PENYELESAIAN PERMASALAHAN LINEAR PROGRAMMING

PENYELESAIAN

PERMASALAHAN

(A)

Graphical Solution Method

(Metode Pemecahan Grafik)

 Keuntungan

– Mudah

 Keterbatasan

 Hanya cocok untuk masalah LP

dengan dua variabel keputusan

Graphical Solution Method

1. Plot model constraint on a set of

coordinates in a plane

2. Identify the feasible solution space on

the graph where all constraints are satisfied simultaneously

3. Plot objective function to find the point

on boundary of this space that

maximizes (or minimizes) value of

Pemecahan Grafik

 Teknik pemecahan grafis dapat

dipergunakan apabila persoalan

programa linier yang akan

diselesaikan hanya mempunyai dua buah variabel.

 Cara ini memberi petunjuk bahwa

untuk pemecahan programa linier

hanya perlu memperbaiki titik ekstrim pada ruang solusi atau daerah fisibel.

Contoh Soal (1) Maksimasi

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2 ≤ 6 2x1 + x2 ≤ 8 – x1 + x2 ≤ 1 x2 ≤ 2 x1 ≥ 0

Contoh Soal (2) Maksimasi

2 1

20

10

X

X

Z

0 , 45 3 5 12 15 2 2 1 2 1 2 1 2 1 X X X X X X X X Memaksimumkan dengan kendala

5 10 15 -5 -10 5 10 15 X2 X1 0 A B C D E Titik terluar

Contoh Soal (3) Maksimasi

 Maximize Z = $40 x₁ + 50 x₂  _{Subject to} x₁ + 2x₂ 40 hr (labor constraint) 4x₁ + 3x₂ 120 lb (clay constraint) x₁ , x₂ 0 Solution is x₁ = 24 bowls x₂ = 8 mugs Revenue = $1,360

x₁ + 2x₂ = 40 4x₁ + 3x₂ = 120 4x₁ + 8x₂ = 160 -4x₁ - 3x₂ = -120 5x₂ = 40 x₂ = 8 x₁ + 2(8) = 40 x₁ = 24

Contoh Soal (4) Minimasi

CHEMICAL CONTRIBUTION

Brand Nitrogen (lb/bag) Phosphate (lb/bag)

Gro-plus 2 4 Crop-fast 4 3 Minimize Z = $6x₁ + $3x₂ subject to 2x₁ + 4x₂ 16 lb of nitrogen 4x₁ + 3x₂ 24 lb of phosphate x , x 0

14 – 12 – 10 – 8 – 6 – 4 – 2 – Z = 6x₁ + 3x₂ x₁ = 0 bags of Gro-plus x₂ = 8 bags of Crop-fast Z = $24 x₁ = 0 bags of Gro-plus x₂ = 8 bags of Crop-fast Z = $24 x₂

Kasus Khusus

 Persoalan programa linier mempunyai solusi

optimal yang tidak terbatas (mempunyai solusi alternatif atau solusi optimal banyak)

 Persoalan programa linier tidak mempunyai

solusi fisibel atau persoalan programa linier yang infisibel

 Persoalan programa linier mempunyai ruang

solusi yang tidak terbatas, yaitu titik-titik pada daerah fisibel dengan harga z yang sangat besar (pada persoalan maksimasi)

Contoh lain :

1. The Burroughs garment company manufactures

men's shirts and women’s blouses for Walmark Discount stores. Walmark will accept all the

production supplied by Burroughs. The

production process includes cutting, sewing and packaging. Burroughs employs 25 workers in the cutting department, 35 in the sewing department and 5 in the packaging department. The factory works one 8-hour shift, 5 days a week. The following table gives the time requirements and the profits per unit for the two garments:

Garment Cutting Sewing Packaging Unit profit($)

Shirts 20 70 12 8.00

Blouses 60 60 4 12.00

Minutes per unit

Determine the optimal weekly

Contoh :

 Feed Mix problem: The manager of a milk diary

decides that each cow should get at least 15, 20 and 24 units of nutrients A, B and C respectively. Two varieties of feed are available. In feed of variety 1(variety 2) the contents of the nutrients A, B and C are respectively 1(3), 2(2), 3(2) units per kg. The

costs of varieties 1 and 2 are respectively Rs. 2

and Rs. 3 per kg. How much of feed of each variety should be purchased to feed a cow daily so that the expenditure is least?

