STATISTIKA MATEMATIK S1

Pengajar:

Dr. Rippi Maya, M.Pd.

Beberapa Distribusi Khusus Kontinu

Pertemuan Ke-13 12 Mei 2020

STATISTIKA

MATEMATIK

S1

2

Semoga Ananda semua

dalam keadaan sehat

hari ini dan selalu

dalam lindungan Allah

swt.

MATERI

YANG

AKAN

DIBAHAS

Beberapa distribusi kontinu khusus:

A.

Distribusi Seragam Kontinu

B.

Distribusi Gamma,

C.

Distribusi Eksponensial,

D.

Distribusi Khi-Kuadrat,

E.

Distribusi Beta.

3

Jangan lupa presensi online, ya.

A. Distribusi Seragam

Definisi:

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Seragam, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:

𝑓 𝑥 = 1

𝛽 − 𝛼 , 𝛼 < 𝑥 < 𝛽 0, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi

seragam adalah 𝑆 𝑥; 𝛼, 𝛽 , artinya peubah acak X

Rataan, Varians dan Fungsi Pembangkit Momen dari peubah acak berdistribusi seragam 1. Rataan: μ = 1 2 𝛼 + 𝛽 2. Varians: 𝜎2 = 1 12 𝛽 − 𝛼 2

3. Fungsi pembangkit momen: 𝑀_𝑥 𝑡 = 𝑒𝛽𝑡 − 𝑒𝛼𝑡, 𝑡 ≠ 0

1, 𝑡 = 0

Contoh 1:

Misalkan fungsi densitas dari X berbentuk: 𝑓 𝑥 = 1

5, 0 < 𝑥 < 5 0, untuk 𝑥 lainnya a) Hitunglah 𝑃 1 < 𝑋 < 4

b) Tentukan fungsi distribusi 𝐹(𝑥), lalu hitung 𝑃(𝑋 > 2) dari fungsi distribusinya.

Jawab:

a) Peluang 𝑃 1 < 𝑋 < 4 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 5𝑑𝑥 = 𝑥 5 ₁ 4 = 4₅ − 1₅ = 3₅ 4 1 4 1 b) Untuk 𝑥 < 0, 𝐹 𝑥 = 0 Untuk 0 ≤ 𝑥 < 5, 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 0 −∞ 𝑥 −∞ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥 0 0 𝑑𝑡 + 0 −∞ 1 5 𝑑𝑡 = 𝑥 0 1 5 𝑡 0 𝑥 = 1_{5 𝑥} 6

Untuk 𝑥 > 5, 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 0 −∞ ∞ −∞ 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 5 0 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 ∞ 5 = 0 𝑑𝑡 + 0 −∞ 1 5 𝑑𝑡 5 0 + 0 𝑑𝑡 ∞ 5 = 1_{5 𝑑𝑡 =} 5 0 1 5 𝑡 0 5 = 1.

Jadi fungsi distribusinya adalah 𝐹 𝑥 =

0, 𝑥 < 0

1

5𝑥, 0 ≤ 𝑥 < 5

1, 𝑥 ≥ 5

Dari fungsi distribusi 𝐹 𝑥 dapat dihitung peluang

𝑃 𝑋 > 2 = 1 − 𝑃 𝑋 < 2 = 1 − 𝐹 2 = 1 − 1₅ 2 = 3₅.

B. Distribusi Gamma

Definisi:

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Gamma, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:

𝑓 𝑥 =

1

𝛽𝛼_{.Γ 𝛼 𝑥}𝛼−1.𝑒−𝑥 𝛽, 𝑥 > 0, 𝛼 > 0,𝛽 > 0

0, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi Gamma

adalah 𝐺(𝑥; 𝛼, 𝛽) artinya peubah acak X berdistribusi Gamma

Untuk memudahkan menghitung fungsi gamma 𝛤 𝛼 , berikut ini diberikan beberapa definisi tentang fungsi gamma.

Definisi Fungsi Gamma:

Fungsi gamma didefinisikan sebagai 𝛤 𝛼 = 𝑥₀∞ 𝛼−1.𝑒−𝑥 𝑑𝑥, untuk 𝛼 > 0. Rumus rekursi untuk fungsi gamma adalah 𝛤 𝛼 + 1 = 𝛼. 𝛤 𝛼 .

