PROS HA Parhusip Pembelajaran Metode Penyelesaian Full text

(1)

PEMBELAJARAN METODE PENYELESAIAN SISTEM

PERSAMAAN LINEAR DENGAN BANYAK PENYELESAIAN DAN

YANG TIDAK MEMPUNYAI PENYELESAIAN

H.A Parhusip

Center of Applied Science and Mathematics Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana

PENDAHULUAN

Sistem persamaan linear banyak dijumpai dalam aplikasi matematika. Dalam regresi linear multivariat banyak dijumpai sistem persamaan linear. Contohnya, untuk indeksLQ45 sebagai fungsi nilai saham dari berbagai perusahaan pada saat penutupan (Pradhitya,dkk,2011), kepadatan penduduk Salatiga sebagai fungsi linear dari berbagai jenis kontrasepsi yang digunakan (Parhusip,dkk,2010). Parameter regresi dicari dengan menyelesaikan sistem persamaan linear. Metode untuk mendapatkan parameter regresi ditunjukkan secara detaail oleh Parhusip (2012). Pemodelan total investasi dari kecamatan Sidomukti juga menyebabkan adanya sistem persamaan linear yang harus diselesaikan. Sistem persamaan linear juga dijumpai pada masalah titik setimbang untuk sistem persamaan diferensial yang dilinearkan misalnya pada masalah Beulosov Zabontinsky (Parhusip,2010). Kita juga menjumpai sistem persamaan linear fuzzy (web1). Untuk sistem linear yang tidak simetrik, maka pengembangan metode gradient dilakukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang sparse yang

besar (banyak memuat 0 pada matriks) (Saad dan Schultz, 1986).

Tidak selamanya sistem persamaan linear punya penyelesaian tunggal (konsisten), dapat pula punya penyelesaian banyak atau bahkan tidak punya penyelesaian (takkonsisten). Selain sistem persamaan linear takkosisten, dapat terjadi sistem persamaan linear konsisten tetapi mempunyai banyak penyelesaian (Underdertermined

Linear system). Untuk itu kita perlu

mempunyai penyelesaian yang terbaik. Hal inilah yang akan dibahas pada makalah ini. Contoh 1. Perhatikan sistem persamaan linear homogen

. 0 8 6

, 0 4 2 3

, 0 4 5 3

3 2 1

= − +

= + −

− + − =

x x x

Dengan operasi baris elementer sistem ini mempunyai banyak penyelesaian dalam bentuk umum

x

v

=

[

₃4

a

0

a

]

T_,_a_bebas.

Dalam bentuk penyelesaian yang sudah dinormalkan (dibagi oleh besar vektor) maka

(2)

[

] [

T

]

T

n a a

a

x ₅3

5 4 3

4 ₀ ₀

5 3

= =

v

.

Jawaban inilah yang biasanya diberikan oleh komputer. Berdasarkan rank matriks A , rank(A) =2 (banyaknya vektor kolom yang bebas linear) yang lebih kecil dari variabel yang dicari (sebanyak 3). Oleh karena rank(A)=2 < 3 maka ada 1 variabel yang dapat dipilih bebas. Sehingga sistem mempunyai tak hingga banyak solusi. Secara geometri, hal ini ditunjukkan oleh suatu garis sebagai perpotongan antara ketiga bidang yang ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Ilustrasi 3 bidang dari sistem persamaan linear dari Contoh 1.

Contoh 2.

Untuk sistem persamaan linear

9 9 5 4

8 8 2

0 2

3 2 1

3 2

3 2 1

− = + +

− − =

= + −

x x x

x x

x x x

mempunyai penyelesaian tunggal (29,16,3) yang dicari dengan operasi baris elementer dan substitusi mundur. Berdasarkan rank-nya, rank(A)=3=banyaknya variabel yang dicari. Oleh karena itu sistem mempunyai solusi tunggal.

Kita akan mempelajari sistem persamaan linear yang diperoleh dari penerapan matematika khususnya regresi berganda. Karena ada tidaknya solusi berdasarkan rank matriks, maka untuk biasanya diselidiki dahulu rank(A).

Contoh 3. Tentukan titik pada garis L yang merupakan perpotongan antara 2 bidang

1

= + + y z

x , −x−y+z =0

yang mempunyai jarak terdekat dengan titik O.

