Penyelesaian : 1 Free Body a. Bentang A - B q1 = 3 Q1 = x q1 x L = x 3 x 6 = 9 KN 7 q L3 (EI1) 7 * 3 * 63 • (2EI) EI EI 8 q L3 (EI1) 8 * 3 * 63 • (2EI) EI 0.5 0.5 KN/m αA = αA = 360 360 4536 720 = 63 10 =
Menentukan Sudut Belahan Karena Muatan (Metode Clapeyron) di Setiap Tumpuan(α)
5184 = 360 720 αB1 = 360 αB1 = = 7.2 EI P1=7 kN q1=3kN/m q2 = 4 kN/m 6 4 3 2 2 2 EI 2EI 2EI P1=7 kN q1=3kN/m q2 = 4 kN/m EI 2EI 2EI MA MB1 MB2 MC1 MC2 aA aB1 aB2 aC1 aC2 aD A B C D 6 4 3 2 2 2 6 2EI MA MB1 aA aB1
A
B
27.27° 27.27° Q1=9 kN 2 4b. Bentang B - C P = 7 a = 4 m b = 3 m L = 7 m P b (L² - b²) 6 7 • 3 • ( 7 ² - 3 ² ) 6 • EI 7 42 EI 20 EI P a (L² - a²) 6 7 • 4 • ( 7 ² - 4 ² ) 6 • EI 7 42 EI 22 EI C. Bentang C - D q2 = 4 a1 = 2 m L = 6 m a2 = 4 m Q2 = x q1 x Lb b1 = 4 m = x 4 x 2 b2 = 2 m = KN Karena a1 = b2 dan a2 = b1 Maka : 1 1 4 b1 6 (EI3L) 2 - 4 χ ]b2 q 8 α C2 = x [ L² χ² α C1 = KN/m α C2 = αD = α C1 = 924 α B2 = α C1 = (EI2L) α B2 = α B2 = 840 KN α B2 = (EI1L) α C1 P1=7 kN 4 3 EI MB2 MC1 aB2 aC1
B
C
2 2 2EI MC2 aC2 aDC
D
21 2 2 1 4 6 (2EI)• 6 2 4 1 2 2 1 4 2 4 72 EI EI 3 EI 2
a. Sudut Belahan di Titik A
MA • L1 MB • L1 3 (EI1) 6 (EI1) MA • 6 MB • 6 3 (2EI) 6 (2EI) 6 MA 6 MB 6 EI 12 EI z δ L h dimana:
α = Sudut belahan karena muatan z = Zetting (penurunan)
L = Panjang Bentang
β = Sudut belahan karena momen δ = Sudut belahan karena gaya h = Sehingga: 6 MA 6 MB EI 6 EI 12 EI 60 MA 30 MB EI 60 EI 60 EI → MA + 30 MB = 378 ……… Pers. 1
Karena tidak ada zetting (penurunan) di semua tumpuan, maka persamaan yang digunkan yaitu:
α = β 63 10 = + 378 = + 60 → 378 = 60 MA + 30 MB α + = β + → 60 624 αD ) 72 α C2 = 224 - 68 α C2 = ( β A = + = + ]} 4 α C2 = 4 x - [ 6 2 - 2 4 - 4 ] α C2 = x {[ 6
Menentukan Besar Sudut Belahan di Setiap Titik Akibat Momen (β) = 26 = + q1=3kN/m 2EI MA MB1 ßA B1
A
B
27.27° 27.27° Q1=9 kN ß 6 2 4b. Sudut Belahan di Titik B MB • L1 MA • L1 3 (EI1) 6 (EI1) MB • 6 MA • 6 3 (2EI) 6 (2EI) 6 MB 6 MA 6 EI 12 EI MB • L2 MC • L2 3 (EI2) 6 (EI2) MB • 7 MC • 7 3 (EI) 6 (EI) 7 MB 7 MC 3 EI 6 EI 20 6 MB 6 MA 7 MB 7 MC EI 6 EI 12 EI 3 EI 6 EI 12 MB 6 MA 28 MB 14 MC 12 EI 12 EI 12 EI 12 EI 12 EI 12 EI → + = 6 MA + 12 MB + 28 MB + 14 MC → 6 MA + 40 MB + 14 MC = ……… Pers. 2
c. Sudut Belahan di Titik C
MC • L2 MB • L2 3 (EI2) 6 (EI2) MC • 7 MB • 7 3 (EI) 6 (EI) 7 MC 7 MB 3 EI 6 EI + → + = + + 86.4 240 326.4 + 86.4 240 α B1 + α B2 = β B1 + β B2 β B2 = + = + = + = β B1 = + = + = + = + 7.2 EI + + = + + β C1 = + P1=7 kN EI MB2 MC1 B2 C1
