BILANGAN RAMSEY UNTUK GRAF BINTANG S

(1)

BILANGAN RAMSEY UNTUK GRAF

BINTANG

S

_n

_{DAN GRAF RODA}

W

_m

ISNAINI RAMADHANI

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia

evelynrebelz@yahoo.com

Abstrak. Diberikan grafGdanH, Bilangan RamseyR(G, H) adalah bilangan bulat terkecilnsedemikian sehingga untuk setiap grafFdengan orden akan memuat kondisi berikut :F memuatGatau komplemenF

akan memuatH. Makalah ini membahas Bilangan Ramsey R(Sn, Wm)

untuk graf bintang dan graf roda. Diberikan bintangSn dan rodaWm

maka R(Sn, Wm) = 3n−2 untuk m ganjil, n ≥ 3 and m ≤ 2n−1.

SedangkanR(Sn, Wm) = 3n−4 untuknganjil,n≥5 andm= 2n−4.

Kata Kunci_{: Bilangan Ramsey,Bintang,Roda}

1 Pendahuluan

Diberikan grafGdanH, Bilangan RamseyR(G, H) adalah bilangan bulat terke-cil n sedemikian sehingga untuk setiap graf F dengan orde n akan memuat kondisi berikut : F memuat G atau komplemen F akan memuat H. Batas bawah bilangan Ramsey R(G, H) diberikan oleh Chvatal dan Harary, yaitu R(G, H)≥(c(G)−1)(χ(H)−1) + 1), dimanaχ(H) adalah bilangan kromatik grafHdanc(G) melambangkan banyaknya titik pada komponen terbesar dalam grafG.

Pada tahun 2001, Surahmat dan Baskoro memperoleh bilangan Ramsey un-tuk pasangan graf bintangSndan graf rodaWm, yaituR(Sn, W4) = 2n−1 untuk

Makalah ini merupakan kajian ulang dari rujukan [4]. Dalam makalah ini akan dikaji kembali tentang Bilangan Ramsey R(Sn, Wm) untuk n dan m tertentu, yaitu

Teorema 1. Diberikan bintang Sn dan roda Wm. Maka R(Sn, Wm) = 3n−2

untuk mganjil, n≥3 danm≤2n−1.

(2)

Berikut beberapa notasi yang digunakan dalam makalah ini. MisalkanH ⊆

G. Subgraf H disebut suatu komponen dariG jika H merupakan subgraf ter-hubung maksimal. Notasic(G)melambangkan banyaknya titik pada komponen terbesar dalam grafG. Notasig(G)melambangkan panjang siklus terkecil yang termuat dalam G. Untuk suatu titikv ∈ V(G), lingkungan N(v) adalah him-punan dari titik yang menjadi tetangga v di G. Selain itu juga didefinisikan N[v] =N(v)∪ {v}. Derajat dari titikv dalam graf G adalah banyaknya titik padaNG(v), dinotasikan dengan|NG(v)|ataudG(v).Derajat minimum dariG adalah derajat terkecil dari titik-titik dalamG, dinotasikan denganδ(G). Derajat maksimum dariGadalah derajat terbesar dari titik-titik dalamG, dinotasikan dengan ∆(G). Graf denganntitik dikatakanpancyclic jika memuat siklus den-gan panjang l, 3≤l ≤n. Graf dikatakan weakly pancyclic jika memuat siklus dengan panjang sebesar girth (panjang siklus terpendek) hingga ke circumfer-ence (panjang siklus terpanjang).

2 Jenis-jenis Graf

Berikut adalah beberapa jenis graf yang digunakan dalam makalah ini.Graf lengkap ( complete graph ) adalah graf sederhana yang setiap titiknya berte-tangga ke semua titik lainnya. Graf lengkap dengan ntitik dilambangkan den-gan Kn. Setiap titik pada Kn berderajatn−1. Graf siklus (cycle) adalah graf terhubung yang setiap titiknya berderajat dua. Graf siklus dengan n titik dil-ambangkan dengan Cn, n≥ 3. Graf roda (wheel) Wm adalah suatu graf yang diperoleh dengan cara menambahkan satu titik, dinamakanx0, di luarCn yang

bertetangga ke semua titik di Cn. Graf bintang (star) Sn adalah graf pohon berorde n yang memiliki satu titik berderajatn−1 yang disebut pusat dann−1 titik berderajat satu.