(B)

Bahasan

 Rumusan Pemrograman linier dalam bentuk

baku

 Pemecahan sistem persamaan linier

Rumusan Pemrograman Linier

dalam Bentuk Baku

Memaksimumkan (Meminimumkan)

Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn Dengan pembatas

a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2

. . .

am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm x1≥0, x2≥0,…, xn≥0

Notasi Matriks-Vektor

Maks (Min) Z = cx dg pembatas Ax = b x ≥ 0 b ≥ 0 A : matriks (m x n) x : vektor kolom (n x 1) b : vektor kolom (m x 1)

Karakteristik Rumusan Bentuk Baku

 Fungsi tujuan adalah memaksimumkan atau

meminimumkan

 Semua pembatas dinyatakan dalam

persamaan

 Semua variabel keputusan dibatasi sebagai tak

negatif

 Konstanta ruas kanan untuk tiap pembatas

PENGERTIAN

 Metode Simpleks merupakan prosedur

aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah dimulai dari satu titik ekstrim pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju ke tititk ekstrim yang optimum

 Pada intinya, apa yang dilakukan metode

simpleks adalah menerjemahkan definisi geometris dari titik ekstrim menjadi definisi

Apa yang dilakukan Metode simpleks?

 Mengidentifikasi satu pemecahan dasar awal

dan kemudian bergerak secara sistematis ke pemecahan dasar lainnya yang memiliki potensi untuk memperbaiki nilai fungsi tujuan

yang akhirnya nilai optimum akan

Model Programa Linier…..(2)

 Jika kita definisikan :

 Pembatas dari model tersebut ditulis

dalam bentuk Ax = b mn m m n n a a a a a a a a a A ... . . . . . . . . . . . . ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11 n X X X X . . . 2 1 n b b b b . . . 2 1

Reduksi ke Bentuk Baku

 Metode simpleks untuk memecahkan

masalah PL memerlukan bahwa masalah dinyatakan dalam bentuk baku.

 Tidak semua masalah PL dalam bentuk baku

 Pembatas pertidaksamaan (inequality constraint).

 Variabel yang tak dibatasi tanda (unrestricted in

Pembatas Pertidaksamaan

 Karena bentuk baku memerlukan semua

pembatas harus dinyatakan dengan dalam persamaan, pembatas pertidaksamaan harus diubah ke persamaan.

 Ini dilakukan dengan penambahan variabel

baru untuk menunjukkan slack antara ruas kiri dan kanan pada tiap pertidaksamaan.

Pembatas Pertidaksamaan

x1 + 4x2 ≤ 10 ⇒ x1 + 4x2 + x3 = 10 x3 ≥ 0

2x1 + 5x2 ≥ 18 ⇒ 2x1 + 5x2 – x4 = 18

Variabel yang Tak Dibatasi Tanda

 Dalam PL, adakalanya terdapat nilai variabel

yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif)

 Karena bentuk baku PL memerlukan semua

variabel adalah tak negatif, maka variabel yang tak dibatasi tanda diganti dengan selisih dua variabel tak negatif

Variabel yang Tak Dibatasi Tanda

x1 + x5 = 50 x1 ≥ 0

x5 tak dibatasi tanda x5 = x6 – x7

Definisi Dasar

 Suatu solusi layak (feasible solution) adalah

suatu vektor tak negatif x yang memenuhi persamaan Ax = b.

 Daerah layak (feasible region), dinyatakan

dengan S, adalah himpunan dari semua solusi layak yang mungkin. Secara matematis,

S = {x | Ax = b, x ≥ 0}

 Jika himpunan layak S adalah kosong maka

Definisi Dasar

 Suatu solusi optimal (optimal solution) adalah

suatu vektor x* yang layak dan nilai fungsi

tujuannya (cx*) lebih besar dari semua

solusi layak yang lain. Secara matematis,

x* adalah optimal x* Є S dan cx* ≥ cx, x Є S

 Nilai optimal (optimal value) dari masalah PL

adalah nilai fungsi tujuan yang berkaitan dengan solusi optimal. Jika Z* adalah nilai

Definisi

 Solusi Basis

Solusi dimana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol. Untuk mendapatkan solusi basis dari AX = b maka sebanyak (n-m) variabel harus dinolkan.

Variabel yang dinolkan : variabel non basis Variabel lain yang memenuhi AX=b :

n – (n – m) = m variabel disebut variabel basis

 Solusi Basis Fisibel

Jika seluruh variabel pada suatu solusi basis berharga non negatif, maka solusi itu disebut solusi basis fisibel (BFS)

Definisi Dasar

 Jika suatu PL mempunyai lebih dari satu solusi

optimal maka PL disebut mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution).