B
ß ß ßC
4 3 2EI MC2 C2 DC
ß ßD
2 2 2MC • L3 MD • L3 3 (EI3) 6 (EI3) MC • 6 MD • 6
3 (2EI) 6 (2EI)
6 MC MD = 0 Karena dudukan rol 6 EI 22 7 MC 7 MB 6 MC EI 3 EI 3 EI 6 EI 6 EI 14 MC 7 MB 6 MC 6 EI 6 EI 6 EI 6 EI 6 EI → + = 14 MC + 7 MB + 6 MC + 0 → 7 MB + 20 MC = ……… Pers. 3
d. Elimunasi persamaan 1 dan persamaan 2
MA + 30 MB = x 1 6 MA + 40 MB + 14 MC = x 10 MA + MB = MA + MB + 140 MC = -MB MC = → MB + MC = ……… Pers. 4 MB = - MC ……… Pers. 4
e. Elimunasi persamaan 2 dan persamaan 3
MA + 40 MB + 14 MC = x 20 7 MB + 20 MC = x 14 MA + MB + MC = MB + MC = -MA MB = → MA + MB = ……… Pers. 5 MB = - MA ……… Pers. 5 ( - MA ) = MB 702 3952 120 3952 120 702 702 3952 120 702 3952 6 280 280 120 -370 -2886 370 140 2886 184 326 → 98 2576 120 800 6528 370 2886 140 -140 60 378 326.4 → 60 378 3264 60 30 400 132 52 184 26 0 + 0 β C2 α C1 + α C2 = β C1 + + + → 132 + 52 = + + + = + = + 0 + = + β C2 =
Subtitusi persamaan 5 ke persamaan 1 → MA + 30 MB = → MA + MB = ( - MA ) → MA + - MA = MA = -MA = MA = kNm Subtitusi MA ke persamaan 1 MA + 30 MB = • + 30 MB = + 30 MB = 30 MB = MB = kNm
Subtitusi persamaan 4 ke persamaan 3
→ MB + 20 MC = → MB + MC = ( - MB ) → MB + - MB = MB = -MB = MB = kNm Subtitusi MB ke persamaan 3 MB + 20 MC = • + 20 MC = + 20 MC = 20 MC = MC = kNm Sehingga diperoleh : MA = kNm MB = kNm MC = kNm MD = 0 → Tumpuan rol 7 184 7 4.9782 184 34.847 184 149 7.45763 9.2 9.2 0.35 20.61 2.64 9.2 → 0.35 MB + ( 2886 370 ) = 140 228.65 378 149 4.97819 -2.29 9.2 -2.29 -11.4 4.978 20.61 3.8109 4.9782 7.458
Karena Semua MOMEN bernilai positif maka asumsi awal arah momen benar 7 184 0.35 1.829 12.6 5.630 1.829 6.970 3.811 60 378 60 3.8109 378 → ( ) = 12.6 2 5.630 0.171 12.6 2 MA + 3952 120 702 60 378 2 12.6
3 Free Body a. Bentang A - B q1 = 3 Q1 = x q1 x L = x 3 x 6 = 9 KN ∑MB = 0 RA • 6 - Q1 • 2 = 0 RA • 6 - 9 • 2 = 0 6 RA - = 0 6 RA = 18 RA = 3 kN' ∑MA = 0 - RB1 • 6 + Q1 • 4 = 0 RB1 • 6 - 9 • 4 = 0 6 RB1 - = 0 6 RB1 = 36.0 RB1 = 6 kN' b. Bentang B - C P = 7 kN' L = 7 m ∑MC = 0 RB2 • 7 - P • 3 = 0 RB2 • 7 - 7 • 3 = 0 7 RB2 - = 0 7 RB2 = 21 RB2 = 3 kN' 21 KN/m 0.5 0.5
Menghitung Reaksi Perletakan
18 36 P1=7 kN q1=3kN/m q2 = 4 kN/m EI 2EI 2EI MA MB1 MB2 MC1 MC2 aA aB1 aB2 aC1 aC2 aD A B C D 6 4 3 2 2 2 q1=3kN/m 2EI MA MB1 aA aB1
A
B
27.27° 27.27° Q1=9 kNRA
RB1