3 Bilangan Ramsey Untuk Graf Bintang

S

_n

_{Dan Graf}

Roda

W

_m

Berikut adalah lema yang digunakan untuk mendukung pembuktian teorema utama pada makalah ini.

Lema 1. (Bondy)Misal G adalah graf dengan orde n. Jikaδ(G)≥ n

2, maka G adalah pansiklis atauG=Kn

2,

n

2 untukn genap.

Selanjutnya akan ditentukan bilangan Ramsey R(Sn, Wm) untuk pasangan bintangSn dan rodaWmuntukmganjil,n≥3 dan m≤2n−1, serta untukn ganjil,n≥5 danm= 2n−4. Karenac(Tn) =ndanχ(Wm) = 3 untukmgenap atauχ(Wm) = 4 untukmganjil, maka menurut Teorema batas bawah Chvatal dan Harary diperoleh batas bawah untukR(Tn, Wm) yaitu :

R(Tn, Wm)≥

2n−1, mgenap

3n−2, mganjil (1)

KarenaSn denganntitik adalah salah satu dari bentuk pohonTn dengann titik, maka pertaksamaan (1) dapat digunakan untuk memperoleh batas bawah R(Sn, Wm), yaitu

R(Sn, Wm)≥

2n−1, mgenap

(3)

untuk mganjil, n≥3 danm≤2n−1.

Bukti. Karena 3Kn−1tidak memuatSndan komplemen dari 3Kn−1tidak memuat

Wmuntukmganjil makaR(Sn, Wm)≥3n−2 untukmganjil. Selanjutnya, un-tuk memperoleh nilai eksakR(Sn, Wm), akan ditunjukkan bahwaR(Sn, Wm)≤

3n−2.

MisalkanFadalah sebarang graf berorde 3n−2 yang tidak memuatSn. Akan ditunjukkan ¯F memuat Wm. Misalkan x adalah sebarang titik di F. Karena F +Sn, maka dF(x)≤n−2 untuk setiap x∈F. Misalkan A=V(F)\N[x] danT =F[A], seperti pada Gambar 1.

Gambar 1._{Graf dengan orde 3}n−2 yang tidak memuatSn

Maka haruslah|T| ≥ (3n−2)−(n−1) = 2n−1. Karena dT(v) ≤ n−2 untuk setiap v∈T dan|T¯|=|T|, maka

d_T¯(v)≥ |T| −(n−1) = 2n−1−(n−1),

= n > n−1

2 Karena |T¯| ≥2n−1 = 2(n−1

2) maka dT¯(v)≥

|_T¯_|

2 . KarenadT¯(v)≥

|_T¯_| 2 maka

menurut Lema 1, ¯T adalah graf pancyclic artinya ¯T memuat siklusCm, dengan 3≤m≤2n−1≤ |T¯|. Dengan xsebagai pusat, diperoleh graf rodaWm di ¯F. SehinggaR(Sn, Wm)≤3n−2 untuk 3≤m≤2n−1. Jadi,R(Sn, Wm) = 3n−2 untuk 3≤m≤2n−1.

Contoh 1. Untuk n= 5 danm= 9 akan ditunjukkan R(S5, W9) = 13, dengan

menunjukkan bahwa batas bawah dan batas atasnya sama. Karena 3K4 tidak

memuat S5 dan komplemen dari 3K4 tidak memuat W9 untuk m ganjil maka

R(S5, W9)≥ 13. Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa R(S5, W9) ≤13. Ambil

grafFdengan 13 titik danFtidak memuatS5. Ilustrasi diberikan pada Gambar

2.

Karena F +S5 maka dF(x)≤3 = 5−2. MisalkanA =V(F)−N[x] dan

T =F[A] maka diperoleh|T¯| ≥2.5−1 = 9.∀v∈T,dT(v)≤3 = 5−2 sehingga d_T¯(v) ≥ |T| −(n−1)

= 9−4,

(4)

Gambar 2.GrafF yang tidak memuatS5

Menurut Lema 1, ¯T memuat siklus C9, untuk 3 ≤ m ≤ 9 ≤ |T¯|. Karena

¯

T ⊆ F¯ maka W9 ⊆ T¯ ⊆ F¯, sehingga R(S5, W9) ≤ 3.5−2 = 13. Ilustrasi

diberikan pada gambar 3.

Gambar 3.Ilustrasi ¯F yang memuatW9

untuk nganjil dann≥5, danm= 2n−4.