Definisi Fungsi Gamma dengan Faktorial:

Jika 𝛼 adalah bilangan bulat positif, maka 𝛤 𝛼 + 1 = 𝛼!

Catatan: Untuk 𝛼 = 1, maka Γ 1 = 𝑥1−1.𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒−𝑥𝑑𝑥 = lim_{𝑏 ∞} 𝑒−𝑥𝑑𝑥 𝑏 0 ∞ 0 ∞ 0 = lim_{𝑏 ∞} − 𝑒−𝑥 0 𝑏 = lim_{𝑏 ∞} −𝑒−𝑏 + 1 = lim_{𝑏 ∞} −𝑒−𝑏 + 1 = 0 + 1 = 1 = 0! Untuk 𝛼 = 2, diperoleh 𝛤 2 = 1! = 1.

Untuk 𝛼 = 3,diperoleh 𝛤 3 = 2! = 2, dan seterusnya.

Rataan, Varians dan Fungsi Pembangkit Momen dari peubah acak berdistribusi Gamma:

1. Rataan: 𝜇 = 𝛼𝛽

2. Varians: 𝜎2 = 𝛼𝛽2

3. Fungsi pembangkit momen: 𝑀_𝑥 𝑡 = 1 − 𝛽𝑡 −𝛼; 𝑡 < 1

𝛽.

Contoh 2:

Misalkan peubah acak X berdistribusi gamma dengan parameter 𝛼 = 2 dan 𝛽 = 3.

Hitunglah peluang bahwa X berharga lebih dari 4.

Jawab:

Bentuk baku dari fungsi densitas peubah acak X adalah 𝑓 𝑥 =

1

𝛽𝛼_{. Γ 𝛼 𝑥}𝛼−1.𝑒−𝑥 𝛽, 𝑥 > 0, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0

0, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Dengan 𝛼 = 2 dan 𝛽 = 3, diperoleh fungsi densitas

𝑓 𝑥 = 32_{. Γ 2 𝑥}1 2−1.𝑒−𝑥 3, 𝑥 > 0

0, 𝑥 lainnya

Karena Γ 2 = 1! = 1, maka fungsi densitasnya menjadi

𝑓 𝑥 = 1_{9 𝑥. 𝑒}−𝑥 3, 𝑥 > 0 0, 𝑥 lainnya

Untuk 𝑃 𝑥 > 4 = 1 9 𝑥. 𝑒−𝑥/3𝑑𝑥 = 1 9 _{𝑏 ∞}lim 𝑥. 𝑒−𝑥/3𝑑𝑥 𝑏 4 ∞ 4

Dengan menggunakan integral parsial 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢, dapat diselesaikan integral di atas.

Misalkan 𝑢 = 𝑥 maka 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥/3𝑑𝑥 maka 𝑣 = 𝑒−𝑥/3𝑑𝑥` = −3 𝑒−𝑥/3, sehingga 𝑥. 𝑒−𝑥/3𝑑𝑥 𝑏 4 = −3𝑥𝑒−𝑥/3 4 𝑏 + 3 𝑒−𝑥/3𝑑𝑥 = −3𝑏𝑒−𝑏 3 + 12𝑒−4/3 𝑏 4 − 9 𝑒−𝑥/3 4 𝑏 = −3𝑏𝑒−𝑏 3 + 12𝑒−4/3 − 9 𝑒−𝑏 3 − 𝑒−4 3 = −3𝑏𝑒−𝑏 3 − 9𝑒−𝑏 3 + 21𝑒−4 3 13

Jadi 𝑃 𝑥 > 4 = 1

9 𝑏 ∞lim −3𝑏𝑒−𝑏 3− 9𝑒−𝑏 3 + 21𝑒−4 3

= 1_{9 lim𝑏 ∞} −3𝑏𝑒−𝑏 3 − 9𝑒−𝑏 3 + 21𝑒−4 3 = 1_{9 0 + 0 + 21𝑒}−4 3 = 21₉ 𝑒−4 3 ≈ 21₉ 0,2725 ≈ 0,6359.

C. Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial diperoleh dari distribusi Gamma

dengan 𝛼 = 1 dan 𝛽 = 𝜃.

