2. Menentukan model nonlinier jerapan P yang paling baik. PENDAHULUAN

(1)

PENDAHULUAN Latar Belakang

Fosfor (P) merupakan unsur hara penting dalam tanah. Ketersediaan P bagi tanaman sering bermasalah, bentuk fosfor yang tersedia atau jumlah yang dapat diambil oleh tanaman hanya sebagian kecil dari jumlah yang ada didalam tanah. Fosfor yang terlarut hasil dekomposisi mineral primer dan sumber fosfor lainnya seperti pupuk sangat mudah bereaksi dengan komponen tanah lainnya membentuk fosfor terikat (bentuk senyawa dan adsorpsi) yang sukar diambil tanaman.

Ketersediaan fosfor bagi tanaman dapat diketahui dengan melihat kapasitas jerapan tanah. Cara yang umum digunakan untuk menduga kapasitas jerapan tanah adalah mengukur jumlah P dijerap oleh tanah pada penambahan P berbeda dan menyusun isoterm jerapan P (Masjkur 2008). Model yang sering digunakan antara jumlah P yang ditambahkan dengan P yang dijerap tanah adalah model nonlinier Langmuir dan Freundlich.

Model nonlinier Langmuir dan Freundlich merupakan model nonlinier yang secara intrinsik linier (intrinsically linear) yaitu model nonlinier yang dapat ditransformasi menjadi model linier. Kondisi tersebut menunjukkan bahwa pendugaan parameter model dapat dilakukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil linier. Namun transformasi model nonlinier menimbulkan beberapa permasalahan diantaranya sisaan menjadi tidak normal, ragam pada data transformasi jarang sama dan hubungan antara peubah bisa berubah. Hal ini mengakibatkan asumsi-asumsi dalam metode kuadrat terkecil linier jadi tidak terpenuhi.

Alternatif lain yang digunakan untuk menduga parameter model nonlinier Langmuir dan Freundlich yaitu dengan menggunakan metode kuadrat terkecil nonlinier. Prosedur ini dilakukan secara iteratif sampai didapatkan parameter yang konvergen. Salah satu prosedur yang sering digunakan dalam metode kuadrat terkecil nonlinier yaitu prosedur Marquardt-Levenberg yang merupakan pengembangan dari prosedur Gauss-Newton.

Tujuan

Tujuan dari penelitian ini adalah:

1. Membandingkan metode kuadrat terkecil linier dengan metode kuadrat terkecil nonlinier Marquardt-Levenberg pada model nonlinier jerapan P.

2. Menentukan model nonlinier jerapan P yang paling baik.

TINJAUAN PUSTAKA Model Linier

Model linier merupakan bentuk hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas. Maksud dari model linier disini yaitu linier dalam parameter. Secara umum model linier ditulis sebagai berikut:





  X

y dengan :

y = vektor peubah respon berordo nx1 X = matrix peubah penjelas berordo nxp β = vektor parameter berordo px1 ε = vektor sisaan berordo nx1

ε diasumsikan saling bebas dan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam σ2_.

Metode Kuadrat Terkecil Linier Metode kuadrat terkecil linier (MKT linier) merupakan metode pendugaan parameter yang dilakukan dengan cara meminimumkan:



'



SSE

dengan:  yX

Jumlah kuadrat sisaan diminimumkan dengan harapan didapatkan pengepasan model terbaik. Penduga kuadrat terkecil diperoleh dengan cara:



 





'



0 ˆ      _ _  y X y X sehingga didapat:



'



ˆ

0 .

2 '

2 





X

Y

X



Persamaan kuadrat terkecil normal secara umum dituliskan sebagai berikut:



X'X



ˆ  X'Y.

Jika matriks X berpangkat penuh, maka:



'

 

'



.

ˆ_ _X _X 1 _X_Y 

Model Nonlinier

Model nonlinier merupakan bentuk hubungan antara peubah respon dengan peubah penjelas yang tidak linier dalam parameter. Model nonlinier ada dua yaitu model yang secara intrinsik linier (intrinsically linear) dan model yang secara intrinsik nonlinier (intrinsically nonlinear). Model yang secara intrinsik linier yaitu model nonlinier yang dapat ditransformasi menjadi bentuk linier sedangkan model yang secara intrinsik nonlinier yaitu model yang tidak bisa ditransformasi menjadi bentuk linier (Draper

(2)

& Smith 1981). Secara umum model nonlinier ditulis sebagai berikut:



x

,



(

i

1 ,

2 ,

...,

n

)

f

y

i



i







i



dengan: f(.) = fungsi nonlinier yi = pengamatan ke-i

xi = peubah penjelas pada pengamatan ke-i β = parameter

εi = sisaan ke-i

εi diasumsikan saling bebas dan menyebar normal dengan nilai tengah nol dan ragam σ2_.

