Karakterisasi Produk Tensor l ( Δ) l. Muslim Ansori

Muslim Ansori

Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Lampung Jln. Soemantri Brodjonegoro No. 1 Bandar Lampung 35145

E-mail: ansomath@yahoo.com ABSTRACT

In this paper we give the notion of difference sequence space lp

( )

Δ and study some

topological properties of this space. Some Characterization of tensor product are given.

( )

( )

,1 ,

p Δ ⊗ q Δ < p q< ∞

l l

Key Words : difference sequence, tensor product

ABSTRAK

Tulisan ini membahas pengertian suatu ruang barisan selisih lp

( )

Δ dan dikaji beberapa

sifat topologis ruang ini. Selanjutnya, disajikan beberapa permasalahan produk tensor

( )

( )

,1 ,

p Δ ⊗ q Δ < p q< ∞

l l

Kata Kunci : barisan selisih, produk tensor

1. Pendahuluan

Kajian tentang ruang barisan selisih telah banyak dilakukan antara lain oleh Kizmaz [1], yang mendefinisikan ruang barisan selisih _l∞

( )

Δ ,c

( )

Δ dan c0

( )

Δ sebagai berikut:

( )

{

{ }

_k / :

{ }

_k

}

X Δ = x= x ⊂ ℜ C Δ ∈ X ,

dengan X = l∞, ,c c0 berturut-turut merupakan barisan terbatas, barisan konvergen dan

barisan konvergen ke nol dengan norm pada X , dengan x X =supk

{ }

xk

dan Δ = Δx

{ } {

xk = xk−xk+1

}

untuk semua k∈ . Ruang di atas merupakan ruang N

Banach terhadap norm x X_{( )}Δ = x1 +supk

{ }

Δx .Perumuman ruang-ruang tersebut k dikerjakan oleh Tripathy dan Esi [4].

Tulisan ini akan memodifikasi pengertian tersebut di atas dengan mengganti ruang ruang X = l∞, ,c c0 dengan ruang lp,1< < ∞p , yaitu

Ruang Barisan Selisih _lp

( )

Δ ,1< < ∞p dan Beberapa Permasalahan ...

{ }

{

1

}

/ : p p k k k x x C x ∞ = = = ⊂ ℜ

∑

< ∞ l dengan norm . , 1 1 p p p k k x x ∞ = ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} < ∞ ⎝

∑

⎠ l .

Selanjutnya, disajikan beberapa permasalahan produk tensor .

( )

( )

,1 ,

p Δ ⊗ q Δ < p q< ∞

l l

2. Pembahasan

Diberikan ruang barisan selisih lp

( )

Δ dengan

( )

{

{ }

/ :

{ }

}

p Δ = x= xk ⊂ ℜ C Δxk ∈

l lp ,

dan Δ =xk xk−xk+1.

Proposisi 2.1 Ruang barisan lp

( )

Δ dengan norm . ,

1 1 1 p p k k x x x ∞ = ⎛ ⎞ = +_⎜ Δ _⎟ ⎝

∑

⎠

merupakan ruang linear bernorma.

Bukti: Di ambil sebarang skalar α dan β dan x=

{ }

x_k ,y=

{ }

y_k ∈_lp

( )

Δ . Maka berlaku

{ } { } {

k k k k

}

x y x y x y α +β = α + β = α +β

(

)

1 1 1 1 p p k k k x y x y α β ∞ α β = ⎛ ⎞ = + +_⎜ Δ + _⎟ ⎝

∑

⎠

(

) (

)

1 1 1 1 1 1 p p k k k k k x y x y x y α β ∞ α β α + β + = ⎛ ⎞ = + +_⎜ + − + _⎟ ⎝

∑

⎠

(

) (

)

1 1 1 1 1 1 p p k k k k k x y x x y y α β ∞ α α ₊ β β ₊ = ⎛ ⎞ = + +_⎜ − + − _⎟ ⎝

∑

⎠

(

) (

)

(

)

1 1 1 1 1 1 p p k k k k k x y x x y y α β ∞ α α + β β + = ⎛ ⎞ ≤ + +_⎜ − + − _⎟ ⎝

∑

⎠

(

)

(

)

1 1 1 1 1 k k k k k k x x x y y y α α α + β β β + = = ⎛ ⎞ ⎛ = +_⎜ − _⎟ + +_⎜ − ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

1 ⎞ ⎟ ⎠

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 p p p p k k k k k k x x x y y y α α ∞ ₊ β β ∞ ₊ = = ⎛ ⎞ ⎛ ≤ + _⎜ − _⎟ + + _⎜ − ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

1 ⎞ ⎟ ⎠

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p k k k k k k x x x y y y α ∞ ₊ β ∞ ₊ = = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎛ _⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ≤ +_⎜ − _⎟ + +_⎜ − ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎞ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ 1 1 1 1 1 1 p p p p k k k k x x y y α ∞ β ∞ = = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎛ _⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ≤ +_⎜ Δ _⎟ + +_⎜ Δ ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜ ⎝ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎞ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ x y α β = + .

