Metode Kekakuan dalam Analisis Struktur

IK.Sudarsana

Department of Civil Engineering, UNUD

DASAR-DASAR METODE KEKAKUAN

Analisis struktur dengan metode matrik dibedakan atas:

Metode gaya atau metode fleksibilitas

Metode kekakuan atau metode perpindahan

Metode kekakuan dapat dipergunakan untuk struktur statically determinate dan indeterminate.

Metode Kekakuan akan menghasilkan perpindahan

DASAR-DASAR METODE KEKAKUAN

Identifikasi element dan nodal:

3

Sistem Koordinat:

Sistem koordinat global/struktur : X dan Y

Sistem koordinat lokal/elemen : x’ dan y’; titik pusat pada “near end” dan x’ mengarah ke “far end”.

Setiap batang memiliki identitas (angka dalam kotak) Semua join/nodal diberi identitas (angka dalam lingkaran)

Semua batang memiliki ujung dekat (near end) dan ujung jauh (far end).

DASAR-DASAR METODE KEKAKUAN

DERAJAT KEBEBASAN (DEGREE OF FREEDOM)

2 jenis derajat kebebasan : uncontraint (unknown) and constraint (known) degrees of freedom.

Semua DOF diberi identitas; 1 s.d 5 uncontraint DOF dan 6 s/d 8 constraint DOF.

Untuk kemudahan dalam partisi matrik kekakuan; Unconstraint DOF diberi nomor

Member Local Stiffness Matrix

Perpindahan positip dN dikerjakan pada nodal N:

5

Perpindahan positip dF dikerjakan pada nodal F:

Resultan gaya didapat dengan superposisi:

Dalam bentuk matrik:

Member Stiffness Matrix

Matrik k’ disebut Matrik kekakuan elemen (member stiffness matrix). Matrik kekakuan semua batang dari rangka batang adalah sama.

Koefisien dalam k’ disebut member stiffness influence coefficients (k’ij).

k’ij berarti gaya pada join “i” bila unit perpindahan dikerjakan pada join “j”. Misal I = j = 1, maka k’11 yaitu gaya pada “near join” bila “far join” tetap (fixed) dan

“near join” mengalami perpindahan dN =1

MATRIK TRASNFORMASI

Struktur rangka batang terdiri atas beberapa batang dengan orientasi yang berbeda, untuk menyatakan matrik yang disusun dalam koordinat lokal (member) ke dalam koordinat global x dan y, maka diperlukan Matrik trasformasi baik untuk perpindahan maupun gaya.

7

x dan y koordinat global; x’ dan y’ koordinat lokal.

θx, θy = sudut terkecil antara koordinat global (x,y) terhadap koordinat lokal (x’, y’).

λx = cos θx ; λy = cos θy

MATRIK TRANSFORMASI PERPINDAHAN

Dalam koordinat global, tiap-tiap nodal memiliki 2 perpindahan.

Nodal N (DNx, Dny) dan Nodal F (DFx, Dfy).

Asumsi sudut kecil, Pengaruh kedua perpindahan global menyebabkan perpindahan nodal elemen.

Anggap: cos θx = λx cos θy = λy

•Dalam bentuk matrik:

FORCE TRANSFORMATION MATRIX

Gaya elemen pada nodal N (q_N) dan nodal F (q_F) menghasilkan komponen gaya pada global koordinat:

9

Dalam bentuk Matrik:

Dimana TT = Force transformation Matrix

mentrasnformasi gaya pada local axis menjai gaya pada global axis:

Member Global Stiffness Matrix

Pergunakan persamaan-persamaan sebelumnnya:

Substitusian (b) ke (a), didapat:

Substitusian (d) ke (c), didapat:

Dimana: k = kekakuan elemen batang dalam kordinat global

Member Global Stiffness Matrix

Setelah dilakukan perkalian, maka matrik kekakuan elemen dalam global koordinat didapat:

11

Karakteristik matrik kekakuan (k) ini adalah simetris dan diagonal positip.

Truss Stiffness matrix (K)

Matrik kekakuan rangka batang (K) didapat dari penggabungan matrik kekakuan elemen (k).

Dimana: K = Truss Stiffness Matrix

ki = member stiffness matrix in global coordinat N = number of elemen

Penggabungan ini dilakukan secara hati-hati, oleh karena itu identifikasi elemen batang dan nodal sangat diperlukan. Ukuran dari matrik K sama dengan nilai terbesar dari DOF yang diperhitungkan.

Misal:

Nilai dof terbesar = 8 Ukuran Matrik K 8 x 8

Contoh 13-2

13

Contoh 13-2 (Ctn)

Contoh 13-2 (Ctn)

15

Contoh 13-2 (Ctn)

Truss Analysis using Stiffness Method

Hubungan gaya luar (Q) dengan perpindahan global (D) dinyatakan:

17

Menggunakan keuntungan dari pengelompokan penomoran

unconstraint dan constraint dof, maka structure stiffness equation dapat dipartisi.

