1
TRANSISI DARI BERPIKIR ARITMETIS
KE BERPIKIR ALJABARIS
Erry Hidayanto, Purwanto, Subanji, Swasono Rahardjo Pendidikan Matematika Pascasarjana Universitas Negeri Malang
Universitas Negeri Malang erryhidayantoum@gmail.com
081803829306
Abstrak: Variabel secara formal mulai dipelajari oleh siswa ketika sis-wa belajar tentang aljabar. Sebelum belajar tentang aljabar, sissis-wa belajar tentang aritmetika di SD yaitu hanya fokus pada berpikir arit-metis. Sementara di SMP siswa dituntut berpikir aljabaris. Oleh ka-rena itu terjadi suatu transisi berpikir dari berpikir aritmetis ke ber-pikir aljabaris.
Penelitian ini bertujuan untuk mendeskripsikan proses transisi berpikir siswa dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris. Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah pendekatan kualitatif dan masuk ke dalam jenis penelitian eksploratif. Sumber data penelitian adalah siswa kelas VII. Data penelitian berupa hasil pekerjaan siswa dan hasil wawancara.
Hasil penelitian menunjukkan bahwa proses transisi berpikir terjadi melalui proses (1) menemukan suatu pola, (2) menemukan su-atu hubungan, dan (3) melakukan simbolisasi. Terdapat tiga karak-teristik dalam melakukan simbolisasi ini, yaitu (1) semu, (2) non for-mal, dan (3) formal.
Kata kunci: transisi berpikir, berpikir aritmetis, berpikir aljabaris.
Abstract: Formally, students learn the variables when they learn algebra. Before learning about algebra, students learn about arithmetic in elementary schools focusing only on thinking about arithmetic. In junior high schools, students are required to focus on algebraic thinking. Therefore, there is a transition from arithmetic thinking to algebraic thinking.
This study aimed to describe the students’ thinking transition from arithmetic thinking to algebraic thinking. The qualitative approach - anexploratory study- was used for the purpose. The data sources were the seventh graders. The data were collected through worksheets and interview guides.
The findings showed that the transition process took place through (1) finding a pattern, (2) finding a relationship, and (3) performing symbolization. There are three characteristics of doing
2
symbolization, namely (1) "pseudo", (2) "non-formal", and (3) "formal".
Keywords: thinking transition, arithmetic thinking, algebraic thinking.
Observasi awal yang dilakukan peneliti pada siswa sekolah menengah tingkat pertama kelas 7 di beberapa sekolah di Malang menunjukkan bahwa makna variabel masih merupakan masalah bagi siswa. Konsep variabel belum dipahami dengan se-benarnya oleh siswa. Variabel yang wujudnya berbentuk huruf dipahami hanya seke-dar menggantikan bilangan saja. Variabel belum dipahami sebagai suatu simbol yang dapat melambangkan setiap bilangan dari anggota suatu himpunan.
Aljabar merupakan salah satu cabang matematika yang mulai dipelajari secara formal oleh siswa tingkat Sekolah Menengah Pertama (SMP). Konsep aljabar didahu-lui oleh aritmetika sebagai dasarnya. Sebelum belajar tentang aljabar, selama kurang lebih 6 tahun, siswa belajar tentang aritmetika yaitu bekerja dengan bilangan-bilang-an, operasi hitung serta sifat-sifatnya di Sekolah Dasar (SD). Aljabar sering disebut juga sebagai generalisasi dari aritmetika (Tall, 1992; Usiskin, 1999; Thomas & Tall, 2002; Subramaniam & Banerjee, 2004; Warren, 2002, 2004; Tent, 2006; Carraher, 2006;Kriegler, 2008; Cooper & Warren, 2008;Warren & Cooper, 2009), sedangkan Kriegler (2008) mengatakan bahwa aljabar merupakan penjaga gerbang untuk belajar matematika yang lebih lanjut. Pendapat-pendapat tersebut menunjukkan bahwa antara aritmetika dan aljabar terdapat suatu kaitan erat dan untuk belajar matematika perlu belajar aljabar terlebih dahulu.
Pada aritmetika, yang dikenal oleh siswa baru tentang bilangan, sedangkan pa-da aljabar supa-dah dikenal huruf sebagai suatu simbol pengganti bilangan atau biasa di-sebut variabel. Wu (2009) mengatakan bahwa proses penggantian bilangan dengan variabel ini merupakan suatu lompatan yang besar. Oleh karena itu, terjadilah suatu transisi dari bekerja dengan bilangan-bilangan, operasi hitung serta sifat-sifatnya ke simbol-simbol umum yang berupa huruf-huruf, operasi serta sifat-sifatnya, dan penye-lesaian suatu persamaan. Menurut Alibali (2005) siswa harus mampu menggunakan simbol-simbol tersebut, karena hal itu merupakan dasar untuk memahami aljabar. Se-jalan dengan pendapat Alibali tersebut, Naidoo (2009) berpendapat bahwa kelancar-an trkelancar-ansisi dari aritmetika ke aljabar akkelancar-an mempengaruhi siswa pada saat belajar ten-tang matematika. Sedangkan Stacey (2012) mengatakan bahwa antara aritmetika dan aljabar seakan terdapat suatu tembok yang menghalangi siswa, sehingga hal ini bisa menjadikan suatu hambatan bagi siswa untuk belajar aljabar. Kesenjangan yang terdapat antara aritmetika dan aljabar yang dinamakan transisi itulah yang dikaji dalam penelitian ini.
Menurut Proulx (2006) transisi dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris merupakan langkah yang paling sulit dalam kehidupan matematika siswa. Transisi dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris tersebut tidak selalu berjalan mulus. Banyak peneliti telah mencoba untuk mengidentifikasi sumber kesulitan mereka. Penelitian ini difokuskan pada faktor-faktor yang mempengaruhi belajar siswa ketika terjadi transisi dari aritmetika ke aljabar. Peneliti-peneliti tersebut antara lain: Gray & Tall (1991), Thomas & Tall (2002), Castro & Godino (2010), Arcavi (1994), Warren (2003), Gallardo & Hernadez (2005), Breiteig & Grevholm (2006), Proulx (2006),
3
Livneh & Linchevki (2007), Tall (2008), Malisani & Spagnolo (2009), dan Hunter (2010)
Peneliti mengungkap bagaimana proses berpikir siswa pada masa transisi berpikir dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris. Fokus penelitian ini adalah me-nyelidiki bagaimana proses terjadinya transisi berpikir siswa dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris. Peneliti memotret bagaimana terjadinya transisi berpikir dari berpi-kir aritmetis ke berpiberpi-kir aljabaris. Secara khusus penelitian ini mendeskripsikan ba-gaimana cara siswa memunculkan simbol variabel dalam proses peralihan berpikir dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris. Aspek yang dikaji oleh peneliti berkenaan dengan (1) bagaimana menemukan suatu pola (pattern) perhitungan, (2) bagaimana menemukan suatu hubungan (relation) dalam pola, dan (3) bagaimana proses menuliskan simbolisasi (symbolization). Hal ini perlu dilakukan karena jika mengetahui bagaimana terjadinya peralihan proses berpikir atau transisi proses berpikir maka guru bisa membantu siswa dengan memberikan strategi, metode, atau model pembelajaran yang tepat agar siswa tidak mengalami kesulitan dalam melewati masa transisi ini. Guru dapat membantu siswa mengatasi kesulitan-kesulitan yang dialami siswa dengan memberikan bantuan yang diperlukan agar siswa dapat melewati masa transisi ini dengan baik. Oleh karena itu, penelitian ini mengaji proses transisi berpikir siswa dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris.