Jawab : Suatu titik (x,y,z) pada garis L jika hanya jika merupakan penyelesaian dari sistem persamaan

1

= + + y z

x ,

0

= + −

−x y z .

Gambar 2. Ilustrasi bidang dari sistem persamaan linear pada Contoh 3.

Perhatikan bahwa sistem dikatakan

underdetermined (punya banyak

penyelesaian) karena berikut ini . Kita susun matriks augmentednya adalah

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

−

0

1

2

0

1

0

1

~ 1

2

b

.

Diperoleh dengan substitusi mundur dari persamaan kedua 2z = 0, sehingga z = 0. Dari persamaan pertama dengan z = 0 diperoleh 1x + 1y +1z =1 atau x + y = 1 atau x =1-y. Disini ada 1 variabel yang bebas dipilih (sebutlah y=a) sehingga penyelesaian umumnya adalah (x,y,z)=(1-a,a,0).

Beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan memfaktorkan matriks A menjadi 2 faktor atau lebih. Metode QR menyusun matriks A menjadi A=QR dan metode SVD menyusun matriks A menjadi 3 faktor. Kedua metode itulah yang akan dibahas pada makalah ini dan penerapannya ditunjukkan pada Bab IV.

METODE PENELITIAN

Cara penyelesaian sistem persamaan linear dilakukan dengan menyelidiki ada tidaknya solusi. Jika ada, maka digunakan metode yang standard yaitu metode kuadrat terkecil yang dikembangkan dengan metode QR. Matriks A dinyatakan dalam bentuk A=QR dengan Q adalah matriks yang

−4 −2

0 2

4

−3 −2 −1 0 1 2 3 −6

−4 −2 0 2 4 6

−5 0

(3)

diperoleh dari ortogonalisasi Gram Schmidt dan R diperoleh dari hubungan R =QTA

. Metode SVD diterapkan untuk sistem persamaan linear yang sama dan membandingkan hasil yang diperoleh oleh kedua metode ini. Secara ringkas metode SVD disusun Jadi cara penjabaran Axv=bv dengan SVD sebagai berikut.

1. Susun U 2. Susun V 3. Susun Σ

4. Susun

Σ

+

=

(

Σ

T

Σ

)

−1

Σ

T

5. xv=VΣ+UTbv 2.1 Metode QR

Anggap A matriks mx n dengan vektor-vektor kolom adalah yang saling bebas linear av(1),…,av(m) di Rn. Metode ini pada dasarnya memfaktorkan matriks A menjadi 2 faktor yaitu Q dan R sehingga A=QR dimana Q sebagai matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah uv(1),...,uv(m)yang diperoleh dari ortogonalisasi Gramm Schmidt matriks A. Karena Q merupakan matriks m x n yang saling ortonormal maka QTQ= I

. Lagipula, Q dapat kita pandang sebagai proses mereduksi kolom A menjadi Q dengan aturan Q=AL dengan L adalah matriks segitiga atas n x n.

Matriks L adalah matriks yang mempunyai invers karena Q terdiri dari vektor-vektor kolom yang saling bebas linear). Selain itu kita dapat pula menyusun

A= QR (1a)

dengan R= L−1 merupakan martiks segitiga atas n x n atau R =QTA (karena QTQ=I) (Peressini,et.all,1987). Kita dapat menyatakan bahwa QR merupakan dekomposisi A dengan Q mariks m x n dan R matriks segitiga atas n x n. Kita kembali pada masalah pada penyelesaian sistem persamaan linear

b

x

A

r

=

r

(dimana A tidak perlu persegi dan panjang vektor kolom

x

r

dan

b

r

menyesuaikan sehingga perkalian dibenarkan). Menurut metode kuadrat terkecil, maka penyelesaian dapat diperoleh yaitu

b

A

x

A

T

r

=

T

r

atau vx*= (ATA)−1 b ATv. (1b) Penyelesaian ini kita gunakan pada metode QR dengan menggunakan dekomposisi

A=QR dimana Q diperoleh dari proses Gram-Schmidt dan R=QTA

, sehingga diperoleh *

xv = (ATA)−1 ATbv =

( )

(

QRTQR

)

−1

( )

QR Tbv

=

(

RTQTQR

)

−1RTQTbv =R−1

( )

QTQ −1(RT)−1RTQTbv = R−1I⋅IQTbv (karena QTQ=I )

xv* =R−1QTbv. (2) Jadi persamaan (1b) diperbaiki dengan

menggunakan persamaan (2). Komputasi (2) sangat mudah karena hanya menyelesaikan sistem persamaan linear

*

xv = R−1QTbv atau Rxv*= QTbv yang dapat diselesaikan dengan subsitusi mundur karena R adalah matriks segitiga atas.

