK yang akan dibahas, yaitu; parabola, elips, dan hiperbola.

Parabola

Misalkan IK (1) adalah parabola. Untuk melukis (1) kita harus menentukan lebih dahulu sumbu, fokus, direktris dan puncak parabola. Ke-4 unsur ini dapat ditentukan apabila IK (1) disamakan dengan IK dari Definisi (2) dengan koefisien seperti (3).

Kesamaan kedua IK ini menurut (14) menghasilkan hubungan

[q², -2pq, p², -2((p²+q²)x₁+pr), -((p²+q²)y₁+qr),(p²+q²)(x₁²+y₁²)– r²]

= (A, B, C, D, E, F)⁽²⁵⁾,

untuk suatu   0, dengan direktris d: px + qy + r = 0, dan fokus F(x₁, y₁).

Penyelesaian sistem persamaan (25) adalah d dan F. Sumbu parabola ditentukan dengan membuat garis melalui F tegak lurus d.

Selanjutnya misalkan Q adalah titik potong d dan sumbu parabola, maka puncak parabola adalah titik tengah FQ. Dengan data ini kita dapat melukis suatu parabola tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat.

Contoh 1

Lukis grafik IK: 16x² – 24xy + 9y² + 3x + 4y + 5 = 0!

Penyelesaian

(6)

70

IK adalah parabola, sebab

9 12

12 16



 = 0. Misalkan direktris dan fokus parabola ini berturut-turut adalah d: px + qy + r = 0, dan F(x₁, y₁). Maka menurut (25) diperoleh

hubungan 1. q² = 16, 2. -2pq = -24, 3. p² = 9,

4. -2((p²+q²)x₁ + pr) = 3, 5. -2((p²+q²)y₁ + qr) = 4, 6. (p²+q²)(x₁²+y₁²) – r² = 5.

Dari 2 diperoleh  = pq/12. Karena itu 1 menjadi

7. q² = 16pq/12 atau q = 4p/3.

Karena sumbu parabola tegak lurus d, maka gradien sumbu parabola adalah m_s = q/p = 4/3. Jadi gradien d adalah m_d = -3/4, sehingga d: 3x + 4y + r = 0. Jadi p = 3, q = 4 dan  = 1, sehingga 4 mejadi -2(25x₁ + 3r) = 3 atau

8. r = -(50x₁ + 3)/6, dan 5 menjadi

9. y₁ = 4x₁/3.

Penerapan 8 dan 9 pada 6 meng-hasilkan x₁ = -63/100, y₁ = -21/25 dan r = 19/4. Jadi F(- 63/100, -21/25), d: 12x + 16y + 19 = 0 dan sumbu parabola adalah s: y = 4x/3. Lukisan grafik parabola ini tampak seperti pada Gbr. 1.

Hasil ini tidak dapat katakan lebih mudah, sebab tidak ada pembanding-nya.

Karena itu pada akhir tulisan ini diberikan penyelesaian dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat.

Elips

Misalkan (1) adalah suatu elips. Grafik suatu elips dapat dilukis apabila kita mengetahui pusat, jarak antara kedua puncak pada sumbu mayor dan jarak antara kedua puncak pada sumbu minor. Menurut Teorema

(15) pusat elips ini adalah (x₀, y₀) dengan

x₀ = (BE-2CD)/(4AC-B²) dan y₀ = (BD-2AE)/(4AC-B²). Sumbu-sumbu elips dapat ditentukan setelah gradien sumbu- sumbu elips diketahui dari Teorema (10) dan sumbu itu harus melalui pusat elips.