Berpikir aritmetis merupakan berpikir yang berkaitan dengan menghitung bilangan yang melibatkan operasi-operasi pada bilangan. Menurut Kieran (2004) da-lam kerangka aritmetis, operasi yang dilakukan siswa cenderung tidak melihat aspek relasional dari operasi tetapi mereka hanya fokus pada masalah menghitung (calcu-lating). Jadi menurut pendapat Kieran, berpikir aritmetis itu hanya fokus pada masa-lah perhitungan jawaban numerik (numerical answer) saja. Berpikir dengan menguta-makan menghitung pada masing-masing ruas juga termasuk berpikir aritmetis. Jika diberikan suatu masalah dalam matematika, maka masalah itu akan dibawa ke dalam bentuk-bentuk perhitungan (komputasi) serta hasil operasi-operasinya pada bilangan. Operasi-operasi pada bilangan tersebut yaitu penjumlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian. Berpikir ini masih belum mengenal bentuk bilangan secara umum yang diwujudkan dalam bentuk huruf sebagai simbolnya.
Berpikir aljabaris melibatkan pembentukan generalisasi dari pengalaman be-kerja dengan bilangan dan perhitungan, memformalkan ide-ide dengan menggunakan simbol yang bermakna, dan mengeksplorasikan konsep dari pola dan fungsi. Berpikir aljabaris merupakan unsur penting dan mendasar dari berpikir matematis dan penalaran. Berpikir aljabaris awalnya melibatkan pengenalan pola dan hubungan matematika umum antara bilangan, benda-benda dan bentuk-bentuk geometris (Windsor, 2009). Berpikir aljabaris pada proses berpikirnya sudah melibatkan suatu pola perhitungan, menemukan suatu hubungan dalam pola, dan melakukan simbolisasi. Proses berpikir suatu kelompok subjek dikatakan pada tahap proses berpikir aljabaris jika kelompok subjek ini pada proses berpikirnya sudah: (1) melibatkan suatu relasi, (2) melibatkan operasi, (3) melibatkan representasi dan penyelesaian masalah, (4) melibatkan bilangan dan huruf, dan (5) mengerti arti (meaning) dari tanda ”=” (dibaca: sama dengan).
Walle, dkk (2010) menulis ada tiga aspek dari berpikir aljabaris, yaitu generalisasi (generalizations), pola (patterns), dan fungsi (functions). Sedangkan me-nurut NCTM (2000: 37), berpikir aljabaris diindikasikan oleh komponen-komponen
4
berikut: (1) mengerti/memahami pola, hubungan, dan fungsi (understand patterns, relations, and functions), (2) melambangkan dan menganalisis situasi matematis serta menggunakan struktur simbol aljabar (represent analyze mathematical situations and structures using algebraic simbols), (3) menggunakan model matematika untuk mere-presentasikan dan memahami hubungan kuantitatif (use mathematical models to represent and understand quantitative relationships), dan (4) menganalisis perubahan dalam bermacam konteks (analyze change in various contexts).
Sementara Kaput (dalam Walle, dkk, 2010), mendeskripsikan lima bentuk berpikir aljabaris, yaitu: menggeneralisasikan dari aritmetika dan dari pola-pola dalam matematika (generalization from arithmetic and from patterns in all of mathematics), menggunakan simbol yang bermakna (meaningful use of simbols), mengaji struktur dalam sistem bilangan (study of structure in the number systems), mengaji pola dan fungsi (study of patterns and functions), dan mengolah model-model matematika dan mengintegrasikan 4 item tersebut (process of mathematical modeling, integrating the first four list items).
Menurut Kieran (2004) supaya transisi dari berpikir aritmetis ke berpikir alja-baris itu sukses maka perlu: (1) fokus pada relasi dan bukan hanya pada perhitungan jawaban numerik saja, (2) fokus pada operasi serta inversnya dan pada ide ada/tidak-nya suatu hubungan, (3) fokus pada keduaada/tidak-nya representasi dan pemecahan masalah daripada hanya pada pemecahannya saja, (4) fokus pada keduanya bilangan (num-bers) dan huruf (letters) daripada bilangan itu sendiri, termasuk: bekerja dengan hu-ruf, unsur tak diketahui (unknowns), variabel, atau parameter, menerima ekspresi literal yang tidak tertutup sebagai suatu respon, membandingkan ekspresi untuk suatu ekivalensi berdasarkan sifat dari jawaban numerik, dan (5) mengerti arti (meaning) dari tanda ”=”. Jadi siswa dikatakan sudah berpikir aljabaris jika siswa sudah meng-gunakan kelima bentuk proses berpikir tadi.
Gray dan Tall (1994) mendefinisikan prosep sebagai suatu simbol yang bersifat fleksibel dan ambigu dalam merepresentasikan kedua proses dan objek. Gray & Tall menyatakan bahwa suatu kunci sukses membawa ke belajar matematika adalah dengan jembatan memisahkan proseptual, dalam arti siswa mampu untuk mengenkapsulasi (encapsulate) proses ke dalam objek dan bergerak fleksibel diantara dua konseptu-alisasi menggunakan simbol yang ambigu. Gray & Tall menyatakan simbol sebagai representasi dari kombinasi proses (process) dan konsep (concept) atau yang disebut prosep (procept).
proses
simbol konsep
Sebagai contoh, 4 merupakan simbol bilangan yang diperoleh dari proses mencacah (counting) dan konsep bilangan (number). Pada penelitian ini peneliti mengacu pada teori proses ke objek yang dikemukakan oleh Gray & Tall tersebut dan mengguna-kannya dalam konteks transisi berpikir dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris. Hal itu khususnya dalam hal bagaimana proses berpikir siswa ketika melakukan sim-bolisasi pada masa transisi tersebut.
