PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION PADA STRUKTUR PORTAL BERGOYANG STATIS TAK TENTU DENGAN KEKAKUAN YANG TIDAK MERATA DALAM SATU BALOK DAN KOLOM

PENGGUNAAN METODE SLOPE DEFLECTION PADA STRUKTUR

PORTAL BERGOYANG STATIS TAK TENTU DENGAN KEKAKUAN

YANG TIDAK MERATA DALAM SATU BALOK DAN KOLOM

Jemy Wijaya dan Fanywati Itang

Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Tarumanagara e-mail: jemyw@ft.untar.ac.id

ABSTRACT

Various method which can be used to analyze the statically indeterminate beam with beam's difference stiffness EI is a Slope Deflection method, Consistent Deformation method, Clayperon method, Cross method and Matrix. In this paper the Slope Deflection method will be discussed in the completion of statically indeterminate swaying portal with a difference of the beam's stiffness EI in beam and column. In the application of the Slope Deflection method, there are somethings that should be known in advance which is round the corner at a point and moment magnitude of the primary (fixed end moment) at the ends of the beam due to external loads and sway movement. Keywords: slope , fixed end moment, portal.

ABSTRAK

Berbagai metode yang dapat dipakai dalam menganalisis struktur statis tak tentu antara lain metode Slope Deflection, metode Consistent Deformation, Metode Clayperon, Metode Cross dan Matriks. Dalam tulisan ini akan dibahas penggunaan metode Slope Deflection dalam penyelesaian struktur portal bergoyang statis tak tentu dengan kekakuan yang tidak merata dalam satu balok dan kolom. Pada penggunaan metode Slope Deflection, ada beberapa hal yang harus diketahui terlebih dahulu yaitu putaran sudut (slope) pada suatu titik akibat momen yang bekerja dan besaran momen primer (fixed end moment) pada ujung-ujung balok akibat beban-beban luar yang bekerja dan akibat pergoyangan.

Kata kunci: putaran sudut, momen primer, portal. PENDAHULUAN

Pada tahun 1914, George A. Maney [1] memperkenalkan Metode Slope Deflection yang merupakan suatu metode dalam penyelesaian analisis struktur balok kontinu dan kerangka kaku statis tak tentu. Pada hakekatnya metode ini merupakan suatu cara untuk menyelesaikan persamaan-persamaan serempak didalam metode defleksi (displacement method) dengan ketelitian yang cukup baik.

Metode ini bisa juga dipakai untuk menyelesaikan struktur statis tak tentu pada balok atau kolom yang mempunyai kekakuan yang tidak merata.

ANALISIS STRUKTUR METODE SLOPE DEFLECTION

Pada metode Slope Deflection ini ada beberapa anggapan-anggapan yang

harus dipenuhi yaitu [2]:

a. Titik hubungan kaku (tidak berubah sudut).

b. Deformasi/perputaran sudut/ perpindahan titik hubungan terjadi secara keseluruhan (sudut-sudut antara batang-batang tetap besarnya setelah mengalami deformasi).

c. Deformasi axial/normal diabaikan. d. Bahan dianggap linier elastis sehingga

berlaku hukum Hooke dan hukum superposisi.

e. Dalam perencanaan perhitungan, mula-mula semua perletakan dianggap sebagai jepit walaupun perletakan itu sendi atau rol.

Dalam perhitungan dengan metode Slope Deflection harus dipatuhi perjanjian tanda yaitu sebagai berikut [3] [4]:

a. Momen ujung (FEM) positif (+), bila searah jarum jam (momen ujung pada keadaan freebody).

b. Rotasi/Perputaran sudut positif bila searah jarum jam.

c. Displacement/perpindahan positif bila searah jarum jam (sudut yang terbentuk oleh perpindahan terukur dari sumbu batang mula-mula ke sumbu batang baru setelah deformasi), kasus ini terjadi pada perletakan yang dapat turun seperti perletakan pegas atau untuk portal yang bisa bergoyang.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Analisis Freebody dan gambar bidangMomen, Lintang dan Normal

Analisis freebody dilakukan untuk menghitung besar reaksi perletakan akibat beban luar dan momen ujung pada setiap balok.

