PERANAN LOGIKA INFORMATIKA PADA HITUNGAN PERKALIAN BERBASIS HUKUM DISTRIBUTIF. Oleh RUSDY AGUSTAF

(1)

Jurnal Dinamika Informatika

Volume 4, Nomor 1, Pebruari 2010 : 45 - 52

PERANAN LOGIKA INFORMATIKA PADA HITUNGAN PERKALIAN BERBASIS HUKUM DISTRIBUTIF

Oleh

RUSDY AGUSTAF

Dosen Tetap Fakultas Teknik, Universitas Janabadra Yogyakarta

ABSTRAK

Berbagai persoalan menyangkut hitungan, pasti selalu ada didalam kehidupan manusia, pada dasarnya tentu memerlukan logika informatika, karena hampir setiap orang pasti terlibat melakukan persoalan hitungan, terutama menyangkut perkalian sederhana, yang menurut kita mudah, tetapi bagi orang lain masih menjadi sukar untuk menyelesaikannya, walaupun metode perkalian yang secara biasa telah digunakan dan telah diberikan oleh para ahli hitung / ilmuan.

Patut disyukuri bahwa kita umumnya tidak lagi mengalami kesulitan/ kesukaran didalam menyelesaikan perkalian sederhana tersebut. Kita telah mengetahui bersama dari sejarah umat manusia pada waktu yang lalu, untuk menyesaikan perkalian 67 x 53 saja memerlukan seorang ahli hitung, yang ditugasi untuk menghitung dengan waktu yang cukup lama.

Periode berikutnya memakai alat-alat hitung seperti abacus, simpoa, mistar hitung ataupun alat-alat hitung lainnya, serta mempergunakan kalkulator, maupun teknologi komputer, akan tetapi kita perlu mengetahui asal usul metode perkalian itu. Dengan mempergunakan logika informatika penulis menemukan dan memperoleh suatu cara yang cukup mudah untuk menghitung, yaitu dengan memanfaatkan hukum distributif pada persoalan hitungan.

Kata Kunci : Hitungan perkalian, logika informatika, hukum distributif

PENDAHULUAN Latar Belakang

Perhitungan perkalian pada bilangan merupakan kebutuhan sangat mendasar diperlukan bagi kehidupan manusia, yang melibatkan hampir semua umat manusia baik mereka yang masih kecil, dewasa, maupun yang sudah tua, tanpa memandang jenjang/ tingkat pendidikan ilmiahnya, secara sadar maupun tidak sadar terlibat untuk memakai perhitungan perkalian pada tingkat yang sederhana.

Operasi hitung yang dikenal sekarang, sebenarnya telah lama dipikirkan oleh manusia yaitu semenjak Kerajaan Yunani kuno jauh sebelum tahun masehi, pada masa itu orang yang bertugas menghitung, dikenal dengan sebutan Juru Hitung, semenjak itu pulalah para ahli pikir mencoba menemukan suatu cara untuk memperoleh hasil perkalian dengan mudah. Banyak para ahli pikir yang dikenal diantaranya Pythagoras, Archimedes, Newton, Pascal, Rene Descartes (1596-1650) dikenal sebagai ahli filsafat modern pertama yang besar, ia juga penemu biologi modern, ahli fisika dan matematikawan, karyanya adalah La Geometric yang diterbitkan tahun 1637, ia mencoba menggabungkan geometri tua dengan aljabar yang masih bayi bersama Pierre Fermat (1601-1665), gabungan itu yang kini disebut Geometri Analitik, sedangkan Kalkulus merupakan hasil perjuangan intelektual yang dramatik yang berlangsung selama dua ribu lima ratus tahun ( Richard Courant ), serta

(2)

banyak lagi para ahli yang lain dimana mereka secara terpisah, berlomba menyumbangkan sesuatu untuk kemajuan umat manusia dengan ilmu pengetahuan yang mereka tekuni, tentunya ilmu pengetahuan yang ada sekarang ini merupakan hasil gabungan dari berbagai macam ilmuan yang telah mereka sumbangkan, baik oleh mereka yang telah dikenal maupun mereka yang tidak dikenal, dan ilmu pengetahuan yang telah ada sekarang ini perlu kita syukuri. Kita sangat berharap agar para ahli / ilmuan, secara estafet tetap selalu menyumbangkan karya ilmunya lebih banyak lagi bagi kehidupan dan kemajuan umat manusia secara menyeluruh.

