METODE KEKAKUAN (METODE DEFORMASI)

METODE KEKAKUAN

(METODE DEFORMASI)

(DISPLACEMENT METHOD

ATAU STIFFNESS METHOD)

• Matrik kekakuan elemen:

sehingga persamaan sistem adalah:

dimana berada dalam sistem koordinat

lokal dan demikian pula deformasi

lokal dan gaya lokal dalam satu

elemen.

DEFINISI MATRIK KEKAKUAN

kˆ

dˆ

kˆ

fˆ

=

kˆ

(

xˆ

,

yˆ

,

zˆ

)

dˆ

fˆ

ELEMEN PEER atau RANGKA atau

BATANG (Spring or Truss or Bar)

1

₂

k

L

xˆ

xˆ 1 xˆ 1

,

dˆ

fˆ

_fˆ

_2xˆ

_,

_dˆ

_2xˆ

Node (titik)

k = konstanta peer

(kekakuan peer)

lokal

koordinat

arah

xˆ

kebebasan

derajat

d

lokal

titik

gaya

f

x 1 x 1 ˆ ˆ

ˆ

ˆ

kebebasan

derajat

d

lokal

titik

gaya

f

x 2 x 2 ˆ ˆ

ˆ

ˆ

Node (titik)

Penurunan Matrik Kekakuan

Elemen Peer (Spring)

• Beberapa contoh Konstanta kekakuan:

– Elemen Peer: k = EA/L, E adalah modulus

elastisitas, A: luas penampang, L: panjang

elemen.

– Elemen Torsi: k = GJ/L, G: modulus geser,

J:momen inersia polar penampang.

– Elemen konduksi panas: k = A K

_xx

/L, K

_xx

adalah koef. Konduksi panas.

Penurunan Matrik Kekakuan

Elemen Peer (Spring)

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

x

2

x

1

22

21

12

11

x

2

x

1

dˆ

dˆ

k

k

k

k

fˆ

fˆ

• Standar persamaan matrik sistem

elemen peer:

Penurunan Matrik Kekakuan

Elemen Peer (Spring) (lanj.)

• Ada 4 Tahap:

– Menentukan jenis elemen: elemen peer.

– Menentukan Fungsi Deformasi.

– Menentukan hubungan Regangan dgn.

Deformasi dan hubungan Tegangan dgn.

Regangan.

Penurunan Matrik Kekakuan

Elemen Peer (Spring) (lanj.)

1. Menentukan jenis elemen: elemen peer.

Elemen peer mempunyai gaya T pada

kedua titiknya dengan panjang elemen L.

1

₂

k

L

xˆ

T

T

xˆ 1

dˆ

dˆ

_2xˆ

Penurunan Matrik Kekakuan

Elemen Peer (Spring) (lanj.)

• Menentukan Fungsi Deformasi

sehingga persamaan deformasinya:linier

Jumlah derajat kebebasan (dof) = jumlah

parameter.

Dalam bentuk matrik:

xˆ

a

a

uˆ

=

₁

+

₂

uˆ

⎫

⎧

a

Penurunan Matrik Kekakuan

Elemen Peer (Spring) (lanj.)

• Persamaan deformasi pada masing-2

koordinat titik dari elemen sebagai fungsi

deformasi pada titik tersebut ,

uˆ

x

1

dˆ

dˆ

₂

_x

x

1

2

2

2

1

1

x

1

2

1

dˆ

L

a

dˆ

)

L

(

a

a

)

L

(

uˆ

a

dˆ

)

0

(

a

a

)

0

(

uˆ

+

=

=

+

=

=

=

+

=

L

dˆ

dˆ

a

₂

=

2

x

−

1

x

Selesaikan a

₂

:

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer

(Spring) (lanj.)