Menurut Herbert & Brown (1997), siswa dapat mengeksplorasi konsep alja-barnya dengan jalan tak formal (informal) membangun suatu fondasi (foundation) untuk berikutnya belajar secara formal pada aljabar. Untuk mendorong siswa masuk ke simbol aljabar formal, perlu dilakukan suatu pemanduan pada siswa dalam belajar aljabar. Pemanduan ini dimaksudkan supaya siswa mengomunikasikan yang
dipela-5
jarinya dalam kata atau simbol yang dimilikinya. Siswa dapat mengembangkan pola yang dicari dan mampu menggeneralisasi pola dari situasi konkret.
METODE PE NELITIAN
Peneliti pada awalnya memberikan lembar tugas kepada siswa untuk mengetahui posisi siswa apakah sudah berada pada tahap berpikir aljabaris apa belum. Dalam mengerjakan lembar tugas ini siswa juga diminta untuk mengungkapkan secara lisan (metode think alouds) sebisa mungkin apa yang dipikirkannya ketika mengerjakan masalah itu. Selanjutnya dilakukan karakterisasi atas hasil pekerjaan siswa. Cara ini terus dilakukan dengan berkali-kali dengan mengambil siswa lain lagi sehingga diperoleh hasil pekerjaan siswa yang relatif sama. Berdasarkan karakterisasi ini selanjutnya peneliti mengadakan wawancara kepada siswa yang mewakili kelompoknya untuk mengungkap hal-hal yang diperlukan terkait dengan proses berpikir yang terjadi pada siswa.
Data yang diperoleh dideskripsikan/ dipaparkan berdasarkan keadaan yang sebenarnya untuk memperoleh gambaran secara alami mengenai transisi berpikir yang terjadi pada siswa. Subjek penelitian sebanyak 49 siswa dari dua sekolah, yaitu Madrasah Tsanawiyah Surya Buana yang berlokasi di Jalan Gajayana IV/631 Malang dan SMP Negeri 1 Batu yang berlokasi di Jalan KH Agus Salim 55 Batu. Instrumen penelitian ini adalah peneliti sendiri yang dipandu dengan instrumen lembar tugas dan pedoman wawancara.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Peneliti melakukan penelitian terhadap 49 siswa dari dua sekolah, yaitu Madrasah Tsanawiyah Surya Buana Malang dan Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Batu. Proses transisi berpikir yang dialami oleh siswa terjadi mulai dari saat akhir berpikir aritmetis sampai pada awal berpikir aljabaris. Proses transisi dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris terjadi saat siswa sudah tidak hanya berpikir aritmetis saja, namun siswa juga belum berpikir aljabaris. Proses terjadinya transisi ini dalam bentuk: (1) menemukan suatu pola (pattern) perhitungan, (2) menemukan suatu hubungan (relation) dalam pola, (3) melakukan simbolisasi (symbolization).
Pertama, dalam proses transisi berpikirnya siswa menemukan suatu pola tertentu dari perhitungan-perhitungan yang dilakukannya ketika menyelesaikan masalah yang diberikan oleh peneliti secara aritmetis. Dalam melakukan operasi-operasi perhitungan secara aritmetis ini siswa mengawalinya dengan melakukan coba-coba untuk menemukan pasangan bilangan (guess and check). Setelah siswa menemu-kan pasangan bilangan yang dicari, siswa menemumenemu-kan suatu pola (pattern) tertentu dari perhitungan tadi. Pada kelompok subjek 1 lebih banyak dalam melakukan coba-coba (guess and check) dibandingkan dengan kedua kelompok subjek yang lain. Kedua, dari pola perhitungan yang ditemukan tersebut selanjutnya siswa melihat adanya suatu hubungan (relation) antar bilangan yang dicoba-coba tadi. Berdasarkan temuan ini siswa dapat memikirkan suatu hubungan tertentu bila pasangan bilangan tersebut digantikan oleh suatu simbol. Ketiga, setelah menemukan suatu hubungan antar bilangan, siswa selanjutnya melakukan simbolisasi (symbolization). Simbolisasi yang dilakukan oleh siswa berbeda-beda. Terdapat tiga cara dalam melakukan
sim-6
bolisasi ini, yaitu (1) dengan menyingkat huruf depan kata yang dimaksud, (2) dengan menuliskan simbol berupa gambar, dan (3) dengan menuliskan simbol huruf.
Simbolisasi yang terjadi dapat dibedakan dalam tiga karakteristik yang ber-beda, yaitu simbolisasi ”semu”, simbolisasi ”non formal”, dan simbolisasi ”formal”. Simbolisasi ”semu” dilakukan oleh kelompok subjek 1, simbolisasi ”non formal” di-lakukan oleh kelompok subjek 2, dan simbolisasi ”formal” didi-lakukan oleh kelompok subjek 3. Masing-masing kelompok subjek diwakili oleh 2 subjek, yaitu kelompok subjek1 yang diwakili oleh subjek S1 dan subjek S2, kelompok subjek 2 diwakili oleh subjek S3 dan subjek S4, dan kelompok subjek 3 diwakili oleh subjek S5 dan subjek S6. Tiga karakteristik proses transisi berpikir dari masing-masing kelompok subjek disajikan pada Tabel 1 berikut ini.
Tabel 1 Proses transisi berpikir dari ketiga kelompok subjek
Subjek
Karakteristik
Transisi Proses Transisi
S1 dan S2 Simbolisasi ”semu” Ketika menemukan pola, menemukan hu-bungan, maupun menuliskan simbol meng-gunakan huruf A dan B atau a dan b untuk menyatakan kelereng di kantong A dan kan-tong B. Simbolisasi ini hanya mengambil huruf dari nama kantong A dan kantong B S3 dan S4 Simbolisasi ”non
formal”
Ketika menemukan pola, menemukan hu-bungan, maupun menuliskan simbol meng-gunakan simbol-simbol non formal, seperti gambar kotak dan gambar segitiga untuk menyatakan banyak kelereng di suatu kan-tong
S5 dan S6 Simbolisasi ”formal” Ketika menemukan pola, menemukan hu-bungan, maupun menuliskan simbol meng-gunakan simbol-simbol formal, seperti huruf z dan x untuk menyatakan banyak kelereng di suatu kantong. Simbolisasi ini sudah ber-sifat formal.