Langkah-langkah penyelesaian sebagai berikut:

a. Nyatakan struktur dalam bentuk batang-batang yang bebas.

b. Hitung besarnya reaksi perletakan setiap ujung balok akibat beban luar dan momen ujung yang telah diperoleh. c. Jumlahkan semua hasil perhitungan

langkah b. untuk memperoleh besarnya reaksi perletakan total.

d. Dengan data-data pada langkah b, hitung Momen maksimum yang terjadi pada setiap balok.

e. Gambar bidang Momen, Lintang dan Normal.

Penurunan rumus

Penurunan rumus metode Slope Deflection perlu dilakukan untuk balok/kolom dengan kekakuan tidak merata [5], [6], [7]. ) + ( EI 16 L M 3 = A 1 A θ (-) EI 8 L M = A 1 B θ ) -( EI 8 L M = B 2 A θ (+) EI 16 L M 5 = B 2 B θ

Akibat pergoyangan, didapat hasil sebagai berikut: MB RAB = ∆/L L 1/2 L 1/2 L EI 2EI ∆ A B MA θA1 θB1 M E I 2E I 1/2 L 1/2 L θA2 θB2 MB EI 2EI 1/2 L 1/2 L

Gambar 1. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MA di titik A

Gambar 2. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI diberi beban momen MB di titik B

Gambar 3. Struktur dengan kekakuan balok 2EI dan EI akibat pergoyangan sebesar ∆

0 = L + EI 8 L M + EI 16 L M 3 0 = = . 1 B A AB A Δ θ θ 0 = L + EI 16 L M 5 -EI 8 L M 0 = = . 2 B A BA B Δ θ θ

Dari kedua persamaan ini didapat hubungan:

B A =7₅M M

Bila angka ini disubstitusi kedalam persamaan didapat hasil sebagai berikut:

-) ( L 11 EI 112 = M_{A 2}Δ (-) L 11 EI 80 = M_{B 2}Δ

Tinjauan bagian kolom AB

a).

b).

c).

d).

Dari kondisi a) didapat hubungan:

) + ( EI 16 L M 3 = A 1 A θ (-) EI 8 L M = A 1 B θ

Dari kondisi b) didapat hubungan:

) -( EI 8 L M = B 2 A θ (+) EI 16 L M 5 = B 2 B θ ) ii ....( EI 16 L M 5 + L M 2 -= + = ) i ...( EI 16 L 2M -L M 3 = + = B A 2 B 1 B total B B A 2 A 1 A total A θ θ θ θ θ θ

Besaran momen akibat putaran sudut Dari persamaan (i) dan (ii) didapat hasil sebagai berikut: B A A =80₁₁EI_L +32₁₁EI_L M θ θ B A B =32₁₁EI_L +48₁₁EI_L M θ θ

Besaran momen akibat pergoyangan lihat kondisi c) didapat hubungan:

-) ( L 11 Δ EI 112 = M_{AB 2} (-) L 11 Δ EI 80 = M_{BA 2}

Rumus slope deflection untuk balok dengan kekakuan tidak merata dalam satu balok adalah: θA1 θB1 MA EI 2EI θA2 θB2 MB EI 2EI + MFBA + 1/2L 1/2L EI 2EI MFAB q A B + 1/2L 1/2L EI 2EI MBA MAB RAB ∆ A B L 1/2L 1/2L EI 2EI MBA MAB RAB =∆/L q ∆ A B P B q 1/4L D C A 1/4L 1/2L 1/2L 1/2L 2EI _2EI 2EI EI EI EI EI ∆ ∆ L RAB =∆/L

Gambar 4. Struktur Portal dengan kekakuan balok 2EI dan EI dengan beban q

AB F 2 B A AB +M 11L 112EI -L 11 EI 32 + L 11 EI 80 = M θ θ Δ AB F B A+4 -14 _L)+M 10 ( L 11 EI 8 = θ θ Δ AB F AB B A AB=₁₁8EI_L(10 +4 -14 R )+M M θ θ BA F 2 B A BA _11L +M 80EI -L 11 EI 48 + L 11 EI 32 = M θ θ Δ BA F B A+6 -10_L)+M 4 ( L 11 EI 8 = θ θ Δ FBA BA B A BA =₁₁8EI_L(4θ +6θ -10 R )+M M L Δ = R = R = R_{AB BA}

Tinjauan bagian balok BC

a). ) + ( EI 64 L M 17 = θ_B1 B (-) EI 64 L M 7 = θ_C1 B b). ) -( EI 64 L M 7 = θ_B2 C (+) EI 64 L M 17 = θ_C2 C c). EI qL 256 7 = θ 3 B _EI qL 256 7 -= θ 3 C