Disubstitusikan dalam:

Didapatkan:

Dalam bentuk matrik:

xˆ

a

a

uˆ

=

₁

+

₂

x

1

x

1

x

2

_xˆ

_dˆ

L

dˆ

dˆ

uˆ

_⎟

⎟

+

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

₋

=

[

]

d

d

N

N

u

;

d

d

L

x

L

x

1

u

2x

1x

2

1

2x

1x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ −

=

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer

(Spring) (lanj.)

Fungsi Deformasi

• N1 dan N2 disebut Fungsi Deformasi

(Shape Functions or Interpolation

Functions).

• Keduanya menyatakan asumsi deformasi

yang terjadi.

• N1 =1

N2 =0

pada titik 1

• N1 =0

N2 =1

pada titik 2

• N1 + N2 =1

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer

(Spring) (lanj.)

1

2

N

₁

L

1

2

N

₂

L

N

₁

_N

₂

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer

(Spring) (lanj.)

• Menentukan hubungan Regangan

dgn. Deformasi dan hubungan

Tegangan dgn. Regangan.

Eε

σ

;

L

δ

ε

d

d

δ

(0)

u

(L)

u

δ

kδ

T

1x

2x

=

=

−

=

−

=

=

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

1

2

k

L

xˆ 1 dˆ xˆ 2 dˆ

Penurunan Matrik Kekakuan Elemen Peer

(Spring) (lanj.)

• Menurunkan Matrik Kekakuan Elemen dan

Persamaan Sistem.

(

)

(

)

(

2

x

)

1

x

x

2

x

1

x

2

x

1

x

2

x

1

dˆ

dˆ

k

fˆ

dˆ

dˆ

k

fˆ

T

dˆ

dˆ

k

fˆ

T

T

fˆ

T

fˆ

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

−

=

[ ]

⎡

−

⎤

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

k

k

dˆ

dˆ

k

k

k

k

fˆ

fˆ

x

2

x

1

x

2

x

1

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan

Persamaan Sistem Peer (Spring)

• Ada 6 tahap umum:

– Menentukan jenis elemen dan diskritisasi.

– Menentukan gaya luar yang bekerja pada titik (nodes)

– Menggabungkan matrik kekakuan elemen-2 menjadi

matrik kekakuan global, berikut persamaan global

dari sistem.

– Menentukan syarat batas.

– Menyelesaikan deformasi dari derajat kebebasan

yang tak diketahui.

– Menghitung gaya dalam elemen, tegangan, dan

regangan elemen.

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan

Persamaan Sistem Peer (Spring)

• Contoh pada Sistem dua peer.

k

₁

1

2

k

₂

1

2

3

x

F

_3x

F

_2x

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan

Persamaan Sistem Peer (Spring)

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

2x

3x

2

2

2

2

2x

3x

3x

1x

1

1

1

1

3x

1x

d

d

k

k

k

k

f

f

:

2

Elemen

d

d

k

k

k

k

f

f

:

1

Elemen

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan

Persamaan Sistem Peer (Spring)

• Elemen 1 dan 2 berhubungan pada

titik (node) 3. Hal ini disebut sebagai

persyaratan continuitas atau compatibilitas.

Sehingga:

x

3

)

2

(

x

3

)

1

(

x

3

d

d

d

=

=

(1)

1x

1x

(2)

2x

2x

(2)

3x

(1)

3x

3x

f

F

f

F

f

f

F

global

gaya

matrik

an

Penggabung

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

=

=

+

=

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan

Persamaan Sistem Peer (Spring)

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

• Gaya pada titik konsisten dengan asumsi

vektor gaya pada elemen

3

2

1

1

2

F

_1x

(

2

)

x

2

f

)

2

(

x

3

f

)

1

(

x

3

f

)

1

(

x

1

f

F

_2x

F

_3x

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

[ ] [ ]