Karakteristik pertama, yaitu proses berpikir yang dilakukan oleh subjek
ke-tika menemukan pola, menemukan hubungan, maupun menuliskan simbol menggu-nakan simbol-simbol semu, seperti huruf A dan B atau a dan b untuk menyatakan ke-lereng di kantong A dan kantong B. Simbolisasi yang dilakukan oleh kelompok sub-jek 1 ini mendukung dengan apa yang dikatakan oleh Alibali (2005) dan Hackenberg (2006) bahwa siswa sering memperlakukan variabel sebagai label atau singkatan, misalnya: d = dime, daripada d = nilai dime. Simbolisasi yang dilakukan oleh kelompok subjek 1 yaitu mengambil huruf dari nama kantong A dan kantong B belum menggambarkan simbol yang menyatakan kelereng di kantong A dan kelereng di kantong B. Penafsiran singkatan bisa menjadi penghalang bagi siswa pada transisi ke
7
aljabar. Kelompok subjek 1, selain masih menggunakan simbolisasi semu, ternyata juga lebih banyak berada pada masa transisi, yaitu ketika menemukan pola, menemukan hubungan, dan melakukan simbolisasi.
Simbolisasi ”semu” adalah simbolisasi yang melibatkan simbol selain bilangan tetapi simbolisasinya masih bersifat semu. Penyimbolan ini dilakukan karena sekedar menyingkat huruf depan atau huruf yang terkait dengan topik pembicaraan saja. Seperti yang dilakukan oleh kelompok subjek 1, mereka melakukan penyimbolan tapi masih semu. Hal ini bisa diketahui dari cara menuliskan simbol tersebut berdasarkan huruf depan atau huruf yang muncul pada masalah. Salah satu siswa yang melakukan sim-bolisasi semu tersebut adalah Joko (bukan nama sebenarnya), yang selanjutnya dise-but dengan inisial J. Simbolisasi yang dilakukan oleh J adalah dengan cara menggu-nakan huruf A untuk menyatakan kelereng di kantong A dan huruf B untuk menyata-kan kelereng di kantong B.
Pada tulisan tersebut J menyatakan kantong A = 12 dan kantong B = 12. Pada proses berikutnya ketika J menyatakan hubungan antara kelereng di kantong A adalah dua kali kelereng di kantong B, siswa J menuliskan demikian
Dari yang tertulis tersebut menandakan bahwa J menyatakan kelereng di kantong A dengan huruf ”A” dan kelereng di kantong B dengan huruf ”B”. Apa yang dilakukan oleh J untuk menyatakan kelereng di suatu kantong berdasarkan nama kantongnya tersebut menunjukkan bahwa simbolisasi yang dilakukan oleh J adalah simbolisasi semu. Hal ini dikarenakan J menuliskan simbol tersebut berdasarkan huruf yang muncul pada masalah yaitu kantong A dengan A daripada menyatakan banyak ke-lereng di kantong A dengan A. Peneliti lebih jelas lagi dengan apa yang dituliskan oleh J ketika mengadakan wawancara dengannya. Berikut cuplikan wawancara pe-neliti dengan J tentang penyimbolan tersebut.
P: Apa maksudnya A dan B ini? J: Itu kantong A dan kantong B pak.
P: Kenapa simbolnya kok A dan B? Bukan simbol yang lain? J: Biar sesuai dengan kantongnya pak.
Dari cuplikan wawancara tersebut peneliti menyimpulkan bahwa J melakukan simbol-isasi dengan cara menggunakan huruf yang terkait dengan masalah. Simbolsimbol-isasi seke-dar menyingkat kantong A dengan A dan kantong B dengan B. Simbolisasi yang dila-kukan oleh J belum dalam arti banyak kelereng di kantong A adalah A dan banyak ke-lereng di kantong B adalah B.
Karakteristik kedua, yaitu proses berpikir yang dilakukan oleh subjek ketika
menemukan pola, menemukan hubungan, maupun menuliskan simbol menggunakan simbol-simbol non formal, seperti gambar kotak dan gambar segitiga untuk menya-takan banyak kelereng di suatu kantong seperti yang diungkap oleh Winders dan Bisk (2011) bahwa untuk menghubungkan aritmetika dan aljabar dapat menggunakan penggambaran model (model drawing) sebagai jembatan. Pendekatan dengan peng-gambaran model membawa siswa dari tahap konkret ke tahap abstrak melalui tahap
8
perantara gambar. Kalau dibandingkan dengan kelompok subjek 1, transisi berpikir (menemukan pola, menemukan hubungan, dan melakukan simbolisasi) yang dilaku-kan oleh kelompok subjek 2 ini lebih sedikit dibandingdilaku-kan dengan kelompok subjek 1. Setelah bekerja dengan bilangan, kelompok subjek 2 ini segera ke transisi berpikir, dan tidak lama kelompok subjek ini sudah masuk ke berpikir aljabaris.
Simbolisasi ”non formal” adalah simbol-isasi yang melibatkan simbol yang masih belum merupakan simbol formal untuk al-jabar. Simbol yang dituliskan siswa ini berupa gambar atau sesuatu yang belum beru-pa huruf alfabetis. Oleh karena itu simbolisasi yang dilakukan oleh siswa seperti ini dikatakan simbolisasi non formal. Sesuai dengan pendapat Herbert & Brown (1997) yang menyatakan bahwa siswa dapat mengeksplorasi konsep aljabarnya de-ngan jalan tak formal (informal) untuk membangun suatu fondasi (foundation) belajar secara formal pada aljabar. Seperti yang dilakukan oleh kelompok subjek 2, mereka melaku-kan penyimbolan tapi masih simbolisasi non formal. Salah satu siswa yang melakukan simbolisasi non formal tersebut adalah Diaz (bukan nama sebenarnya), yang selanjut-nya disebut dengan inisial D. Berikut cuplikan pekerjaan yang dituliskan oleh D.
Pada tulisan tersebut D menyatakan kelereng di kantong B dengan huruf ”b” dilan-jutkan dengan menuliskan simbol gambar kotak untuk menyatakan bilangan yang tidak diketahui yang menyatakan banyak kelereng di kantong B. Selanjutnya dari hubungan banyak kelereng di kantong A adalah dua kali banyak kelereng di kantong B maka D menuliskan huruf ”a”untuk menyatakan banyak kelereng di kantong A dan a = 2 . Apa yang dilakukan oleh D untuk menyatakan banyak kelereng di suatu kan-tong berdasarkan dengan menggunakan simbol gambar adalah simbolisasi non formal.
Proses berpikir yang dilakukan oleh subjek di atas sesuai dengan pendapat Winders & Bisk (2011) yang menyatakan bahwa untuk menghubungkan aritmetika dan aljabar dapat menggunakan penggambaran model (model drawing) sebagai jembatan. Pendekatan dengan penggambaran model membawa siswa dari tahap konkret ke tahap abstrak melalui tahap perantara gambar.
