Analisis Struktur Rangka Batang (Truss) Statis Tak Tentu

Statically indeterminate trusses

C

A B

C

Δ_B

R_BH Rangka statis tak tentu (Gb. 1a)

didekomposisi menjadi 2 buah rangka statis tertentu (Gb.1b&c) Prinsip superposisi!

Gb.1b

Δ_B’

Gb.1c

A Gb.1a B

D D

C

A D B

Perhatikan dengan seksama Gb.1.a s/d Gb.1.c tersebut.

Bagaimana cara mendekomposisi struktur asli (statis tak tentu) dari Gb.1.a menjadi 2 buah struktur struktur statis tertentu

seperti ditunjukkan Gb.1.b dan Gb.1.c.?

Mengapa struktur asli (Gb.1.a) disebut struktur statis tak tentu?

Ada berapa redundant?

Gb.1.b. struktur statis tertentu yang menerima gaya luar

Gb.1.c. struktur statis tertentu yang menerima gaya redundant

Perhatikan Gb. 1.b.

Dapatkah anda menghitung besarnya pergeseran horizontal (∆_B) di titik B?

Metode energi dapat diterapkan untuk menghitung besarnya (∆_B) tersebut.

Perhatikan Gb. 1.c.

Dapatkah anda menghitung besarnya pergeseran horizontal (∆_B’) di titik B?

Prinsip kompatibilitas dapat diterapkan untuk menentukan besarnya (∆_B’). Prinsip ini diturunkan dari fakta bahwa

deformasi pada titik B dari struktur asli (Gb.1.a) harus sama dengan nol (prinsip deformasi konsisten). Mengapa?

(∆_B) + (∆_B’) = 0; sehingga (∆_B’) =-(∆_B)

Pertanyaan berikutnya dari Gb.1.c. adalah dapatkah anda

menentukan besarnya gaya R_BH, yang menyebabkan pergeseran sebesar (∆_B’) ?

1

A B

C

C

A B

D

D

Batang L N n nNL/AE

AC AD BC BD CD

Δ_B=∑

N adalah gaya batang pada struktur truss statis tertentu yang memikul gaya luar (real) n adalah gaya batang pada struktur truss statis tertentu yang memikul gaya virtual 1 satuan di B

Menghitung ∆_B dari Gb.1.b.

∂

1

Batang L n n nnL/AE

AC AD BC BD CD

∂=∑

Menghitung gaya redundant R_BH, yang menyebabkan pergeseran ∆_B’

R_BH Langkah pertama adalah

hitung dulu pergeseran horizontal ∂, yang

diakibatkan oleh gaya real 1 satuan. (lihat Gb.1.d).

Selanjutnya:

R_BH = ∆_B’/∂

Mengapa?

Gb.1.d.

Setelah R

_BH

diperoleh, maka reaksi-reaksi lain (R

_AV

, R

_AH

, R

_BV

) dari struktur asli (statis tak tentu/Gb.1.a) dapat dicari dengan

menggunakan persamaan kesetimbangan.

A Gb.1a B

D C

R_BH

∑M_A = 0

∑M_B = 0

∑F_x = 0 Kontrol:

∑F_y = 0

R_BV R_AV R_AH

R_BH

R_BV R_AV

R_AH

Dengan diketahuinya seluruh reaksi, makagaya-gaya batang dapat dicari mis dengan metode joint (kesetimbangan titik buhul) or perpotongan (ritter)

1.

Gunakan prinsip superposisi untuk mendekomposisi struktur truss statis tak tentu menjadi sejumlah struktur statis tak tentu

2.

Cari besarnya perpindahan pada struktur trus statis tertentu yang menerima gaya luar (gunakan metode energi)

3.

Cari besarnya perpindahan (searah atau berlawanan arah dengan

perpindahan yang dihitung di langkah 2) pada struktur statis tak tentu yang menerima gaya real 1 satuan (gaya ini searah dengan perpindahan yang akan dicari)

4.

Cari besarnya gaya redundant dengan menerapkan prinsip kompatibilitas (deformasi konsisten)

5.

Cari besarnya reaksi-reaksi lain pada struktur asli (truss statis tak tentu) dengan menerapkan prinsip kesetimbangan gaya/momen

6.