Hampir setiap orang terlibat melakukan operasi hitung terutama perkalian sederhana, yang menurut kita mudah tetapi bagi sementara orang masih menjadi sukar untuk menyelesaikannya, walaupun metode perkaliannya telah diberikan oleh para ahli / ilmuan. Patut disyukuri bahwa kita tidak lagi mengalami kesukaran didalam menyelesaikan perkalian sederhana tersebut. Kita telah mengetahui bersama dari sejarah umat manusia pada waktu yang lalu, untuk menyesaikan perkalian 87 x 73 saja memerlukan seorang ahli hitung yang perlu menghitung dengan waktu yang cukup lama. Periode berikutnya memakai alat-alat hitung seperti abacus, simpoa, mistar hitung ataupun alat-alat hitung lainnya. Penulis menemukan dan memperoleh suatu cara yang cukup mudah untuk menghitung, yaitu dengan memanfaatkan hukum distributif pada operasi hitung.

Operasi Hitung

Operasi hitung yang kita lakukan sekarang ini merupakan hasil sumbangan dan karya ilmiah para ahli pikir secara estafet hingga sekarang, dan telah berumur ribuan tahun. Asal mulanya perhitungan bilangan itu berasal dari kebutuhan manusia terhadap pencacahan yang dilakukannya, dari sini muncullah alat sederhana yang dipakai seperti abacus, simpoa, mistar hitung dan alat-alat hitung lainnya, yang berfungsi untuk mempermudah perhitungan agar operasi hitung dapat dilakukan oleh seluruh umat manusia, baik orang yang pintar maupun bodoh, sumbangan itu sangatlah bermanfaat.

Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang masalah diatas, maka ada beberapa masalah yang ingin diperoleh dari penelitian ini, yaitu :

1. Apakah perhitungan perkalian biasa, dalam menyelesaikan dapat dipercepat ? 2. Bagaimana pemanfaatan hukum distributif pada operasi hitung ?

3. Dapatkah logika informatika digunakan pada persoalan perhitungan perkalian sederhana dapat dilakukan dengan cepat ?

Metode Penelitian

Penelitian pada makalah ini dilakukan dengan menggunakan metode sebagai berikut :

1. Literatur yaitu teori-teori yang berkaitan / diperlukan atau sumber-sumber Informasi pada penelitian diambil dari pustaka/ literatur, dan sumber lainnya yang dapat dipertanggung jawabkan.

2. Penelitian dilakukan secara mandiri dengan metode trial, memakai hukum distributif dan juga meminta bantuan pada para pakar dibidangnya dengan cara diskusi atau mengajukan pertanyaan-pertanyaan yang diperlukan.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk membantu/ memperoleh cara penyelesaian perhitungan perkalian sederhana, dapat dilakukan dengan cepat dengan menggunakan logika informatika yang berbasis hukum distributif.

(3)

TINJAUAN PUSTAKA Landasan Teori

Untuk menyelesaikan permasalahan diatas dipergunakan diskusi, studi pustaka dan mengutak-atik secara mandiri dengan melakukan trial. Yang dimaksud dengan :

Diskusi yaitu melakukan pembicaraan dengan teman / orang, baik disengaja ataupun secara kebetulan mengenai perkalian pada operasi hitung.

Studi pustaka adalah pemikiran yang didasari dari penulisan para ahli yang ada tentang hitungan perkalian sederhana atau dapat juga hitungan perkalian sederhana diperoleh dari buku-buku yang telah ada, baik diperpustakaan ataupun dari buku-buku yang telah ada / beredar.

