Analisis Dimensi
Analisis Dimensi
11Oleh : Abdurrouf
Oleh : Abdurrouf
220
0.1
.1 T
Tuj
ujua
uan
n
Setelah mempelajari topik ini, diharapkan peserta dapat memahami pengertian dimensi, Setelah mempelajari topik ini, diharapkan peserta dapat memahami pengertian dimensi, mengenal dimensi besaran pokok, dapat menurunkan dimensi besaran satuan, serta dapat mengenal dimensi besaran pokok, dapat menurunkan dimensi besaran satuan, serta dapat
memanfaatkan analisis dimensi untuk menduga bentuk persamaan fisis tertentu. memanfaatkan analisis dimensi untuk menduga bentuk persamaan fisis tertentu.
0.
0.2
2 Ri
Ring
ngka
kasa
san
n
Besaran adalah representasi dari kuantitas fisis yang ada di alam, baik yang ada secara riil Besaran adalah representasi dari kuantitas fisis yang ada di alam, baik yang ada secara riil maupun maupun yang muncu
maupun maupun yang muncul untuk penyederhanaal untuk penyederhanaan kerja matematis. n kerja matematis. Setiap besaran selaluSetiap besaran selalu memiliki identitas berupa
memiliki identitas berupa
••
SatuSatuan. an. SatuSatuan an ini diperlukini diperlukan untuk an untuk membmemberi kepastieri kepastian akan an akan nilai kuantitnilai kuantitatif suatu be-atif suatube-saran.
saran. HubungHubungan antar satuan diatur dalam sistem satuan. an antar satuan diatur dalam sistem satuan. Beberapa sistem satuaBeberapa sistem satuan yangn yang dikenal antara lain adalah sistem internasional (SI), sistem British, sistem Gauss, dan dikenal antara lain adalah sistem internasional (SI), sistem British, sistem Gauss, dan lain-lain. Hubungan antar sistem satuan diatur dalam sistem konversi.
lain-lain. Hubungan antar sistem satuan diatur dalam sistem konversi.
Satuan yang diambil dari nama orang ditulis dengan huruf kecil jika ditulis lengkap Satuan yang diambil dari nama orang ditulis dengan huruf kecil jika ditulis lengkap te-tapi dituli
tapi ditulis dengan huruf besas dengan huruf besar r jika disingjika disingkat. kat. ContoContoh: h: satusatuan arus adalah ampean arus adalah ampere danre dan disingkat A.
disingkat A.
••
Dimensi. Dimensi. Dimensi diperlukan untuk mengetaDimensi diperlukan untuk mengetahui kesetaraan dua besaranhui kesetaraan dua besaran, mengecek ke-, mengecekke-benaran suatu persamaan, serta menduga bentuk suatu persamaan fisis. benaran suatu persamaan, serta menduga bentuk suatu persamaan fisis.
–
– Dimensi untuk besaran pokok biasanya ditulis dengan huruf pertama dari nama be-Dimensi untuk besaran pokok biasanya ditulis dengan huruf pertama dari nama be-sara
saran n yanyang g bersbersangkangkutanutan, , daladalam m bahbahasa Inggriasa Inggris. s. ContContoh: oh: dimedimensi untuk panjansi untuk panjangng (Inggris: length) adalah
(Inggris: length) adalah
[[L
L]]
. Dimensi dari besaran pokok ditunjukkan pada tabel.. Dimensi dari besaran pokok ditunjukkan pada tabel. 11.. –– Dimensi untuk besaran turunan merupakan kombinasi dari dimensi besaran pokok,Dimensi untuk besaran turunan merupakan kombinasi dari dimensi besaran pokok, sesuai dengan cara besaran turunan tersebut diperoleh dari besaran pokok. Dimensi sesuai dengan cara besaran turunan tersebut diperoleh dari besaran pokok. Dimensi dari beberapa besaran turunan dalam mekanika ditunjukkan pada tabel.
dari beberapa besaran turunan dalam mekanika ditunjukkan pada tabel. 22. Terlihat. Terlihat bahwa besaranmek
bahwa besaranmekanika merupakan gabungan dari tiga anika merupakan gabungan dari tiga besaran pokok, yaitu besaran pokok, yaitu massa,massa, panjang, dan waktu.
panjang, dan waktu.