Besaran momen akibat putaran sudut

) ii ....( EI 64 L M 17 + L M 7 -= θ + θ = θ ) i ...( EI 64 L 7M -L M 17 = θ + θ = θ C B 2 C 1 C total C C B 2 B 1 B total B

Dari kedua persamaan (i) dan (ii) diperoleh: ) θ 7 + θ 17 ( L 15 EI 4 = M_{B B C} ) θ 17 + θ 7 ( L 15 EI 4 = M_{C B C}

Mencari Fixed and Moment Lihat kondisi a), b) dan c)

0 = θ_BTotal 0 = EI qL 256 7 + EI 64 L M 7 -EI 64 L M 17 -3 C B - 68 MB - 28 MC + 7qL2 = 0 0 = θ_CTotal 0 = EI qL 256 7 -EI 64 L M 7 + EI 64 L M 17 _{C B} 3 FAB B A AB _11L(10 +4 -14 R)+M EI 8 = M θ θ FBA B A BA =₁₁8EI_L(4 +6 -10 R)+M M θ θ EI EI 1/4 L q 2EI 1/2 L MB B MC 1/4 L L C + EI 1/4 L q 2EI 1/2L B _{1/4 L} L C EI B _C + 1/2L 1/4 1/4L E θB _θ C2 2E EI MC C B 1/2L 1/4L 1/4L EI θB1 2EI _θC1 EI MB EI 1/4 L q 2EI 1/2 L MB B MC 1/4 L L C EI

68 MC + 28 MB - 7qL2 = 0

Dari kedua persamaan di atas didapat hasil sebagai berikut:

2 C

B=M =₉₆7 qL M

Rumus slope deflection untuk balok dengan kekakuan tidak merata dalam satu balok adalah Contoh perhitungan FAC AC C A AC=₁₁8EI_L(10 +4 -14 R )+M M θ θ 0 + ) 6 14 -4 + 0 ( (6) 11 EI 8 = M_AC θ_C Δ Δ θ -0.282828 EI EI 484848 . 0 = M_{AC C} FCA CA C A CA =₁₁8EI_L(4 +6 -10 R )+M M θ θ 0 + ) 6 10 -6 + 0 ( (6) 11 EI 8 = M_CA θ_C Δ Δ θ -0.20202 EI EI 727273 . 0 = M_{CA C} FCD D C CD =₁₅4EI_L(17 +7 )+M M θ θ 2 D C CD =₁₅4EI₍₈₎(17θ +7θ )-₉₆7 (60)(8) M 280 -θ EI 0.23333 + θ EI 56667 . 0 = M_{CD C D} FDC D C DC=₁₅4EI_L(7 +17 )+M M θ θ 2 D C DC =₁₅4EI₍₈₎(7 +17 )+₉₆7 (60)(8) M θ θ 280 + θ EI 0.56667 + θ EI 23333 . 0 = M_{DC C D} FDB DB D B DB=₁₁8EI_L(4 +6 -10 R )+M M θ θ 0 + ) 6 10 -6 + 0 ( (6) 11 EI 8 = M_DB θ_D Δ Δ θ -0.20202 EI EI 727273 . 0 = M_{DB D} FBD BD D B BD =₁₁8EI_L(10 +4 -14 R )+M M θ θ 0 + ) 6 14 -4 + 0 ( (6) 11 EI 8 = M_BD θ_D Δ Δ θ -0.282828 EI EI 484848 . 0 = M_{BD D} Syarat batas: 1. MCA + MCD = 0 EI = 1 0 = 280 -Δ EI 0.20202 -θ EI 0.2333 + θ EI 29394 . 1 _{C D} ...(i) 216.393341 = Δ 0.156128 -θ 0.180327 + θ_{C D} 2. MDC + MDB = 0 EI = 1 0 = 280 + Δ EI 0.20202 -θ EI 29394 . 1 + θ EI 2333 . 0 _{C D} ....(ii) 14 -1200.0017 = Δ 865801 0. -θ 54546 . 5 + θ_{C D} 3. 2 C B B ₉₆qL 7 -) θ 7 + θ 17 ( L 15 EI 4 = M 2 C B C=₁₅4EI_L(7θ +17θ )+₉₆7 qL M P =100 kN C q=60 kN/m 2 m B D A 2 m 4 m 3 m 3 m 2EI 2EI 2EI EI EI EI EI ∆ ∆ HB MBD MDB D B HA MCA MAC A C 6 m 6 m