Definisi:

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Eksponensial, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:

𝑓 𝑥 = 1_{𝜃 . 𝑒}−𝑥/𝜃 , 𝑥 > 𝜃, 𝜃 > 0 0, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi

eksponensial adalah 𝐸𝑥𝑝 𝑥; 𝜃 , artinya peubah acak X

Rataan, Varians dan Fungsi Pembangkit Momen dari peubah acak berdistribusi Eksponensial:

1. Rataan: 𝜇 = 𝜃

2. Varians: 𝜎2 = 𝜃2

3. Fungsi pembangkit momen: 𝑀_𝑥 𝑡 = 1 − 𝜃𝑡 −1;𝑡 < 1

𝜃 .

Contoh 3:

Misalkan peubah acak Y berdistribusi eksponensial dengan parameter 𝜃 = 3.

Hitung peluang bahwa Y bernilai lebih dari 2.

Jawab:

Fungsi densitas dari Y adalah

ℎ 𝑦 = 1_{3 𝑒}−𝑦 3, 𝑦 > 0 0, untuk 𝑦 lainnya 𝑃 𝑌 > 2 = 1 − 𝑃 𝑌 ≤ 2 = 1 − 1_{3 𝑒}−𝑦3𝑑𝑦 2 0 = 1 − 1_{3 𝑒}−𝑦3𝑑𝑦 2 0 = 1 − 1_{3 −3𝑒}−𝑦3 ₀ 2 = 1 + 𝑒−23 − 1 = 𝑒−23 = 0,5134. 17

D. Distribusi Khi-Kuadrat

Distribusi Khi-kuadrat diperoleh dari distribusi Gamma

dengan

𝛼 = 𝑣/2

dan

𝛽 = 2

.

Definisi:

Peubah acak X dikatakan

berdistribusi Khi-kuadrat

, jika

dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:

𝑓 𝑥 =

1

2

𝜈 2

_{. Γ 𝜈2}

𝑥

𝜈−2 2

. 𝑒

−𝑥 2

,

𝑥 > 0

0,

𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi

khi-kuadrat adalah

𝜒

2

𝜈

artinya peubah acak X berdistribusi

Khi-kuadrat dengan derajat kebebasan

𝑣

.

Rataan, Varians dan Fungsi Pembangkit Momen dari peubah acak berdistribusi Khi-Kuadrat:

1. Rataan: 𝜇 = 𝜈

2. Varians: 𝜎2 = 2𝜈

3. Fungsi pembangkit momen: 𝑀_𝑥 𝑡 = 1 − 2𝑡 −𝜈2; 𝑡 < 1

2

Contoh 4:

Jika peubah acak X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan 𝜈 = 4, maka

tentukan fungsi pembangkit momen dari 𝑌 = 𝑋

2 − 1.

Jawab:

Fungsi pembangkit momen dari X berbentuk:

𝑀_𝑥 𝑡 = 1 − 2𝑡 −2; 𝑡 < 1₂

Jika 𝑌 = 𝑋

2 − 1, maka fungsi pembangkit momen dari Y adalah

𝑀_𝑦 𝑡 = 𝐸 𝑒𝑡𝑌 = 𝐸 𝑒𝑡 𝑋2−1 = 𝐸 𝑒𝑡𝑋2 . 𝑒−𝑡 = 𝑒−𝑡𝐸 𝑒𝑡𝑋2

= 𝑒−𝑡.𝑀_{𝑥 2 = 𝑒}𝑡 −𝑡. 1 − 2 ₂𝑡

−2

= _{1 − 𝑡}𝑒−𝑡 ₂.

Jadi fungsi pembangkit momen dari Y adalah 𝑀_𝑦 𝑡 = 𝑒−𝑡

1−𝑡 2.

Definisi:

Peubah acak X dikatakan berdistribusi Beta, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:

𝑓 𝑥 = Γ 𝛼 .Γ 𝛽 . 𝑥Γ 𝛼 + 𝛽 𝛼−1. 1 − 𝑥 𝛽−1, 0 < 𝑥 < 1, 𝛼 > 0,𝛽 > 0

0, 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi Beta adalah

𝐵 𝑥; 𝛼,𝛽 artinya peubah acak X berdistribusi Beta dengan parameter

α dan β.

21

Rataan, Varians dari peubah acak berdistribusi Beta:

1. Rataan: 𝜇 = 𝛼 𝛼+𝛽 2. Varians: 𝜎2 = 𝛼𝛽 𝛼+𝛽 2 𝛼+𝛽+1 Contoh 5:

Jika peubah acak X berdistribusi beta dengan parameter 𝛼 = 1 dan 𝛽 = 4, maka hitung: a) Rataan 𝜇

b) Peluang bahwa X bernilai paling sedikit 1 4.