Karakteristik ketiga, yaitu proses berpikir yang dilakukan oleh subjek ketika
menemukan pola, menemukan hubungan, maupun menuliskan simbol menggunakan simbol-simbol formal yang ada di aljabar. Dalam memecahkan masalah yang diha-dapinya, kelompok subjek 3 ini sudah menggunakan simbol huruf alfabetis (misalnya x atau z) untuk menyatakan banyak kelereng di suatu kantong. Simbolisasi yang dila-kukan oleh kelompok subjek 3 ini sesuai dengan pendapatnya Groenwald (2008), yaitu dalam merepresentasikan nilai tak diketahui siswa menyatakannya dengan suatu simbol. Hal itu sesuai pula dengan pendapat Tall, dkk (2001) bahwa pada level formal bahwa proses-proses untuk memaknai secara formal suatu konsep adalah dengan mengonstruksi secara formal konsep-konsep tersebut.
Simbolisasi ”formal” adalah simbolisasi yang melibatkan simbol huruf untuk menyatakan banyak kelereng di kantong. Simbol yang digunakan oleh siswa ini memang sudah merupakan simbol formal dalam aljabar yaitu berupa huruf alfabetis.
9
yang masih belum merupakan simbol formal untuk aljabar. Simbol yang dituliskan siswa ini berupa gambar atau sesuatu yang belum berupa huruf alfabetis. Sesuai dengan pendapat Groenwald (2008) bahwa dalam merepresentasikan nilai tak diketahui siswa dapat menyatakannya dengan suatu simbol. Sedangkan Tall, dkk (2001) mengatakan bahwa pada level formal untuk memaknai secara formal suatu konsep adalah dengan mengkonstruksi secara formal konsep-konsep tersebut. Seperti yang dilakukan oleh kelompok subjek 3, mereka sudah melibatkan simbol-simbol for-mal untuk aljabar yaitu dengan huruf alfabetis. Salah satu siswa yang melakukan sim-bolisasi formal tersebut adalah Fifi (bukan nama sebenarnya), yang selanjutnya dise-but dengan inisial F. Berikut cuplikan pekerjaan yang dituliskan oleh F.
Pada tulisan tersebut F menyatakan kelereng di kantong A dengan huruf ”A” dilan-jutkan dengan menuliskan simbol huruf ”x” untuk menyatakan bilangan yang tidak diketahui yang menyatakan banyak kelereng di kantong A. Selanjutnya dari hubungan banyak kelereng di kantong B adalah sisa dari banyak kelereng dikurangi banyak ke-lereng di kantong A maka F menuliskan B = 24 – x . Apa yang dilakukan oleh F untuk menyatakan banyak kelereng di suatu kantong berdasarkan dengan menggunakan simbol huruf ”x” tersebut adalah simbolisasi formal. Proses berpikir yang dilakukan oleh subjek di atas sesuai dengan pendapatnya Groenwald (2008), yaitu dalam merepresentasikan nilai tak diketahui siswa menyatakannya dengan suatu simbol. Hal itu sesuai pula de-ngan pendapat Tall, dkk (2001) bahwa pada level formal bahwa proses-proses untuk memaknai secara formal suatu konsep adalah dengan mengkonstruksi secara formal konsep-konsep tersebut.
Ketiga kelompok subjek yang dikemukakan oleh peneliti itu sejalan dengan yang dikemukakan oleh Herbert & Brown (1997) bahwa siswa dapat mengeksplorasi konsep aljabarnya melalui jalan tak formal (informal) untuk membangun suatu fon-dasi (foundation) sehingga sampai pada tahap formal pada aljabar. Hal ini dilakukan untuk mendorong siswa masuk ke simbol aljabar formal dan mengomunikasikannya dalam kata atau simbol yang dimilikinya.
Transisi Proses Berpikir
Transisi proses berpikir dimulai dari berpikir aritmetis (bekerja dengan bilangan dan operasi pada bilangan), transisi berpikir dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris (menemukan pola, menemukan hubungan, dan membuat simbolisasi), dan berpikir aljabaris (termasuk operasi aljabar). Proses transisi berpikir tersebut dapat digambarkan dalam wilayah-wilayah sebagai pada contoh berikut ini dan juga alur transisi berpikir yang dilakukan oleh siswa. Untuk contoh tersebut ditampilkan proses transisi berpikir dari ssiswa S1, siswa S3, dan siswa S6. Siswa S1 mewakili kelompok subjek 1, yaitu kelompok subjek dengan karakteristik “semu.” Siswa S3 mewakili kelompok subjek 2, yaitu kelompok subjek dengan karakteristik “non formal.” Sedangkan siswa S6 mewakili kelompok subjek 3, yaitu kelompok subjek dengan karakteristik “formal.”
10 Bilangan Operasi bilangan Pola Hubungan Simbolisasi Semu Aljabar (termasuk operasi aljabar) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Gambar 1 Transisi berpikir yang dilakukan siswa S1 Keterangan:
Arah hanya menunjukkan peralihan dari daerah yang digambarkan.
Nomor menunjukkan proses berpikir yang dilalui oleh siswa (bukan menyatakan urutan berpikir).
1 = Menyebut masalah mengisi kantong dengan kelereng (bilangan)
21 = Melakukan coba-coba 2 = Menyebut banyak kantong (bilangan) 22 = Menemukan hubungan 3 = Menyebut banyak kelereng (bilangan) 23 = Menggunakan perbandingan 4 = Merepresentasikan banyak kantong dan
banyak kelereng dengan bilangan
24 = Menemukan pemecahan masalah 5 = Melakukan operasi bilangan 25 = Menyebut masalah denagn bilangan 6 = Menjawab masalah 26 = Memikirkan pola apa yang harus
dipenuhi
7 = Melakukan refleksi 27 = Melakukan penyimbolan
8 = Menemukan pola 28 = Memikirkan syarat apa yang harus dipenuhi
9 = Menyimbolkan 29 = Menemuan pola 10 = Menemukan hubungan 30 = Melakukan coba-coba 11 = Melakukan coba-coba 31 = Melakukan operasi aljabar
12 = Menemukan pola 32 = Memikirkan syarat apa yang harus dipenuhi
13 = Menemukan hubungan 33 = Menemuan pola 14 = Menggunakan perbandingan 34 = Melakukan coba-coba 15 = Menemukan pemecahan masalah 35 = Melakukan operasi aljabar 16 = Menemukan hubungan 36 = Menyebut pola yang ditemukan
11
17 = Menyimbolkan 37 = Memikirkan syarat apa yang harus dipenuhi
18 = Menemuan pola 38 = Menyimbolkan
19 = Menemukan hubungan 39 = Menemukan hubungan 20 = Menyimbolkan 40 = Melakukan operasi aljabar
Gambar 2 Proses Transisi Berpikir dari S3 Keterangan:
Arah hanya menunjukkan peralihan dari daerah yang digambarkan.