Metode Kuadrat Terkecil Nonlinier Metode kuadrat terkecil nonlinier (MKT nonlinier) merupakan pendugaan parameter yang dilakukan dengan cara meminimumkan:

 



, ˆ



. 1 2



   n i i i f x y SSE 

Dalam model nonlinier, untuk mendapatkan nilai dugaan kuadrat terkecil hanya bisa diselesaikan melalui proses iterasi. Salah satu prosedur yang sering digunakan dalam MKT nonlinier adalah prosedur Gauss-Newton. Prosedur ini memerlukan nilai awal untuk menduga parameter. Misalkan



1,0 2,0 ,0



'

0  , ,...,p

  adalah vektor nilai

dugaan awal. Model nonlinier



i



i

i f x

y  ,  diuraikan menjadi deret Taylor di sekitar ₀ dan hanya mempertahankan bentuk linier. Sehingga:



xi,



~ f



xi, 0



 f

_

_





_ _ _          ... , 0 1 0 , 1 1       f xi

_

_

  0 , 0 ,                   p i p p x f (i = 1, 2, ..., n).

Persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk model linier yaitu sebagai berikut:



 





1,2,...,



 

1 ... ~ , , 0 1 1 2 2 n i w w w x f x f i i i i p pi            dimana





0 ,                 j i ji x f w adalah

turunan dari fungsi nonlinier terhadap parameter ke-j pada semua nilai awal dan

0 ,

j j

j  

   . Sisi kiri persamaan (1) sebagai

sisaan y_if(x_i,₀) dimana parameter diganti oleh nilai awal. Pada model linier wji

berperan sebagai peubah penjelas dan γj

berperan sebagai koefisien model linier. Hasilnya prosedur Gauss-Newton mempunyai struktur regresi linier:







1,2,...,



 

2. ... ~ , 0 1 1 2 2 n i w w w x f yi i i i p pi          

Nilai dugaan dari setiap parameter dicari dengan melakukan proses iteratif berikut: 1. Duga ₁,₂,...,_p dalam model (2)

dengan menggunakan metode kuadrat terkecil linier. Penduga dari iterasi pertama dinyatakan sebagai ˆ1,1,ˆ2,1,...,ˆp,1_.. 2. Hitung ˆ_j_,₁_j_,₀ˆ_j_,₁ (j=1,2,...,p). 1 , 1 , 2 1 , 1 ,ˆ ,...,ˆ ˆ p  

 adalah nilai dugaan iterasi pertama.

3. Nilai ˆ _{dari langkah 2 menjadi nilai awal} model (2).

4. Kembali ke langkah 1, kemudian hitung 2 , 2 , 2 2 , 1 ,ˆ ,...,ˆ ˆ  _p  dan ˆ₁_,₂_,ˆ₂_,₂_,...,ˆ_,₂ p    .

5. Lakukan terus proses ini sampai konvergen. Konvergen tercapai apabila dalam s iterasi, jumlah kuadrat sisaan dan penduga parameter tidak lagi berubah nilainya.

Pada setiap iterasi, ˆ_j merupakan kenaikan yang ditambahkan kepada penduga dari iterasi sebelumnya seperti dalam langkah 2. Vektor penduga pada iterasi ke s terkait dengan iterasi ke s-1, secara formal dapat dinyatakan sebagai berikut :







 

1



' 1 1 1 ' 1 1 ˆ ˆ ˆ  _ _       s s s s s s  W W W y f  

 

3 ˆ ˆ 1 1 _   s _s

dimana Ws-1adalah matriks nxp dengan unsur (i,j) adalah





1 ,         s j i x f     _dan

 

ˆ1 f s

y  adalah vektor sisaan dari fungsi, dalam hal ini vektor berdimensi n mengandung

 

ˆ_₁

s

f  yang diperiksa pada ˆ_₁

s

 (Myers 1990).

Menurut Draper & Smith, prosedur Gauss-Newton memiliki kelemahan untuk masalah-masalah tertentu yaitu:

1. Proses kekonvergenannya mungkin berjalan sangat lambat, dengan kata lain dibutuhkan langkah iterasi yang sangat banyak sebelum solusinya stabil, meskipun jumlah kuadrat sisaan terus turun.