Bukti. Pertama-tama, akan ditunjukkan bahwa batas bawah untukR(Sn, Wm)≥

3n−4. Karena Kn−1∪Kn−2,n−2 tidak memuat Sn dan komplemennya tidak

memuatWm, untuk m= 2n−4 makaR(Sn, Wm)≥3n−4.

Berikutnya, akan ditunjukkan bahwaR(Sn, Wm)≤3n−4. MisalkanFadalah sebarang graf berorde 3n−4 dan asumsikan F tidak memuatSn. Akan ditun-jukkan ¯F memuatWm. KarenaF tidak memuatSn, makadF(v)≤n−2 untuk setiapv∈F. Karenanganjil maka|F|= 3n−4 juga ganjil. Dengan demikian, tidak semua titik diF berderajatn−2 (ganjil).

Misalkan terdapatx0∈F dengandF(x0)≤n−3. TulisA=V(F)\N[x0],

danT =F[A], seperti pada Gambar 4.

Maka haruslah|T| ≥ (3n−4)−(n−2) = 2n−2. Karena dT(v) ≤ n−2 untuk setiap v∈T dan|T¯| =|T|, maka

d_T¯(v) ≥ |T| −(n−1)

(5)

Gambar 4.Graf dengan orde 3n−4 yang tidak memuatSn

Karena|T¯| ≥2n−2≥2(n−1)≥2(n−2) makad_T¯ (v)≥ | ¯

T| 2 .

Menurut Lema 1 maka diperoleh ¯T memuat siklusC2n−4. Dengan demikian,

¯

F memuat suatu rodaW2n−4dengan pusatx0. Jadi,R(Sn, Wm)≤3n−4 untuk

m= 2n−4.

Contoh 2. Untuk n = 5 maka m = 6 akan ditunjukkan R(S5, W6) = 11,

den-gan menunjukkan batas bawah dan batas atasnya sama. Karena K4 ∪K3,3

tidak memuat S5 dan komplemennya tidak memuat W6, untuk m = 6 maka

R(S5, W6) ≥11. Berikutnya, akan ditunjukkan bahwa R(S5, W6)≤ 11 dan F

tidak memuatS5. Ilustrasi diberikan pada Gambar 5.

Gambar 5.GrafF yang tidak memuatS5

Karenanganjil maka|F|= 3n−4 juga ganjil. Dengan demikian, tidak semua titik diF berderajatn−2 (ganjil) sehinggadF(x0)≤n−3 = 5−3 = 2. Misalkan

A=V(F)−N[x] danT =F[A] maka diperoleh |T¯| ≥2.n−2 = 2(5)−2 = 8

∀v∈T,dT(v)≤3 makad_T¯(v)≥ |T|−(n−1) = 8−4 = 4. Sehinggad_T¯(v)≥| ¯

T| 2 .

Menurut Lema 1, ¯T memuat siklus C6. Dengan demikian, ¯F memuat suatu

W6 dengan pusatx0. JadiR(S5, W6)≤3(5)−2 = 11. Ilustrasi diberikan pada

Gambar 6.

4 Kesimpulan

(6)

Gambar 6.Ilustrasi ¯F yang memuatW6

1. R(Sn, Wm) = 3n−2 untukmganjil, n≥3 danm≤2n−1. 2. R(Sn, Wm) = 3n−4 untuknganjil,n≥5 danm= 2n−4.

5 Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dr. Lyra Yulianti, Bapak Zu-lakmal, M.Si, Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Dr. Syafrizal Sy, Bapak Narwen, M.Si, yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

6 Daftar Pustaka

1. Chartrand, G. and Ping Zhang. 2005. Introduction to Graph Theory. McGraw-Hill Press, Singapore

2. Chvatal, V. and F. Harary. 1972. Generalized Ramsey Theory for Graph, III. Small off-Diagonal NumbersPacific. J.Math, 41: 335 – 345

3. Hasmawati. 2007.Bilangan Ramsey untuk graf Bintang. ITB Bandung. Disertasi-S3. Tidak diterbitkan.

4. Hasmawati, E.T Baskoro, dan Hilda Assiyatun. 2005. Star-Wheel Ramsey Numbers.Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Com-puting.55: 123 – 128

5. Radziszowski, S. P. Small Ramsey Numbers.The Electronic Journal of Com-binatorics, August (2011) DS1

6. Surahmat and E.T. Baskoro. 2001. On The Ramsey Number of a Path or a Star versus orW4orW5,Proceedings of the 12-th Australasian Workshop on Combinatorial Algorithms, Bandung, Indonesia, July 1417 (2001): 165 -170