Bab IV
SYARAT BATAS DALAM
PEMROGRAMAN
Sintesis populasi pada tesis ini dilakukan dengan menggunakan
parameter-parameter yang telah didefinisikan sebelumnya. Pemodelan evolusi bintang dan sintesis populasi tidaklah mudah karena melibatkan banyak sekali
para-meter yang bahkan mungkin banyak yang belum dapat diketahui dengan pasti nilainya. Oleh sebab itu pengerjaan tesis kali ini hanya memberikan syarat
batas pada beberapa parameter penting. Walaupun masih banyak penyeder-hanaan dan asumsi yang dipakai tetapi diharapkan dapat memberikan hasil
yang representatif untuk sintesis populasi sistem post-CE.
Parameter-parameter yang ditentukan nilai syarat batasnya adalah massa bintang primer, massa bintang sekunder, periode dan angin bintang. Massa
bintang primer dan sekunder serta periode adalah tiga input utama dalam pro-gram evolusi Eggleton sedangkan angin bintang dan metalisitas adalah
para-meter yang sangat mempengaruhi evolusi suatu bintang.
IV.1 Massa Bintang Primer
Seluruh sistem progenitor CV yang akan dievolusikan dianggap memiliki
kom-posisi sama karena berasal dari materi pembentuk yang sama. Besar massa bintang primer dipilih berdasarkan Initial Mass Function (IMF) dari Miller &
Scalo (1979) dan telah diaproksimasi oleh Eggleton et al. (1989).
m1 =
0.19X
(1 − X)0.75+ 0.032(1 − X)0.25 (IV.1)
dengan m1 adalah massa bintang primer dan X merupakan nilai acak
an-tara 0 dan 1. Besar massa bintang primer yang diperoleh dari IMF pada
awan cenderung memiliki massa kecil. Walaupun demikian masih ada
bintang-bintang bermassa besar yang terbentuk. Agar massa bintang-bintang yang dipilih oleh IMF tidak terlalu besar atau terlalu kecil diambil batasan kedua yaitu hanya
bintang-bintang dengan massa antara 1.00M < m1 < 9.0M yang akan
dievolusikan. Batas bawah massa diambil untuk menjamin bahwa
bintang-bintang tersebut telah berevolusi pada batas usia yang telah ditentukan, yaitu 1.2 × 1010 tahun. Batasan sebelumnya yang digunakan pada proposal
penga-juan tesis dan juga oleh Ginanjar (2006) adalah 0.95M < m1 < 9.0M .
Se-lama proses pengerjaan tesis diketahui bahwa bintang-bintang dengan massa
< 1.00M ternyata belum berevolusi menuju cabang raksasa merah hingga
batas usia yang ditentukan.
Gambar IV.1: IMF dari Miller & Scalo (1979), ditunjukkan dengan titik, yang telah di-aproksimasi oleh Eggleton et al. (1989) menggunakan persamaanIV.1. Hasil aproksimasi ditunjukkan oleh garis kurva. (Eggleton et al. 1989)
Gambar IV.2: Grafik radius terhadap usia untuk bintang 1.00M . Radius bintang belum
berubah hingga usia 12 milyar tahun. Bintang belum meninggalkan deret utama menuju cabang raksasa hingga batas usia tersebut.
IV.2 Massa Bintang Sekunder
Massa bintang sekunder ditentukan dengan menggunakan rasio massa (q) dimana q adalah perbandingan massa bintang sekunder terhadap bintang
primer. Rasio massa yang digunakan memiliki distribusi tersendiri yang di-ambil dari fungsi probabilitas distribusi q oleh Howell, Nelson & Rappaport
(2001)
f (q) = 5 4q
0.25 (IV.2)
dengan q pada persamaan IV.2merupakan nilai acak antara 0 dan 1. Nilai rasio massa diperoleh dari hasil integrasi persamaan IV.2 antara 0 hingga q.
Pada pengerjaan tesis ini nilai rasio massa yang digunakan dibatasi hanya pada
rasio massa q < 0.4. Batasan nilai ini dipilih agar terjadi transfer massa yang tidak stabil untuk menjamin terjadinya tahap CE. Jika nilai q terlalu besar,
q > 0.5, transfer massa dari primer ke sekunder terjadi dengan stabil dan tidak akan terjadi CE. Massa sekunder sebagai input dalam program STAR dihitung
dari
q = m2 m1
(IV.3)
Selain syarat batas nilai q, diberikan juga batasan massa untuk bintang
sekun-der agar dapat dievolusikan. Batasan massa minimum untuk bintang sekunsekun-der adalah 0.08M .
