Bilangan prima marsenne Tantawi Mahasisw

Bilangan prima marsenne

Tantawi

Mahasiswa Program Studi Matematika STKIP Bina Bangsa Getsempena Banda Aceh email : t4ntawi@gmail.com

Abstrak : artikel ini membahas tentang bilangan prima marsenne. Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut. bilangan prima

Marsenne adalah bilangan prima yang ber bentuk

M

p = 2p - 1.

Namun bukan pada saat p = 11, karna pada saat p = 11 maka Mp tudak

memenuhi dari sifat bilangan prima. Oleh karena itu bentuk dari bilangan prima tersebut, tidak bisa dijadikan pedoman sebagai rumus dalam mencari

bilangan prima. Karena sesuai pernyataan

M

p = 2p - 1, tidak

menghasilkan semua anggota bilangan prima. Dan bahkan ada yang tidak memenuhi dari aturan bilangan prima. Seperti kita ketahui, bilangan prima terbesar yang diketahui saat ini adalah bilangan prima yang ditemukan dengan menggunakan rumus dari bilangan prima marsenne.

Kata kunci : bilangan prima, distribusi bilangan prima, prima marsenne, uji prima little tes.

Pendahuluan

Bilangan prima Marsenne adalah bilangan prima yang ber bentuk

M

p =

2

p - 1. Nama Mersenne selalu muncul pada riwayat Fermat, Descartes, Pascal, Roberval, dan Desargues. Memang nama Mersenne menjadi titik pusat atau alamat bagi korespondensi di antara para matematikawan itu tidak hanya dikenal dengan kaitannya dengan koneksi Perancis, tetapi juga menyebarkan karya-karya

matematikawan terkenal Eropa lainnya.

Secara umum, bilangan yang ditemukan dengan rumus Mp =

2

p - 1

disebut bilangan Mersenne . Bilangan Mersenne terkadang didefinisikan memiliki

persyaratan tambahan yang menjadi syarat dikatakannya bahwa Mp itu bilangan

prima. Seperti untuk p = 11 akan didapatkan 2047. Yang ternyata angka tersebut bukan merupakan bilangan prima karena 2047 = 23 x 89, akan tetapi Marsenne yakin bahwa untuk p > 11 akan menghasilkan bilangan prima.

Kajian pustaka

1.Bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut. Hampir semua bilangan prima adalah bilangan ganjil dan angka 2 merupakan satu satunya bilangan prima genap. Dari definisi di atas, angka 1 tidak termasuk dalam bilangan prima, tetapi beberapa matematikawan pada abad XIX beranggapan bahwa angka 1 termasuk dalam himpunan bilangan prima.

1.1 Teorema teorema bilangan prima

1.1.1 Teorema 2.1 Fundamental Aritmatika

Teorema 2.1. Jika p prima dan p|ab maka p|a atau p|b.

Bukti, Bila ternyata p|a maka teorema terbukti, selesai. Bila p - a maka pastilah gcd(a,b) = 1 sebab faktor p hanyalah 1 atau p. Berdasarkan Teorema disimpulkan p|b.

Teorema ini menyatakan bahwa jika suatu bilangan prima p membagi perkalian dua bilangan bulat maka p pasti membagi salah satu diantara keduanya. Fakta ini dapat diperluas untuk bentuk perkalian beberapa bilangan bulat.

Akibat 2.1. Bila p prima dan p|

a

1

a

2 ···anmaka p|akuntuk suatu k ∈ {1,··· ,n}.

Bukti. Dibuktikan dengan menggunakan prinsip induksi matematika. Untuk n = 1, pernyataan berlaku secara otomatis. Untuk n = 2 pernyataan benar berdasarkan

Teorema 2.1. Andaikan berlaku untuk n = i, yaitu p| a1a2 ··· ai → p|ak untuk

suatu k ∈ {1,··· ,i}. Untuk n = i + 1, diketahui p|(

a

₁

a

₂ ···

a

i )(

a

i +1).

Berdasarkan Teorema 2.1 maka p| a₁a₂ ···aiatau p| a_i +1, yakni p|ak untuk suatu

k ∈ {1,··· ,i+ 1}.

Akibat 2.2. Bila p, q₁ ,··· , q_n semuanya prima dan p| q₁q₁₂ ···qn maka p =

q

k untuk

suatu k ∈ {1,··· ,n}.

