Prosiding Seminar Sain, Edukasi & TI 2012 Nur Rohmah Muslim Amanto

(1)

(2)

DAFTAR ISI

Halaman KelompokMatematika

PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno

RuangTopologi , , , , 7-14

Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto

PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN 15-21 Fazrie Mulia , Wamiliana , dan Fitriani

REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-27 Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto

ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33 HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL)

Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno

AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37 Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto

KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN 38-41

Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz

METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44 Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah

KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI 45-47

Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz

TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN 48-53

Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto

KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56 PENGGERAK DINAMO

Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno

INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR 57-63

Pita Rini, Dorrah Aziz, dan Amanto

ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAFWRAPPED BUTTERFLY NETWORKSDANGRAF 64-71 CYCLIC-CUBES

Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani

Ring Armendariz 72-77

Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani

(3)

Kelompok Statistika

APROKSIMASI DISTRIBUSIT-STUDENTTERHADAPGENERALIZED LAMBDA 82-85 DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti

ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti

PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAPGENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti

PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM

Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan

PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109 (EXPECTATION MAXIMIZATION)

Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti

KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti

ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGANCROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari

PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122-126 ZILLMER DAN ILLINOIS

Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti

KAJIAN RELATIF BIASMETODEONE-STAGEDANTWO-STAGE CLUSTER SAMPLING 127-130 Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti

PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV

Tika Wahyuni, Netti Herawati dan Eri Setiawan

PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAPGENERALIZED LAMBDA 137-140 DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA

Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari

Kelompok Kimia

TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147 BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO2)

EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan

EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153 KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODEUNSEEDED EXPERIMENT

Miftasani,Suharso dan Buhani

EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160 KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODESEEDED EXPERIMENT

(4)

IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI (Dalium indum) 161-168 SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK

Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak

TransesterifikasiMinyakSawitdenganMetanoldanKatalisHeterogenBerbasis 169-175 SilikaSekamPadi(TiO2/SiO2)

Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak

UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182 DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN

Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak

STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASIPLASTICIZERDALAM 183-190 SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJIBIODEGRADABLEDENGAN METODE FISIK

Yesti Harryzona dan Yuli Darni

KelompokFisika

Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195 BendingDan Struktur Mikro Pada Baja Pegas Daun AISI 5140

Adelina S.E Sianturi, Ediman Ginting dan Pulung Karo-Karo

PengaruhKadarCaCO3terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196-201 denganDopingPb (BPSCCO-2212)

Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka

Variasi Kadar CaCO3dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202-207 Doping Pb (BPSCCO-2223)

Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka

Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO3 208-212 Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka

Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO2dengan Metode 213-218 Pelapisan Celup

Dian Yulia Sari dan Posman Manurung

Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225 Aluminosilikat 3Al2O3.2SiO2Berbahan Dasar Silika Sekam Padi

Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring

Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230 Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung

Uji Fotokatalis Bahan TiO2yang ditambahdengan SiO2padaZatWarnaMetilenBiru 231- 236 Violina Sitorus dan Posman Manurung

KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B2O3-SiO2BERBASIS 237-241 SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI

Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring

RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247 MIKROKONTROLER ATMega8535

(5)

ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250 MENGGUNAKAN METODE GPR (Ground Penetrating Radar) DAN GEOLISTRIK

R. Wulandari,Rustadi dan A. Zaenudin

(6)

TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN

Nur Rohmah, Muslim Ansori & Amanto

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Lampung

Abstrak

Ruang barisan dengan merupakan ruang banach. Setiap operator

dengan menentukan suatu matriks tak hingga dengan syarat-syarat tertentu, dan sebaliknya juga berlaku. Karena setiap pemetaan yang diwakili matriks tak hingga bersifat linier maka operator dengan bersifat linier. Karena dan terkait dengan matriks tak hingga makaAkontinu. Oleh karena itu setiap operator Adari ke dengan bersifat linier kontinu.