Misalkan gradien sumbu-sumbu elips ini adalah m₁ dan m₂, maka garis-garis yang sejajar sumbu elips adalah g: y = m₁x + k dan h: y = m₂x + t. Jika g menyinggung elips, maka menurut Teorema (24), k memenuhi Pk² + 2Qk + R = 0, dengan P, Q dan R seperti pada Teorema (24) dan m = m₁. Misalkan penyelesaian persamaan kuadrat ini adalah k₁

dan k₂, maka garis singgung elips sejajar g adalah g₁: y = m₁x + k₁ dan g₂: y = m₁x + k₂. Jadi jarak kedua puncak elips itu sama dengan jarak g₁ dan g₂, yaitu; d =

2 1

1 1 2



 m

k

k . Tetapi k₁ dan k₂ adalah akar-akar Pk² + 2Qk + R = 0.

Karena itu k₂ – k₁ =

P

* S

2 , dengan S* = Q² – PR, sehingga

d =

1 m P

* S 2

2

(26),

dengan S* = Q² – PR dan P, Q dan R seperti pada Teorema (24) dan m = m₁.

Jenis sumbu IK ditentukan oleh nilai d.

Dalam hal ini elips berada dalam posisi baku terhadap sumbu s₁ dan s₂. Jadi d/2 merupakan bilangan a dan b dari elips dalam posisi baku. Dengan menggunakan nilai ini dan hubungan (7) nilai c untuk elips dalam posisi baku pada sumbu ini dapat ditentukan.



Gbr.2 x y

s1

s2

(7)

71

Selanjutnya dengan meng-gunakan sumbu- sumbu elips yang telah diperoleh, maka koordinat fokus dan puncak elips dapat pula ditentukan. Untuk jelasnya perhatikan uraian berikut.

Misalkan fokus elips (1) adalah F(x₁, y₁) dengan sumbu mayor adalah px + qy + r = 0.

Jika pusat elips adalah P(x₀, y₀), maka diperoleh 1). px₁ + qy₁ + r = 0 dan 2). px₀ + qy₀ + r = 0. Selisih kedua persamaan ini adalah 3). p(x₁-x₀) + q(y₁-y₀) = 0. Selanjutnya misalkan jarak kedua puncak pada sumbu mayor adalah d₁ dan jarak kedua puncak pada sumbu minor adalah d₂, maka a = d₁/2 dan b

= d₂/2. Jadi menurut hubungan (7) nilai c dapat ditentukan. Tetapi nilai mutlak c adalah jarak pusat elips ke fokusnya. Jadi 4). (x₁x₀)²(y₁y₀)²= c. Dengan menyelesaikan hubungan 3) dan 4) diperoleh

F(x₀ 

2

2 q

p cq



, y₀ 

2

2 q

p cp



)⁽²⁷⁾ sebagai fokus elips, dengan (x₀, y₀) adalah pusat elips. Dengan cara yang sama puncak elips pada kedua sumbu dapat ditentukan.

Contoh 2

Lukis grafik IK: 41x² – 24xy + 34y²– 90x + 5y + 25 = 0!

Penyelesaian

IK adalah elips, sebab

34 12

12 41



 = 1250 > 0. Pusat elips adalah (6/5, 7/20).

Karena B = -24  0, maka sumbu-sumbu elips telah mengalami rotasi dari sumbu sistem koordinat (x, y). Misalkan sumbu elips membentuk sudut  terhadap sb-x⁺, maka menurut Teorema (10),  memenuhi cot2 = -7/24 atau tan 2 = -24/7. Karena tan 2 = 2tan/(1-tan²), maka 12tan² -7tan -12 = 0.

Penyelesaian persamaan kuadrat ini dalam tan adalah tan₁ = 4/3 atau tan₂ = -3/4.

Tetapi tan₁ adalah gradien yang dibentuk oleh

sumbu elips dan sb-x⁺. Jadi gradien sumbu- sumbu elips ini adalah m_s1 = 4/3 dan m_s2 = - 3/4. Karena kedua sumbu ini harus melalui pusat elips maka kedua sumbu elips ini secara eksplisit adalah s₁: y = 4x/3 -5/4 dan s₂: y = - 3x/4 + 5/4.