Bukti. Berdasarkan akibat 2.1, p|

q

k untuk suatu k ∈ {1,··· ,n}. Karena

qkprima maka tidak ada faktor lain selain 1 dan dirinya sendiri qk . Jadi haruslah p

=

q

k . Pada awal bab ini telah diilustrasikan bahwa suatu bilangan bulat dapat

disajikan dalam bentuk perkalian bilangan-bilangan prima. Formalisasi keadaan ini disajikan dalam bentuk Teorema Fundamental Aritmatika (TFA) yang merupakan bagian terpenting dalam teori bilangan.

1.2 Distribusi Bilangan Prima

bilangan prima diantara 200 dan 300. Berdasarkan data empiris ini, distribusi bilangan prima semakin lama semakin jarang. Mungkinkah suatu saat bilangan prima tidak muncul lagi diantara kumpulan bilangan bulat yang sangat besar. Teorema berikut memberian jawabannya. Teorema ini dikenal dengan Teorema Euclides.

1.2.1 Teorema 2.5. Terdapat takberhingga banyak bilangan prima.

Bukti. Dibuktikan dengan kontradiksi. Andai hanya terdapat berhingga banyak

bilangan prima, katakan secara berurutan p₁ = 2, p₂ = 3,··· , p_n . Ambil

bilangan bulat N yang didenisikan sebagai :

N = p1p2 ··· pn+1 .

Karena N > 1 maka berdasarkan TFA, P mesti dapat dibagi oleh suatu

bilangan prima p. Tetapi kita telah mengandaikan bahwa hanya p1p2 ··· pn

bilangan prima yang ada. Jadi haruslah p =

p

k untuk suatu k ∈ {1,··· ,n}. Kita

mempunyai dua fakta, yaitu p|N dan p| p1p2 ··· pn . Akibatnya p|( N − p1p2

···

p

n ) atau p|1. Hal ini menimbulkan kontradiksi karena p > 1. Jadi tidaklah benar

bahwa banyaknya bilangan prima berhingga.

Pembahasan mengenai bilangan prima banyak menyimpan misteri yang belum terselesaikan. Sampai saat ini belum ada formula eksplisit atau cara efektif untuk mengidentifikasi bilangan prima.

1.2.2 Teorema 2.6. Terdapat takberhingga banyak bilangan prima yang berbentuk

4

_q+3 .

Bukti. Bukti dengan kontradiksi. Andai hanya terdapat berhingga bilangan

prima bentuk ini, katakan

p

1

p

2 ···

p

k . Ambil m = 4

p

1

p

2 ···

p

k−1

,

sehingga m berbentuk 4q+3 yaitu dengan mengambil q = p1p2 ··· pk+1 .

Karena m ganjil maka setiap bilangan prima p yang membagi m juga ganjil, atau

secara ekuivalen berbentuk p = 4q+1 atau p = 4q+3 . Bila p berbentuk 4q+1

Jadi haruslah m terbagi oleh suatu bilangan prima p yang berbentuk

4

q+3 .

Karena diasumsikan hanya ada p₁p₂ ··· p_k, bilangan prima bentuk ini maka

haruslah p =

p

i untuk suatu i ∈ {1,··· ,k}. Jadi p|

p

1

p

2 ···

p

k , dan juga p|m.

Diperoleh p|4 p1p2 ··· pk−m , atau p|1 suatu kontradiksi.

2.Bilangan prima marsenne

Banyak pertanyaan mendasar tentang bilangan prima Mersenne yang belum terselesaikan. Bahkan tidak diketahui apakah himpunan bilangan prima Mersenne terbatas ataupun tidak terbatas. Hal ini juga tidak diketahui apakah bilangan prima marsenne terhingga maupun tak terhingga. Empat bilangan prima pertama smarsenne adalah : ( lihat table 1.1 )

p

M

_p

2 3

3 7

5 31

7 127

Table 1.1 empat bilangan prima Marsenne pertama

Sebuah teorema dasar tentang bilangan prima Mersenne adalah jika

M

p

suatu bilangan prima, maka eksponen p juga harus prima. Ini mengikuti dari sifat identitas. Tidak adanya tes sederhana untuk menentukan apakah suatu bilangan yang diberikan itu adalah prima. The Lucas Lehmer mengembangkan suatu tes primality (LLT), dimana tes primality sangat efisien yang sangat membantu dalam menentukan apakah bilangan tersebut prima atau bukan. Pencarian ini dilakukan untuk mencari bilangan prima terbesar. Akibatnya, banyak daya komputer telah dikeluarkan untuk mencari bilangan prima Mersenne baru, banyak yang sekarang dilakukan dengan menggunakan komputasi terdistribusi. Berikut ini rumus bilangan prima marsenne adalah :