Nomor menunjukkan proses berpikir yang dilalui oleh siswa (bukan menyatakan urutan berpikir).
1 = Menyebut masalah 12 = Menemukan pola 2 = Merepresentasikan bilangan 13 = Menemukan pola 3 = Merepresentasikan bilangan 14 = Melakukan coba-coba 4 = Melakukan operasi 15 = Melakukan coba-coba 5 = Menemukan pola 16 = Menyebut masalah 6 = Melakukan coba-coba 17 = Menemukan pola 7 = Menemukan pola 18 = Menemukan pola 8 = Melakukan simbolisasi 19 = Menemukan hubungan 9 = Menemukan hubungan 20 = Melakukan simbolisasi 10 = Melakukan coba-coba 21 = Melakukan operasi aljabar 11 = Melakukan coba-coba Bilangan Operasi bilangan Pola Hubungan Simbolisasi non formal
Aljabar (termasuk operasi aljabar) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
12 Bilangan Operasi bilangan Pola Hubungan Simbolisasi formal Aljabar (termasuk operasi aljabar) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Gambar 3 Proses Transisi Berpikir dari S6 Keterangan:
Arah hanya menunjukkan peralihan dari daerah yang digambarkan.
Nomor menunjukkan proses berpikir yang dilalui oleh siswa (bukan menyatakan urutan berpikir).
1 = Berpikir kemungkinan 10 = Melakukan simbolisasi 2 = Melakukan coba-coba 11 = Menemukan hubungan 3 = Melakukan simbolisasi 12 = Menemukan hubungan 4 = Menemukan hubungan 13 = Menemukan pola
5 = Melihat jumlah bilangan 14 = Melakukan operasi aljabar 6 = Menemukan pola 15 = Menemukan pola
7 = Menemukan jawaban 16 = Menemukan hubungan 8 = Menemukan pola 17 = Melakukan simbolisasi 9 = Menemukan pola 18 = Menemukan jawaban
Selanjutnya dari proses transisi berpikir yang dilakukan oleh ketiga kelompok subjek tersebut dibuat skema alur proses berpikir yang dilakukan oleh ketiga siswa yang mewakili masing-masing kelompoknya adalah sebagai berikut.
13 Berpikir Aljabaris Berpikir Aritmetis Mulai Menghitung (proses) Melakukan operasi bilangan (proses) Melakukan refleksi (proses) Menuliskan simbol (prosep)
Melakukan operasi aljabar (proses) Selesai Menemukan hubungan (konsep) Menemukan pola (konsep) Menyebut masalah (proses) Memperoleh hasil operasi (konsep) Merepresentasikan bilangan (konsep)
Gambar 4 Alur Proses Transisi Berpikir siswa S1 Keterangan:
Arah dan menunjukkan arah berikutnya yang dilakukan siswa. Gambar menunjukkan suatu proses, dan gambar menunjukkan hasil.
Selanjutnya alur proses transisi berpikir yang dilakukan oleh siswa S3 yang mewakili kelompok subjek 2.
14 Berpikir Aljabaris Berpikir Aritmetis Mulai Menghitung (proses) Melakukan operasi bilangan (proses) Menuliskan simbol (prosep)
Melakukan operasi aljabar (proses) Selesai Menemukan hubungan (konsep) Menemukan pola (konsep) Merepresentasikan bilangan (konsep)
Gambar 5 Alur Proses Transisi Berpikir dari S3 Keterangan:
Arah dan menunjukkan arah berikutnya yang dilakukan siswa. Gambar menunjukkan suatu proses, dan gambar menunjukkan hasil.
15 Berpikir Aljabaris Berpikir Aritmetis Mulai Menghitung (proses) Melakukan operasi bilangan (proses) Menuliskan simbol (prosep)
Melakukan operasi aljabar (proses) Selesai Menemukan hubungan (konsep) Menemukan pola (konsep)
Gambar 6 Alur Proses Transisi Berpikir siswa S6 Keterangan:
Arah dan menunjukkan arah berikutnya yang dilakukan siswa. Gambar menunjukkan suatu proses, dan gambar menunjukkan hasil.
Alur berpikir yang dilakukan oleh siswa dalam transisi berpikir dari berpikir a-ritmetis menuju berpikir aljabaris dimulai dari proses menghitung. Selanjutnya siswa merepresentasikan proses menghitungnya dengan suatu konsep bilangan. Siswa selanjutnya melakukan operasi pada bilangan-bilangan tersebut (proses). Setelah me-lakukan operasi terhadap bilangan-bilangan tersebut, siswa memperoleh hasil dari operasi yang dilakukannya (konsep). Namun, ketika memperhatikan masalah yang di-berikan, siswa berikutnya melakukan refleksi terhadap jawaban yang diperolehnya (proses). Dari refleksi yang dilakukannya, siswa memperoleh hasil kembali (konsep). Berikutnya siswa menemukan suatu pola terhadap bilangan-bilangan yang di-perolehnya (konsep). Setelah menemukan pola, berikutnya siswa menemukan suatu
16
hubungan dari pola-pola yang diperolehnya (konsep). Berdasarkan hubungan tersebut, siswa kembali menemukan pola (proses). Dari menemukan pola ini siswa kemudian menuliskan suatu simbol (prosep). Setelah menuliskan suatu simbol, siswa kembali menemukan suatu pola dari simbol-simbol yang dituliskannya (konsep). Dari pola tersebut berikutnya siswa kembali menuliskan simbol (prosep). Setelah menemukan simbol, siswa masih kembali lagi ke proses melakukan operasi bilangan (proses). Barulah kemudian siswa bekerja dengan operasi aljabar (proses), yang menunjukkan siswa sudah berpikir aljabaris.