F

K

{ }

d

or

d

d

d

k

k

k

k

k

k

0

k

0

k

F

F

F

:

matrik

bentuk

dalam

d

k

d

k

F

d

k

d

k

F

d

k

d

k

d

k

d

k

F

3x

2x

1x

2

1

2

1

2

2

1

1

3x

2x

1x

3x

1

1x

1

1x

2x

2

3x

2

2x

2x

2

3x

2

3x

1

1x

1

3x

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

−

−

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

+

−

=

−

+

+

−

=

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

⎥

⎤

⎢

⎡

−

−

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

1

1

3

2

1

3

2

1

0

k

k

d

d

d

F

F

F

x

x

x

x

x

x

:

Global

Kekakuan

Matrik

:

Global

Deformasi

Matrik

:

Global

Gaya

Matrik

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

• Cara lain membentuk matrik kekakuan

global.

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

2

2

2

2

)

2

(

x

2

x

3

1

1

1

1

)

1

(

x

3

x

1

k

k

k

k

]

k

[

dˆ

dˆ

k

k

k

k

]

k

[

dˆ

dˆ

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

– Menyatakan matrik kekakuan elemen dalam sistem

global

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎤

⎢

⎢

⎡

−

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

)

2

(

)

2

(

x

1

)

2

(

)

2

(

x

1

)

1

(

x

3

)

1

(

x

2

)

1

(

x

1

)

1

(

x

3

)

1

(

x

2

)

1

(

x

1

1

f

f

dˆ

dˆ

1

1

0

0

0

0

k

f

f

f

dˆ

dˆ

dˆ

1

0

1

0

0

0

1

0

1

k

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

• Kesetimbangan gaya

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

x

3

x

2

x

1

)

2

(

x

3

)

2

(

x

2

)

1

(

x

3

)

1

(

x

1

F

F

F

f

f

0

f

0

f

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

3x

2x

1x

(2)

3x

(2)

2x

(2)

1x

2

(1)

3x

(1)

2x

(1)

1x

1

F

F

F

d

d

d

1

1

0

1

1

0

0

0

0

k

d

d

d

1

0

1

0

0

0

1

0

1

k

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

−

−

x

3

x

2

x

1

x

3

x

2

x

1

2

1

2

1

2

2

1

1

F

F

F

d

d

d

k

k

k

k

k

k

0

k

0

k

⎪

⎫

⎪

⎧

=

⎪⎪

⎫

⎪⎪

⎧

=

⎪⎪

⎫

⎪⎪

⎧

x

1

)

2

(

)

2

(

x

1

)

1

(

)

1

(

x

1

dˆ

d

dˆ

• Kompatibilitas

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

• Syarat Batas (Boundary Condition, BC)

– Harus menentukan syarat batas untuk

menghindari gerakan benda pejal (rigid body).

– Ada dua macam syarat batas:

• Deformasi homogen (homogeneous

-displacement) = 0

• Deformasi tak homogen (Nonhomogeneous

-displacements) = harga tidak nol

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

Penyelesaian dengan Prinsip Partisi

•

Anggap d

₁

sebagai derajat kebebasan yang

bebas

•

Anggap d

₂

sebagai derajat kebebasan yang

tidak bebas

1

1

12

11

F

F

d

d

K

|

K

K

|

K

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

−

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

• Titik 1 sebagai perletakan: d

_1x

= 0,

x

3

1

x

1

x

3

x

2

x

3

x

2

2

1

2

2

2

x

3

x

2

x

1

x

3

x

2

2

1

2

1

2

2

1

1

d

k

F

F

F

d

d

k

k

k

k

k

F

F

F

d

d

0

k

k

k

k

k

k

0

k

0

k

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

−

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

−

−

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

• Syarat Batas pada kondisi perletakan

tanpa deformasi.

– Hilangkan persamaan yg berkenaan dgn.

Syarat batas.

– Selesaikan persamaan untuk derajat

kebebasan yang tidak diketahui.

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

• Syarat Batas dengan harga deformasi perletakan

≠ 0.