2.2 Metode SVD (Singular Value Decomposition)

Teorema 1. SVD ( Watkins,1991,hal 392) A mempunyai rank r. Maka terdapat bilangan-bilangan real ≥

≥... ≥0 dan dapat dibuat basis ortonormal

v

m

w

v

,...

1 dan basis

ortonormal

u

v

₁

,...

u

r

_m

, sedemikian hingga

r

i

u

v

A

i

=

i i

=

1

,...,

r

σ

;

r

i

v

u

A

T

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

1

,...,

. (3a)

m

r

i

v

A

i

=

0

=

+

1

,...,

r

;

n

r

i

u

A

T

r

_i

=

0

=

+

1

,...,

.

(3b)

Persamaan kedua dari (3a) berlaku

r

i

v

u

A

T

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

1

,...,

.

Dengan mengalikan kedua ruas dengan A dari kiri diperoleh

r

i

v

A

v

A

u

AA

T

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

1

,...,

. Dengan menggunakan persamaan (3a) yang pertama diperoleh

r

i

u

v

A

u

AA

T

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

1

,...,

atau

r

i

u

(4)

Sehingga

u

m

r

v

,...

1 merupakan vektor eigen dari AAT. Secara sama dapat

diperoleh bahwa

v

₁

,...

v

w

_m merupakan

vektor eigen dari ATA

. Yaitu Dari persamaan (3a) berlaku

r

i

u

v

A

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

1

,...,

.

Dengan mengalikan kedua ruas dengan AT dari kiri diperoleh

r

i

u

A

v

A

T

r

_i

=

T

σ

_i

r

_i

=

1

,...,

.

Dengan menggunakan persamaan (3b) diperoleh

r

i

v

u

A

v

A

T

r

_i

=

σ

_i T

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

1

,...,

atau

r

i

v

A

T

r

_i

=

σ

_i

r

_i

=

1

,...,

.

Sehingga

v

₁

,...

v

w

_m merupakan vektor

eigen dari ATA .

Nilai-nilai

σ

1

≥

σ

2

≥

...

≥

σ

r

≥

0

dikatakan nilai-nilai singular A. Pernyataan singular itu muncul karena pada i= r+1,...,m

maka vektor-vektor

u

r

u

m

r

v

,...

1 +

merupakan vektor-vektor nol, sebagaimana ditunjukkan pada skema berikut yang mengikuti hubungan Avr_i=

σ

_iur_i i=1,...,r, yaitu

A

1

1 u

vr ⎯σ⎯→⎯ r

2 1

2 u

vr ⎯σ⎯→⎯ r

M

r

v

_⎯σ_⎯→_⎯r

r

u

v

0 1

→ ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ +

m v

r v

r M

v

Gambar 3. Hasil pemetaan A

Gambar 3 menjelaskan bahwa

=

ℜ(A)

{

u

m

}

r

v

,...

1

artinya range A (daerah hasil pemetaan A)

adalah vektor –vektor

u

m

r

v

,...

1 dan

=

Ν(A)

{

u

r

u

m

}

r

v

,...

1 +

yaitu himpunan vektor-vektor pada domain yang dipetakkan oleh A ke vektor 0.

Secara analog juga dapat dibuat diagram untuk AT (Watkints,hal 394)

A AT

1

vv ⎯σ⎯→⎯1 uv₁⎯σ⎯→⎯1 vv₁

2

vv

⎯

σ

⎯ →

⎯

2

uv₂ ⎯σ⎯ →⎯2 vv₂

M M M M M

⎯ ⎯ →

⎯ r

r

vv σ uv_r ⎯σ⎯→⎯r vv_r

0 1 0 1

→ ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ + → ⎪⎪⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ +

n u

r u

m u

r v

v M

v

v M

v

Gambar 4. Diagram hasil pemetaan A dan AT

Teorema 2. SVD ( Watkins, th. 1991,hal 394)