1
1Disampaikan padaDisampaikan pada training of trainer training of trainer (ToT) untuk guru-guru fisika SMA se-Jawa Timur, di Hotel Orchid,(ToT) untuk guru-guru fisika SMA se-Jawa Timur, di Hotel Orchid,
Batu, Malang, pada tanggal 18 Agustus - 2 September 2010 Batu, Malang, pada tanggal 18 Agustus - 2 September 2010
2
2Dr. rer. nat. Abdurrouf, S.Si., M.Si., adalah staf pengajar di Jurusan Fisika FMIPA UB. Saat ini juga tercatatDr. rer. nat. Abdurrouf, S.Si., M.Si., adalah staf pengajar di Jurusan Fisika FMIPA UB. Saat ini juga tercatat
sebagai Pembina Olimpiade Bidang Studi Fisika Tingkat Propinsi Jawa Timur. Penulis juga aktif di kegiatan CIBI. sebagai Pembina Olimpiade Bidang Studi Fisika Tingkat Propinsi Jawa Timur. Penulis juga aktif di kegiatan CIBI.
Tabel 1: Besaran pokok dalam sistem SI
Besaran Satuan dalam SI Dimensi (*) Panjang (l) meter (m)
[L]
Massa (m) kilogram (kg)
[M ]
Waktu (t) second (sec)
[T ]
Arus listrik (i) ampere
[I ]
Temperatur (t) kelvin (K)
[θ]
Intensitas cahaya (I) candela (Cd)
[J ]
Jumlah zat (n) mole (mol)
[N ]
Sudut bidang radian (rad.) tak berdimensi Sudut ruang steradian (strad.) tak berdimensi
(*) Seringkali dimensi ditulis tanpa tanda kurung tegak. Dalam kasus ini dimensi panjang adalah
L
Dimensi memegang peranan setral dalam analisis dimensi, dan dapat digunakan untuk
•
Merunut bagaimana suatu besaran turunan dapat dibentuk dari suatu besaran pokok.Contoh:
Besaran kecepatan
v
memiliki dimensi[L] [T ]
−1. Ini berarti bahwa untuk mengukurke-cepatan
v
, orang harus mengukur panjangl
dan waktut
.•
Mendefinisikan kesetaraan satuan turunan dengan satuan pokok.Contoh:
Gaya
F
memiliki dimensi[M ] [L] [T ]
−2. Ini berarti satuan gaya (newtonN
) juga dapatdinyatakan sebagai
k g m s
−2.•
Mengetahui kesetaraan dua besaran. Dua besaran dikatakan setara jika keduanyamemi-liki dimensi yang sama. Contoh:
Usaha
W
dan energiE
adalah setara, karena keduanya memiliki dimensi[M ] [L]
2[T ]
−2.•
Mengetahui kebenaran suatu persamaan. Suatu persamaan fisis dianggap benar jika keduasuku memiliki dimensi yang sama. Contoh:
Persamaan gerak jatuh bebas
s =
1 2gt
2
adalah benar secara dimensi, karena kedua suku memiliki dimensi panjang
[L]
.•
Menduga bentuk eksplisit suatu persamaan fisis. Fungsi ke empat inilah yang kita bahasTabel 2: Beberapa besaran turunan dalam mekanika, dalam sistem SI
Besaran Definisi Dimensi
Satuan (dalam satuan pokok)
Satuan SI
luas (
A
) panjang kali panjang[L]
2m
2
-volume (
V
) luas kali tinggi[L]
3m
3-massa jenis (
ρ
) massa per satuanvolume
[M ] [L]
−3
kg m
−3-kecepatan (
v
) perpindahan per satuanwaktu
[L] [T ]
−1
ms
−1-percepatan (
a
) kecepatan per satuanwaktu
[L] [T ]
−2
ms
−1-gaya (
F
) massa kali percepatan[M ] [L] [T ]
−2k g m s
−2 newton (N)usaha (
W
) gaya kaliperpindahannya
[M ] [L]
2
[T ]
−2kg m
2s
−2 joule (J)energi (
E
) massa kali kuadratpercepatan
[M ] [L]
2
[T ]
−2kg m
2s