Misalkan jarak kedua puncak elips pada s₁ dan s₂ berturut adalah d₁ dan d₂, maka menurut hubungan (26) didapat d₁

=

1 m P

* S 2

2 s2 

dan d₂ =

1 m P

* S 2

2 s1 

, dengan S* = Q² – PR. Menurut Teorema (24) untuk d₂ diperoleh

P =

24 34 . 2

41 . 2 24



 = -5000,

Q =

90 24 82

5 68 24

0 3 1

4



 = -6250 dan

R =

3 250 9

625 3 100 250



 = 0. Sehingga dalam d₂, S*

= 39063500 dan m_s1²1= 5/3. Jadi d₂ = 3/2. Dengan cara yang sama seperti d₂ untuk m_s2 = -3/4, diperoleh d₁ =

2

3 . Karena d₁ >

d₂, maka sumbu mayor elips adalah s₂ dan sumbu minor elips adalah s₁. Jadi menurut (7) diperoleh b = ¾ dan a =

2 2

3 sehingga c = ¾.

Dari 3.2.2 diperoleh F(6/5 3/5, 7/20

 9/20) sebagai fokus elips. Puncak pada kedua sumbu dapat diperoleh dengan mudah.

Lukisan grafik elips ini tampak dalam Gbr. 2.

Sebagai pembanding, diakhir tulisan ini diberikan proses melukis elips pada soal ini dengan menggunakan transformasi sumbu- sumbu koordinat.

Hiperbola

Misalkan (1) adalah suatu hiperbola.

Grafik suatu hiperbola dapat dilukis apabila kita mengetahui pusat, sumbu, jarak antara

(8)

72

kedua puncak pada sumbu real dan asimptot- asimptotnya.

Pusat hiperbola (1) secara umum sama dengan pusat elips. Gradien kedua sumbu hiperbola juga dapat ditentukan seperti menentukan gradien sumbu elips. Sumbu real hiperbola dapat dilihat dari S* pada hubungan (26). Jika S* < 0, maka sumbu itu adalah sumbu real sebaliknya jika S* > 0, maka sumbu itu adalah sumbu imajiner. Jarak kedua puncak pada sumbu imajiner di dapat dari

d₃ =

1 m P

* S - 2

2 s1 

(28),

dengan S* seperti pada (26) dan m_s1 adalah gradien sumbu real. Harga d/2 adalah nilai a dan b suatu hiperbola dalam posisi baku.

Dengan menggunakan nilai ini dan hubungan (9) nilai c dapat ditentukan dalam posisi baku pada kedua sumbu ini. Selanjutnya dengan menggunakan nilai ini dan kedua sumbu, maka fokus dan funcak hiperbola dapat ditentukan.

Kedua asimptot hiperbola dapat ditentukan dengan membuat garis melalui pusat hiperbola setelah gradiennya ditentukan dengan menggunakan (22) atau (23).

Contoh 3

Lukis grafik IK: 5x² - 6xy - 3y² + 168x + 24y + 612 = 0!

Penyelesaian

IK adalah hiperbola, sebab

3 3

3 5



= -24 < 0. Menurut Teorema (15), pusat hiperbola adalah P(-10, 14). Karena B = -6  0, maka sumbu-sumbu hiperbola telah mengalami rotasi dari sumbu sistem koordinat (x, y). Misalkan sumbu hiperbola membentuk sudut  dengan sb-x⁺, maka menurut Teorema (10),  memenuhi cot2 = -4/3 atau tan2 = -3/4. Tetapi tan 2 = 2tan/(1- tan²). Jadi 8tan = -3 + 3tan².