2. Adakalanya solusinya berosilasi, terus berganti-ganti arah, dan sering menaik-turunkan jumlah kuadrat sisaan tersebut walau pada akhirnya solusinya mencapai kestabilan.

3. Dapat pula terjadi proses iterasi itu tidak konvergen sama sekali atau bahkan divergen sehingga jumlah kuadrat sisaan itu naik terus tanpa batas.

(3)

Prosedur Marquardt-Levenberg Prosedur Marquardt-Levenberg (ML) merupakan pengembangan prosedur Gauss-Newton yang digunakan untuk menghitung vektor perubahan kenaikan. Struktur dari vektor kenaikan untuk iterasi ke-s adalah solusi



ˆ

_s terhadap persamaan:



' __



_ˆ _ '



_

 

_ˆ



__0

 

4 s s s p s sW I W y f W

dengan nilai λ lebih dari nol. Marquardt menyatakan bahwa λ dapat memperbaiki kekonvergenan (Myers 1990). Nilai λ dapat menangani situasi ketika pangkat matriks W tak penuh dan matriks W’W menjadi singular (Lourakis 2005).

Pemilihan λ dalam prosedur ML disesuaikan pada masing-masing iterasi untuk meyakinkan pengurangan sisaan. Jika nilai λ dimulai dengan nilai besar, prosedur ML mengubah langkah ˆ dekat arah turunan tercuram. Jika nilai λ kecil, prosedur ML mendekati prosedur Gauss-Newton. Nilai λ dikendalikan dengan cara dinaikkan atau diturunkan jika satu tahap gagal untuk mengurangi sisaan. Dengan cara ini prosedur ML mampu untuk menyesuaikan diri dengan cara mendekati turunan tercuram ketika jauh dari sisaan yang minimum dan cepat konvergen ketika di sekitar sisaan yang minimum (Lourakis 2005).

Model Nonlinier Langmuir dan Freundlich Model nonlinier Langmuir dan Freundlich sering digunakan pada data isoterm jerapan. Secara umum bentuk persamaan nonlinier Langmuir ditulis sebagai berikut:

Q = βκ C/(1+ κC) dengan:

Q = P jerap tanah (mg/kg)

C = kosentrasi P dalam larutan keseimbangan (mg/L)

β = parameter jerapan maksimum (mg/kg) κ = parameter energi ikatan (L/kg)

dan bentuk persamaan nonlinier Freundlich: Q = βCκ

dengan Q, C, β, dan κ mempunyai arti yang sama dengan persamaan Langmuir (Houng & Lee 1998).

Model nonlinier Langmuir dan Freundlich merupakan model nonlinier yang secara intrinsik linier. Bentuk persamaan linier Langmuir ditulis sebagai berikut:

C/Q = 1/βκ + C/β dengan: C/Q = peubah respon C = peubah penjelas 1/βκ = intercept 1/β = slope

dan bentuk persamaan linier Freundlich: log Q = log β + κ log C dengan:

log Q = peubah respon log C = peubah penjelas log β = intercept

κ = slope

(Borling et al. 2001).

Pengujian Asumsi Kehomogenan ragam sisaan

Asumsi kehomogenan ragam memiliki peran yang sangat penting dalam pendugaan parameter dengan metode kuadrat terkecil. Konsekuensi dari ketidakhomogenan ragam mengakibatkan beberapa pengamatan mengandung informasi yang lebih, pengamatan tersebut seharusnya mendapatkan bobot yang lebih besar dibandingkan pengamatan yang lain. Hal tersebut akan mengakibatkan presisi atau kecermatan dari penduga metode kuadrat terkecil menjadi lebih kecil (Rawlings et al. 1998). Kehomogenan ragam sisaan dideteksi secara eksplorasi dengan melihat plot antara sisaan dengan nilai dugaan.

Kebebasan Sisaan

Sisaan saling bebas apabila antar sisaan tidak saling berkorelasi atau korelasinya hampir mendekati nol. Sisaan yang saling berkorelasi mengakibatkan berkurangnya presisi penduga metode kuadrat terkecil, sama dengan pengaruh dari ketidakhomogenan ragam (Rawlings et al. 1998). Kebebasan sisaan dapat dideteksi secara eksplorasi dan uji formal. Secara eksplorasi dapat dilihat dari plot sisaan dengan urutan sisaan tersebut. Uji formal untuk mendeteksi kebebasan sisaan yaitu Uji Runtunan. Hipotesis yang di uji:

H0 : Sisaan saling bebas H1 : Sisaan tidak saling bebas.