 Solusi optimal dari masalah PL dikatakan unik

(unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu

solusi optimal.

 Jika suatu masalah PL tidak mempunyai optimum

Pemecahan Sistem Persamaan Linier

 Permasalahan matematis utama dalam pemrograman

linier adalah mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaaan linier yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan linier.

 Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan

menggunakan prosedur klasik Gauss- Jordan elimination.

Pemecahan Sistem Persamaan Linier

Sistem dengan dua persamaan dengan lima variabel yang tak diketahui

x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2 x1 – x2 – x3 – 3x4 – x5 = 4

 Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel

yang tak diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai lebih dari satu solusi.

 Himpunan dari semua solusi yang mungkin dari

Pemecahan Sistem Persamaan Linier

 Sistem ekivalen (equivalent system)

Dua sistem persamaan dikatakan ekivalen jika kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang sama.

 Metode untuk memecahkan suatu sistem

persamaan adalah mendapatkan suatu

sistem ekivalen yang mudah untuk

Terdapat dua tipe operasi baris elementer untuk mendapatkan sistem ekivalen

– Mengalikan sebarang persamaan dalam sistem dengan suatu bilangan positif atau negatif.

– Menambahkan ke sebarang persamaan dengan suatu konstanta pengali (positif, negatif atau nol) ke sebarang persamaan yang lain.

(S1) x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2 x2 – 2x3 + x4 – 3x5 = 2 (S2) x1 – x3 – 2x4 – 4x5 = 6 x2 – 2x3 + x4 – 3x5 = 2 (S3) x1 – 2x2 + x3 – 4x4 + 2x5 = 2 x1 – x2 – x3 – 3x4 – x5 = 4

 Sistem S1, S2 dan S3 adalah ekivalen, yaitu

solusi bagi satu sistem secara otomatis memberikan solusi bagi sistem yang lain.

 Untuk sistem S3, x4 = x5 = x6 = 0 akan

memberikan x1 = 6, x2 = 2.

 Sistem S3 disebut sistem kanonik (canonical

system).

 Variabel x1 dan x2 dari sistem kanonik

Pemecahan Sistem Persamaan Linier

 Variabel basis (basic variable)

Variabel xi dikatakan sebagai variabel basis jika dalam suatu persamaan ia muncul dengan koefisien satu pada persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain.

 Variabel non basis (nonbasic variable)

Variabel yang bukan variabel basis.

 Operasi pivot (pivot operation)

Suatu urutan operasi elementer yang mereduksi suatu sistem persamaan ke suatu sistem ekivalen untuk

 Solusi basis (basic solution)

Solusi yang diperoleh dari suatu sistem kanonik dengan menetapkan nilai variabel non basis

sama dengan nol dan memecahkan variabel basis.

 Solusi basis layak (basic feasible solution)

Solusi basis dimana nilai variabel basisnya adalah tak negatif.

Algoritma Simpleks

 Untuk Persoalan Maksimasi

1. Formulasikan/konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar

- Rubah fungsi tujuan ke dalam bentuk implisit Contoh :

- Rubah batasan ke dalam bentuk standar Konversikan batasan-batasan

pertidaksamaan (≤ ≥) fungsional ke dalam persamaan yang ekivalen

Konversi dilakukan dengan memakai “variabel slack”

- Rubah batasan ke dalam bentuk standar

Konversikan batasan-batasan

pertidaksamaan (≤ ≥) fungsional ke dalam persamaan yang ekivalen

Konversi dilakukan dengan memakai “variabel slack”

Algoritma Simpleks

2. Cari solusi Basis Fisibel

→ Jika seluruh variabel non basis

mempunyai koefisien non negatif (artinya berharga + atau nol) pada baris fungsi tujuan (pers. Z yang biasa disebut baris nol) maka BFS sudah 0ptimal

→ Jika pada baris nol masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilih salah satu variabel yang mempunyai koefisien paling negatif

Algoritma Simpleks

3. Langkah Iterasi

►Tentukan variabel basis masuk

Pilihlah variabel non basis yang jika dinaikkan nilainya akan meningkatkan nilai Z dengan laju yang tinggi.