Cari seluruh gaya batang pada struktur statis tak tentu dengan

menggunakan metode joint atau perpotongan

6kN

4 m

3m 3m

Diketahui AE= 600x10⁶ N

C

A B

C

Δ_B

R_BH Gb.1b

Δ_B’

Gb.1c

A Gb.1a B

D D

C

A D B

1. Dekomposisi struktur

6 kN

3 m 3 m

4 m

6t

1

A B

C

C

A B

D

D

Batang L (mm) N (N) n (N) nNL/AE (10^-3

mm)

AC 5000 +5000 0 0

AD 3000 +3000 +1 15

BC 5000 -5000 0 0

BD 3000 +3000 +1 15

CD 4000 0 0 0

Δ_B=∑ 30 N adalah gaya batang pada struktur truss statis tertentu yang memikul gaya luar (real) n adalah gaya batang pada struktur truss statis tertentu yang memikul gaya virtual 1 satuan di B

2. Menghitung ∆_B dari Gb.1.b.

6kN

3m 3m

4m

∂

1

Batang L (mm) n (N) n (N) nnL/AE (10^-3

mm)

AC 5000 0 0 0

AD 3000 -1 -1 0.005

BC 5000 0 0 0

BD 3000 -1 -1 0.005

CD 4000 0 0 0

∂=∑ 0.01 3. Menghitung ∂

Langkah pertama adalah hitung dulu pergeseran horizontal ∂, yang

diakibatkan oleh gaya real 1 satuan. (lihat Gb.1.d).

A B

C

3m D 3m

4m

4. Menghitung gaya redundant R_BH R_BH = ∆B/∂

R_BH = 30(10^-3)/0.01(10^-3) = 3000 N

5. Menghitung reaksi perletakan lainnya

=3kN 6kN

∑M_A = 0

∑M_B = 0

∑F_x = 0

R_BV =4kN ( ) R_AV =-4kN ( ) R_AH = 3kN ( ) Perhatikan bahwa karena

simetri, maka R_AH = R_BH

R_BH=3kN

R_BV R_AV

R_AH

6KN

=4kN =4kN 3kN

A D B

C

Batang Panjang (m) Gaya dalam (kN)

AC 5 +5

AD 3 0

BC 5 -5

BD 3 0

CD 4 0

4kN

4m

3m 4m

3m 3m

2kN

A B C

A Δ_B C

A Δ’_B

R_B C

A Δ’_B R_B C

A ∂_B

1 C

Bila rangka statis tertentu diatas menerima beban 1 satuan di titik B, maka terjadi lendutan di titik B sebesar f_BB. Bila beban yang bekerja sebesar R_B, maka lendutan yang terjadi (elemen elastis) sama dengan ∂_B. R_B = Δ’_B

Mengingat lendutan di B harus sama dengan nol, maka persamaan kompatibilitas dapat disusun sebagai berikut:

Δ_B –Δ’_B = 0

Δ_B – ∂_B. R_B = 0→ R_B. = Δ_B / ∂_B

Dari persamaan kompatibilitas tersebut R_B dapat dicari apabilaΔ_B dan ∂_B terlebih dahulu dihitung. Dapatkah anda menghitungnya?

3. Persamaan Kesetimbangan

Setelah R_B diperoleh, maka reaksi-reaksi yang lain dapat dicari dengan menggunakan persamaan kesetimbangan. Dengan diketahuinya seluruh reaksi, maka gaya-gaya batang dapat dicari mis dengan metode joint or perpotongan

A B D

A Δ_B D

C

Δ_C

A Δ’_B

R_B R_C D

Δ’_C

A Δ’_B

R_B R_C D

Δ’_C

A ∂_BB

1 D

∂_CB

A ∂_BC

1 D

∂_CC

Pada gambar sebelumnya, terlihat bahwa akibat beban 1 satuan di B maka terjadi lendutan di titik B sebesar ∂_BB dan lendutan di titik C sebesar ∂_CB. Bila di titik B bekerja gaya sebesar R_B maka lendutan yang diakibatkannya di titik B sebesar ∂_BB .R_B dan di titik A sebesar ∂_CB .R_B.

Bila beban 1 satuan bekerja di C maka terjadi lendutan di titik C sebesar ∂_CC dan lendutan di titik B sebesar∂_BC. Bila di titik B bekerja gaya sebesar R_C

maka lendutan yang diakibatkannya di titik C sebesar ∂_CC .R_C dan di titik B sebesar ∂_BC .R_C.