Diketahui A mempunyai rank r. Maka terdapat ∈ ,∑∈ , dan ∈

dimana U dan dalam V adalah ortogonal (artinya vektor-vektor kolom yang berbeda dalam U dan dalam V saling tegak lurus) dengan Σ berbentuk

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

⎦ ⎤

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎣ ⎡

−

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫

− −

⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫

− − −

− − − − − − − −

− −

⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫

= Σ

r n

r m r

n

r

r m

r

43

42

1L

M O M

L

43

42

1L

M O M

L

43 42 1

M L

M L L

M L

M O M M

L L

0 0

| | | |

0 0

|

0 0 0

| | | |

0 0

0 2 0

0 0

1

σ σ

σ

Catatan : Nilai –nilai

σ

_j terurut yaitu

r

σ σ

σ1 ≥ 2 ≥L≥ .

Bukti: Berdasarkan persamaan (1a)-(1b) dapat ditulis kembali

A

v

i

v

=

m r

i

r i

u

i

,..., 1

... 1

0 = +

= ⎩

⎨ ⎧

σ

v

(5)

[

v

r

v

r

v

m

]

[

u

r

u

r

u

n

]

A

v

₁

,...

w

|

v

₊₁

,...

r

=

v

₁

,...,

|

v

₊₁

,...

v

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − − − − − − − 0 0 0 0 | | | | 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 0 0 | | | | 0 0 0 2 0 0 0 1 L M O M L L M O M L M M M L L L M O M M L L r σ σ σ .

Dengan kata lainAV =U ∑

dimana

VV

T

=

I

sehingga T

V U

A = ∑ _. ₍₄₎

Kolom-kolom U adalah vektor eigen dari AAT . Sedangkan V adalah matriks dengan kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen ATA.

Teorema 3. SVD (Watkins, th.1991,hal.395)

A mempunyai rank r. Maka terdapat , ∑ , dan di mana U dan V adalah isometrik (artinya T = I dan VVT= I) dengan ∑ adalah matriks diagonal utama ≥ ≥... ≥0. Sehingga A= ∑ . Kolom-kolom U adalah vektor eigen dari AAT . Sedangkan V adalah matriks dengan kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen dari ATA. Selanjutnya kita menggunakan SVD untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

SVD untuk sistem persamaan linear

Masalah yang dibahas adalah cara penyelesaian

b x

Av= v (5a)

n m m

x

n _x _R _b _R

R

A∈ ,r∈ ,r∈ Dari Teorema 3 diperoleh T

V U

A = ∑ _{dengan kolom-kolom} U adalah vektor eigen dari AAT . Sedangkan V adalah matriks dengan kolom-kolomnya terdiri dari vektor eigen ATA. Dengan mengalikan tiap ruas dengan AT pada persamaan (5) diperoleh

b

A

x

A

T

)

v

=

T

v

(

. (5b)

Menurut SVD, maka A

=

U

Σ

V

T sehingga

b

A

x

V

U

V

Σ

T T

Σ

T

v

=

T

v

Akan tetapi UTU = I

sehingga

b

A

x

V

Σ

T

Σ

T

v

=

T

v

. Dengan menggunakan persamaan (5b) diperoleh

A

T

A

=

V

Σ

T

Σ

V

T.

Karena ATA adalah persegi dan dapat diinverskan maka: T T T T T

A

V

A

)

1

(

)

1

(

−

=

Σ

− + − + + − − = Σ Σ Σ = Σ Σ = = Σ Σ Σ = Σ Σ Σ = A U V I V V U V U V V V T T T T T T T T T T T : ) ( dengan , ingat , ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1

Jadi penyelesaian sistem persamaan linear (5a) adalah b U V b A b A A A

xr= T −1 Tv= +v= Σ+ Tv

) (

dengan

Σ

+

=

(

Σ

T

Σ

)

−1

Σ

T.

Berikut ini akan diberikan contoh penggunakan QR dan SVD untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dari regresi berganda.

Penyelesaian sistem persamaan linier dari regresi berganda

Pada regresi berganda diberikan 2 data variabel prediktor (X₁dan X₂) dan 1 variabel respon (Y) . Pada regresi, kita mengasumsikan Y sebagai fungsi linear X₁ dan X₂ yaitu

2 2 1 1

0 i i

i

X

Y

=

β

+

β

+

β

, untuk semua i. Dalam notasi vektor-matriks , dapat ditulis dalam bentuk ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 108.5 160.1 172.8 146.5 154.8 168.9 141.5 1.125 8.603 1.061 815. 1.905 9.213 2.108 92. 136.2 151.5 128.5 133.9 146.1 123.5 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 2 1 0 β β β .