Penyelesaian persamaan kuadrat ini dalam tan adalah tan₁ = 3 atau tan₂ = -1/3. Jadi

gradien sumbu-sumbu hiperbola adalah m₁ = 3 dan m₂ = -1/3. Karena kedua sumbu hiperbola harus melalui P, maka kedua sumbu hiperbola itu adalah s₁: 3x – y + 44 = 0 dan s₂: x + 3y –32 = 0. Selanjutnya untuk s₁ diperoleh P_s1=

6 6

10 6



 = 96, Q_s1 =

168 6 10

24 6 6

0 1 3



 = -3840 dan R_s1 =

240 40

2448 240

 = 155520, sehingga S_s1* = - 184320. Ini berarti s₁ adalah sumbu real. Dari s₂ diperoleh P_s2 = 96, Q_s2 =

168 6 10

24 6 6

0

3 1

1



 

= -960 dan R_s2 =

9 160 60

2448

160 = 9280, sehingga S_s2* = 30720. Jadi jarak kedua puncak real hiperbola itu adalah d₁ =

3 / 10 96

30 32 .

2 = 2 3 dan jarak kedua pancak

imajiner-nya adalah d₂ =

10 6 9

5 3 . 64 .

2 = 2 2.

Menurut (9) diperoleh a = 3 dan b = 2, sehingga c = 5. Dengan cara yang sama seperti pada elips diperoleh F(-10

2

 1 ,

14

2

3 ) sebagai fokus hiperbola. Puncak pada kedua sumbu hiperbola dapat ditentukan dengan mudah setelah menggunakan (27)

Gbr.3



s1

s2

a2

a1

x y

(9)

73

sekali lagi dengan mengganti c dengan a atau b.

Asimptot adalah garis singgung hiperbola yang melalui pusatnya. Ini berarti P harus terletak di luar IK. Tetapi menurut hubungan (18) diperoleh A* =

84 568 -

12 -

84 =240,

B*=720 -60 6 -

68 =240 dan C*=

84 360

20

84 = -144 diperoleh

*

*)2 (

*

* A

B C

A  = -384 < 0.

Jadi menurut Teorema (20) titik P terletak di luar hiperbola. Misalkan m adalah gradien asimptot hiperbola, maka menurut hubungan (22) diperoleh 5 – 6m – 3m² = 0. Jadi m₁

= -(³^² ⁶)/6 atau m₂ = - (32 6)/6, sehingga asimptot hiperbola itu adalah a₁: (³^² ⁶)x + 6y + 20 ⁶ - 54 = 0 dan a₂: (32 6)x + 6y - 20 6 - 54 = 0.

Lukisan grafik hiperbola ini tampak seperti Gbr. 3.

Sebagai pembanding di bawah ini, diberikan lukisan grafik IK dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat.

Lukisan IK dengan Transformasi Sumbu Koordinat.

Lukisan grafik dari tiga contoh yang diberikan hanya contoh 1 yang akan dibahas.

Sebab penyelesaian ketiga soal ini dengan transformasi sumbu-sumbu koordinat mengguna-kan prosedur yang sama.

Contoh 1 dengan transformasi sumbu-sumbu koordinat

Pada contoh ini kita diminta untuk melukis grafik IK: 16x² – 24xy + 9y² + 3x + 4y + 5 = 0!

Penyelesaian

Sumbu IK telah mengalami rotasi dari sumbu sistem koordinat (x, y), sebab B = - 24  0. Oleh karena itu diperlukan suatu

sistem koordinat baru sehingga sumbu-sumbu sistem koordinat baru itu sejajar dengan sumbu IK dan pusatnya berimpit dengan sistem koordinat (x, y). Misalkan sistem koordinat baru yang dibentuk itu adalah (x',y'). Jika (sb-x'⁺, sb-x⁺) = , maka  memenuhi cot2 = -7/24. Jadi cos2 = - 7/25. Oleh karena itu cos = 3/5 dan sin

= 4/5. Karena itu menurut 2.1.4.3 diperoleh

'

A = 0, B'= 0, C'= 25, D'= 5, E' = 0 dan

'

F = 5. Karena itu IK pada soal ini dalam sistem koordinat (x',y') menjadi 5y'² + x' + 1 = 0 atau y'² = -(x'+ 1)/5. Jika diambil y'

= y" dan x'+ 1 = x", maka dalam sistem koordinat (x",y") persamaan IK dalam soal ini menjadi y"² = -x"/5. Jadi IK ini adalah suatu parabola dan grafiknya tampak seperti Gbr. 4.