IV.3 Periode
Periode adalah salah satu input utama dalam program STAR dan nilainya
diambil dari distribusi seragam log (P) dengan nilai P antara 1 hari hingga 106 tahun. Dengan demikian akan diperoleh rentang log (P) antara 0 hingga
8.5623 untuk rentang P yang diberikan. Pemilihan input periode dilakukan dengan menggunakan persamaan sederhana
P = 10k.rand (IV.4)
Pada persamaan di atas k bernilai 8.5623 dan rand = random number antara 0 dan 1. Dengan demikian nilai periode akan memiliki nilai 1 jika rand = 0
dan akan bernilai 108.5623 untuk rand = 1.
IV.4 Roche Lobe
Selain ketiga syarat utama m1, m2 dan P , diberikan juga syarat tambahan
roche lobe-nya atau dengan kata lain R1 < RL,1. Radius bintang primer
dihi-tung dari hubungan radius terhadap massa bintang untuk bintang deret utama (Harmanec 1988). Dari data tersebut Ginanjar (2006) melakukan regresi
li-nier untuk menghitung radius bintang primer berdasarkan massanya. Ginanjar (2006) melakukan dua buah regresi dengan batas massa 2.91M . Ini dilakukan
dengan mempertimbangkan adanya perbedaan kemiringan jika data di-plot se-cara linier. Kedua persamaan regresi yang telah dihitung oleh Ginanjar adalah
sebagai berikut: R = 0.9221M + 0.1268 untuk M < 2.91M 0.2566M + 1.9352 untuk M ≥ 2.91M
Sedangkan besar roche lobe bintang primer, RL,1, dihitung dari persamaan
RL,1 =
0.49q−2/3
0.6q−2/3+ ln(1 + q−1/3)ai (IV.5)
yang diberikan oleh Eggleton (1983) dimana q adalah rasio massa dan aiadalah
separasi awal sistem sebelum terjadi CE. Tentunya agar besar RL,1 dapat
di-hitung diperlukan nilai ai yang diperoleh dari hukum Kepler III
a3
P2 = m1+ m2 (IV.6)
Karena input m1, m2 dan P telah diperoleh dari simulasi random number
maka separasi awal dan roche lobe bintang primer dapat dihitung.
IV.5 Angin Bintang
Angin bintang adalah sebuah parameter yang mutlak digunakan agar model
evolusi yang dilakukan realistis, karena sekecil apa pun suatu bintang pastilah memiliki besar angin bintang tertentu. Parameter inilah yang akan ditelaah
pengaruhnya terhadap sintesis populasi sistem CV pada tahap post-CE. Pada
tesis ini evolusi dan sintesis populasi dilakukan dengan menggunakan model angin Reimers (Reimers 1975). Angin bintang model Reimers dihitung dengan
persamaan ˙ M = −4 × 10−13ηR L gR(M yr −1 ) (IV.7)
Selama melakukan running program terjadi perubahan model angin yang
digu-nakan dari model de Jager, Nieuwenhuijzen, dan van der Hucht (1988) menjadi model Reimers. Penjelasan lebih lanjut dapat dilihat pada bab 5 mengenai
angin bintang. Sintesis populasi untuk tesis ini dilakukan dengan beberapa ni-lai parameter angin bintang, yaitu tanpa angin bintang (0.0) dan dengan angin
sebesar 0.3 dan 0.5. Jejak angin bintang berubah bergantung pada besar angin bintang yang digunakan. Alasan pengambilan nilai-nilai yang digunakan juga
dijelaskan pada bab 5.