Jika seluruh variabel non basis mempunyai koefisien non negatif (artinya berharga + atau nol) pada baris fungsi tujuan (pers. Z yang biasa disebut baris nol) maka BFS sudah optimal

Jika pada baris nol masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilih salah satu variabel yang mempunyai koefisien paling negatif. Variabel ini akan menjadi variabel basis variabel yang masuk basis ( entering variabel / EV)

Algoritma Simpleks

► Tentukan variabel basis keluar

Hitung rasio dari ( Ruas kanan / koefisien EV)

 _{Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif} terkecil akan berubah menjadi variabel non basis. Variabel ini disebut variabel basis keluar ( Leaving Variable / LV)

► Lakukan operasi baris elementer untuk

membuat koefisien EV pada baris dengan

rasio positif terkecil menjadi satu dan yang lainnya nol.

 Jika ditemukan lebih dari satu baris memiliki rasio positif, pilih salah satu

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2

dengan pembatas-pembatas:

x1 + 2x2

≤ 6

2x1 + x2

≤ 8

– x1 + x2

≤ 1

x2

≤ 2

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

Memaksimumkan Z = 3x1 + 2x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 + 0x6 dengan pembatas-pembatas: x1 + 2x2 + x3 = 6 2x1 + x2 + x4 = 8 – x1 + x2 + x5 = 1 x2 + x6 = 2 x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, x6 ≥ 0,

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

Variabel basis : x3, x4, x5, x6

Dengan menetapkan x1 = x2 = 0, maka diperoleh solusi basis :

x3 = 6, x4 = 8, x5 = 1, x6 = 2 Nilai fungsi tujuan Z =

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

Memperbaiki solusi basis layak

 Dengan diberikan solusi basis layak, yaitu x1 = x2 = 0,

x3 = 6, x4 = 8, x5 = 1, x6 = 2 dengan Z= 0, metode

simpleks mengecek apakah mungkin untuk mendapatkan solusi basis layak yang lebih baik dengan nilai Z yang lebih besar.

 Ini dilakukan dengan pertama-tama memeriksa apakah

solusi saat ini adalah optimal.

 Jika solusi solusi belum optimal, metode simpleks

mencari suatu solusi basis layak tetangga (adjacent

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

 Suatu solusi basis layak tetangga (adjacent

basic feasible solution) berbeda dengan solusi

basis layak (basic feasible solution) saat ini hanya tepat satu variabel basis.

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

 Untuk mendapatkan solusi basis layak

tetangga, metoda simpleks

 Membuat salah satu variabel basis menjadi

variabel non basis

 Menjadikan salah satu variabel non basis menjadi

variabel basis

 Permasalahannya adalah memilih solusi

basis dan solusi non basis yang

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

 Dalam solusi basis layak

– Variabel basis dapat mempunyai nilai yang positif – Varibel non basis selalu mempunyai nilai nol

 Membuat variabel non basis menjadi variabel basis

adalah ekivalen dengan menaikkan nilainya dari nol ke positif.

 Tentu saja, pilihan yang harus dibuat adalah

menentukan variabel non basis mana yang dapat memberikan perbaikan pada nilai Z

 Ini dilakukan dengan menaikkan nilai variabel non basis

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

Misalkan variabel non basis x1 dinaikkan 1 unit

x1 + x3 = 6

2x1 + x4 = 8

– x1 + x5 = 1

0x1 + x6 = 2

x1 = 1, x2 = 0, x3 = 5, x4 = 6, x5 = 2, x6 = 2

Nilai fungsi tujuan

Z = 3(1)+2(0)+0(5)+0(6)+0(2)+0(2)= 3

Perubahan nilai Z per peningkatan satu unit x1 ∆ Z = 3 – 0 = 3

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

Misalkan variabel non basis x2 dinaikkan 1 unit 2x2 + x3 = 6

x2 + x4 = 8 x2 + x5 = 1 x2 + x6 = 2

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 4, x4 = 7, x5 = 0, x6 = 1

Nilai fungsi tujuan

Prinsip-prinsip Metode Simpleks

Karena

∆

Z positif untuk x1 dan x2 → nilai fungsi tujuan dapat dinaikkan.

Karena

∆

Z untuk x1 >

∆

Z untuk x2 maka menaikkan x1 lebih baik.

• Sampai seberapa jauh x1 dapat dinaikkan? • Jika x1 dinaikkan maka nilai variabel basis :

x3, x4, x5, x6 akan turun dan nilainya harus tak negatif agar tetap layak.