M_p =

2

p _{- 1}

Tetapi untuk p = 11, maka M11 =

2

11 + 1 = 2047, dimana angka 2047

2.1 Sejarah marsenne

Marin Mersenne dilahirkan dekat Oize , Maine (sekarang Sarthe ) pada tanggal 8 September 1588. Dia memulai pendidikannya di College du Mans , dan dilanjutkan di Jesuit College La Fleche. Pada 1609 , ia pindah ke Paris untuk belajar teologi di Sorbonne , dan ditahbiskan pada 1613 . Dua tahun sebelum itu , Mersenne bergabung dengan Orde Minims , akhirnya yang bertempat tinggal di biara mereka di Paris . Tampaknya Minims memberikan Mersenne kebebasan besar untuk mengejar kepentingan akademik , dan tinggal di biarra selama sisa hidupnya .

Karya filosofis awal Mersenne yang ditandai dengan conservativism ortodoks. Ia menerbitkan sebuah serangan terhadap astronomi Copernicus pada 1623, dan pada awalnya diterima banyak filsafat skolastik tradisional. Perkembangan ini dalam pemikirannya berhubungan dengan mengambil peran komunikasi ide .

Di luar filsafat dan teologi ,Mersenne mengembangkan matematika dan teori musik . Hari ini , ia dikenal dalam matematika sehubungan dengan rumus untuk satu

set tertentu dari bilangan prima : ₂p _{- 1 , di mana p adalah prima . Meskipun}

Mersenne tidak menemukan rumus , karyanya pada menentukan nilai ' p ' menghasilkan bilangan prima menyebabkan serangkaian angka yang dijuluki " bilangan prima Mersenne . " Dalam teori musik, Mersenne bekerja pada penentuan hubungan matematis antara frekuensi getar nada yang berbeda .

Pada tahun 1648 , Mersenne meninggal di Paris dari komplikasi yang timbul dari abses paru. Dia meninggalkan koleksi tebal huruf, dan tanda yang signifikan pada bentuk kegiatan akademik di Eropa (new world encyclopedia : 2011 ).

2.2 Mencari bilangan prima Mersenne

Empat bilangan prima Mersenne pertama adalah

M

2 = 3,

M

3 = 7,

M₅ = 31 dan M₇ = 127 yang dikenal di zaman kuno. Kelima, M₁₃ = 8191,

ditemukan anonymously sebelum tahun 1461. Dan kemudian ditemukan 2 berikutnya

adalah M17 dan M19 yang ditemukan oleh Cataldi pada tahun 1588. Setelah

hampir dua abad, baru ditemukan lagi

M

₃₁ yang ditemukan oleh Euler pada tahun

1772. Berikutnya dalam sejarah non numeric ditemukan bilangan prima marsenne

Pervushin pada tahun 1883. Dua berikutnya yaitu

M

89 dan

M

107 ditemukan

pada awal abad ke-20, oleh Powers pada tahun 1911 dan tahun 1914.

Metode terbaik saat ini dikenal untuk menguji primality nomor Mersenne adalah tes primality Lucas Lehmer. Secara khusus, dapat ditunjukkan bahwa untuk

prima p> 2,

M

p = 2p -1 adalah prima jika dan hanya jika

M

p membagi

s_p−2 , di mana S0 = 4 dan, untuk k> 0.

Pencarian bilangan prima Mersenne telah berevolusi melalui pengenalan komputer digital elektronik. Salah satunya adalah proyek GIMPS. Ini adalah pertama bilangan prima Mersenne diidentifikasi melalui computer.

Pada bulan September 2008, matematikawan di UCLA berpartisipasi dalam GIMPS memenangkan bagian dari $ 100.000 hadiah dari Electronic Frontier Foundation untuk penemuan mereka sangat hampir 13 juta digit Mersenne prima. Hadiah, akhirnya dikonfirmasi pada bulan Oktober 2009, untuk pertama dikenal perdana dengan setidaknya 10 juta digit. Perdana ditemukan melalui Dell OptiPlex 745 pada tanggal 23 Agustus 2008. Ini adalah kedelapan Mersenne prima ditemukan di UCLA.

Pada tanggal 25 Januari 2013, Curtis Cooper, seorang matematikawan di University of Central Missouri, menemukan ke-48 Mersenne prima, 257.885.161 - 1 (nomor dengan digit 17.425.170), sebagai hasil dari pencarian dieksekusi oleh server jaringan GIMPS [12. ] ini adalah ketiga Mersenne prima ditemukan oleh Dr Cooper dan timnya dalam tujuh tahun terakhir.