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧ δ

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

−

−

x

3

x

2

x

1

x

3

x

2

2

1

2

1

2

2

1

1

F

F

F

d

d

k

k

k

k

k

k

0

k

0

k

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

+

δ

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

+

−

−

x

3

1

x

2

x

3

x

2

2

1

2

2

2

F

k

F

d

d

k

k

k

k

k

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan Persamaan

Sistem Peer (Spring)

• Syarat Batas dengan harga deformasi

perletakan ≠ 0.

– Pindahkan kesebelah kanan persamaan yg

berkenaan dgn deformasi yg diketahui.

– Selesaikan deformasi dari derajat kebebasan

yg tidak diketahui.

Penyelesaian Matrik Kekakuan dan

Persamaan Sistem Peer (Spring)

• Sifat dari matrik kekakuan: [k] dan [K]

– Simetris thdp diagonal.

– [K] singular (det[K]=0). Dgn menghilangkan

persamaan pada syarat batas => [K]

non-singular (det[K] ≠0).

– Komponen diagonal (k

_ii

, K

_ii

) matrik [k] dan [K]

adalah positif.

Contoh Rangkaian 3 Peer

[ ]

[ ]

[ ]

_⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

3000

3000

3000

3000

2000

2000

2000

2000

1000

1000

1000

1000

₍

₂

₎

₍

₃

₎

)

1

(

k

k

k

1

1

3

2

2

x

3

4

5000 lb

k

₁

=1000 lb/in

k

2

=2000 lb/in

k

₃

=3000 lb/in

⎥

⎤

⎢

Contoh Rangkaian 3 Peer (lanj.)

• Persamaan sistem peer:

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

5000

0

F

F

F

F

F

F

;

F

F

F

F

d

d

d

d

5000

2000

3000

0

2000

3000

0

1000

3000

0

3000

0

0

1000

0

1000

2x 1x 4x 3x 2x 1x 4x 3x 2x 1x 4x 3x 2x 1x

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

=

=

5000

0

d

d

5000

2000

2000

3000

F

F

F

F

d

d

d

d

5000

2000

0

0

2000

3000

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

d

d

4x 3x 4x 3x 2x 1x 4x 3x 2x 1x 2x 1x

Contoh Rangkaian 3 Peer (lanj.)

⎪

⎪

⎫

⎪

⎪

⎧

−

−

⎪

⎪

⎫

⎪

⎪

⎧

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

=

=

9

.

4090

1

.

909

F

F

F

F

F

F

11

15

11

10

0

0

5000

2000

3000

0

2000

3000

0

1000

3000

0

3000

0

0

1000

0

1000

in

11

15

d

in

11

10

d

x

2

x

1

x

4

x

3

x

2

x

1

x

4

x

3

Contoh Rangkaian 3 Peer (lanj.)

• Gaya Elemen 1:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

1

.

909

1

.

909

fˆ

fˆ

fˆ

fˆ

11

10

0

1000

1000

1000

1000

x

3

x

1

x

3

x

1

1

3

_xˆ

909.1 lb

1

909.1 lb

• Gaya Elemen 2:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

1

.

909

1

.

909

fˆ

fˆ

fˆ

fˆ

11

15

11

10

2000

2000

2000

2000

x

4

x

3

x

4

x

3

₃

4

xˆ

909.1 lb

2

909.1 lb

Contoh Rangkaian 3 Peer (lanj.)

• Gaya Elemen 3:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎪⎭

⎪

⎬

⎫

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

4090.9

4090.9

f

f

f

f

0

11

15

3000

3000

3000

3000

2x

4x

2x

4x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

4

2

xˆ

4090.9 lb

3

4090.9 lb

Contoh: Syarat Batas ≠ 0

[ ] [ ] [ ] [ ]

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

=

=

=

=

200

200

200

200

k

k

k

k

(

1

)

(

2

)

(

3

)

(

4

)

x

δ =0.02m

1

₂

₃

₄

k=200 kN/m

k

_k

_k

_k

1

2

3

4

5

[ ]

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

=

200

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

200

K

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.)