6 Δ EI 0.484848 -θ EI 212121 . 1 = H 6 M + M = H C A CA AC A 6 Δ EI 0.484848 -θ EI 212121 . 1 = H 6 M + M = H D B DB BD B 600 - = Δ EI 0.9696 -θ EI 1.2121 + θ EI 2121 . 1 0 = P + H + H 0 = ∑ _H D C B A i) ...(ii 495.000087 - = 0.8 -+ _D C θ Δ θ

Dari persamaan (i), (ii) dan (iii) didapat:

EI 454511 . 924 = Δ EI 141.717768 -= θ_D EI 281290 . 386 = θ_C

Nilai-nilai ∆, θC dan θD disubstitusikan

kembali ke persamaan diperoleh: MAC = - 74.1739 kNm MCA = 94.1736 kNm MCD = - 94.1746 kNm MDC = 289.8254 kNm MDB = - 289.8258 kNm MBD = - 330.1732 kNm Reaksi perletakan Balok CD kN 54365 . 215 = V 8 289.8254 -1746 . 94 + ) 8 )( 60 ( 2 1 = V C C kN 45635 . 264 = V 8 1746 . 94 -289.8254 + ) 8 )( 60 ( 2 1 = V D D Kolom AC kN 3333 . 3 = 6 74.1739 -1746 . 94 = H_A kN 3332 . 103 = 6 8258 . 289 + 1732 . 330 = H_B VA = VC = 215.54365 kN VB = VD = 264.45635 kN Gaya dalam Lx = VC - q x = 215.54365 - 60 x = 0 x = 3.5924 m Mx = VC x - 1/2 q x2 - MCD = 215.54365 (3.5924) - 30 (3.5924)2 _- 94.1746 Mmaks = 292.9843 kNm 8 m B D C A x q =60 kN/m VD VC VC VA VB HB 94.1736 289.8258 74.1739 330.1732 94.1746 289.8254 HA VD 6 m 6 m

Diagram gaya dalam

KESIMPULAN

1. Hasil yang didapat dengan metode Slope Deflection inisangat akurat. 2. Penurunan rumus metode Slope

Deflection untuk portal bergoyang perlu dilakukan terlebih dahulu jika setiap ada perubahan kekakuan dalam satu balok dan kolom.

3. Metode Slope Deflection bisa digunakan pada struktur portal bergoyang dengan kekakuan yang berbeda dalam satu balok dan kolom.

Besaran putaran sudut pada titik ujung pertemuan harus dicari terlebih dahulu untuk mendapatkan besar momen primer/Fixed End Moment, begitu juga besaran momen akibat pengaruh pergoyangan.

4. Penyelesaian perhitungan dapat menggunakan ilmu matematika yaitu teori Gauss, cara eliminasi atau bisa menggunakan kalkulator program.

DAFTAR PUSTAKA [1] Slope Deflection

http://en.wikipedia.org/wiki/slope_defl ection_method

[2] A.Ghali, A.M. Neville (1978),

Structural Analysis, A Unified Classical and Matrix Approach, London Chapman and Hall,.

[3] Anthony E. Armenakas (1988),

Classical Structural Analysis, A Modern Approach, McGraw Hill International Editions.

[4] C.K.Wang (1985), Intermediate Structural Analysis, Mc Graw Hill International Book Company,.

[5] Fanywati Itang (2013), Penggunaan Metode Clapeyron Pada Balok dengan Kekakuan yang berbeda" Jurnal Teknik Universitas Pancasila Volume 26 Nomor 1.

[6] Jemy Wijaya, Fanywati Itang (2013), Penggunaan Metode Cross Pada Balok dengan Kekakuan Tidak Merata" Jurnal Kajian Teknologi Volume 9 Nomor 3.

[7] Jemy Wijaya, Fanywati Itang (2014), Penggunaan Metode Slope Deflection Pada Struktur Statis Tak Tentu dengan Kekakuan yang Tidak Merata dalam Satu Balok" Jurnal Kajian Teknologi Volume 10 Nomor 2. 3.3333 103.3332 264.45635 215.54365 215.54365 264.45635 103.3333 330.1732 289.8254 292.9843 74.1739 94.1746 94.1746 289.8254 M L N