6 2 4 P1=7 kN EI MB2 MC1 aB2 aC1 B C RB2 RC1 4 3∑MB = 0 - RC1 • 7 + P • 4 = 0 RC1 • 7 - 7 • 4 = 0 7 RC1 - = 0 7 RC1 = 28 RC1 = 4 kN' c. Bentang C - D q2 = 4 Q2 = q1 x Lb L = 6 m = 4 x 2 = KN ∑MD = 0 RC2 • 6 - Q2 • 3 = 0 RC2 • 6 - 8 • 3 = 0 6 RC2 - = 0 6 RC2 = 24 RC2 = 4 kN' ∑MC = 0 - RD • 6 + Q2 • 3 = 0 RD • 6 - 8 • 3 = 0 6 RD - = 0 6 RD = 24 RD = 4 kN' - MB -= kN' - MA -- -= kN' + kN' = kN' - -- -= kN' + kN' = kN' + ( L1 ( = 6 + ( 4.978 3.8109 ) 6 ) ( 28 RB1 ( RC1 MC + MA L1 + + 3.811 6 ( 24 24 ) + ( RC2 ) 4.97819 + 4.978 7.458 ) 7 RB2 + MB ) L2 MC 3 + MC MD ) L2 L3 4 + 7.458 4.97819 ) + 4 + 7.458 0.0 ) 7 6 ( ( + KN/m 8 MB = 9.597 = RC 8.840 = = 2.805 RA RA 3 RB = + MB 6.195 2.646 4.354 5.243 q2 = 4 kN/m 2EI MC2 aC2 aD
C
D
RC2
RD
2 2 2- MC
-= kN'
Dari hasil perhitungan reaksi perletakan maka diperoleh nilai lintang disetiap titik tumpuan yaitu: SFA = SFB1 = SFB2 = SFC1 = SFC2 = SFD = RD = RD + MD L3 = 4 + ( 0.0 7.45763 ) 6 2.757 2.805 -6.195 2.6458 -4.354 5.2429 -2.757 P1=7 kN q1=3kN/m q2 = 4 kN/m EI 2EI 2EI MA MB1 MB2 MC1 MC2 aA aB1 aB2 aC1 aC2 aD A B C D 2.085 kN RB RC RD 8.84 kN 9.60 kN 2.76 kN RA 3.811 kN m 4.98 kN m 4.98 kN m 7.46 kN m 7.46 kN m 6 4 3 2 2 2 P1=7 kN q1=3kN/m q2 = 4 kN/m EI 2EI 2EI MA MB1 MB2 MC1 MC2 A B C D 3 kN RB2 RC2 RD 6 kN 4 kN 4 kN RA 3.811 kN m 4.98 kN m 4.98 kN m 7.46 kN m 7.46 kN m RB1 RC1 3 kN 4 kN 3.811/6 kN/m 3.811/6 kN/m 4.98/7 kN/m 4.98/7 kN/m 7.46/6 kN/m 7.46/6 kN/m M 7.46 kN m C2 7.46 kN m MA3.811 kN m MB24.98 kN m MB1 4.98 kN m 4.98/6 kN/m 7.46/7 kN/m 4.98/6 kN/m MC1 7.46 kN m 7.46/7 kN/m 6 4 3 2 2 2
4
a. Bentang A - B
Free Body Untuk Keseluruhan qx : q1 = x : L1 m qx : 3 = x : 6 m 6 qx = 3 x 3 x qx = x Qx = ½ . qx . x -= ½ . x . x = Mx = ( RA . x ) - ( Qx . x ) Mx = ( . x ) - ( x² . x ) Mx = x - x³
Untuk memperoleh Lintang dari beban segi tiga maka kita diferensialkan persamaan Mx di atas
SFx = - x²
Catatan: jarak dimulai dari bagian segitiga yang luasnya terkecil 0 m ≤
x ≤ 6m
MA = kN m
SFA = RA = kN'
Mmax = Jika SFx = 0 → Dari Persamaan SFx = - x²
0 = - x²
x² =
x² =
-x = m
Mmax Berada pada Jarak m dari titik A Sehingga jika disubtitusi ke persamaan
Mx = ( RA . x ) - ( Qx . x ) Mmax = ( . x ) - ( x² . x ) = x - x³ = ( . ) - ( . ( 3 )) Mmax = kN m 2 3 4 Jarak (m) 3.000 0.083
Persamaan Momen pada Beban Merata Setiap Bentangan
0.25 x² = qx 6 0.5 0.5 1/3 1/3 3.0 0.25 3 3.000 3.000 3.000 3 5 6 0.00 2.917 5.33333 6.75 1/3 3 0.25 1/3 Mx (kN/m) SFx (kN) 3.46 6.667 4.5833 0.250 0.250 0.250 12 3.464 0.00 3.000 2.75 2 0.75 -1 -3.25 -6 SFx = DMx dx 0.250 0 1 3.46 3 3.46 6.928 0.083 0.00 3.0 0.083 q1=3kN/m 2EI