Memang dari jawaban yang ditampilkan penyelesaian dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat kelihatannya lebih sederhana. Tetapi untuk menentukan unsur-unsur IK seperti; direktris, fokus dan sumbu juga pusat untuk elips dan hiperbola dalam sistem koordinat semula belum diketahui. Untuk itu kita masih harus melakukan pekerjaan lanjutan.

Menurut Teorema (10) jika (sbx'⁺, sb-x⁺) = , maka hubungan antara kedua koordinat dari dua sistem koordinat ini adalah x = x'cos -y'sin, y =x'sin +y'cos. Penye-

lesaian SPL ini dalam x' dan y' adalah x' = xcos + ysin dan y' = ycos - xsin . Direktris parabola y"² = -x"/5 adalah x" =

Gbr.4

x

' y

y

"

y x" x '

(10)

74

1/20 dalam sistem koordinat (x",y"). Tetapi '

x + 1 = x". Jadi x' + 1 = 1/20, sehingga xcos + ysin + 1 = 1/20. Karena cos = 3/5 dan sin = 4/5, maka 3x + 4y + 5 = 1/4. Jadi direktris IK dalam sistem koordinat (x, y) adalah d: 12x + 16y + 19 = 0. Fokus parabola y"² = -x"/5 adalah (-1/20, 0) dalam sistem koordinat (x",y"). Jadi x"= - 1/20 dan y" = 0. Karena x' + 1 = x"

dan y' = y", maka x' + 1 = -1/20 dan '

y = 0. Tetapi x' = xcos + ysin dan y'

= ycos - xsin, maka xcos + ysin + 1 = -1/20 dan ycos - xsin = 0. Dengan nilai cos dan sin tersebut, maka diperoleh sistem persamaan t: 12x + 16y + 21 = 0 dan 4x – 3y

= 0. Fokus parabola diperoleh dari penyelesaian SPL ini, yaitu F(- 63/100, -21/25). Karena sumbu parabola harus melalui fokus dan tegak lurus d, maka sumbu parabola adalah s: 4x – 3y = 0.

PENUTUP

Berdasarkan pembahasan di atas diperoleh beberapa kesimpulan berikut.

Dengan melukis parabola tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat, kita langsung mengetahui unsur- unsur parabola itu, yaitu:

direktris, fokus dan sumbu parabola.

Sebaliknya jika menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat, unsur-unsur ini diketahui setelah melalukan transformasi balikan lagi.

Melukis elips tanpa transfor-masi sumbu-sumbu koordinat memang hanya pusat elips dan jarak kedua puncak yang diperoleh secara langsung. Fokus elips dapat ditentukan

dengan menggunakan jarak pusat dan puncak pada kedua jenis sumbu elips dengan menerapkan hubungan (27). Puncak-puncak elips diperoleh dari penerapan hubungan (27) lagi. Tetapi dengan menggunakan transformasi sumbu-sumbu koordinat, untuk menentukan ini kita harus melakukan transformasi balikan lagi.

Sama dengan melukis elips tanpa transformasi sumbu-sumbu koordinat, melukis hiperbola juga dengan mudah menentukan sumbu, fokus dan puncak-puncak hiperbola, tetapi dengan menggunakan hubungan (9) untuk menentukan fokus-fokusnya.

DAFTAR RUJUKAN Arapu, La. 2010. Geometri Analitik Datar,

Cetakan pertama. Scientia Publishing.

Gresik, surabaya.

Leithold, Louis. 1983. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, jilid 2. Alih bahasa M.

Margha. Bina Aksara. Jakarta.

Purcell, Edwin J. 1986. Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 2 Edisi Ketiga. Alih bahasa I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita dan Rawuh. Erlangga.

Jakarta.