−2 joule (J)daya (
P
) energi (atau usaha) persatuan waktu
[M ] [L]
2
[T ]
−3k g m s
−3 watt (W)intensitas (energi) (
I
) energi per satuan waktuper satuan luas
[M ] [T ]
−3
kg s
−2Wm
−2momentum (
p
) massa kali pecepatan[M ] [L] [T ]
−1k g m s
−1-impuls (
I
) gaya kali waktu[M ] [L] [T ]
−1k g m s
−1Newton-second
(Ns) tekanan / tegangan (
p
) gaya per satuan luas[M ] [L]
−1[T ]
−2kg m
−1s
−2 pascal (Pa)regangan (
ε
) perubahan panjang perpanjang mula-mula - -
-modulus Young (
Y
) tegangan per regangan[M ] [L]
−1[T ]
−2kg m
−1s
−2-viskositas (
η
) regangan per gradienkecepatan
[M ] [L]
−1
[T ]
−1kg m
−1s
−1-momen gaya (
τ
) jarak kali gaya[M ] [L]
2[T ]
−2kg s
−2Newton-meter (Nm) momentum sudut (
L
) jarak kali momentum[M ] [L]
2[T ]
−1kg m
2s
−1-Catatan:
– Terdapat beberapa besaran yang memiliki dimensi yang sama atau setara, yaitu: usaha dan energi, impuls dan momentum, serta tegangan dan modulus Young.
– Terdapat beberapa besaran yang dimensinya berbeda dengan faktor
[T ]
. Hal ini berarti besaran dengan pangkat[T ]
lebih rendah merupakan turunan waktu dari besaran dengan[T ]
lebih tinggi. Contoh pasangan tersebut adalah: perpindahan-kecepatan, kecepatan-percepatan, energi-daya, gaya-momentum, serta momen gaya - momentum sudut.0.3 Contoh Soal dengan Penyelesaian
1. Soal OSK tahun 2007: Gaya angkat pesawatSebuah pesawat dengan massa
M
terbang pada ketinggian tertentu dengan lajuv
. Kera-patan udara di ketinggian itu adalahρ
. Diketahui bahwa gaya angkat udara pada pesawat bergantung pada: kerapatan udara, laju pesawat, luas permukaan sayap pesawatA
, dan suatu konstanta tanpa dimensi yang bergantung geometri sayap. Pilot pesawat memutusk-an untuk menaikkmemutusk-an ketinggimemutusk-an pesawat sedemikimemutusk-an sehingga rapat udara turun menjadi0.5ρ
. Tentukan berapa kecepatan yang dibutuhkan pesawat untuk menghasilkan gaya angkat yang sama? (nyatakan dalamv
).Penyelesaian
Secara umum dapat dikatakan bahwa daya angkat pesawat
F
tergantung konstanta tak berdimensik
, kerapatan udaraρ
, laju pesawatv
, serta luas permukaan sayap pesawatA
. Permaslahan ini dapat dipeahkan sebagai berikut:•
Langkah 1: menuliskan persamaan matematis.Karena gaya
F
bergantung padak
,ρ
,v
, danA
, maka persamaan untukF
dapat ditulis sebagaiF = kρ
αv
βA
γdi mana
α
,β
, danγ
adalah konstanta yang akan dicari nilainya.•
Langkah 2: menuliskan persamaan dimensi.Kaidah dimensi mengatakan bahwa dimensi suku kiri harus sama dengan dimensi suku kanan, atau
[M ] [L] [T ]
−2=
[M ] [L]
−3
α
[L] [T ]
−1
β
[L]
2
γ.
•
Langkah 3: menyelesaikan sistem persamaan linier untuk mendapatkan nilaipara-meter
α
,β
, danγ
yang tidak diketahui.Persamaan di atas menghasilkan 3 persamaan, terkait dengan 3 dimensi yang ada, yaitu persamaan untuk
[M ]
,[L]
, dan[T ]
. Kita mulai dengan persamaan untuk[M ]
(karena
[M ]
hanya muncul satu kali di suku kanan), sebagai berikut1 = α atau α = 1.