A
Q1=9 kNB
6 2 4MB1 = (RA . L1) - ( Q1 . ( . L1)) = ( . 6 ) - ( 9 . ( . 6 )) = kN m SFB1 = - RB1 = kN' b. Bentang B - C Free Body P = 7 L = 7 m MB2 = - (RC1 . L2) + (P1 . 4 ) = ( . 7 ) + ( 7 . 4 ) = kN m MC1 = (RB2 . L2) - (P1 . 3 ) = ( . 7 ) - ( 7 . 3 ) = kN m Mmax = RB2 . 4 = . 4 = kN m SFB2 = RB2 = kN' SFC1 = - RC1 = kN' c. Bentang C - D q2 = 4 kN/m Qx = . q2 . x2 Qx = . 4 . x2 Qx = 2 x2 Mx = (RC2 . ( 2 + x )) - Qx Mx = ( 4 . ( 2 + x )) - 2 x 2 Mx = + 4 x - 2 x 2
Untuk memperoleh Lintang dari beban segi empat maka kita diferensialkan persamaan Mx di atas SFx = 4 - 4 x
0 m ≤
x ≤ 2m
Catatan: jarak dimulai dari bagian terdekat dari C KN 1/3 3 1/3 0.00 -6.0 1/2 8 SFx = DMx dx 3.0 12 4.0 3.0 0 3.0 -4.0 0 1/2 Jarak (m) 0 1 2 Mx (kN/m) 8.00 10.00 8.00 SFx (kN) 4.000 0.000 -4.000 P1=7 kN EI B C 4 3 q2 = 4 kN/m 2EI
C
Qx = 8kND
2 2 2Mmax = Jika SFx = 0 → Dari Persamaan SFx = - x
0 = - x
x = x =
x = m dari titik awal beban Mmax Berada pada Jarak m dari titik C Sehingga jika disubtitusi ke persamaan
Mx = (RC2 . ( 2 + x )) - Qx Mmax = ( 4 . ( 2 + 1 )) - 2 . 1 2 Mmax = kN m SFC2 = RC2 = kN' SFD = - RD = kN' 5 4.0 4.0 4.0 4.0 4.000 4.000 1 1.000 3.00 10.0 4.0 4.0
Menentukan Momen Maksimum Secara Keseluruhan
A B C D
3.811 kN m
4.978 kN m
7.458 kN m
0 kN m
BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD)
A B C D 3.811 kN m 4.978 kN m 7.458 kN m 0 kN m 346 6.928 kN m 12 kN m 10 kN m 300
a. Bentang A - B + y + y + → + y + + y = → y = -→ y = → y = kN m
Mmax = Mmax Free body - y
= -= kN m b. Bentang B - C + y + y + → + y + + y = → y = -→ y = → y = kN m 3.8109 2 ) ( x 3.464 ) ( + ( ( 4.978 ) x 2.536 ) 2 = ( ( 3.8109 ) x 6.000 ) 2 4.978 26.4 6.9282 25.25 5.072 105.47 12 105.47 51.65 12 53.818 4.4848 6.928 4.485 2.443 ( ( 4.9782 ) x ) 2 2 = ( ( 4.9782 7.458 ) x 7.0 ) 2 4.0 ) + ( ( 7.458 ) x 3.0 39.83 8 44.75 6 174.1 14 174.1 84.57 14 89.53 6.395
A
B
3.811 kN m 4.978 kN my
6 3.464B
C
4.978 kN m 7.458 kN my
4 7 3Mmax = Mmax Free body - y = -= kN m c. Bentang C - D 6 y = y = kN m
Mmax = Mmax Free body - y
= -= kN m 22.373 3.7288 → → 10.0 3.729 6.271 12.0 6.395 5.605 6 7.458 = 3 y
C
D
7.458 kN m 0 kN my
6 3 6600 400 300 200 200 200 A B C D A B C D q1=3kN/m P1=7 kN q2 = 4 kN/m 2.805 kN -6.195 kN 2.646 kN -4.354 kN 5.243 kN -2.757 kN A B C D -3.811 kN m -4.978 kN m -7.458 kN m 0 kN m 2.443 kN m 5.605 kN m 6.271 kN m 346 300
SHEARING FORCE DIAGRAM (SFD)
BENDING MOMEN DIAGRAM (BMD)
- - -+ + + + + +