IV.6 Zero Age Horizontal Branch
Zero Age Horizontal Branch (ZAHB) adalah posisi bintang-bintang horizontal branch pada diagram HR ketika baru saja terbentuk. Secara fisis, bintang HB
adalah bintang yang sedang berada pada tahap pembakaran helium di pusat setelah melewati fase raksasa merah. Evolusi menuju HB adalah tahapan
evo-lusi yang sulit dianalisis karena bintang harus melalui core helium flash yang sangat hebat dan sangat cepat. Sejak pemodelan evolusi bintang dapat
di-lakukan hanya beberapa yang dapat mengikuti evolusi bintang melalui tahap tersebut. He-flash adalah peristiwa fenomenal dimana terjadi perubahan
lu-minositas dan struktur bagian dalam bintang dalam waktu yang sangat cepat. Oleh sebab itu program harus dapat mengambil time-step yang sangat ekstrim
mencapai orde detik agar dapat mengikuti fase ini. Di lain pihak, terjadi per-ubahan drastis pada bagian inti sementara bagian selubung tidak berubah
konvergen. Pada beberapa kasus perhitungan numerik He-flash hanya bisa
dilakukan untuk bintang-bintang dengan massa cukup besar dimana kondisi degenerasi inti bintang tidak terlalu tinggi. Hal ini menyebabkan jejak evolusi
bintang menjadi tidak lengkap dengan ketiadaan jejak menuju HB. Karena alasan tersebut sebagian besar model HB dihitung dengan memulai proses
baru pada tahap HB, dimana struktur awal model HB diambil dari ujung ca-bang raksasa, dengan menganggap tidak terjadi perubahan struktur materi
yang signifikan.
Saat ini perkembangan teknologi memberikan kesempatan lebih besar
un-tuk dapat mengikuti proses He-flash menuju HB secara numerik, salah sa-tunya adalah pekerjaan yang dilakukan oleh Serenelli & Weiss (2005).
Un-tuk mengikuti evolusi bintang sejak He-flash Serenelli & Weiss (2005)
meng-gunakan Garching evolution code. Model yang dievolusikan adalah bintang dengan massa 0.8M < M < 0.9M dengan metalisitas Z = 0.0001 dan
0.0003 untuk meliputi titik belok gugus bola berusia 8–12 Gyr.
Gambar IV.3: Jejak evolusi bintang bermassa 0.85M dengan Z = 0.0001 sejak ZAMS
Dalam pengerjaan tesis ini evolusi menuju HB tidak akan dilakukan karena
program evolusi dari Eggleton tidak dapat mengikuti evolusi sejak He-flash dengan time-step yang sangat kecil. Ini adalah limitasi pada program STAR
karena program menjadi tidak stabil dan tidak konvergen jika evolusi terjadi dalam waktu sangat cepat, misalnya saat He-flash atau C-flash. Agar evolusi
bintang-bintang bermassa kecil tetap dapat diikuti hingga tuntas maka tahap setelah He-flash dilompati dan dilanjutkan sejak ZAHB. Untuk itu perlu dibuat
model ZAHB dengan struktur menyerupai struktur pada raksasa merah. Model ZAHB dapat dibuat oleh program STAR dengan menggunakan input khusus.
Proses pembuatan model ZAHB dilakukan dengan mengacu pada pekerjaan O. R. Pols (Pols et al. 1998). Proses pembuatan ZAHB dijelaskan pada bab
sintesis populasi dengan program STAR.
IV.7 Sistem Post-CE
Sistem post-CE adalah sistem bintang progenitor yang telah dievolusikan dan
mengalami tahap CE dan berhasil melewati tahap CE. Sistem yang berhasil melewati CE akan memiliki massa inti helium dari bintang primer dengan
bin-tang sekunder yang belum mulai berevolusi serta separasi yang lebih dekat dibandingkan separasi awal. Pada program STAR sistem dianggap mengalami
tahap CE jika radius bintang primer sama dengan radius roche lobe disertai perubahan periode orbital secara drastis. Selanjutnya harus diperiksa apakah
sistem selamat dari tahap CE dengan memeriksa roche lobe dari bintang sekun-der. Sistem dikategorikan sebagai sistem post-CE jika telah memenuhi syarat
RL,1 = R1 dan dP/dt < −1.0 × 10−6 serta RL,2 > R2. Roche lobe sekunder
dihitung dengan persamaan seperti padaIV.5dengan mengganti separasi awal ai menjadi separasi akhir af.
RL,2 =
0.49q−2/3
Besar af diperoleh dari metode lain untuk menghitung perubahan separasi
akhir (Af) terhadap separasi awal (Af) dengan bergantung perubahan
mo-mentum sudut sebelum dan setelah terjadi CE (Webbink 2007).
Af Ai = M1 M2 2 M 1c+ M2 M1+ M2 1 − γ M1− M1c M1+ M2 2 (IV.9)
Nilai γ dinyatakan dengan
Ji − Jf
Ji
= γM1− M1c M1+ M2
(IV.10)
Ji menyatakan momentum sudut sistem sebelum selubung terlepas
sedang-kan Jf adalah momentum sudut sistem setelah selubung lepas. Secara
ber-urutan M1, M2, M1c adalah massa primer, massa sekunder dan massa inti