(P1) Matriks dan vektor dalam sistem tersebut disimbolkan

1 1 mx nx

mxn

b

Y

A

r

=

.

(a) Dengan menggunakan operasi baris

(6)

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 6.9656 3.7007 4.6073 160.4168 0 0 0 0.6912 27.4000 41.5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.4726 0 0 7.1050 22.6000 0 2.1080 123.5000 1.0000

| nx1

mxn b

A r

Sistem persamaan linear memuat persamaan yang tidak logis (persamaan 4-7). Jadi sebenarnya sistem tidak punya solusi. Kita berusaha mendapatkan solusi terbaik.

Penyelesaian dengan metode QR

Kita akan membahas sistem persamaan linear yang sama dengan menggunakan metode QR. Dengan menggunakan algoritma QR pada Bab II, maka hasil QR sebagai berikut :

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.1863875 0.8038761 0.3779645 0.1438702 0.1252209 0.3779645 0.1426524 0.4468314 0.3779645 0.9250444 0.0366354 0.3779645 0.1544897 0.0768742 0.3779645 0.1357662 0.3333218 0.3779645 0.1618785 0.1417368 0.3779645 Q dan ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 750.4261 14 -1.776D 17 -2.776D 26.292267 47.573072 15 -1.221D 317.11786 344.59021 2.6457513 R .

Dari persamaan (2) maka dapat diperoleh

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = = − = 0.0028513 1.1086134 6.3956361 1 * b Q R

xr Tv _.

Hasil tersebut memberikan error sebesar 0.9137572%.

Penyelesaian dengan menggunakan SVD Diketahui rank(A) = 3. Dengan menggunakan algoritma SVD kita dapat menyusun matriks

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.0000442 0.1880968 0.9821505 0.0074947 0.9821230 0.1880912 0.9999719 0.0073526 0.0014532 V ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = Σ 0.3602842 0. 0. 0. 316.73876 0. 0. 0. 827.69765 ) ; ; ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0.3624974 0.0079334 0.208044 0.0378964 0.8615738 0.2846228 0.0222433 0.098376 0.8906679 0.1135946 0.0699509 0.0587986 0.4172344 0.0411611 0.085882 0.1455160 0.7742618 0.0954090 0.3761456 0.4691545 0.0356885 0.003935 0.0052185 0.0067902 0.0021617 0.0024050 0.0855238 0.9962863 0.302905 0.1850500 0.1571499 0.8226025 0.0101316 0.4140803 0.0326905 0.594391 0.2449700 0.5346409 0.1686863 0.2648146 0.4475694 0.0441346 0.637553 0.3019799 0.1837105 0.5286144 0.2061858 0.3817121 0.0305680 U .

Untuk menguji T

V U

A= Σ _{dilakukan dengan} mengurangkan T

V U

A− Σ sehingga diperoleh matriks nol(setiap komponen 0). Dari pemograman diperoleh setiap komponen dekat ke 0. Hal ini dianggap sudah cukup bagus. Selanjutnya kita perlu menghitung

. ˆ b U c d

c _v _Tv

v = =

⎥⎦ ⎤ ⎢⎣

⎡ _Diperoleh

[

]

T

c)v= 177.96641 359.92784 2.3011884

Karena rank (A)=r=3 maka kita tidak perlu mendefinisikan dr. Sehingga komponen

c

ˆ

adalah dari komponen pertama hingga ketiga. Untuk menghitung yˆ

, maka kita menggunakan

y

r

ˆ

=

Σ

ˆ

c

ˆ

diperoleh

[ ]T

c

yˆ=Σˆvˆ=0.2150138 1.1363555 6.3871479

r

sehingga

[

]

T

y=0.2150138 1.1363555 6.3871479 0 0 0 0

v

Vektor yvmempunyai komponen sebanyak m dengan r<m dan untuk komponen ke-1 hingga ke-r merupakan komponen dari vektor

yˆ_{. =3. Pada akhirnya kita dapat menentukan}

y V

xv= ˆ_yaitu

[

]

T

y V

xr= )r= 6.3956361 1.1086134 -0.0028513 _.