Algoritma Simpleks untuk

Persoalan Minimasi

 Mengubah fungsi tujuan dan persamaannya,

kemudian menyelesaikannya dengan persoalan

maksimasi

 Memodifikasi algoritma untuk maksimasi menjadi :

 Jika seluruh variabel non basis pada baris nol mempunyai

koefisien yang berharga non positif (artinya berharga negatif atau nol), maka BFS telah optimal

Kasus khusus dalam Aplikasi

Metode Simpleks

Beberapa kasus khusus yang dapat terjadi dalam aplikasi metode simpleks :

1. Degenerasi

Kasus ini terjadi jika salah satu atau lebih variabel basis berharga nol (b = 0) sehingga iterasi yang dilakukan selanjutnya dapat menjadi sebuah loop yang akan kembali pada bentuk sebelumnya (cycling / circling)

2. Optimum alternatif

Kasus ini terjadi apabila fungsi tujuan paralel dengan fungsi pembatas, dimana paling sedikit salah satu dari variabel non basis (pada persamaan z pada iterasi terakhir) mempunyai koefisien berharga nol.

Kasus khusus dalam Aplikasi

Metode Simpleks………(2)

3. Pemecahan yang tidak dibatasi

Untuk mendeteksi kasus tsb dapat dilakukan :

Perhatikan koefisien pembatas dari variabel non basis pada suatu iterasi, jika berharga negatif atau nol berarti solusinya tidak terbatas Jika koefisien fungsi tujuan variabel tersebut berharga negatif (untuk maksimasi) atau positif (untuk minimasi) maka nilai fungsi tujuan tidak terbatas

Starting Simplex Tableau

The Reddy Mikks Model Maximize z=5x1+4x2+0s1+0s2+0s3+0s4 subject to 6x₁ + 4x₂ + s₁ =24 x1 + 2x2 + s2 =6 -x₁ + x₂ + s₃ = 1 x2 + s4 = 2 x₁,x₂,s₁,s₂,s₃,s₄≥0 Slack variables: s₁, s₂, s₃, s₄

Express the objective function: z-5x1-4x2=0

Basic z x₁ x₂ s₁ s₂ s₃ s₄ Solution z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 z-row s1 0 6 4 1 0 0 0 24 s1-row s₂ 0 1 2 0 1 0 0 6 s₂-row s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 s3-row s₄ 0 0 1 0 0 0 1 2 s₄-row

Nonbasic (zero) variables: (x1, x2)

Basic variables: (s₁, s₂, s₃, s₄) The solution: z = 0

s1= 24

Entering & leaving variable

Entering variable x₁ Leaving variable s₁

Entering Ratio

Basic x₁ Solution (or intercept)

s₁ 6 24 x₁ =24/6 = 4 minimum s₂ 1 6 x₁ = 6/1= 6

s₃ -1 1 x₁ = 1/-1 = -1 (Ignore) s₄ 0 2 x₁ = 2/0 = ∞ (Ignore)

The graph 5 6 4 3 2 1 0 1 2 4 5 6 x₂ x₁ -2 -1 1 2 4 3 C B A Maximize z = 5x₁ + 4x₂ subject to: 6x1+ 4x2 + s1 = 24 x₁ + 2x₂ + s₂ = 6 -x1 + x2 + s3 = 1 x₂ + s₄ = 2 x1, x2≥ 0 1 2 3 4 s₂ = 0 24/6 = 4 6/1 = 6 1/-1 = -1

Next tableau

Increase in the value of the objective z is ($5 x 4 tons) = $20

The result of “swapping” the entering and the leaving variables: the nonbasic and basic variables become

Nonbasic (zero) variables: (s₁, x₂) Basic variables: (x₁, s₂, s₃, s₄) Basic z x₁ x₂ s₁ s₂ s₃ s₄ Solution z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 s₁ 0 6 4 1 0 0 0 24 Pivot row s₂ 0 1 2 0 1 0 0 6 s₃ 0 -1 1 0 0 1 0 1 s₄ 0 0 1 0 0 0 1 2

The new tableau

Apply Gauss-Jordan to produce the new basic solution

The new tableau corresponding to the new basic solution (x₁, s₁, s₂, s₃, s₄)

Basic z x₁ x₂ s₁ s₂ s₃ s₄ Solution z 1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20 x₁ 0 1 2/3 1/6 0 0 0 4 s₂ 0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 s₃ 0 0 5/3 1/6 0 1 0 5 s₄ 0 0 1 0 0 0 1 2 Set the nonbasic variables x₂ and s₁ to zero

x₁ = 4, s₂ = 2, s₃ = 5, s₄=2 New objective value is z = 20