ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY YANG TERINFEKSI SKRIPSI

(1)

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY

YANG TERINFEKSI

SKRIPSI

TYAS WIDYA NINGRUM

PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

(2)

i

ANALISIS MODEL MATEMATIKA PREDATOR-PREY DENGAN PREY

YANG TERINFEKSI

SKRIPSI

TYAS WIDYA NINGRUM

PROGRAM STUDI MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS AIRLANGGA SURABAYA

2016

ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

(3)

(4)

(5)

PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI

Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam

lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi

kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penulis dan harus menyebutkan

sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik

(6)

(7)

KATA PENGANTAR

Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena

atas limpahan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga skripsi yang

berjudul “Analisis Model Matematika Predator-Prey dengan Prey yang

Terinfeksi” ini dapat terselesaikan dengan baik. Sholawat serta salam bahagia

semoga senantiasa tercurahkan kepada junjungan kita, Nabi Besar Muhammad

SAW, pemimpin sekaligus sebaik-baiknya suri tauladan bagi kehidupan umat

manusia.

Ucapan terima kasih disampaikan kepada :

1. Universitas Airlangga yang telah memberikan kesempatan kepada penulis

untuk menuntut ilmu.

2. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi Kementerian Pendidkan dan

Kebudayaan yang telah memberikan Beasiswa Peningkatan Prestasi

Akademik (PPA) dan Bantuan Belajar Mahasiswa (BBM).

3. Badrus Zaman, S.Kom., M.Cs, selaku Kepala Departemen Matematika

Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga sekaligus dosen

pembimbing II yang selalu memberikan saran dan motivasi.

4. Dr. Moh. Imam Utoyo, M.Si., selaku Koordinator Program Studi S-1

Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga yang selalu

(8)

vii

5. Dr.Windarto, M.Si selaku dosen wali yang selalu memberikan saran,

motivasi, dan inspirasi dalam perkuliahan dengan penuh kesabaran,

ketelitian, serta keramahan.

6. Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen pembimbing I yang senantiasa sabar dan

teliti dalam memberikan bimbingan berupa ilmu, saran, dan waktu serta

motivasi.

7.

Dr. Miswanto, M.Si selaku dosen pembimbing II yang senantiasa dengan

sabar memberikan bimbingan berupa arahan dan masukan kepada penulis

.

8. Seluruh dosen di Universitas Airlangga, khususnya Departemen Matematika

yang telah menyampaikan ilmu kepada Penulis tanpa pamrih dan tak kenal

lelah.

9. Kedua orang tua saya yang tercinta, Sudarmanto dan Musriah serta keluarga

besar yang selalu memberikan dukungan, semangat, nasihat dan doa

terbaiknya dalam menyelesaikan skripsi.

10. Suci, Puti, Suti, Agustina, Arthak, Adeisty, Addina, Nabilah, Aryati, Raditya

Rezki yang telah mengajarkan arti sahabat selama ini.

11. Gemilau, Almira, Midah, Dita, dan Adelia yang selalu memberikan

dukungan berupa motivasi, waktu, dan tenaga dalam menyelesikan skripsi.

12. Teman-teman seperjuangan mahasiswa Program Studi Matematika 2012

atas dukungan dan kebersamaannya selama ini.

13. Serta semua pihak yang tidak dapat Penulis sebutkan seluruhnya yang telah

membantu menyelesaikan skripsi ini.

(9)

Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat sebagai bahan pustaka

bagi pembaca khususnya mahasiswa Universitas Airlangga. Penulis menyadari

bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan proposal ini, sehingga saran

dan kritik yang membangun sangat diharapkan untuk perbaikan penulisan

selanjutnya.

Surabaya, 29 Februari 2016

(10)

ix

Tyas Widya Ningrum, 2016, Analisis Model Matematika Predator-Prey

Dengan Prey Yang Terinfeksi, Skripsi ini dibimbing oleh Dr. Fatmawati, M.Si dan Dr. Miswanto, M.Si, Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya.

ABSTRAK

Dalam hubungan rantai makanan, kegiatan predasi ini sangat penting untuk mendukung keberlangsungan hidup tiap-tiap populasi. Kegiatan predasi

yang dilakukan oleh predator tidak hanya memangsa prey yang sehat saja tetapi juga prey yang terinfeksi. Hal ini dikarenakan bahwa prey terinfeksi akan lebih mudah dimangsa oleh predator karena tidak membutuhkan waktu dan tenaga yang lebih banyak.

Tujuan skripsi adalah menganalisis dua model predator-prey dengan prey

yang terinfeksi yakni model pertama adalah model predator-prey dengan prey

yang terinfeksi tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey yang sehat dan model kedua adalah predator-prey dengan prey yang terinfeksi dengan memperhatikan pemangsaan pada prey yang sehat. Dari analisis model pertama diperoleh empat titik setimbang, yakni kepunahan , kepunahan predator , kepunahan prey yang terinfeksi dan koeksistensi prey dan predator .