Statistik ujinya ialah u yaitu jumlah runtunan dengan: , 1 2 2 1 2 1 _   n n n n  ) ( ) ( ) ( 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2       n n n n n n n n n n  ,

µ dan σ2 _{merupakan nilai tengah dan ragam} bagi sebaran u yang diskret.

  ) ( 2 1    u z .

Nilai z merupakan suatu simpangan normal. n1 : jumlah amatan tipe satu

(4)

Sisaan saling bebas pada taraf nyata α jika nilai-p pada tabel uji runtunan lebih besar dari taraf nyata α untuk statistik uji u, n1, dan n2 (Draper & Smith 1981).

Kenormalan Sisaan

Asumsi bahwa sisaan menyebar normal tidak terlalu penting dalam pendugaan parameter dan pemisahan total keragaman. Kenormalan hanya diperlukan pada waktu pengujian hipotesis dan penyusunan selang kepercayaan bagi parameter (Rawlings et al. 1998). Kenormalan sisaan dapat dideteksi secara eksplorasi dan uji formal. Secara eksplorasi dapat dilihat dari plot peluang kenormalan sisaan. Uji formal untuk mendeteksi kenormalan sisaan yaitu Uji Kolmogorov-Smirnov. Hipotesis yang di uji:

H0 : Sisaan menyebar normal H1 : Sisaan tidak menyebar normal. Statistik uji yang digunakan :

| ) ( ) ( | sup S x F x D x  0  dengan:

S(x) : sebaran kumulatif contoh F0(x): sebaran kumulatif normal.

Sisaan menyebar normal pada taraf nyata α jika nilai D < D(1- α, n)pada tabel nilai kritis uji Kolmogorov-Smirnov atau nilai-p lebih besar daripada taraf nyata(Daniel 1990).

Koefisien Determinasi (R2₎

Koefisien determinasi merupakan ukuran keragaman peubah respon yang mampu diterangkan oleh model. Formula dari statistik ini adalah:

JKT JKR R2 dengan:

R2 _{= koefisien determinasi} JKR = jumlah kuadrat regresi JKT = jumlah kuadrat total.

Semakin besar R2_{suatu model maka semakin} terandalkan model tersebut.

Akaike’s Information Criterion (AIC) AIC digunakan untuk membandingkan model dalam metode pendugaan komponen ragam. Persamaannya adalah:

p n SSE n AIC ln 2       dengan:

AIC = Akaike’s Information Criterion SSE = jumlah kuadrat sisaan

n = banyaknya data p = banyaknya parameter.

Model dengan nilai AIC terkecil dipilih sebagai model terbaik.

Mean Absolute Percent Error (MAPE) MAPE digunakan untuk menentukan model yang paling sesuai atau efisien untuk masing-masing pendekatan. Persamaannya adalah:



   n i i i i y y y n MAPE 1 ˆ 100 dengan:

MAPE = Mean Absolute Percent Error

i

y = nilai amatan

i

yˆ = nilai dugaan n = banyaknya data.

Nilai MAPE yang kecil menunjukkan model lebih baik.

Root Mean Square Error (RMSE) RMSE digunakan untuk memperoleh gambaran keseluruhan standar deviasi yang muncul saat menunjukkan perbedaan antar kelompok atau hubungan yang dimiliki. Secara umum dirumuskan sebagai berikut:

p n SSE RMSE   dengan:

RMSE = Root Mean Square Error SSE = jumlah kuadrat sisaan n = banyaknya data p = banyaknya parameter.

Nilai RMSE yang besar menunjukkan model tersebut kurang baik dan nilai RMSE yang kecil menunjukkan model tersebut baik.

Korelasi

Korelasi merupakan nilai yang menunjukkan keeratan hubungan linier antara dua peubah (Draper & Smith 1981). Nilai korelasi yang dicari dalam penelitian ini yaitu hubungan antara nilai amatan dan nilai dugaan. Secara umum dirumuskan sebagai berikut: 2 2 ₍ ₎ ) ( ) )( ( y y x x y y x x r i i i i       



dengan: r = koefisien korelasi xi = nilai amatan ke-i yi = nilai dugaan ke-i

x= rata-rata nilai amatan

y

= rata-rata nilai dugaan.