2.3 Teorema tentang bilangan Mersenne

Teorema 1 : Jika dan p adalah bilangan asli sehingga

a

p _{- 1 adalah prima, maka a}

= 2 atau p = 1.

Bukti : a ≡ 1 (mod - 1), Kemudian

a

p _{≡ 1 (mod - 1), sehingga}

a

p _{- 1}

≡ 0 (mod - 1). Jadi

a

p _{- 1 |}

a

p - 1. Namun,

a

p _{- 1 adalah prima, sehingga a}

- 1 =

a

p _{- 1 atau a - 1 = ± 1. Dalam kasus yang pertama, a =}

prima) atau p = 1. Dalam kasus terakhir, a = 2 atau a = 0. Jika a = 0, bagaimanapun 0p - 1 = 0 - 1 = -1 yang tidak prima. Oleh karena itu a = 2.

Teorema 2 : Jika 2p - 1 adalah prima, maka p adalah prima.

misalkan p komposit, maka dapat ditulis p = a b dengan a dan b > 1. ⋅

Kemudian (

2

a

¿ ¿

b - 1 adalah prima, tapi b > 1 dan 2

a _{> 2, bertentangan}

pernyataan 1.

Teorema 3 : Jika p adalah prima ganjil, maka setiap q prima yang membagi ₂p _{- 1}

harus 1 ditambah kelipatan 2p _{. Hal ini berlaku bahkan ketika 2}p _{- 1 adalah}

prima.

Bukti : Jika q membagi ₂p _{- 1 maka ≡ 1 ( mod q )}

2p . Oleh teorema

Fermat Little,

2

(q−1) _{≡ 1 ( mod q ) . Asumsikan p dan q - 1 relatif prima , aplikasi}

serupa Fermat Little Teorema mengatakan bahwa

(

q

−

1

)

(p−1) ≡ 1 ( mod p ) . Jadi

ada sejumlah x ≡

(

q

−

1

)

(p−1) yang ( q - 1 ) (x) ≡ 1 ( mod p ) , dan karena itu k

nomor yang ( q - 1 ) ( x – 1) = k_p . Sejak

2

(q−1) _{≡ 1 ( mod q ) , meningkatkan}

kedua sisi kesesuaian dengan daya x memberikan

2

(q−1) _{x ≡ 1 , dan karena 2}p _≡

1 ( mod q ) , meningkatkan kedua sisi keselarasan dengan k listrik memberikan

2

kp

≡ 1 . Jadi

2

(q−1)x _/

2

kp =

2

(q−1)x−kp ≡ 1 ( mod q ) . Namun menurut definisi ,

( q - 1 ) x - k_p = 1 , menyiratkan bahwa

2

1 _{≡ 1 ( mod q ) , dengan kata lain ,}

bahwa q membagi 1 . Dengan demikian asumsi awal bahwa p dan q - 1 relatif prima tidak dapat dipertahankan . Karena p adalah prima q - 1 harus kelipatan dari p . Tentu saja, jika jumlah m = ( q - 1 ) / p adalah ganjil, maka q akan lebih , karena sama

dengan m_p + 1. Tapi q adalah prima dan tidak bisa sama dengan 2.

Catatan:

Fakta ini memberikan bukti ketakterbatasan bilangan prima yang berbeda dari Teorema Euclid: jika ada hasil dari bilangan prima, dengan p menjadi yang terbesar,

kami mencapai kontradiksi langsung karena semua bilangan prima membagi

2

p _{- 1}

Teorema 4 : Jika p adalah prima ganjil, maka setiap q prima yang membagi

2

p _{- 1}

harus sama dengan ± 1 (mod 8).

Bukti:

2

p+1 _{= 2 \ p mod q, jadi {}

2

p+1 _{/ 2 } adalah akar kuadrat dari 2}

modulo q. Dengan timbal balik kuadrat, setiap modulo perdana yang 2 memiliki akar kuadrat kongruen dengan ± 1 (mod 8).

Teorema 5 : Sebuah Mersenne prima tidak bisa menjadi Wieferich prima.

