Fungsi Peluang Gabungan
Fungsi Peluang Gabungan
Ilust rasi
Suatu perusahaan properti m em iliki banyak gedung/ bangunan yang ditawarkan dengan kategori kategori yang berbeda
dengan kategori-kategori yang berbeda.
Misalkan diperhatikan kom ponen-kom ponen yang dim iliki suatu bangunan.
•Kekuatan bangunan
•Banyak pintu/ tangga darurat
•Banyak ruangan
•... •....
KONTINU DISKRIT
Misal peubah acak X m enyatakan kekuatan bangunan, dan peubah acak Y
m enyatakan tinggi bangunan m enyatakan tinggi bangunan.
Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua peubah acak tersebut dinyatakan oleh f(x, y), yang disebut sebagai fu n gs i p e lu a n g ga b u n ga n X d a n Y.
f(x<a y <b) berm akna distribusi peluang dari kekuatan bangunan bernilai kecil
Ilust rasi
Misalkan peubah acak X1m enyatakan banyak lantai gedung, peubah acak X2
k b k lif b h k X k b k
m enyatakan banyak lift, peubah acak X3 m enyatakan banyak ruangan.
f(x1, x2, x3) = P(X1=x1, X2=x2, X3=x3) m enyatakan distribusi peluang dari kejadian bersam a / serentak dari ketiga peubah acak tersebut atau fungsi peluang / g p g p g
gabungan dari X1, X2, dan X3.
f(10, 15 , 50 ) m enyatakan peluang bahwa pada gedung terdapat 5 lantai, 15 lift
d
F
i P l
G b
R
3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi
xy
berlaku,
[( , )
]
( , )
3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi
xy
berlaku,
C
t h 1
Cont oh 1
•
Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel
dan 3 pisang, diam bil secara acak 4 buah. J ika
X
adalah
banyaknya buah jeruk dan
Y
adalah banyaknya buah apel
yang teram bil, hitung:
yang teram bil, hitung:
a. Fungsi peluang gabungan
f
(
x
,
y
)
b.
P
[(
X
,
Y
)
A
] dim ana
A
adalah daerah {(
x,y )|x + y
2}
J awab:
a. Pasangan nilai
(x,y
) yang m ungkin dari kasus di atas adalah;
(0 ,1), (0 ,2), (1,0 ), (1,1), (1,2), (2,0 ), (2,1), (2,2), (3,0 ), (3,1).
f
(
)
i
l
bil j
k d
i
f
(3,0 ) artinya peluang teram bil 3 jeruk dan 1 pisang.
Banyak cara yang m ungkin, pengam bilan 4 sam pel dari 8 adalah :
8
C
4= 70 .
Banyak cara yang m ungkin teram bilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah :
Banyak cara yang m ungkin, teram bilnya 3 jeruk dan 1 pisang adalah :
3 2 3
•
Distribusi fungsi peluangnya:
Cont oh 2
•
Suatu restoran cepat saji m enyediakan fasilitas pem esanan
t k dib
l
l l i
d i
i
d
lk i
P d t
untuk dibawa pulang m elalui
drive in
dan
w alk in.
Pada suatu
hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang
dibutuhkan untuk m enyiapkan pem esanan (dalam satuan waktu
pelayanan) m asing-m asing untuk
drive in
dan
w alk in
yang
pelayanan) m asing-m asing untuk
drive in
dan
w alk in
, yang
berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak
X
dan
Y
.
Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua
peubah acak tersebut adalah:
peubah acak tersebut adalah:
2
b. Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditem ukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in d a n w alk in m asing m asing kurang dari setengah
Solusi 2
f(x,y) adalah fungsi peluang.
Fungsi Marj inal
Misalkan peubah acak
X
dan
Y
m em iliki fungsi peluang gabungan
f
(
) N
ik
f
i
l
ji
l
k
X
d l h ( ) d
•
Untuk
X
dan
Y
diskrit
f
(
x
,
y
). Notasikan fungsi peluang m arjinal untuk
X
adalah
g
(
x
) dan
fungsi peluang m arjinal untuk
Y
adalah
h
(
y
).
