11 SISTEM STATIS TERTENTU DAN TAK TERTE

PENGERTIAN SISTEM

STATIS TERTENTU DAN STATIS TAK

TERTENTU

Suatu konstruksi terdiri dari komponen-komponen berupa :

BENDA KAKU  BALOK BATANG / TALI

TITIK SIMPUL TUMPUAN

SAMBUNGAN

BENDA KAKU

L , N, M

L = gaya lintang N = gaya normal M = momen

BATANG

N

Hanya dapat menerima gaya normal saja

P P

TITIK SIMPU

L

1

2

3 4

5

Titik simpul  pertemuan antara batang dengan batang

1 s/d 5  batang Titik simpul

TUMPUAN

Jumlah reaksi tumpuan = 1

Jumlah reaksi tumpuan = 2

Jumlah reaksi tumpuan = 3

SAMBUNGAN

Sambungan engsel

Sambungan luncur

 Reaksi L, N

 Reaksi N

Syarat Sistem :

3n + 2k < a + g + s  sistem statis tak tertentu

3n + 2k = a + g + s  sistem statis tertentu

3n + 2k > a + g + s  sistem statis terlalu tertentu (hyperstatis)  mekanisme

dimana :

n = jumlah benda kaku k = jumlah titik simpul

a = jumlah reaksi tumpuan g = jumlah reaksi sambungan s = jumlah batang

CONTOH SISTEM

1) BALOK 3 ENGSEL

Balok I Balok II Engsel

tertentu

2) BALOK GERBER

samb.engsel

3) KERANGKA BATANG

4) SISTEM CAMPURAN

balok I balok II engsel

tali g s statis tertentu

MACAM SISTEM STATIS TAK TERTENTU

PADA KONSTRUKSI BALOK

P

M

R_{1 R}

2

P

M

R₁ R2

1) Balok dgn tumpuan jepit dan roll

2) Balok dgn tumpuan jepit dan pegas

3) Balok dgn tumpuan jepit dan jepit

4) Balok dgn tumpuan engsel dan 2 roll

M

R_{1 R}

2 R3

P₁ P₂

q

M₂

R_{1 R}

2

M₁

CONTOH SOAL

SISTEM STATIS TAK TERTENTU UNTUK

KONSTRUKSI BALOK

1) Sebuah konstruksi balok AB ditumpu dengan tumpuan roll di A dan tumpuan jepit di B mendapat beban gaya terpusat P di C seperti terlihat pada gambar. Tentukan reaksi tumpuan di A dan B.

P

M

R_{A R}

B

A C B

a b

L

Penyelesaian :

P

M_B R_A

R_B

A C B

a b

L

A

C B

R_AL

Pb Diagram bidang

momen balok AB

Syarat keseimbangan statis :

B

R

_A

L



M

_B



Pb



0

0







R

P

R

_{A B}

Dari 2 persamaan tsb diatas terdapat 3 bilangan yg tidak diketahui (R_A, R_B, dan M_B)  perlu ditambahkan 1

persamaan lagi supaya R_A, R_B, dan M_B dapat dihitung. Pada konstruksi tsb diatas defleksi (lenturan) yg terjadi di A =0  dgn menggunakan metode luasan bidang momen, maka didapat :

(1)

(2)

2) Pada konstruksi balok seperti soal 1) diketahui : tinggi balok = 200 mm, momen inersia luasan penampang balok = 40 x 106 _mm4_{. Beban P = 20 kN, panjang balok}

L = 6 m dan jarak a = 3 m. Tentukan : reaksi tumpuan dan tegangan bending maksimum pada balok.

Penyelesaian :

Substitusi ke dalam pers (3) pada soal 1) :

kN

x

x

R

_A

(

2

6

3

)

6

,

25

)

6

(

2

)

3

(

10

20

3 2 3







Dari pers (4) pada soal 1) :

kN

x

L

x

R

_B

(

3

6

3

)

13

,

75

2

)

3

(

10

20

_{2 2}

3 3







Dari pers (5) pada soal 1) :

Momen bending maksimum terjadi pada jepitan B  tegangan bending maksimum :

MPa

tegangan bending :

3) Pada konstruksi balok seperti soal 1) diketahui : tinggi balok = 200 mm, momen inersia luasan penampang balok = 40 x 106 _mm4_{. Beban P = 20 kN, panjang balok}

L = 6 m dan jarak a = 3 m. Tentukan : defleksi yg terjadi di titik yg mendapat beban P pada balok.

