IK.Sudarsana
Department of Civil Engineering, UNUD
INTRODUCTION
Penggunaan stiffness method untuk balok memiliki
prosedur analisis sama seperti untuk rangka, setelah
matrik kekakuan dan transformasi untuk masing-
masing elemen telah diperoleh.
PRELIMINARY REMARKS
Identifikasi element:
3
Nodal identification:
Untuk membuat elemen dengan ketentuan seperti di atas, maka penomoran nodal sebagai berikut:
Pada support atau pada titik dimana elemen dihubungkan Lokasi beban luar bekerja
Lokasi perubahan penampang
Lokasi dimana perpindahan vertikal dan rotasi akan dihitung
Balok dibagi menjadi elemen- elemen berhingga.
Secara umum, masing-masing elemen harus bebas dari beban dan memiliki penampang yang sama.
PRELIMINARY REMARKS
Global dan Member Coordinates:
4
Note:
Untuk setiap elemen balok, x dan x’ adalah berimpit; Koordinat global dan lokal akan semuanya paralel, oleh karena itu tidak perlu menghitung matrik transformasi diantara koordinat lokal dengan koordinat global.
Sistem Koordinat:
Sistem koordinat global/struktur : x, y dan z
Sistem koordinat lokal/elemen : x’, y’ dan z’; titik pusat pada “near end” dan x’
mengarah ke “far end”.
Sistem koordinat mengikuti kaedah tangan
kanan.
PRELIMINARY REMARKS
DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM)
5
Setelah elemen dan nodal diberi identitas DOF balok dapat ditentukan.
Bila Momen dan gaya geser diperhitungkan, masing-masing nodal akan memiliki 2 buah DOF yaitu perpindahan lateral dan rotasi.
Strategi penomoran DOF pada balok sama seperti pada struktur rangka : urutan nomor kecil untuk uncontraint DOF dan sebagian sisanya untuk constraint DOF (Kenapa????).
Balok dibagi menjadi 3 elemen dengan “near end” dan “far end” ditunjukan dengan tanda panah, dan 4 buah nodal.
Pada nodal 3 (sendi), menghubungkan elemen 2 dan 3. Pada ujung ini kedua elemen memiliki defleksi vertikal yang sama.
Namun rotasi kedua elemen tersebut berbeda.
DOF 1,2,3,4,5 unknown dan DOF 6,7,8,9 known = 0.
Misal :
PRELIMINARY REMARKS
DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM)
Balok dengan slider mechanism, seperti Gbr 14-3a dan defleksi dari balok seperti Gbr 14-3b.
Balok tersebut memiliki 5 buah unknown deflections ( 1,2,3,4,5) dan 4 buah known DOF yaitu 6,7,8,9.
Misal :
Beam Member Stiffness Matrix
POSITIP SIGN CONVENSION
7
Sebuah elemen balok dengan penampang prismatis, lokal koordinat x’, y’ dan z’. Pusat koordinat berada pada near end nodal N dan x’ positip menuju far end nodal F.
Dua buah reaksi pada masing-masing ujung elemen yaitu gaya geser qNy’ dan qFy’ dan momen lentur qNz’ dan qFz’.
Momen qNz’ dan qFz’ bertanda positip bila berlawanan arah jarum jam.
Nilai positip dari Linear dan angular displacement berhubungan dengan beban tersebut .
Beam Member Stiffness Matrix
Y’ DISPLACEMENT:
8
Kerjakan perpindahan dNy’ pada nodal N, sedangkan perpindahan lainnya dicegah. Gaya geser dan momen lentur akibat perpindahan tersebut pada Gbr 14-5a. Sedangkan bila dFy’ dikerjakan, maka gaya geser dan momen lentur yang terjadi pada Gbr. 14-5b.
Beam Member Stiffness Matrix
Z’ ROTATIONS:
9
Gaya geser dan momen lentur yang terjadi pada ujung-ujung elemen bila rotasi positip qNz’ dan qFz’ di kerjakan secara terpisah, sementara DOF lainnya dicegah, terlihat pada Gbr. 14-6a dan 14-6b.
Member Global Stiffness Matrix
Dengan mensuperposisikan gaya geser dan momen yang terjadi pada masing-masing Nodal yang didapat
sebelumnya maka didapat:
Atau dapat ditulais dalam bentuk singkat:
q = k.d
Beam Structure Stiffness Matrix
Setelah matrik kekakuan masing-masing elemen didapat, maka dilakukan penggabungan untuk memperoleh Matrik kekakuan balok.
11
Penggabungan matrik kekakuan elemen ini mengikuti prinsip yang sama seperti pada struktur rangka.
Ukuran Matrik kekauan balok (K) ini sama dengan nomor terbesar dari DOF yang ada.
Misal balok dengan total 9 buah DOF, maka matrik K berukuran 9 x 9 atau matrik K memiliki 81 buah stiffness influenced coefficients.
Applications of Stiffness Method for Beam Analysis
Hubungan gaya luar (Q) dengan perpindahan global (D) dinyatakan:
12
Menggunakan keuntungan dari pengelompokan penomoran
unconstraint dan constraint dof, maka structure stiffness equation dapat dipartisi.
Dimana: Qk, Dk = Gaya dan perpindahan yang telah diketahui Qu, Du = Gaya dan perpindahan yang tidak diketahui K = Matrik kekakuan struktur
Diuraikan persamaan di atas menjadi:
Masukan kondisi yang diketahui, maka unknown parameter dapat dicari
STRUCTURE STIFFNESS EQUATION.
Intermediate Loading
13
Metode stiffness disusun berdasarkan beban bekerja hanya pada ujung- ujung elemen, namun adakalanya bebqn luar bekerja merata sepanjang balok perlu adanya modifikasi untuk melakukan matrik analisis.
Untuk menyelesaikan permasalahan dengan beban merata dipergunakan prinsip superposisi
Member Forces
Gaya geser dan momen lentur pada ujung-ujung dihitung dengan persamaan:
q =k.d +q
oDimana : q
o= fixed end reaction.
Bila hasil dari persamaan ini negative arah dari gaya
hasil perhitungan berlawanan dengan sign convension
yang telah diuraikan sebelumnya.
Prosedur Analisis
Notasi:
Bagilah balok menjadi elemen-elemen berhingga, tentukan identitas elemen dan nodal secara sembarang. Elemen harus bebas dari beban.
Tentukan “near end” dan “far end” secara sembarang (dengan tanda panah mengarah ke far end)
Tentukan 2 grup penomeran untuk DOF, nomor kecil untuk unconstraint dan nomor besar untuk constraint.
Dari permasalahan, tentukan Dk dan Qk
15
Matrik kekakuan struktur:
Hitung matrik kekakuan masing-masing elemen.
Gabungkan masing-masing matrik batang menjadi matrik kekakuan
struktur., sebagai kontrol semua matrik kekakuan elemen dan balok harus simetris
Perpindahan dan Beban:
Partisi matrik kekakuan struktur.
Hitung gaya geser dalam dan momen (q) pada ujung-ujung elemen balok , tambahkan gaya fixed end (qo) bila diperlukan.
Contoh 14-1
16
Contoh 14-1 (Ctn)
17
Contoh 14-1 (Ctn)
Contoh 14-1 (Ctn)
19
Example 14-4
20
Example 14-4 (Ctn.)
21
Example 14-4 (Ctn.)
Example 14-4 (Ctn.)
23