•
Untuk
X
dan
Y
diskrit.
( )
( , )
(
,
)
y y
g x
f x y
P X
x Y
y
y y
( )
( , )
(
,
)
x x
h y
f x y
P X
x Y
y
k
d
k
i
Untuk
X
dan
Y
kontinu.
( )
( , )
g x
f x y dy
dan
h y
( )
f x y dx
( , )
Cont oh 3
Cont oh 3
•
Perhatikan Contoh 1.
•
Tunjukkan bahwa total jum lah kolom dan baris dari
distribusi peluang
f
(
x
,
y
) m asing-m asing adalah
distribusi peluang m arjinal dari
X
dan
Y
.
distribusi peluang m arjinal dari
X
dan
Y
.
Solusi 3
Solusi 3
•
Distribusi peluang peubah acak
p
g p
X
adalah :
x 0 1 2 3
g(x) = P(X=x) 1/ 14 6/ 14 6/ 14 1/ 14
Dengan cara yang sam a diperoleh distribusi peluang
b h k
Y
d l h
peubah acak
Y
adalah :
y 0 1 2
C
t h 4
Cont oh 4
•
Perhatikan Contoh 2. Tentukan,
a.
fungsi peluang m arjinal untuk
X
b.
fungsi peluang m arjinal untuk
Y
c
peluang bahwa fasilitas
drive in
m em butuhkan waktu
c.
peluang bahwa fasilitas
drive in
m em butuhkan waktu
kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan.
Solusi 4
c Misalkan peluang bahwa fasilitas
drive in
1
4
, 0
1
3
3
y
y
c. Misalkan peluang bahwa fasilitas
drive in
Peluang Bersyarat
g
y
•
Misalkan
X
dan
Y
adalah peubah acak, diskrit
atau kontinu
f x y
( , )
atau kontinu.
•
Peluang bersyarat dari peubah acak
Y
jika
diberikan
X =x
adalah:
( , )
( | )
,
( ) 0
( )
f x y
f y x
g x
g x
diberikan
X x
adalah:
•
Peluang bersyarat dari peubah acak
X
jika
diberikan
Y=y
adalah:
( , )
( | )
,
( ) 0
( )
f x y
f x y
h y
h y
Bebas St at ist ik
•
Misalkan peubah acak
X
dan
Y
m em punyai
fungsi kepadatan peluang gabungan
f
(
x,y
)
fungsi kepadatan peluang gabungan
f
(
x,y
)
dengan fungsi peluang m arjinal m
asing-m asingnya adalah
g
(
x
) dan
h
(
y
). Peubah acak
X
d
Y
dik t k
li
b b jik d
h
dan
Y
dikatakan saling bebas jika dan hanya
jika,
(
)
( ) ( )
f x y
g x h y
untuk sem ua (
x, y
) di dalam daerah definisinya.
( , )
( ) ( )
C
t h 5
Cont oh 5
•
Perhatikan Contoh 1.
•
Tentukan distribusi peluang bersyarat dari
X
jika
diberikan
Y =
1. Hitung P(
X=
0
| Y=
1)
Distribusi peluang bersyarat :
x 0 1 2 3
f(x|1) 1/ 20 9/ 20 9/ 20 1/ 20
Cont oh 6
•
Perhatikan Contoh 2.
Apakah peubah acak
X
dan
Y
saling bebas?
•
Apakah peubah acak
X
dan
Y
saling bebas?
•
Karena,
2
1
2
2
1
2
( ) ( )
(
1)
(1 4 )
(4
4
1)
3
3
9
2
(
2 )
(
)
g x h y
x
y
xy
y x
f
•
Maka
X
dan
Y
tidak saling bebas secara statistik.
(
2 )
( , )
3
x
y
f x y
edited 20 11 by UM
18