Secara mandiri penulis juga melakukan trial / pengamatan pada hitungan perkalian yang dilakukan dengan cara mengutak-atik secara berulangulang dengan memakai logika yang benar dengan memanfaatkan hukum distributif, sehingga menghasilkan suatu kesimpulan pada hitungan perkalian sederhana, yang dapat dilakukan secara cepat dan berlaku umum.

Hukum Distributif

Pengetahuan tentang aljabar sederhana, tentunya tidak lepas dari hukum-hukum yang ada pada aljabar tersebut, seperti memuat hukum distributif, sebagai berikut :

1. x1(x2+ x3) = x1x2+ x1x3 dan (x1+ x2) x3 = x1x3+ x2x3 2. x1(x2x3) = x1x2x1x3 dan (x1x2) x3 = x1x3x2x3 3. x1(x2+ x3+ x4) = x1x2+ x1x3+ x1x4 4. x1(x2+ x3x4) = x1x2+ x1x3x1x4 5. (x1+ x2) (x3+ x4) = x1x3+ x1x4+ x2x3+ x2x4 6. (x1+ x2) (x3x4) = x1x3x1x4+ x2x3x2x4 7. (x1x2) (x3x4) = x1x3x1x4x2x3+ x2x4 8. (x1+ x2+ x3) (x4+ x5+ x6) = x1 x4+ x1x5+ x1x6+ x2x4+ x2x5+ x2x6+ x3x4+ x3x5+ x3x6 9. (x1+ x2x3) (x4+ x5x6) = x1x4+ x1x5x1x6+ x2x4+ x2x5x2x6x3x4x3x5+ x3 x6

Pemakaian Hukum Distributif

Berikut hukum distributif dipakai untuk mencari perkalian 39 x 31 = … maka dapat dilakukan hitungan perkalian tersebut dengan memakai "Hukum Distributif", seperti contoh berikut ini :

1. 39 x 31 = (39 + 1) 30 + (9x1) = 1200 + 9 = 1209

2. 39 x 31 = (30 + 9) 31 = 30(31) + 9 (31) = 930 + 279 = 1209 3. 39 x 31 = (401) 31 = 40 (31)1 (31) = 124031 = 1209 4. 39 x 31 = 39 ( 30 + 1) = 39 (30) + 39 (1) = 1170 + 39 = 1209

(4)

Peranan Logika Informatika pada Hitungan Perkalian Berbasis Hukum Distributif (Rusdy Agustaf)

x

+

5. 39 x 31 = 39 (409) = 39 (40)39 (9) = 1560351 = 1209 6. 39 x 31 = 39 (20 + 10 + 1) = 39 (20) + 39 (10) + 39 (1) = 780 + 390 + 39 = 1209 7. 39 x 31 = 39 ( 4010 + 1) = 39 (40)39 (10) + 39 (1) = 1560390 + 39 = 1209 8. 39 x 31 = (20 + 10 + 9) 31 = 20 (31) + 10 (31) + 9 (31) = 620 + 310 + 279 = 1209 9. 39 x 31=(20+10+101)31=20(31)+10(31)+10(31)1(31)=620+310+31031= 1209 10. 39 x 31 = (401) (30+1)= 40(30)+ 40(1)1(30)1(1) = 1200 + 40301 = 1209 11. 39 x 31 = (30+9) (30+1) = 30(30)+ 30(1) + 9(30) + 9(1) = 900 +30 +270 +9 = 1209 12. 39 x 31 = ( 20+10+101) (20+10+1) = = 400+ 200+ 20 + 200+ 100+ 10+ 200+100+1020101 = 1209

Hitungan perkalian 39 x 31 = 1209 yang disajikan diatas, ternyata dapat dilakukan dengan cara bermacam-macam, dengan memakai hukum distributif.