Titik setimbang tidak stabil, sedangkan titik setimbang dan stabil asimtotis dengan syarat tertentu. Berdasarkan simulasi numerik, ketika ketiga spesies eksis maka jumlah predator akan meningkat kemudian menurun secara perlahan karena terinfeksi dari prey terinfeksi dan keterbatasan kawin. Sedangkan dari analisis model kedua diperoleh empat titik setimbang, yakni kepunahan , kepunahan predator , kepunahan prey yang terinfeksi , dan koeksistensi

prey dan predator . Titik setimbang dan tidak stabil, sedangkan titik setimbang dan stabil asimtotis dengan syarat tertentu. Berdasarkan simulasi numerik, ketika ketiga spesies eksis maka jumlah prey sehat dan predator akan menurun secara perlahan sedangkan jumlah prey terinfeksi akan meningkat karena tertularnya infeksi pada prey sehat.

Kata Kunci : Model predator-prey, prey terinfeksi, titik setimbang, kestabilan. ADLN - PERPUSTAKAAN UNIVERSITAS AIRLANGGA

(11)

Tyas Widya Ningrum, 2016, Analysis of Mathematical Model of Predator-Prey using Infected Prey, this thesis is supervised by Dr. Fatmawati, M.Si and Dr. Miswanto, M.Si, Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, University of Airlangga, Surabaya.

ABSTRACT

In a food chain, predation is incredibly important for the survival of each population. Predation is not only targeting a healthy prey, but also an infected prey; as an infected prey requires less time and energy to be preyed

.

This is because that would be more easily infected prey eaten by predators because it does take time and more energy .

The aims of this thesis is to analyze two predator-prey models using infected prey are predator-prey model using infected prey without taking healthy prey into account and on predator-prey model while taking healty prey into account. Based on the analysis of first model, four equilibriums are obtained. Those are extinction (E0), predator extinction (E1), infected prey extinction (E2),

and the coexistence between prey and predator (E3). The E0 equilibrium is

unstable; while E1, E2, E3 are stable asymptotically under certain conditions. Based

on numerical simulation , when the three species exist , the number of predators will increase and then decrease slowly because infected from infected prey and mating constraints. Furthermore based on the second model, four equilibriums are obtained. Those are extinction (F0), predator extinction (F1), infected prey

extinction (F2), and the coexistence between prey and predator (F3). The F0 and F3

equilibriums are unstable; while F1 and F2 equilibriums are asymptotically stable

under certain conditions. Based on numerical simulation, when the three species exist , the number of healthy prey and predators will decline slowly , while the number of infected prey will increase because of transmission of infection in healthy prey .

(12)

xi DAFTAR ISI

Halaman

LEMBAR JUDUL ... i

LEMBAR PERNYATAAN ... ii

LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI ... iii

LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ... iv

SURAT PERNYATAAN TENTANG ORISINALITAS ... v

KATA PENGANTAR... ... vi

(13)

2.2. Sistem Persamaan Diferensial ... 6

2.3. Analisis Kestabilan Linier ... 9

2.4. Kriteria Routh-Hurwitz ... 11

2.5. Model Lotka Voltera Predator-Prey (Pemangsa-Mangsa) ... 13

2.6. Efek Allee ... 13

2.7. Model Holling ... 14

BAB III METODE PENELITIAN ... 16

BAB IV PEMBAHASAN ... 18

4.1.Model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan 18 4.1.1 Titik Setimbang Model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan 21

4.1.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal ... 25

4.1.3 Simulasi Numerik ... 32

4.2Model predator-prey dengan memperhatikan pemangsaan pada prey rentan 35 4.2.1 Titik Setimbang Model predator-prey dengan memperhatikan pemangsaan pada prey rentan 37

4.2.2 Analisis Kestabilan Asimtotis Lokal ... 42

4.2.3 Simulasi Numerik ... 46

BAB V PENUTUP ... 50

(14)

xiii

DAFTAR PUSTAKA ... 52

LAMPIRAN

(15)

DAFTAR TABEL

Tabel Judul Halaman

4.1 Deskripsi variabel dan parameter dalam model

matematika predator-prey dengan prey yang terinfeksi 19

4.2 Nilai parameter model predator-prey tanpa memperhatikan

pemangsaan pada prey rentan. 24

4.3 Nilai awal variabel model pertama 30 4.4 Nilai parameter model predator-prey dengan memperhatikan

(16)

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar Judul Halaman

4.1 Grafik bidang fase dan pada

titik setimbang 30

4.2 Grafik model predator-prey tanpa memperhatikan pemangsaan pada prey rentan untuk titik setimbang

kepunahan predator 32

kepunahan prey terinfeksi 33

koeksistensi 34

kepunahan predator 47

kepunahan prey terinfeksi 48

koeksistensi 49

(17)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Lampiran

1 Perhitungan titik setimbang koeksistensi

2 Kode program Matlab grafik bidang fase koeksistensi

3 Kode program Matlab grafik dinamika populasi model

predator-prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan

predator

predator-prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan prey

terinfeksi

predator-prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang koeksistensi

6 Perhitungan titik setimbang koeksistensi

predator-prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan

predator

predator-prey dengan prey terinfeksi untuk titik setimbang kepunahan prey

terinfeksi