Oleh karena itu, lp

( )

Δ merupakan ruang linear.

Selanjutnya, jika x= =θ

{

0, 0,...

}

maka θ = . Sebaliknya, jika 0 x = , maka 0

1 1 1 0 p p k k x x x ∞ = ⎛ ⎞ = +_⎜ Δ _⎟ =

⎝

∑

⎠ ⇒ = dan x1 0 Δ = untuk setiap xk 0 k∈N.

Misal k =1, yaitu Δ = ⇒x1 0 x1−x2 = . Karena 0 x1 = maka 0 . Proses ini

diteruskan untuk

2 0

x =

2, 3,...

k = sehingga diperoleh x_k =0,k =1, 2,... atau x=

( )

x_k = . θ Untuk α β= =1, jelas berlaku

1 1 1 1 1 1 p p p p k k k k x y x x y y x ∞ ∞ = = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ≤ +_⎜ Δ _⎟ + +_⎜ Δ _⎟ = + ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎜ _{⎝ ⎠} ⎟ ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎠ y untuk setiap x y, ∈_lp

( )

Δ .

Terakhir, untuk sebarang skalar α dan x∈lp

( )

Δ berlaku

(

)

1 1 1 p p k k x x x α α ∞ α = ⎛ ⎞ = +_⎜ Δ _⎟ ⎝

∑

⎠ 1 1 1 1 p p k k k x x x α ∞ α α + = ⎛ ⎞ = +_⎜ − _⎟ ⎝

∑

⎠ 1 1 1 p p k k x x x α α ∞ ₊ = ⎛ ⎞ = + _⎜ − _⎟ ⎝

∑

⎠

Ruang Barisan Selisih _lp

( )

Δ ,1< < ∞p dan Beberapa Permasalahan ... 1 1 1 1 p p k k k x x x x α ∞ ₊ α = ⎛ _{⎛ ⎞} ⎞ ⎜ ⎟ = +_⎜ − _⎟ = ⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎝

∑

⎠ .

Oleh karena itu,

(

lp

( )

Δ , .

)

merupakan ruang linear bernorma.■

Teorema 2.2

(

lp

( )

Δ , .

)

merupakan ruang Banach.

Bukti : Di ambil sebarang barisan Cauchy

{ }

n

( )

p x ⊂_l Δ dengan

{ }

( )

1 n n k _k p x = x ∞₌ ∈l Δ untuk setiap n∈N. Maka untuk sebarang bilangan real ε > , terdapat bilangan bulat 0 positip n0 sehingga untuk setiap bilangan bulat positip m n, ≥n0 berlaku

n m

x −x < . ε Oleh karena itu,

(

)

1 1 1 1 p p n m n m n m k k k x x x x x x ∞ = ⎛ − = − +_⎜ Δ − ⎝

∑

⎠ ⎞ ⎟

(

) (

)

1 1 1 1 1 1 p p n m n m n m k k k k k x x x x x x ∞ + + = ⎛ ⎞ = − +_⎜ − − − _⎟ ⎝

∑

⎠

(

) (

)

1 1 1 1 1 1 p p n m n n m m k k k k k x x x x x x ∞ + + = ⎛ ⎞ = − +_⎜ − − − _⎟ ⎝

∑

⎠ (2.2a)

(

) (

)

(

)

1 1 1 1 1 1 p p n m n m n m k k k k k x x x x x x ∞ + + = ⎛ ⎞ = − +_⎜ − + − _⎟ ⎝

∑

⎠

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 p p p p n m n m n m k k k k k k x x x x x x ε ∞ ∞ + + = = ⎛ ⎞ ⎛ = − +_⎜ − _⎟ +_⎜ − < ⎝

∑

⎠ ⎝

∑

⎞ ⎟ ⎠ sehingga

(

n m

)

k k x −x <ε

untuk setiap bilangan bulat positip m n, ≥n0 dan k=1, 2,.... Oleh karena itu

{ }

n k

x merupakan barisan Cauchy di ℜ/ C. Karena ℜ/ C lengkap, maka terdapat xk∈ℜ/C sehingga

(

n

)

k k

x −x <ε (2.2b) untuk setiap n≥n0 dan k =1, 2,....