Total lendutan yang terjadi di B dan C akibat beban R_B dan R_C berarti sama dengan:

∂_BB .R_B + ∂_BC .R_C = Δ’_B

∂_CC .R_B + ∂_CB .R_B = Δ’_C

Mengingat lendutan di B dan C harus sama dengan nol, maka persamaan kompatibilitas dapat disusun sebagai berikut:

Δ_B –Δ’_B = 0 Δ_C – Δ’_C = 0

Δ_B – (f_BB .R_B + f_BC .R_C )= 0 Δ_C – (f_CC .R_B + f_CB .R_B )= 0 Dari persamaan kompatibilitas tersebut R_B dan R_C dapat dicari.

3. Persamaan Kesetimbangan

Setelah R_B dan R_C diperoleh, maka reaksi-reaksi yang lain dapat dicari dengan menggunakan persamaan kesetimbangan. Dengan diketahuinya seluruh reaksi, maka gaya-gaya batang dapat dicari mis dengan metode joint or perpotongan

P Δ_AC

P

A B

C D

A B

C D

D C

A B

Δ’_AC F_AC F_AC

Rangka statis tak tentu internal diatas diubah menjadi superposisi dari rangka-rangka statis tertentu

D C

A B

f_AC 1

1

D C

A B

Δ’_AC F_AC F_AC

Bila beban 1 satuan dikerjakan pada potongan batang AC spt pada gbr

disamping bawah, maka pergeseran yang terjadi pada potongan batang AC tersebut sama dengan f_AC.

Bila beban F_AC dikerjakan pada potongan batang AC, maka pergeseran pada

potongan batang AC tersebut sama dengan f_AC.F_AC= ^Δ’_AC

Mengingat pergeseran batang AC harus sama dengan nol, maka persamaan kompatibilitas dapat disusun sebagai berikut:

Δ_AC–Δ’_AC = 0

Δ_AC – f_AC. F_AC = 0→F_AC. = Δ_AC / f_AC

Dari persamaan kompatibilitas tersebut F_AC dapat dicari apabila Δ_AC dan f_AC terlebih dahulu dihitung. Dapatkah anda menghitungnya?

Setelah F_AC diperoleh, gunakan persamaan kesetimbangan untuk mencari reaksi di tumpuan dan selanjutnya gaya-gaya batang yang lain dapat dicari!

3. Persamaan Kesetimbangan

3 m

4 m

=4kN

A

B C D E

J I H G F

Rangka statis tak tertentu internal dengan kelebihan 2 batang spt gbr disamping diubah menjadi superposisi rangka-rangka batang statis tertentu..

Pada rangka statis tertentu yang menerima beban luar di titik F,G,H,I dan J, maka

batang BH dan DH akan

mengalami pergeseran sebesar Δ_BH dan Δ_DH.

Pada rangka statis tertentu yang menerima beban F_BH dan F_DH pada potongan batang AB dan DH, maka pergeseran

yang terjadi pada potongan BH dan DH sebesar Δ’_BH dan Δ’_DH

A B C D E

J I H G F

F_BH F_DH

Δ_BH Δ_DH

A B C D E

J I H G F

F_BH F_DH

Δ’_BH Δ’_DH

Bila beban 1 satuan dikerjakan di potongan batang BH, maka pergeseran batang BH sama dengan f_BHBH dan pergeseran yang terjadi pada batang DH sama dengan f_DHBH.

Bila beban F_BH dikerjakan pada potongan batang BH, maka pergeseran batang BH sama

dengan f_BHBH F_BH dan pergeseran pada batang DH sama dengan f_DHBH F_BH.

Pergeseran pada batang DH dapat dicari dengan prinsip yang

sama.

A

B C D E

J I H G F

F_BH F_DH

Δ’_BH Δ’_DH

A B C D E

J I H G F

1 f_BHBH

A

B C D E

J I H G F

1

f_DHDH f_DHBH

f_BHDH

Persamaan kompatibilitas dapat disusun dengan memperhatikan pergeseran pada batang BH dan DH sama dengan nol.

Δ_BH- Δ’_BH = 0

Δ_BH- (f_BHBH. F_BH + f_BHDH. F_DH) = 0 Δ_DH- Δ’_DH = 0

Δ_DH- (f_DHDH. F_DH + f_DHBH. F_BH) = 0

Dari persamaan diatas gaya-gaya batang FBH dan FDH dapat diketahui.

Selanjutnya gunakan persamaan kesetimbangan untuk mencari reaksi di tumpuan. Gaya-gaya batang yang lain pada elemen rangka dapat dicari.

3. Persamaan Kesetimbangan

A B

C

D E

J I H G F

A B C D E

J I H G F

P P P P P

L L L L

L

Carilah besarnya gaya- gaya batang pada struktur rangka statis tak tertentu ini!.

P P P P P