Kata kunci: ruang barisan, operator linear, , ruang banach

I. PENDAHULUAN

Salah satu bahasan tentang ruang barisan adalah teori transformasi matriks. Dalam pembahasan ini lebih difokuskan menganalisa matriks tak hingga, matriks dan masalah kekonvergenan. Teorema Banach-Steinhauss dan teorema-teorema yang berkaitan banyak dimanfaatkan untuk mengkaji transformasi matriks tersebut. Sebagian besar operator linear pada suatu ruang barisan ke ruang barisan lainnya, dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga, oleh sebab itu digunakan tranformasi yang diberikan oleh matriks tak hingga, bukan operator linear umum.

II. LANDASAN TEORI

Definisi 2.1Ruang Banach

Suatu ruang vektor bernorm dinamakan ruang banach jika lengkap. Kelengkapan berarti bahwa setiap barisan Cauchy dalam konvergen jika

maka terdapat sehingga

[5].

Definisi 2.2Ruang Barisan

Diberikan yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi:

a. Untuk setiap bilangan real p dengan didefinisikan

dan norm pada yaitu

b. Untuk didefinisikan

dan norm pada yaitu [3].

Definisi 2.3Operator

Diberikan dan masing-masing

ruang bernorm.

a. Operator dikatakan terbatas jika ada bilangan dengan

sehingga untuk setiap berlaku .

b. Operator dikatakan kontinu di jika diberikan bilangan ada bilangan sehingga untuk setiap

dengan berlaku

.

c. Jika kontinu di setiap , disebut kontinu pada . [4]

Teorema 2.1

Jika Y ruang banach maka ruang banach.

Bukti :

(7)

Jadi untuk setiap bilangan terdapat n0 ∈ N sehingga jika m, n∈Ndengan berlaku

.

Misal untuk setiap x ∈ X dan diperoleh

Jelas untuk setiap bilangan (dapat dipilih bilangan sehingga ) ada n0

∈

N sehingga untuk setiapm, n

∈

Ndengan

berlaku .

Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy danYlengkap, dengan kata lain konvergen, katakan ke .

Jadi dan x menentukan suatu

operatorAsehingga .

Proses di atas dapat diulang untuk z

∈

X tetap, denganz ≠ x.

Jadi diperoleh dan z

menentukan suatu operatorAsehingga . Untuk setiap skalaradanb, diperolehax+ bz

∈ X

.

dan

ax+ bz

menentukan suatu operator

A

sehingga

A(ax+

bz)

= .

Jadi

Jadi operator A bersifat linear.

Untuk diperoleh

Jadi operator dengan bersifat linear terbatas.

Karena Am dan masing-masing

terbatas, serta maka A

terbatas (kontinu).

Jadi dengan kata lain

ruang Banach. [5]

Teorema 2.2

MisalX danY ruang BK (Banach Lengkap). Jika A matriks tak hingga yang memetakan X ke Y makaAkontinu.

Bukti : Misal

dapat dinyatakan

Mendefinisikan suatu fungsi linear kontinu pada X. jelas bahwa setiap :

Misal dan α ∈R

Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti merupakan fungsi linear pada X.

Selanjutnya akan ditunjukkan kontinu pada X.

Hal ini sama saja membuktikan terbatas pada X.

Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga

(8)

Berdasarkan pembuktian di atas, mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x

Maka f juga kontinu pada x. Karena y ruang BK diperoleh

Atau

= f (x)

Jikay=Axmaka bukti lengkap. [6]

III. HASIL DAN PEMBAHASAN

Teorema 3.1

Jika bilangan real dengan maka merupakan ruang Banach.

Bukti :

Telah dibuktikan bahwa (lp, ‖.‖p) merupakan ruang Bernorm. Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang Bernorm itu lengkap.