Hitungan Umum Perkalian

Sekarang kita tinjau perkalian pada operasi hitung yang sederhana yaitu 67 x 53 = …. Secara penyajian yang biasa, kita lakukan sebagai berikut :

67 53 201 335 3551

Hitungan Perkalian Sederhana Memanfaatkan Hukum Distributif

Hitungan umum perkalian sederhana diatas memakai/ memanfaatkan hukum distributif, dapat diperlihatkan/ dilakukan sebagai berikut :

67 = 60 + 7 = x1+ x2 53 = 50 + 3 = x3+ x4 1. 3 x 7 = 21 x4.x2 2. 3 x 60 = 180 x4.x1 3. 50 x 7 = 350 x3.x2 4. 50 x 60 = 3000 x3.x1

+

Ketiga 7 x 6 = 42 ditulis pada deretan dibawahnya ditulis

2 disimpan 4

Keempat 7 x 8 = 56 ditambah 4 menjadi 60, ditulis 60

Kelima hasilnya ditambahkan sehingga paling kanan 4, kemudian

4 + 2 = 6 ditulis 6 , berikutnya 3 + 0 =3

terakhir 0 + 6 = 6, jadi hasilnya 6364

3551

201 3350

3551

+

Proses yang dilakukan

Pertama : 3 x 7= 21 ditulis 1 disimpan 2 (karena basis 10) Kedua : 3 x 6 = 18 ditambah 2 menjadi 20, ditulis 20

Ketiga : 5 x 7 = 35 ditulis pada deretan dibawahnya ditulis 5 disimpan 3

Keempat: 5 x 6 = 30 ditambah 3 menjadi 33, ditulis 33

Kelima : hasilnya ditambahkan sehingga paling kanan 1,kemudian 0 + 5 = 5 ditulis 5 , berikutnya 2 + 3 = 5

(5)

Suatu temuan yang diperoleh penulis dengan melakukan trial dan memanfaaatkan hukum distributif, maka penulis dapat memperoleh berbagai macam bentuk hitungan perkalian, dengan hasil yang sama yaitu :

67 = 60 + 7 = x1+ x2 53 = 50 + 3 = x3+ x4 1. 60 x 3 = 180 x1.x4 2. 60 x 50 = 3000 x1.x3 3. 7 x 3 = 21 x2.x4 4. 7 x 50 = 350 x2.x3

Perkalian diatas terlihat Pemanfaatan hukum distributif pada operasi hitung, yaitu : 67 x 53 = ( 60+7) (50+3) = (x1+ x2) (x3+ x4) = x4. x2+ x4. x1+ x3. x2+ x3. x1=

= x1. x4+ x1. x3+ x2. x4+ x2. x3

Dari hitungan perkalian yang dilakukan diatas, dapat dilakukan berbagai bentuk perkalian, dengan memanfaatkan hukum distributif pada hitungan perkalian.

Berikut bentuk lain hitungan perkalian yang dilakukan oleh penulis (lihat kanan) dapat dibandingkan dengan cara yang sudah biasa dikenal yaitu :

3551

3180

371 3551

+

78

53

234

390 4134

2)

+

x

78

53

371

424 4134

+

x

79

46

474

316 3634

+

x

79

46

322

414 3634

+

x

1)

934

628 7472

1868

5604

586552

+

x

3)

934

628 5652

1884

2512

586552

+

x

728

413 2184

728 2912

300664

+

x

4)

728

413 2891

826 3304

300664

+

x

(6)

Perkalian Cepat Pada Hitungan Perkalian

Hitungan Perkalian bisa cepat, dapat dilakukan dengan memakai hukum distributif, dapat diperlihatkan seperti berikut 78 x 72 = 5616, perkalian 78 x 72 = 5616 dapat dilakukan dengan cepat, walau banyak yang beranggapan jangan-jangan sudah dicari dulu, kemudian dihafalkan, untuk itu perlu diperlihatkan caranya sebagai berikut :