• Persamaan sistem peer:

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

x

5

x

4

x

3

x

2

x

1

x

5

x

4

x

3

x

2

x

1

F

F

F

F

F

d

d

d

d

d

200

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

200

⎪⎪

⎪

⎫

⎪⎪

⎪

⎧

⎪⎪

⎪

⎫

⎪⎪

⎪

⎧

⎥

⎥

⎤

⎢

⎢

⎡

−

−

−

=

=

=

=

=

=

x

1

x

2

x

4

x

3

x

2

x

5

x

1

0

F

d

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

200

0

F

F

F

m

02

.

0

mm

20

d

0

d

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.)

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

0

0

0

02

.

0

d

d

d

0

200

400

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

400

200

x

4

x

3

x

2

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

m

015

.

0

m

01

.

0

m

005

.

0

d

d

d

4

0

0

d

d

d

400

200

0

200

400

200

0

200

400

x

4

x

3

x

2

x

4

x

3

x

2

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.)

⎪

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎧−

=

⎪

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

kN

0

.

0

kN

0

.

0

kN

0

.

1

F

F

F

F

F

F

F

F

02

.

015

.

01

.

005

.

0

200

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

400

200

0

0

0

200

200

x

3

x

2

x

1

x

5

x

4

x

3

x

2

x

1

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.)

• Gaya Elemen 1:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

kN

0

.

1

kN

0

.

1

fˆ

fˆ

fˆ

fˆ

005

.

0

200

200

200

200

x

2

x

1

x

2

x

1

• Gaya Elemen 2:

1

2

_xˆ

1.0 kN

1

_{1.0 kN}

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

kN

1.0

kN

1.0

f

f

f

f

0.01

0.005

200

200

200

200

3x 2x 3x 2x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

₂

3

xˆ

1.0 kN

2

_{1.0 kN}

Contoh: Syarat Batas ≠ 0 (lanj.)

• Gaya Elemen 3:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧−

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

kN

1.0

kN

1.0

f

f

f

f

0.015

0.010

200

200

200

200

4x 3x 4x 3x

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

• Gaya Elemen 4:

3

4

_xˆ

1.0 kN

3

_{1.0 kN}

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

=

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

−

f

f

0.02

0.015

200

200

200

200

5x

4x

ˆ

ˆ

4

5

xˆ

1.0 kN

4

_{1.0 kN}

Rangkaian 3 Peer (2)

k

₁

k

₂

k

₃

P

1

2

3

1

2

2

2

3

4

x

Rigid Bar

Rangkaian 3 Peer (2) (lanj.)

(2)

3x

3x

(3)

2x

(2)

2x

(1)

2x

(1)

1x

1x

(3)

2x

(2)

2x

(1)

2x

4x

3x

1x

f

F

f

f

f

P

f

F

:

m

equilibriu

Nodal

d

d

d

:

ity

Compatibil

0

d

d

d

:

B.C.

=

+

+

=

=

=

=

=

=

=

Rangkaian 3 Peer (2) (lanj.)

1

F

_1x

f

_1x

(1)

1

(1)

1x

f

(1)

2x

f

1

₂

Free Body Diagram

P

(1)

2x

f

(3)

2x

f

(2)

2x

f

(2)

2x

f

2

(2)

3x

f

3

3x

F

2

3

(3)

4x

f

2

4

4x

F

4

(3)

2x

f

Rangkaian 3 Peer (2) (lanj.)

• Persamaan matrik sistem:

• Memasukkan beban & syarat batas:

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

+

+

−

−

x

4

x

3

x

2

x

1

x

4

x

3

x

2

x

1

3

3

2

2

3

2

3

2

1

1

1

1

F

F

F

F

d

d

d

d

k

0

k

0

0

k

k

0

k

k

k

k

k

k

0

0

k

k

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎤

⎢

⎢

⎡

−

−

+

+

−

−

₁

_x

x

2

3

2

3

2

1

1

1

1

P

F

d

0

k

k

k

k

k

k

0

0

k

k

Rangkaian 3 Peer (2) (lanj.)