( 1) 2 n k k k x x ε₊ Δ − Δ < . (2.2c) Berdasarkan (2.2a), (2.2b) dan (2.2c) diperoleh

(

)

1 1 1 1 3 p p n n k k k x x x x ε ∞ = ⎛ ⎞ − +_⎜ Δ − Δ _⎟ < ⎝

∑

⎠ .

untuk setiap n≥n₀ dan k =1, 2,....

Namakan

( )

x_k = , berakibat limx n m n 3

m→ x −x = x − <x ε . Terbukti

(

lp

( )

Δ , .

)

merupakan ruang Banach.■

Sebagai motivasi untuk menyuguhkan permasalahan produk tensor , terlebih dahulu dibahas produk tensor

( )

( )

p Δ × q Δ l l ,1 , p× q < p q< l l ∞.

Diberikan ruang barisan _{l l ,1p}, _q < p q, < ∞. Produk tensor _lp×_lq dari _lp dan didefinisikan sebagai penutup dari ruang linear yang dibangun oleh

q l

{

x⊗y x: ∈lp,y∈lq

}

dengan

(

)

1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 2 . T , , x x y x x y x y x y y x y x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⊗ = =_{⎜ ⎟} =_{⎜ ⎟} ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ K K K M M 2 y M O

Diberikan matriks takhingga

( )

a_ij . Ruang matriks Lebesgue lq

(

N×N

)

, didefinisikan sebagai berikut:

(

)

( )

1 1 : q q ij ij i j N N a a ∞ ∞ = = ⎧ × =_⎨ < ∞ ⎩

∑∑

⎭ l ⎫⎬ q

. Kaitan antara produk tensor dan ruang matriks Lebesgue

p×

l l lr

(

N×N

)

disajikan dalam Lemma berikut.

Lemma 2.3

(i)⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv) dengan (i) r=maks p q

(

,

)

(ii)

( )

r p q untuk setiap

Ruang Barisan Selisih _lp

( )

Δ ,1< < ∞p dan Beberapa Permasalahan ...

(iii) x⊗ ≤y x y untuk setiap x∈_lp,y∈_lq (iv) lp⊗ ⊂lq lr

(

N×N

)

Bukti:(i)⇒ (ii):(i) ⇒ r p r q 1 untuk setiap

u − v− ≤ u v, ∈

[ ]

0,1 yang berakibat (ii). (ii) ⇒(iii) :untuk sebarang

(

1 2

)

( )

0≠ =x x x, ,K T∈lp Δ dan 0

(

1, 2,

)

(

T q y y y

)

≠ = _K ∈_{l Δ} berlaku 1 1 p i i x x ∞ = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

dan 1 1 q j j y y ∞ = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

. Karena 1 1 r r i j i j x y x y x y x y q ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⊗ ₌ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑∑

1 1 p j i i j y x x y ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ ⎜_⎜ ⎟_{⎟ ⎜}⎜ ⎟_⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑∑

1 1 1 q p j i i j y x x y ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ ⎜_⎜ ⎟_⎟ ⎜_⎜ ⎟_⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

∑

.■

(iii) ⇒(iv) Di ambil sebarang x⊗ ∈ ×y l_p lq dengan x∈lp,y∈lq. Oleh karena itu,

terdapat matriks

(

aij

)

dengan x⊗ =y

( ) ( )

aij = x yi j dan karena x⊗ ≤y x y untuk

setiap x∈lp,y∈lq, maka 1 1 1 1 r r ij i j i j i j a x ∞ ∞ ∞ ∞ = = = = =

∑∑

∑∑

y 1 1 r r i j i j x y ∞ ∞ = = ≤

∑∑

1 1 r r r i j i j x y x y ∞ ∞ = = =

∑ ∑

= r < ∞■

3. Simpulan Dan Saran

Berdasarkan uraian di atas dapat dikemukakan beberapa hal sebagai berikut: 1. Ruang barisan

(

lp

( )

Δ , .

)

dengan norm

1 1 1 p p k k x x x ∞ = ⎛ = +_⎜ Δ ⎝

∑

⎠ ⎞ ⎟ merupakan ruang linear bernorma yang lengkap.

2. Berdasarkan Lemma 2.3 dan Kesimpulan 1, Permasalahan baru berkaitan dengan sifat-sifat produk tensor lp

( )

Δ ×lq

( )

Δ dengan definisi norm tertentu.

4. Daftar Pustaka

[1] Kizmaz,H. (1981), On Certain Sequence Spaces, Canad. Math. Bull.,24,169-176. [2] Kamthan,P.K and Gupta,M. (1981), Sequence Spaces and Series, Marcel Dekker

Inc. New York.

[3] Maddox, I.J, (1970), Elements of Functional Analysis, Cambridge Univ. Press. [4] Tripathy, B.C and Esi H. (2006), A new type of Difference Sequence Spaces, Intl.