78 + 2 = 80 dianggap 8 (sebagai puluhan), 2 diambil dari 72 sehingga sisanya menjadi 70 dianggap 7 (sebagai puluhan), kemudian dikalikan puluhan dengan puluhan, diperoleh hitungan perkalian 8 x 7 = 56, demikian juga satuan dikalikan dengan satuan, yaitu hitungan perkalian 8 x 2 = 16, sehingga hasil terakhirnya diperoleh 5616, cara cepat diatas dapat dilihatkan dengan landasan teori berikut, memakai hukum distributif, yaitu sebagai berikut :

(x1+ x2) (x3+ x4) = (x1+ x2).x3+ (x1+ x2).x4 , karena x1= x3= 70 maka diperoleh

= (x1+ x2).x1 + (x4.x1) + (x2.x4 )

= (x1+ x2+ x4).x1 + (x2.x4), karena x1= x3= 70 maka diperoleh

= (x1+ x2+ x4).x3 + (x2.x4), sedangkan x1= 70, x2= 8,x3= 70, x4= 2

= ( 70 + 8 + 2 ).70 + ( 8.2 ) = ( 80.70 ) + ( 8.2 )

= 5600 + 16 = 5616

Sehingga 78 x 72 dapat dilakukan dengan cepat yaitu

5616

)

2 x

8 (

)

0

7 x

80 (

)

2 x

(8

70)

x

2)

78 (

(









Demikian juga 56 x 54 = ((56+4) x 50) + (6 x 4) = (60 x 50) + (6 x 4) = 3024 Perkalian 87 x 83 dapat langsung ditentukan = 7221

Pemikiran diatas dapat diperluas seperti perkalian berikut ini

136 x 134 = [ (136+4) x 130 ] + [6 x 4] = [140x130 ] + [6 x 4] = 18224 (x1+ x2+ x3).(x4+ x5+ x6) = ((x1+ x2+ x3).(x4+ x5)) + ((x1+ x2+ x3).x6)

(x1+ x2+ x3).(x4+ x5+ x6) = ((x1+ x2+ x3).(x4+ x5)) + (x6.(x1+ x2+ x3))

(x1+ x2+ x3).(x4+ x5+ x6) = ((x1+ x2+ x3).(x4+ x5)) + (x6.(x1+ x2)) + (x6.x3)

Karena x1 + x2 = x4 + x5 maka dapat diubah menjadi

Karena x4 + x5 = x1 + x2 maka dapat diubah menjadi

(x1+ x2+ x3).(x4+ x5+ x6) = ((x1+ x2+ x3).(x1+ x2) + x6.(x1+ x2)) + (x3.x6)

= ((x1+ x2+ x3+ x6).(x1+ x2)) + (x3.x6)

(7)

Hukum distributif dapat diisikan : x1= 100, x2= 30, x3= 6, x4= 100, x5= 30, x6= 4

Jadi hitungan perkalian diatas dapat dilakukan sebagai berikut : 136 x 134 = ((100 + 30 + 6 + 4) . (100 + 30)) + (6 . 4)

136 x 134 = (140 ) . (130)) + (6 . 4) 136 x 134 = (18200) + (24)

136 x 134 = 18224

Demikian juga dapat dilakukan secara umum untuk hitungan perkalian berikut : 127 x 123 = ((100 + 20 + 7 + 3) . (100 + 20)) + (7 . 3)

127 x 123 = (130) . (120)) + (7 . 3) 127 x 123 = (15600) . (21)) 127 x 123 = 15621

Demikian hitungan berikut secara cepat 116 x 114 = (120 x 110) + (6 x 4) = 13224 157 x 153 = 24021

Kemudian dapat dikembangkan dengan hitung perkalian berikut : 76 x 64 = …………

Dengan pemanfaatan hukum distributif, bentuknya dirubah menjadi yaitu :

(60 + 10 + 6) x (60 + 4) , kemudian kita misalkan x1= 60, x2= 10, x3= 6, x4= 60, x5= 4

dirubah kebentuk notasi, digunakan hukum distributif seperti berikut : (x1+ x2+ x3).(x4+ x5) = ((x1+ x2+ x3).x4) + (x1+ x2+ x3).x5

karena x4= x1= 60 maka dapat dirubah menjadi :