(

)

(

₁

₂

₃

)

2x

2x

3

2

1

4x

3x

1x

2x

3

2

1

k

k

k

P

d

P

d

k

k

k

F

F

P

F

0

0

d

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

k

k

k

0

0

0

0

0

+

+

=

=

+

+

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=

⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬

⎫

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

x

2

2

x

3

x

2

2

x

2

x

2

1

x

1

d

k

F

d

k

F

d

k

F

−

=

−

=

−

=

Reaksi Perletakan:

Pendekatan Energi Potensial

• Kesetimbangan terjadi saat energi

potensial minimum.

• Energi potensial total adalah jumlahan

energi regangan U dan energi potensial

dari gaya luar Ω.

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

• Suatu Sistem:

x

F

k

k

x

F

• Kurva deformasi

thdp gaya:

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

Fx

Fx

2

1

x

)

kx

(

2

1

kx

2

1

U

dx

x

k

U

dx

x

k

dU

x

k

F

dx

F

dU

2

−

=

Ω

=

=

=

=

=

=

=

∫

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

• Kondisi ‘Stationary’

0

dx

dG

:

dimana

x

dari

fungsi

sebagai

netral

atau

minimum,

maximun,

titik

sbg

dapat

'

Stationary

'

Harga

G(x)

G

=

=

x

G

maximum

minimum

netral

p

p

p

i

p

n

2

1

p

p

π

an

meminimumk

untuk

digunakan

)

δπ

sbg

n

(dinyataka

π

dari

pertama

Turunan

})

({d

π

)

d

,

,

d

,

(d

π

π

=

_L

=

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

Prinsip dari Energi Potensial Minimum:

Kesetimbangan terjadi saat d

_i

pada kondisi

dimana

δπ

_p

= 0 untuk perubahan kecil yg

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

Variasi Deformasi yg dapat diterima:

• Suatu variasi yg dapat diterima adalah suatu harga

deformasi yg terjadi memenuhi syarat batas yg ada

dan kontinyuitas antar elemen.

x

u

Fungsi Deformasi sebenarnya

Fungsi Deformasi yg dpt diterima

u+

δu

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

0

d

,

,

0

d

,

0

d

0

d

d

d

d

d

d

n

p

2

p

1

p

p

n

n

p

2

2

p

1

1

p

p

=

∂

π

∂

=

∂

π

∂

=

∂

π

∂

=

δπ

δ

∂

π

∂

+

δ

∂

π

∂

+

δ

∂

π

∂

=

δπ

L

L

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

• Contoh sistem peer:

x

F=1000 lb

k = 500 lb/in

x

k

F

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

Fx

kx

2

1

π

Fx

Ω

kx

2

1

U

Ω

U

π

2

p

2

p

−

=

−

=

=

+

=

in

2.00

x

0

1000

500x

x

π

0

x

π

1000x

250x

π

p

p

2

p

−

−

=

=

=

−

=

∂

∂

=

∂

∂

−

=

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

x

1000

x

250

2

p

=

−

π

Deformation Potential Energy

-4.00

8000

-3.00

5250

-2.00

3000

-1.00

1250

0.00

0

1.00

-750

2.00

-1000

3.00

-750

4.00

0

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

-4.00 -2.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00

x PE

Pendekatan Energi Potensial (lanj.)

• Contoh sistem 3 peer:

1

1

3

2

2

x

3

4

5000 lb

k

₁

=1000 lb/in

k

2

=2000 lb/in

k

₃

=3000 lb/in

(

)

(

)

(

)

2

4x

2x

3

2

3x

4x

2

2

1x

3x

1

3

(e)

p

p

k

d

d

2

1

d

d

k

2

1

d

d

k

2

1

π

π

=

∑

=

−

+

−

+

−