Penyelesaian : P

M_B R_A

R_B

A C B

a b

L

A

C B

R₁L

Pb d

e

f

Menggunakan metode luasan bidang momen  defleksi di titik C (dimana beban P bekerja) pada balok AB :

4) Suatu konstruksi balok yang dijepit pada ujung A dan di ujung C ditumpu dengan pegas. Bila beban W diambil pegas tersebut bebas dari beban. Bila gaya W = 10 kN dikenakan pada balok, maka ujung C akan mengalami defleksi sebesar 50 mm bila tidak ditumpu pegas.

Konstante pegas k = 400 kN/m. Tentukan defleksi balok di C bila mendapat beban W = 20 kN di titik B dan ujung C ditumpu oleh pegas (lihat gambar)

W=20 kN

M_A

R_C=kΔC R_A

A B _C

k

L/2 L/2

x y

Menggunakan metode singularite (singularity methods) :

Persamaana diff pangkat 2 lenturan :

Integral pers (2) :

2 3

6 2

6 6

2

3 3

2 R _x W _x L R _{x L C}

x M

EIy _{ } A _{  } A _{      } C _{   }

Pada jepitan A untuk x = 0  y = 0, maka C₂ = 0

Bila x = L  maka defleksi diberi notasi Δ_C, dengan menggunakan pers (3) :

(3)

3 3

2

2

6

6

2



_



















M

L

R

L

W

L

EI

_C A A (4)

Reaksi pegas pada titik C  R_C = - kΔ_C dimana tanda negatif menunjukkan arah defleksi berlawanan dgn arah gaya R_C keatas.

Maka pers diatas menjadi :

Pada soal diatas diketahui bahwa bila pada ujung balok tidak ditumpu pegas, maka beban 10 kN pada titik C

Harga diatas dan harga konstante pegas k = 400 kN/m bila disubstitusi ke pers (5), maka didapat:

kN

R

_A

_

15

,

83

Dari persamaan keseimbangan statis, maka :

kN

R

_C

_

20

_

15

,

83

_

4

,

17

5) Sebuah konstruksi balok ABC ditumpu dengan tumpuan engsel di A, tumpuan pegas di B dan

tumpuan roll di C mendapat beban gaya terpusat P seperti terlihat pada gambar. Tentukan

konstante pegas sehingga momen bending di tumpuan pegas tsb menjadi nol.

P P

A _B C

Y

X

k R₁

L L

L/2 _L/2

R₁ R₂

Penyelesaian :

Diagram benda bebas :

P

A _B C

Y

X

R₁

L L

L/2 _L/2

R₁ R₂

P

P

R₁ V

A _B

L/2

L

(a)

(b)

Pada tumpuan pegas di B tidak ada reaksi momen bending, sehingga :

2

0

2

1

1

P

R

L

P

L

R

M

_B

_

_

_

_

_



Kondisi keseimbangan pada seluruh sistem, maka :

P

R

P

R

R

F

_V

_

_

_

_

_

_



2

_{1 2}

2

0

₂

dimana R₂ = P merupakan gaya yg digunakan oleh pegas pada balok

Menggunakan metode singularity untuk menghitung defleksi pada seluruh balok :

Harga C1 masuk ke pers (2), maka :

Integral persamaan (3) :

Pada tumpuan engsel di A : untuk x = 0  y = 0, maka C₂ = 0. Harga C₂ = 0 masuk ke pers (4) menjadi :

6) Konstruksi balok AB ditumpu dengan tumpuan jepitan di kedua ujungnya A dan B mendapat beban merata

sepanjang L seperti terlihat pada gambar. Tentukan reaksi tumpuan di A dan B.

M₁

R₁

A _B

x y

R₁ M₁ C

L

q

Penyelesaian :

Dalam kondisi pembebanan simetri maka reaksi tumpuan di masing – masing ujung balok adalah sama, dan masing

reaksi diberi notasi R1.

Dalam keseimbangan statis maka :

2

qL

R

0

qL

R

2

F

_V

_

₁

_

_

_

₁

_



Untuk menghitung reaksi momen M₁  menggunakan defleksi balok AB dengan metode luasan bidang momen.

Gambar Diagram Bidang Momen

M₁

R₁

A _B

x y

R₁ M₁ C

L

q

R₁L

M₁

qL2

Pegas menggunakan gaya :

) (

2

ky

x L

R

_

_

Maka :

3

3

₁₆

16

_L

EI

k

atau

EI

PL

k

P

_

