Selanjutnya persmaan untuk
[T ]
Terakhir adalah persamaan untuk
[L]
, di mana1 =
−
3α + β + 2γ atau γ = 1.
•
Langkah 4: menuliskan persamaan akhir.Dengan memanfaatkan nilai
α
,β
, danγ
, didapatkan persamaan untukF
sbbF = kρv
2A.
•
Langkah 5: mencari hubungan antar kuantitas, jika diperlukan.Untuk kasus hanya
v
danA
yang berubah, persamaan di atas dapat ditulis sebagaiF
∝
v
2A
. Jika rapat udara
ρ
turun menjadi0, 5ρ
maka untuk mempertahankan gayaF
yang sama dibutuhkan kecepatan√
2v = 1, 41v
. 2. Soal OSK tahun 2009: Daya angkat pesawatSebuah helikopter memiliki daya angkat
P
yang hanya bergantung pada berat beban totalW
(yaitu berat helikopter ditambah berat beban) yang diangkat, massa jenis udaraρ
dan panjang baling-baling helikopterl
.(a) Gunakan analisa dimensi untuk menentukan ketergantungan
P
padaW
,ρ
, danl
. (b) Jika daya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban totalW
adalahP
0, berapakahdaya yang dibutuhkan untuk mengangkat beban total
2W
? Penyelesaian(a) Dari informasi soal didapat
P = CW
αρ
βl
γDengan mengingat bahwa
C
adalah sebuah konstanta tidak berdimensi, dimensi da-ya P adalah[M ][L]
2[T ]
−3, dimensi gayaW
adalah[M ][L][T ]
−2, dimensi rapas jenisudara
ρ
adalah[M ][L]
−3, sedang dimensi panjangl
adalah[L]
. Dengan demikiandapat diperoleh persamaan dimensi sebagai berikut
[M ][L]
2[T ]
−3=
[M ][L][T ]
−2
α
[M ][L]
−3
β([L])
γ.
Dengan mencocokan dimensi
[T ]
, didapatkanSelanjutnya, dengan mencocokkan dimensi
[M ]
didapatkan1 = α + β atau β =
−
1
2
.
Terakhir, dengan mencocokkan dimensi
[L]
didapatkan2 = α
−
3β + γ atau γ =
−
1.
Dengan demikian didapatkan persamaan akhir
P = CW
3/2ρ
−1/2l
−1.
(b) Terlihat bahwa
P
∝
W
3/2. Jika beban total
W
dinaikkan dua kali, maka daya baruP
menjadi2
3/2P
0
= 2
√
2P
0.3. Periode revolusi planet
Periode revolusi (
T
) dari sebuah planet yang berputar mengelilingi matahari dalam orbit lingkaran tergantung pada jari-jari orbit (r
), massa matahari (M
), konstanta gravitasi (G
), serta konstanta tak berdimensiC
. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah Hukum ke-3 Keppler untuk gerakan planet.Penyelesaian
Persamaan periode
T
dapat ditulis sebagaiT = Cr
αM
βG
γ,
yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut
[T ] = [L]
α[M ]
β
[M ]
−1[L]
3[T ]
−2
γ.
Persamaan di atas memberi kita 3 persamaan linier, yaitu
1 =
−
2γ
0 = α + 3γ
0 = β
−
γ,
sehingga didapatkan
γ =
−
1/2
,β =
−
1/2
danα = 3/2
. Dengan demikian persamaan untuk periode adalahPersamaan di atas juga dapat ditulis sebagai
T
2=
C 2r3
MG, yang menunjukkan bahwa T
2
r3
=
C 2
MG
= konstan
, yang tidak lain adalah Hukum ke-3 Keppler untuk pergerakan planet.4. Bola yang bergerak dalam fluida
Stokes mengamati bahwa sebuah bola yang bergerak dalam fluida akan mengalami gaya perlambatan
F
yang besarnya bergantung pada (i) koefisien viskositasµ
(ii) kecepatan gerak bolav
, (iii) jari-jari bolar
, serta (iv) konstanta tak berdimensiC
. Dengan menggu-nakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk gayaF
sebagai fungsi ketiga parameter tersebut.Penyelesaian
Persamaan gaya
F
dapat ditulis sebagaiF = Cµ
αv
βr
γ,
yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut
[M ] [L] [T ]
−2=
[M ] [L]
−1[T ]
−1
α
[L] [T ]
−1
β([L])
γ.