Dibuktikan dahulu untuk , diambil sebarang barisan Cauchy

dengan a)

Untuk sebarang terdapat bilangan aslin0sehingga untuk setiap dua bilangan

asli berlaku

b) atau

. Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli m, n> 0 diperoleh

untuk setiapk. dengan kata lain diperoleh barisan Cauchy untuk setiapk. Jadi terdapat bilanganxksehungga

atau

. Berdasarkan (b) diperoleh untuk berlaku

. Selanjutnya dibentuk barisan . Menurut ketidaksamaan Minkowski.

c)

=

Yang berarti . Berdasarkan (a) diperoleh untuk berlaku d)

maka barisan konvergen ke . Berdasarkan hasil (c) dan (d), terbukti bahwa barisan Cauchy

konvergen ke atau terbukti

bahwa ,

merupakan ruang Banach. [3]

Teorema 3.2

OperatorA: dengan danq

(9)

jika ada matriks tak hingga dengan dan

untuk setiap .

Bukti :

Diambil sebarang dengan .

Karena dan (qkonjugatpdan ) masing-masing ruang barisan maka operator linear kontinuAmenentukan suatu matriks tak hingga dan

Berdasarkan pertidaksamaanHolderdiperoleh

Jika denganqkonjugatq

dan .

Jadi terbukti ada matriks tak hingga dengan dan

untuk setiap dengan danq

konjugatp.

Diambil sebarang barisan . Makax dapat ditulis sebagai vektor kolom dan menurut yang diketahui diperoleh

Karena dengan

danqkonjugatpmaka

Jadi untuk setiap dengan

danqkonjugatpserta matriks tak hingga dengan

menentukan suatu operator, katakanA, dari ke . Dengan menggunakan sifat linear suatu matriks, jelas jika diambil sebarang skalara,b maka untuk setiap diperoleh

Jadi operatorAbersifat linear. Karena dan dengan danqkonjugatp masing-masing ruang BK, makaAoperator kontinu. Jadi terbuktiAoperator linear kontinu dari ke ( danqkonjugatp). [8]

Teorema 3.3

OperatorA: dengan

bersifat linear kontinu jika dan hanya jika ada matriks tak hingga

dengan danq

konjugatpserta untuk

setiap .

(10)

Diambil sebarang dengan dengan . Karena dan

masing-masing ruang barisan maka operator linear kontinuAmenentukan suatu matriks tak hingga dan

Berdasarkan pertidaksamaanHolderdiperoleh

Jika dengan

danqkonjugatp. Jadi terbukti ada matriks tak hingga dengan

dan untuk setiap dengan danqkonjugatp.

Diambil sebarang barisan dengan .Makaxdapat ditulis sebagai vektor kolom dan menurut yang diketahui diperoleh

Karena dengan

danqkonjugatpmaka

Jadi untuk setiap dan matriks tak hingga dengan

menentukan suatu operator, katakanAdari ke dengan

danqkonjugatp. Dengan menggunakan sifat linear yang dimiliki suatu matriks, jelas jika diambil sebarang skalara,b maka untuk setiap diperoleh

Jadi diperolehAbersifat linear. Karena dan dengan masing-masing ruang BK, makaAoperator kontinu.

Jadi terbuktiAoperator linear kontinu dari ke

dengan . [8]

IV. KESIMPULAN DAN SARAN

Ruang barisan dengan merupakan ruang Banach. Setiap operatorA: dengan

(11)

kontinu.Syarat suatu matriks tak hingga

sehingga terkait suatu operator linear kontinuA

dari ke dengan adalah

Saran untuk penelitian selanjutnya, yaitu untuk mencari transformasi matriks tak hingga dari ruang barisan ke ruang barisan yang lainnya.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Ayres, Frank. 1974.Theory and Problems of Matrices. McGraw-Hill, New York. [2] Berberian, S. K. 1996.Fundamentals of Real

Analysis. Springer, Texas.

[3] Darmawijaya, Soeparna. 2007.Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gadjah Mada. Yogyakarta.

[4] Kreyszig, Erwin. 1989.Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley, New York.

[5] Maddox, I. J. 1970.Elements of Functional Analysis. Cambridge University Press, New York.

[6] Ruckle, W. H. 1991.Modern Analysis. PWS – KENT Publishing Company.

[7] Rudin, Walter. 1987.Principles of

Mathematical Analysis. McGraw-Hill, New York.