Kelancaran transisi dari aritmetika ke aljabar ini akan mempengaruhi siswa pada saat belajar tentang matematika pada masa mendatang. Hal ini dikarenakan pada masa-masa berikutnya siswa harus mampu menggunakan simbol-simbol aljabar seca-ra formal dalam matematika. Selain itu, pemahaman yang benar tentang simbol meru-pakan dasar untuk memahami aljabar. Apabila siswa tidak memahami simbol-simbol aljabar maka siswa lebih memilih menjawab secara retorika daripada memberikan jawaban dalam aljabar simbolis. Hal ini sesuai dengan pendapat Stacey (2012) me-ngatakan bahwa antara aritmetika dan aljabar seakan terdapat suatu tembok yang menghalangi siswa, sehingga hal ini bisa menjadikan suatu hambatan bagi siswa untuk belajar aljabar. Untuk itu perlu bagi siswa untuk memaknai simbol-simbol al-jabar dengan benar. Hal itu dimaksudkan supaya transisi dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris itu sukses maka perlu fokus pada relasi dan bukan hanya pada perhitungan jawaban numerik saja. Kebermaknaan simbol yang ditulis oleh siswa sangat perlu untuk dipahaminya sebagai suatu simbol yang benar-benar menggam-barkan arti yang sebenarnya tentang simbol, khususnya variabel. Apabila proses transisi berpikir siswa tidak berjalan mulus maka siswa akan mengalami kesulitan untuk belajar matematika lebih lanjut. Hal ini juga sesuai dengan pendapat Proulx (2006) yang menyatakan bahwa transisi dari aritmetika ke aljabar merupakan langkah yang paling sulit dalam kehidupan matematika siswa.
PENUTUP
Simpulan
Dari hasil kajian terhadap transisi dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris siswa sekolah menengah pertama/madarasah tsanawiyah dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Proses transisi dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris terjadi pada saat sis-wa sudah tidak hanya menggunakan pola berpikir aritmetis saja tetapi di sini siswa juga belum menggunakan pola berpikir aljabaris. Proses terjadinya tran-sisi ini dalam bentuk: (1) menemukan suatu pola (pattern) perhitungan, yaitu dalam proses transisi berpikirnya siswa menemukan suatu pola tertentu dari perhitungan-perhitungan yang dilakukannya (2) menemukan suatu hubungan (relation) dalam pola, yaitu menemukan suatu pola (pattern) tertentu dari suatu perhitungan, dan (3) melakukan simbolisasi (symbolization), yaitu menuliskan suatu simbol sesuai dengan keinginannya.
2. Terdapat tiga karakteristik yang dilakukan siswa pada saat terjadi transisi proses berpikir dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris, yaitu: (a)
simbol-17
isasi semu pada transisi berpikir siswa, (b) simbolisasi nonformal pada transisi berpikir siswa, dan (c) simbolisasi formal pada transisi berpikir siswa.
3. Proses berpikir yang dilakukan oleh kelompok subjek 1 yaitu simbolisasi semu yaitu ketika menemukan pola, menemukan hubungan, maupun menuliskan simbol menggunakan simbol-simbol semu, seperti huruf A dan B atau a dan b untuk menyatakan kelereng di kantong A dan kantong B. Simbolisasi yang dilakukan oleh kelompok subjek 1 ini dikatakan semu karena dalam proses penyimbolannya hanya mengambil huruf dari nama kantong A dan kantong B. Proses berpikir ini belum menggambarkan simbol yang menyatakan banyak kelereng di kantong A dan banyak kelereng di kantong B. Selain masih meng-gunakan simbolisasi semu, kelompok subjek 1 ini lebih lama berada pada masa transisi, yaitu saat ketika menemukan pola, menemukan hubungan, dan melakukan simbolisasi sebekum sampai pada tahap berpikir aljabaris. Berikutnya proses berpikir yang dilakukan oleh subjek 2, yaitu kelompok subjek dengan simbolisasi non formal, ketika menemukan pola, menemukan hubungan, maupun menuliskan simbol, mereka menggunakan simbol-simbol non formal, seperti gambar kotak dan gambar segitiga untuk menyatakan banyak kelereng di suatu kantong. Kalau dibandingkan dengan kelompok subjek 1, transisi berpikir (menemukan pola, menemukan hubungan, dan melakukan simbolisasi) yang dilakukan oleh kelompok subjek 2 ini lebih sedikit waktu yang digunakannya dibandingkan dengan kelompok subjek 1. Setelah bekerja dengan bilangan, kelompok subjek 2 ini segera ke transisi berpikir, dan tidak lama kemudian kelompok subjek ini sudah masuk ke berpikir aljabaris. Sedangkan proses berpikir yang dilakukan oleh kelompok subjek 3, yaitu kelompok subjek dengan simbolisasi formal, ketika menemu-kan pola, menemumenemu-kan hubungan, maupun menulismenemu-kan simbol mereka sudah menggunakan simbol-simbol formal yang ada di aljabar. Dalam memecahkan masalah yang ada pada lembar tugas yang diberikan oleh peneliti, kelompok subjek 3 ini sudah menggunakan simbol huruf alfabetis (misalnya x atau z) untuk menyatakan banyak kelereng di suatu kantong.
Saran
Dari hasil penelitian yang telah dilakukan, peneliti memberikan saran-saran sebagai berikut:
1. Dalam pembelajaran guru perlu memperhatikan bagaimana pola berpikir siswa sebelum masuk ke pola berpikir aljabaris. Karena pola berpikir siswa belum tentu sama maka guru perlu memperhatikan perbedaan-perbedaan tersebut sehingga guru dapat memfasilitasi siswa secara maksimal dalam belajar. 2. Masalah-masalah aljabar yang diberikan mungkin dapat diselesaikan dengan
struktur dan cara yang berbeda. Dengan menggunakan metode yang selalu sa-ma, membuat siswa tidak mau bekerja. Oleh karena itu, guru kadang-kadang perlu melakukan diagnosa tentang proses pembelajaran yang dilakukan ten-tang kelebihan dan kelemahannya. Hal itu perlu disadari bahwa dengan mem-berikan kebebasan kepada siswa untuk melakukan verbalisasi proses mental mereka akan menjadikan fasilitas paling baik pada masa transisi dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris.
18
3. Penelitian ini hanya memfokuskan pada masa transisi berpikir dari berpikir a-ritmetis ke berpikir aljabaris saja, belum sampai pada level berpikir siswa. Un-tuk itu masih terbuka kemungkinan unUn-tuk melakukan penelitian dengan men-deskripsikan level-level berpikir siswa pada masa transisi ini.
4. Pengembangan penelitian tentang bagaimana proses berpikirnya siswa pada masa transisi berpikir, yaitu bagaimana proses berpikir siswa dalam mengge-neralisasi pola, bagaimana proses berpikir siswa dalam menemukan hubungan antara pola, dan bagaimana proses berpikir siswa dalam menemukan simbol-isasi yang dilakukannya.
5. Pengembangan kajian tentang perlunya suatu jembatan (bridge) pada transisi berpikir dari berpikir aritmetis ke berpikir aljabaris, maupun pengembangan bidang kajian, misalnya transisi berpikir dikaitkan dengan berpikir relasional (relational thinking), berpikir fungsional (functional thinking), atau berpikir analogi (analogical thinking).