(x1+ x2+ x3).(x4+ x5) = ((x1+ x2+ x3).x1) + (x1.x5) + (x2+ x3).x5 (x1+ x2+ x3).(x4+ x5) = (x1+ x2+ x3).x1+ (x5.x1) + ((x2+ x3).x5) (x1+ x2+ x3).(x4+ x5) = ((x1+ x2+ x3+ x5).x1) + ((x2+ x3).x5) (60 + 10 + 6) . (60 + 4) = (60 + 10 + 6 + 4) x 60 + ((10 + 6) x 4) (60 + 10 + 6) . (60 + 4) = (80) x 60 + ((16) x 4) 76 x 64 = (80 x 60) + (16 x 4) Jadi 76 x 64 = 4864

Demikianlah penyajian hitungan perkalian dengan memakai logika informatika dengan berbasis hukum distributif pada perhitungan perkalian sederhana, dan para pembaca dipersilahkan mencoba sendiri untuk perkalian lainnya, dengan basis hukum distributif. Demikian juga untuk hitungan perkalian berikut :

68 x 52 = ((68 + 2) x 50) + (18 x 2) = (70 x 50) + 36 = 3536 96 x 64 = (100 x 60) + (36 x 4) = 6000 + 144 = 6144

(8)

Juga berlaku untuk hitungan perkalian berikut :

117 x 83 = ((117 + 3) x 80) + (37 x 3) = (120 x 80) + (111) = 9711 136 x 94 = (140 x 90) + (46 x 4) = 12784

Dari uraian diatas hitungan perkalian berbasis hukum distributif merupakan peranan logika informatika

KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan pembahasan topiks diatas, maka dapat diperoleh beberapa kesimpulan dan Saran sebagai berikut :

Kesimpulan

Perkalian pada operasi hitung menurut kita mudah untuk menyelesaikannya, tetapi bagi sementara orang masih menjadi kendala, walaupun cara perkalian biasa telah kita ketahui bersama dan tidak mengalami kendala didalam memakainya, tetapi tentunya tidak salah bila pemikiran baru dari penulis seperti yang telah diuraikan diatas, dapat memberi dan menambah wawasan kita didalam menyelesaikan perkalian tersebut, semoga dikemudian hari kita dapat memperoleh cara yang lebih baik lagi.

Saran-Saran

Semoga para ilmuan, para cendikiawan dan para ahli dibidangnya masing-masing berusaha mengusahakan / mencari bentuk-bentuk yang pada awalnya sulit diselesaikan / dikerjakan orang lain, akhirnya menjadi lebih mudah berkat bantuan para ahli tersebut. Kehidupan ini berjalan terus, ilmu pengetahuan dan persoalan selalu bertambah disetiap waktu, marilah kita sama-sama berusaha dikemudian hari agar dapat meninggalkan sesuatu bagi anak dan cucu kita, tanpa harus menuntut balas jasa. Semoga Tuhan Yang Maha Kuasa membalas dan melimpahi rahmatnya buat kita semua yang berkarya bagi umat manusia.

DAFTAR PUSTAKA

Edwin J.Purcell,Dale Varberg, 1987,” Calculus with Analitic Geometry”, Prentice-Hall, Inc K. A. Stroud, 1987, "Engineering Mathematics”, The Macmillan Press, Ltd.

Louis Leithold, 1986,“The Calculus with Analitic Geometry”, Harper & Row, Publisher, Inc. Murray R. Spiegel, 1956, “college Algebra ”, McGraw-Hill Book Press, New York.

R. M. J. T. Soehakso, 1970,” Aljabar Abstrak ”, MIPA UGM, Yogya

Rusdy Agustaf, 2001, "Pemakaian Dan Peranan Hukum Distributif Pada Operasi Hitung”, Prosiding Seminar Nasional di Universitas Islam Indonesia Yogyakarta