Hasil tersebut merupakan vektor

[

]

T

b

=

β

0

β

1

β

2

r

pada sistem persamaan linier (P1). Jadi

0.0028513 -1.1086134 6.3956361

_i₁ _i₂

i X X

Y= + +

untuk semua i.

Akan diselidiki apakah ruas kanan pada (P1) dipenuhi yaitu menghitung ruas kiri (P1).

Diperoleh

b

−

A

x

v

=

v

(7)

Kesalahan ini cukup kecil karena dalam prosentase relatif berarti

.

%

0.9137572

%

100

2

×

=

−

b

x

A

b

v

tidak berbeda secara signifikan dengan error yang diperoleh jika sistem persamaan linear dikerjakan dengan QR tidak berbeda secara signifikan dengan error yang diperoleh jika sistem persamaan linear dikerjakan dengan QR.

Gambar 3 dengan tinggi histogram menyatakan nilai data dan pendekatan untuk

x Ar_.

Gambar 3. Ilustrasi perbandingan data br

dan pendekatan untuk Axr_.

Analisa dengan uji statistik dengan bantuan R

Pendekatan regresi berganda juga dapat dilakukan dengan software R. Selain kita dapat memperoleh koefisien regresi, maka kita juga dapat memperoleh keputusan signifikansi tiap variabel bebas terhadap regresi.

Keluaran R yang berkaitan dengan nilai koefisien ternyata tidak ada perbedaan secara signifikan.

Tabel 1. Keluaran R

--- Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 6.395636 5.091881 1.256 0.277 x1 1.108613 0.038587 28.730 8.74e-06 *** x2 -0.002851 0.002445 -1.166 0.308 ---

Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 1.835 on 4 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9952, Adjusted R-squared: 0.9928 F-statistic: 415.1 on 2 and 4 DF, p-value: 2.299e-05 Dari keputusan statistik yang diperoleh,

nampak bahwa variabel

X

2tidak

berkontribusi secara signifikan terhadap sifat linear (ditandai dengan tidak adanya tanda ***). Jadi dengan SVD dapat ditunjukkan

bahwa regresi linear berganda dapat memberikan penyelesaian sekalipun dari operasi

KESIMPULAN

Sistem persamaan linear dapat mempunyai penyelesaian dan tidak punya penyelesaian. Dengan metode QR dan SVD maka sistem persamaan linear selalu dapat mempunyai penyelesaian. Kasus untuk memjelaskan hal ini adalah dengan regresi linear berganda yang diselesaikan dengan QR dan SVD. Sekalipun error kecil, dengan pengujian signifikansi secara statistik maka salah satu variabel independen tidak signifikan.

Materi ini ditujukan kepada mahasiswa dan pengajar matematika pendidikan dan guru-guru matematika SMA agar adanya penajaman materi sistem persamaan linear.

Daftar Pustaka

Parhusip, H.A, 2012, Various Applications of Linear Algebra, 2012. will appear on

proceeding of SEMINAR ALJABAR

2012, oleh HPA dan IndoMS di UNDIP 14 April 2012 (keynote speaker).

Parhusip, H.A.,2010. Stability Of Beulosov-Zhabotinsky Reaction, presented

proceeding The 2nd International

Conference on Chemical Science (ICCS) 2010 Universitas Gadjah Mada

Parhusip, H. A., Evi, K., dan Dyah K., 2010. Uji Normalitas dan Fungsi Linear Kepadatan Penduduk Salatiga tahun 2008, Prosiding Seminar Nasional dan Pendidikan Sains FSM ISSN: 2087-0922, Vol.1 No.1, hal. 643-654.

Parhusip H. A., 2009. Modelling o Total Investment and Its Efficiency in the District of Sidomukti, Proceeding of IndoMS International Conference on Mathematics and Its Applications (IICMA), ISBN:978-602-96426-0-5, 0353-0352.

(8)

Programming, Springer Verlag, New

York, Inc.

Pradhitya, K.A.S., Bambang Susanto, B., dan Parhusip,H.A.2012. Perhitungan Harga Opsi Eropa Menggunakan Metode Gerak Brown Geometri, Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2 Juni

2012, ISBN :

978-979-99314-6-7,M131-M13.

Watkins,D.S, 1991. Fundamentals of Matrix Computations, John Wiley & Sons, New York.

Web1.http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1107/1 107.2126.pdf (diunduh pada 17 September 2012)