DAFTAR RUJUKAN
Alibali, M. 2005. Understanding of Symbols at the Transition from Arithmetic to Algebra: the Equal Sign and Letters as Variables. Washington DC: Bookings Institution, Falk Auditorium.
Arcavi, A. 1994. Symbol Sense: Informal Sense-making in Formal Mathematics. For the Learning of Mathematics, 14(3): 24-35.
Breiteig, T. & Grevholm, B. 2006. The Transition from Arithmetic to Algebra: To Reason, Explain, Argue, Generalize and Justify. Proceedings 30th Cobference of the International Group for Psychology of Mathematics Education, Vol.2, pp. 225-232. Prague: PME.
Carraher, D. W. 2006. Arithmetic and Algebra in Early Mathematics Education. Journal for Research in Mathematics Education, 37(2): 87 - 115.
Castro, W. F. & Godino, J. D. 2010. Cognitive Configurations of Pre-Service Teachers When Solving an Arithmetic-Algebraic Problem.Proceedings of CERME 6, January 28th-February 1st, Lyon France © INRP 2010 www. inrp.fr/editions/cerme6.
Cooper, T. J. & Warren, E. 2008. Generalising Mathematical Structure in Years 3-4: A Case Study of Equivalence of Expression. PME and PME-NA XXX(369-376).
Gallardo, A. & Hernandez, A. 2005. The Duality of Zero in the Transition from Arith-metic to Algebra. Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 3, pp.17-24. Melbourne: PME.
Gray, E. & Tall, D. 1991. Duality, Ambiguity and Flexibility in Successful Mathe-matical Thinking. Proceedings of PME 15(2): 72-79.
Gray, E. & Tall, D. 1994. Duality, ambiguity and flexibility: a proceptual view of simple arithmetic. Journal of Research in Mathematics Education. 26(2):115-141.
Groenwald, C. L. O. & Becher, E. L. 2008. The Characteristics of The Algebraic Thinking School Students Using First Degree Equations. Protásio Alves st, Niterói, Canoas, RS, Brazil.
19
Hackenberg, A. J. 2006. Sixth Grades’ Construction of Quantitative Reasoning as a Foundation for Algebraic Reasoning. Proceedings of the 28th annual meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Educations. Merida, Mexico: Universidad Pedagogica Nacional.
Herbert, K. & Brown, R. H. 1997. Patterns as Tools for Algebraic Reasoning. Teaching Children Mathematics 3(February): 340-345.
Hunter, J. 2010. Developing early algebraic reasoning through exploration of the commutative principle. Proceedings of the British Congress for Mathematics Education. April. Joubert, M. and Andrews, P. (Eds.).
Kieran, C. 2004. Algebraic Thinking in the Early Grades: What Is It? The Mathema-tics Educator, 8(1): 139-151.
Kriegler, S. 2008. Just What is Algebraic Thinking?, (Online), (http://www.math.ucla. edu/~kriegler/pub/algebra.html), diakses 2 Oktober 2010.
Livneh, D. & Linchevski, L. 2007. Algebrification of Arithmetic: Developing Algebraic Structure Sense in the Context of Arithmetic. Proceedings of the 31th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 3, pp. 213-224. Seoul: PME.
Malisani, E. & Spagnolo, F. 2009. From arithmetical thought to algebraic thought: The role of the “variable”. Educ. Stud. Math, 71: 19-41.
Naidoo, K. 2009. An Investigation of Learners’ Symbol Sense and Interpretation of Letters in Early Algebraic Learning. Johannesburg: University of the Witwatersrand.
NCTM. 2000. Principles and Standards for School Mathematics. Reston, VA: Author.
Proulx, J. 2006. Making the Transition to Algebraic Thinking: Taking Students’ Arithmetic Modes of Reasoning into Account. Delta-K. 44(1): 8-16.
Stacey, K. 2012. The transition from arithmetic thinking to algebraic thinking. (Online), (k.stacey@unimelb.edu.au.), diakses 14 Januari 2012.
Subramaniam, K. & Banerjee, R. 2004. Teaching Arithmetic and Algebraic Expressions. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 3: 121-128.
Tall, D. 1992. The Transition from Arithmetic to Algebra: Number Patterns, or Proceptual Programming? New Directions in Algebra Education. Brisbane: Queensland University of Technology, 213-231. September.
Tall, D., Gray, E., Ali, M. B., Crowley, L.,DeMarois, P., McGowen, M., Pitta, D., Pinto, M., Thomas, M., & Yusof, Y. 2001. Symbols and the Bifurcation between Procedural and Conceptual Thinking. The Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 1: 80-104.
Tall, D. 2008. The Transition to Formal Thinking in Mathematics. Mathematics Education Research Journal, 20(2): 5-24.
Tent, M. W. 2006. Understanding the Properties of Arithmetic: A Prerequisite for Success in Algebra. Mathematics Teaching in the Middle School, 12(1) August: 22-25.
Thomas, M. & Tall, D. 2002. The Long-Term Cognitive Development of Symbolic Algebra. University of Auckland-University of Warwick.
20
Usiskin, Z. 1999. Conceptions of School Algebra and Uses of Variables, In Algebraic Thinking, Grades K-12: Readings from NCTM’s School-Based Journals and Other Publications, edited by Barbara Moses (pp. 7-13). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Walle, V. d., John, A. K., Karen, S., & Bay, W. J. M. 2010. Elementary and Middle School Mathematics, Teaching Developmentally (7thed). Boston: Allyn & Bacon.
Warren, E. 2002. Number Combinations and Arithmetic Structure: Implications for Early Algebra, (Online), (E.Warren@mcauley.acu.edu.a.u), diakses 10 November 2011.
Warren, E. 2003. The Role of Arithmetic Structure in the Transition from Arithmetic to Algebra. Mathematics Education Research Journal, 15(2): 122-137.
Warren, E. 2004. Generalising Arithmetic: Supporting the Process in the Early Years. Proceeding of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of the Mathematics Education. Vol 4: 417-424.
Warren, E. & Cooper, T. J. 2009. Developing Mathematics Understanding and Abstraction: The case of Equivalence in the Elementary Years. Mathematics Education Research Journal, 21(2): 76-95.
Winders, M. & Bisk, R. 2011. Model Drawing Connecting Arithmetic to Algebra. (Online), (jessica2.msri.org/attachments/13497/13497.pdf), diakses, 12 Desember 2011).
Windsor, W. 2009. Algebraic Thinking: A Problem Solving Approach. Shaping the future of mathematics education: Proceedings of the 33rd annual conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia. Fremantle: MERGA.
Wu, H. 2009. From Arithmetic to Algebra. Slightly edited version of a presentation at the University of Origon, Eugene, OR, February.