Nilai korelasi berkisar antara -1 dan 1. Hubungan linier antara nilai amatan dengan nilai dugaan akan semakin erat jika nilai korelasi mendekati 1 atau -1. Sedangkan nilai

(5)

korelasi yang mendekati 0 menggambarkan hubungan linier lemah.

BAHAN DAN METODE Bahan

Penelitian ini menggunakan data isoterm jerapan P pada tanah smektitik dan kaolinitik. Tanah smektitik yang digunakan berasal dari tiga lokasi di Jawa Timur yaitu Demangan, Tirtobinangun, dan Kedungrejo. Sedangkan tanah kaolinitik yang digunakan berasal dari tiga lokasi di Lampung yaitu Purworejo 1, Purworejo 2 dan Simbarwaringin. P yang dijerap tanah sebagai peubah respon dan jumlah P dalam larutan keseimbangan sebagai peubah penjelas pada model nonlinier.

Pengambilan data dilakukan dengan cara sampel tanah lapisan atas (0-20 cm) diambil dari lokasi percobaan lapangan. Sampel tanah dikering-udarakan, dihaluskan dan diayak dengan saringan 2 mm. Sampel tanah pada masing-masing lokasi disuspensikan ke dalam 20 ml media 0.01 M CaCL2. Inkubasi dilakukan selama 6 hari sambil dikocok 2x30 menit/hari (pagi dan siang). Setelah ekuilibrasi selesai, suspensi disentrifusi untuk mendapatkan cairan jernih. Kadar P dalam supernatan diukur dengan menggunakan spektrofotometer. Perbedaan antara jumlah P yang tinggal dalam larutan dengan jumlah P yang diberikan adalah jumlah P yang dijerap oleh tanah. Konsentrasi P yang ditambahkan pada masing-masing tanah adalah sebagai berikut:

Tabel 1 Penambahan konsentrasi P (ppm) Tanah Smektitik Tanah Kaolinitik

50 25 100 50 150 75 200 100 250 150 300 200 350 250 400 300 450 400 500 500 Metode

Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Melakukan pendugaan parameter model nonlinier Langmuir dan Freundlich pada masing-masing lokasi tanah smektitik dan

kaolinitik dengan menggunakan MKT linier dan MKT nonlinier ML.

2. Mencari indikator pemilihan model terbaik dari model nonlinier Langmuir dan Freundlich. Indikator pemilihan model terbaik yang digunakan yaitu nilai AIC, MAPE dan RMSE serta nilai korelasi antara nilai amatan dengan nilai dugaan. 3. Membandingkan nilai indikator pemilihan

model terbaik.

4. Menentukan model nonlinier jerapan P yang paling baik.

Tahap-tahap yang dilakukan dalam pendugaan parameter MKT linier adalah: 1. Transformasi data P yang dijerap tanah

dan konsentrasi P dalam larutan keseimbangan sehingga didapatkan data peubah respon dan peubah penjelas pada model linier Langmuir dan Freundlich. 2. Membuat plot antara peubah respon

dengan peubah penjelas model linier Langmuir dan Freundlich.

3. Mencari persamaan linier Langmuir dan Freundlich.

4. Melakukan pemeriksaan asumsi.

5. Transformasi balik nilai dugaan intercept dan slope pada model linier Langmuir dan Freundlich untuk mendapatkan nilai dugaan parameter pada model nonlinier Langmuir dan Freundlich.

Tahap-tahap yang dilakukan dalam pendugaan parameter MKT nonlinier ML adalah:

1. Menentukan nilai dugaan awal pada masing-masing parameter. Nilai dugaan awal yang dicoba sama yaitu 0.01, 0.1, 0.5, 1, 5, 10 dan 100.

2. Menentukan nilai λ. Nilai awal λ yang ditetapkan yaitu 10-7_{, untuk iterasi} selanjutnya jika nilai SSEs+1< SSEs maka λ=λ/10 dan jika nilai SSEs+1> SSEsmaka λ=10λ.

3. Menentukan nilai dugaan parameter akhir dari hasil iterasi yang sudah konvergen. 4. Melakukan pemeriksaan asumsi.

Software yang digunakan dalam penelitian ini adalah Software statistika dan Microsoft Excel 2007.

HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan Linier Langmuir

dan Freundlich

Model linier hasil transformasi diperiksa dengan melihat plot pencaran antara peubah respon dengan peubah penjelas. Plot pencaran model linier Langmuir hasil transformasi data isoterm jerapan P dapat dilihat pada Lampiran