Persamaan di atas memberi kita 3 persamaan linier, yaitu
1 = α
1 =
−
α + β + γ
−
2 =
−
α
−
β,
yang memberi kita
α = 1
,β = 1
, danγ = 1
. Dengan demikian persamaan untukF
dapat ditulis sebagaiF = Cηvr,
yang dikenal sebagai hukum Stokes. Kelak diketahui bahwa
C = 6π
. 5. Energi ledakan bomKetika sebuah bom nuklir meledak, maka energi ledakannya akan menyebar ke selu-ruh arah membentuk permukaan bola dengan jari-jari
R
. Tentunya masuk akal jika kita asumsikan bahwa nilaiR
dipengaruhi oleh energi ledakanE
, massa jenis bahan ledakρ
, selang waktu antara pengamatan dan ledakant
, serta konstanta tak berdimensiC
. De-ngan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk getaranR
sebagai fungsi keempat parameter tersebut.Secara umum persamaannya dapat ditulis sebagai berikut
R = CE
αρ
βt
γ,
yang dapat ditulis sebagai persamaan dimensi sebagai berikut
[L] =
[M ] [L]
2[T ]
−2
α
[M ] [L]
−3
β[T ]
γ= [M ]
α+β[L]
2α−3β[T ]
−2α+γ.
Persamaan terakhir menghasilkan tiga persamaan linier, yaitu
α + β = 0
2α
−
3β = 1
−
2α + γ = 0,
yang memberikan solusi
α = 1/5
,β =
−
1/5
, danγ = 2/5
. Dengan demmikian, persamaan yang benar adalahR = CE
1/5ρ
−1/5t
2/5.
0.4 Soal Latihan
1. Gerak jatuh bebasMisalkan sebuah mengalami gerak jatuh bebas. Adalah masuk akal untuk membayangk-an bahwa jarak ymembayangk-ang ditempuh benda akmembayangk-an bergmembayangk-antung pada waktu jatuh
t
, percepatan gravitasig
, serta massa bendam
. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan per-samaan untuks
sebagai fungsi darim
,g
, dant
. (Jawab:s
∝
gt
2)2. Panjang gelombang
Panjang dari suatu gelombang (
λ
) dapat dihitung jika frekuensi (f
) dan kecepatan rambat (v
)-nya diketahui. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untukλ
sebagai fungsi dari
f
danv
. (Jawab:λ =
vf ) 3. Tekanan fluida statisTekanan fluida pada kedalaman tertentu
p
dipengaruhi oleh rapat fluidaρ
, percepatan gravitasig
, serta kedalaman titik pengamatanh
. Tunjukan bahwa persamaan yang benar adalahp = ρgh
.Tekanan yang diakibatkan oleh fluida yang mengalir
p
dapat dianggap dipengaruhi oleh massa jenis fluida tersebutρ
, laju alir fluidav
, dan konstanta tak berdimensiC
. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan persamaan untuk tekanan adalahp = Cρv
2(di mana dari pengukuran diketahui bahwa
C
bernilai 12).5. Bandul matematis
Frekuensi getaran
ω
pada bandul matematis sangat mungkin dipengaruhi oleh massa ben-da yang bergetarm
, percepatan gravitasig
, serta panjang talil
. Dengan menggunakan analisis dimensi, tunjukkan bahwa persamaan untuk getaran adalahω =
gl.6. Osilasi massa dan pegas
Misalkan sebuah massa
m
digantung pada pegas dengan konstanta kekakuank
, pada suatu daerah yang percepatan gravitasinyag
. Dengan menggunakan analisis dimensi, tentukan ketergantunganT
padam
,k
,g
, dan konstanta tak berdimensiC
. (Jawab:T =
C
mk )7. Getaran bintang
Bintang di angkasa mengalami osilasi atau getaran dengan frekuensi sudut
ω
, yang nila-inya tergantung pada kerapatan massa bintangρ
, jari-jari bintangR
, konstanta gravitasi universalG
, dan konstanta tak berdimensiC
. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekuensi sudut getaranω
sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab:ω = C
√
Gρ
)8. Periode osilasi busa
Periode osilasi
T
dari gelembung gas akibat ledakan dalam air bergantung pada tekanan statis air (p
), rapat massa airρ
, energi total dari ledakanE
, serta konstanta tak berdimensiC
. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk periode getaranT
sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab:
T = Cp
−5/6ρ
1/2E
1/3)9. Frekuensi garpu tala
Frekuensi dari garpu tala (
f
) bergantung pada panjang giginya (l
), rapat massa (ρ
), dan modulus Young (Y
) dari material garpu tala, serta konstanta tak berdimensiC
. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekkuensi garpu talaf
sebagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab:f =
C l
Y d)10. Frekuensi gelombang gravitasi
Gelombang di permukaan zat cair (biasanya disebut sebagai gelombang gravitasi atau gelombang kapiler), memiliki frekuensi
ω
yang bergantung pada bilangan gelombangk
, rapat massa cairanρ
, percepatan gravitasig
, dan konstanta tak berdimensiC
. Denganmenggunakan analisis dimensi, carilah persamaan untuk frekuensi anguler getaran
ω
se-bagai fungsi keempat parameter tersebut. (Jawab:ω =
√
gk
)11. Kecepatan jalar gelombang gravitasi (
λ
besar dan air cukup dalam)Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis yang merambat melalui sejumlah besar air, seperti laut. gelombang memiliki
λ
cukup besar (20 cm atau lebih) tetapi cukup kecil dibandingkan dengan kedalaman air. Secara intuitif, kecepatan jalar gelombangv
g akanbergantung pada panjang gelombang
λ
, percepatan gravitasig
, serta rapat massa airρ
. Silahkan dicek, apakahv
g merupakan fungsi dari rapat massaρ
atau tidak. (Jawab: tidak,karena
v
g∝
√
λg
)12. Kecepatan jalar gelombang kapiler (
λ
pendek dan air cukup dalam)Misalkan kita memiliki gelombang monokromatis yang merambat melalui sejumlah besar air, seperti laut. gelombang memiliki
λ
cukup kecil (2 mm atau kurang) dan cukup kecil dibandingkan dengan kedalaman air. Dengan menggunakan analisis dimensi, carilah laju rambat gelombangv
g sebagai fungsi dari panjang gelombangλ
, rapat massa airρ
, sertategangan permukaan
s
. (Jawab:v
g∝
s/ (λρ)
)13. Kecepatan jalar gelombang dengan
λ
panjang pada air dangkalMisalkan kita memiliki gelombang monokromatis dengan panjang gelombang
λ
yang merambat melalui air yang dangkal dengan kedalamanh
, sehinggaλ
h
. Dalam kasus ini, tegangan permukaan airs
dapat diabaikan, sehingga kecepatan gelombang hanya bergantung pada percepatan gravitasig
dan kedalaman airh
. Carilah ungkapan untuk kecepatan jalarnyav
g. (Jawab:v
g∝
√
gh
)14. Bilangan Reynold
Adalah diketahui bahwa bilangan Reynold
Re
tergantung pada kerapatan fluidaρ
, pan- jang bendal
, viskositas fluidaη
, serta kecepatan gerak bendav
. Carilah bentuk eksplisitketergantungan
Re
terhadapρ
,l
,η
, danv
. (Jawab:Re =
ρvlη ) 15. ViskositasViskositas
η
suatu gas tergantung pada massam
, diameter efektifd
dan kecepatan rata-rata molekulv
. Gunakan analisa dimensi untuk menentukan rumusη
sebagai fungsi variabel-variabel ini. (Jawab:η = C
mvd2 )16. Kecepatan bunyi
Tentukan rumus kecepatan bunyi