Bukti: Kami menunjukkan jika p =

2

m _{- 1 adalah prima Mersenne, maka}

kesesuaian antara

2

p _{- 1 ≡ 1 tidak memuaskan. Oleh teorema Fermat Little, m \}

mid p-1. Sekarang kita tulis, p-1 = mλ. Jika kesesuaian maka diberikan

p

2 _\

¿

mid2{m

¿ - 1, sehingga 0 ≡ (

2

mλ - 1) / (

2

m - 1) = 1 +

2

m +

2

2m + ... +

2λ−1m _{≡ λ mod (}

2m - 1} Oleh karena ₂m _{- 1 \ mid \ λ, dan karenanya λ ≥}

2m _{- 1 ini menyebabkan p - 1 ≥ m ( 2}m _{- 1), yang tidak mungkin m ≥ 2.}

Catatan :

Wieferich prima adalah bilangan prima p dimana _p2 _{daapat membagi}

2p _{– 1 - 1, karena apabila menghubungkan bilangan prima dengan teorema Fermat}

kecil , yang menyatakan bahwa setiap bilangan prima p membagi ₂p _{– 1 - 1.}

Bilangan prima Wieferich pertama kali dijelaskan oleh Arthur Wieferich tahun 1909 dalam karya-karya yang berkaitan dengan teorema terakhir Fermat, pada saat kedua teorema Fermat sudah dikenal oleh matematikawan ( Wikipedia :2013).

Teorema 6 : Sebuah bilangan prima membagi paling banyak satu prime eksponen Mersenne

Teorema 7 : Jika p dan ₂p _{+ 1 keduanya prima (artinya p adalah Sophie Germain}

prima), dan p adalah sama dengan 3 (mod 4), maka 2p + 1 membagi 2p - 1.

Contoh: 11 dan 23 keduanya prima, dan 11 = 2 × 4 + 3, jadi 23 dibagi 211-1.

3.Nomor Mersenne di alam dan di tempat lain

Bilangan prima menjadi amat penting pada proses pengkodean dengan komputer. Salah satu tekniknya yang dikenal dengan enkripsi. Enkripsi adalah suatu proses transformasi data menggunakan perhitungan tertentu sehingga tidak dapat dibaca oleh orang lain kecuali bagi mereka yang telah mengetahui cara perhitungan tersebut. Aplikasi dari bilangan prima ini digunakan untuk kode-kode rahasa pada kartu ATM suatu bank, brankas, dll.

Dalam ilmu komputer, unsigned n-bit integer dapat digunakan untuk

mengekspresikan angka sampai dengan

M

n . Signed (n + 1) bit bilangan bulat

dapat mengekspresikan nilai antara ( Mn + 1) dan Mn , menggunakan

representasi komplemen dua itu. Dalam masalah matematika Menara Hanoi,

memecahkan teka-teki dengan menara n disc membutuhkan langkah Mn , dengan

asumsi tidak ada kesalahan yang dibuat.

Kesimpulan

Bilangan prima adalah bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai dua pembagi, yaitu 1 dan bilangan tersebut.

Bilangan prima Mersenne adalah sebuah bilangan prima dengan rumus :

M_p =

2

p _{− 1. Tetapi untuk p = 11, maka M}

11 =

2

11 + 1 = 2047, dimana angka 2047 itu sama dengan 23 × 89, dan bisa disimpulkan apabila p = 11 bukan prima. Akan tetapi Marsenne yakin bahwa untuk p > 11, bilangan yang dihasilkan pasti bilangan prima.

Rumus bilangan prima yang dikemukakan oleh marsennepun terdapat banyak kekurangan. Dimulai pada saat angka 11 tidak memenuhi sifat dari bilangan prima, dan juga tidak mendaftar semua anggota dari bilangan prima itu sendiri.

Maka, masih banyak yang perlu dikaji atau diteliti, untuk mencari suatu kepastian dari rumus bilangan prima itu sendiri. Dalam matematika itu sendiri masih banyak yang belom dikaji.

Dari kesimpulan diatas, Penulis menyarankan bagi pembaca, bila ingin jadi penemu didalam bidang matematika masih terbuka lebar. Pembaca bisa mencari yang baru ( rumus matematika ), atau pembaca juga bisa mengkaji rumus – rumus

– mudahan dari artikel ini dapat menjadi penyemangat pembaca untuk melakukan penelitian dalam dunia matematika.

Daftar pustaka

( Wikipedia : 2013 ) Marsenne Prima . melalui. Diakses pada tangal 24 melalui web: http://www.ask.com/wiki/Fermat_primality_test?qsrc=3044

(new world encyclopedia : 2011 ). Marin Marsenne . melalui. Diakses pada tangal 24 melalui web:

https://www.newworldencyclopedia.org/entry/Marin_Mersenne

( Wikipedia : 2013 ) Marsenne Prima . melalui. Diakses pada tangal 24 melalui web:

http://www.ask.com/wiki/Wieferich_prime?qsrc=3044