Jawab:

Fungsi densitas dari X dengan parameter 𝛼 = 1 dan 𝛽 = 4 berbentuk: 𝑓 𝑥 = _{Γ 𝛼 .Γ 𝛽}Γ 𝛼+𝛽 . 𝑥𝛼−1. 1 − 𝑥 𝛽−1 = _{Γ 1 .Γ 4}Γ 1+4 . 𝑥1−1 1 − 𝑥 4−1

= _{0! .3! . 1. 1 − 𝑥}4! 3 = 4 1 − 𝑥 3. Jadi fungsi densitas dari X adalah

𝑓 𝑥 = 4 1 − 𝑥_0, 3, 0 < 𝑥 < 1_{𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎}

a) Rataan 𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =∞ −∞ 𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥. 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ∞ 1 1 0 0 −∞ = 𝑥. 0 𝑑𝑥 + 𝑥.4 1 − 𝑥 3𝑑𝑥 + 𝑥. 0𝑑𝑥 ∞ 1 1 0 0 −∞ = 0 + 4 𝑥 1 − 𝑥 3𝑑𝑥 + 0 = 1 0 4 𝑥 1 − 𝑥 3𝑑𝑥 = 1 0 4𝐵 2,4 (∗) Catatan (*):

Definisi fungsi Beta:

Untuk 𝛼 > 0 dan 𝛽 > 0, fungsi Beta didefinisikan sebagai 𝐵 𝛼, 𝛽 = 𝑥∞ 𝛼−1. 1 − 𝑥 𝛽−1𝑑𝑥.

0

Sifat-sifat fungsi Beta:

1.

𝐵 𝛼, 𝛽 = 𝐵 𝛽, 𝛼

2.

𝐵 𝛼, 𝛽 = Γ 𝛼 . Γ 𝛽

Γ 𝛼+𝛽

Jadi persamaan (*) menjadi:

𝜇 = 4𝐵 2,4 = 4 Γ 2 . Γ 4_{Γ 6} = 4 1!.3!_5! = 4 _{20 =}1 1_{5 .} b) 𝑃 𝑋 ≥ 1 4 = 1 − 𝑃 𝑋 < 1 4 = 1 − 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 − 4 1 − 𝑥 3 1/4 0 1/4 0 𝑑𝑥

Dengan menggunakan substitusi, akan diselesaikan integral di atas.

Misalkan 𝑦 = 1 − 𝑥 𝑥 = 1 − 𝑦 dan 𝑑𝑥 = −𝑑𝑦 Menentukan batas integral:

Untuk 𝑥 = 1

4, maka 𝑦 = 3

4; dan untuk 𝑥 = 0, maka 𝑦 = 1.

𝑃 𝑋 ≥ 1₄ = 1 − 4 1 − 𝑥14 3 0 𝑑𝑥 = 1 − 4𝑦3 −𝑑𝑦 = 3/4 1 1 − 4𝑦3 −𝑑𝑦 3/4 1 1 + 4𝑦3𝑑𝑦 = 1 − 3/4 1 4𝑦3𝑑𝑦 = 1 − 𝑦4 3/4 1 1 3/4 = 1 − 1 − 0,754 = 0,754 = 0,3164. 26

Daftar Pustaka

Dudewicz, E.J. & Mishra, S.N. (1995). Statistika Matematik Modern. Bandung: Penerbit ITB.

Herrhyanto, N. & Gantini, T. (2016). Pengantar Statistika Matematis. Bandung: Yrama Widya.

Hogg, R.V. & Craig, A.T. (1995). Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. New Jersey: Prentice Hall, Inc.

Ramachandran, K.M. & Tsokos, C.P. (2009). Mathematical Statistics with Applications.

Burlington, MA: Elsevier Academic Press.

Walpole, R.E. & Myers, R.H. (1995). Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan.

Semoga wabah virus Corona segera

berakhir dan semuanya sehat terus,

sehingga kita dapat beraktivitas

seperti sediakala. Aamiin.

Sampai ketemu lagi minggu depan

Ananda semua. InsyaAllah.

Wassalamu’alaikum wr wb.