Dimana: Q_k, D_k = Gaya dan perpindahan yang telah diketahui Q_u, D_u = Gaya dan perpindahan yang tidak diketahui K = Matrik kekakuan struktur

Diuraikan persamaan di atas menjadi:

Masukan kondisi yang diketahui, maka unknown parameter dapat dicari

STRUCTURE STIFFNESS EQUATION.

Prosedur Analisis

Notasi:

Tentukan koordinat x dan y

Beri identitas masing-masing join dan batang, tentukan “near end” dan “far end” secara sembarang (dengan tanda panah)

Tentukan 2 grup penomeran untuk DOF, nomor kecil untuk unconstraint dan nomor besar untuk constraint.

Dari permasalahan, tentukan D_k dan Q_k Matrik kekakuan struktur:

Hitung λx dan λy untuk masing-masing batang dan hitung matrik kekakuan batang.

Gabungkan masing-masing matrik batang menjadi matrik kekakuan struktur.

Contoh 13-3

19

Contoh 13-3 (Ctn)

Contoh 13-3 (Ctn)

21

Contoh 13-3 (Ctn)

INCLINED SUPPORT (Nodal Coordinat)

Bila perletakannya miring perpindahan “nol” pada perletakan sepanjang sumbu global x dan y tidak secara langsung dapat dipergunakan perlu dilakukan modifikasi.

Gambar di bawah: Kondisi dof =0, adalah sepanjang koordinat x” dan y”.

23

Matrik Transformasi

Batang N-F Nodal N memiliki global koordinat x

dan y, lokal koordinat x’ dan y’; Nodal F global

koordinat x dan y, nodal koordinat x” dan y”.

Matrik Transformasi (Ctn)

Gaya gaya batang pada global koordinat:

25

Matrik kekakuan batang pada global koordinat:

Matrik kekakuan batang ini dipergunakan untuk semua batang yang berhubungan dengan inclined support tersebut.

Example 13-6

Example 13-6 (Ctn.)

27

Example 13-6 (Ctn.)

Matrik kekakuan struktur didapat setelah dilakkan penggabungan matrik kekakuan batang Didapat persamaan:

Setelah dilakukan operasi matrik dari bagian atas, maka unknown D diperoleh, sedangkan untuk operasi matrik bagian bawah diperoleh unknown gaya (Q).

THERMAL CHANGES AND PABRICATION ERRORS

Bila panjang batang mengalami perubahan akibat perubahan suhu atau kesalahan pabrikasi, maka penyelesaian didapat dengan menerapkan metode superposisi yang meliputi 3 langkah:

29

Gaya kekang ujung diperlukan untuk mencegah terjadinya pergerakan.

Gaya dengan besaran sama dan berlawanan arah ditempatkan pada nodal unjung batang dan perpindahan kemudian dihitung dengan matrik analisis.

Dengan superposisi hasil kedua perhitungan sebelaumnya gaya aktual pada batang diperoleh.

THERMAL CHANGES

Batang dengan panjang L mengalami perubahan ∆L akibat suhu ∆T, maka ∆L = α∆TL

Gaya q₀ mengakibatnya berkurangnya panjang batang ∆L’ = q_oL/AE.

Dengan Menyamakan ∆L =∆L’ maka q_o = AEα∆T (gaya ini akan mempertahankan nodal batang tetap diam)

Tranformasi kedua gaya tersebut kedalam koordinat global:

PABRICATION ERRORS

Bila batang lebih panjang ∆L, sehingga diperlukan suatu gaya qo untuk mempertahankan batang tersebut tetap dengan panjang desain L adalah qo = AE∆L/L.

Sehingga gaya-gaya pada ujung-ujung batang:

31

Dalam global koordinat:

Matrix Analysis

Hubungan gaya luar (Q) dengan perpindahan global (D) dinyatakan:

Menggunakan keuntungan dari pengelompokan penomoran

unconstraint dan constraint dof, maka structure stiffness equation dapat dipartisi.

Dimana: Q_k, D_k = Gaya dan perpindahan yang telah diketahui Q_u, D_u = Gaya dan perpindahan yang tidak diketahui K = Matrik kekakuan struktur

Diuraikan persamaan di atas menjadi:

Matrix Analysis

Unknown displacement (Du):

Kemudian, gaya pada batang dihitung dengan:

Atau:

33

Fixed-end member force

Example 13-7

Example 13-7 (Ctn.)

35

Example 13-7 (Ctn.)

Example 13-7 (Ctn.)

37

SPACE TRUSS ANALYSIS

Analisis space truss sama seperti prosedur analisis 2D truss (telah disampaikan sebelumnya. Hanya saja ada tambahan koordinat z yang harus diperhitungkan.

Sistem koordinat:

Lokal x’; y’ dan z’

Global x, y, z

SPACE TRUSS ANALYSIS

Tranformasi matrik (T) menjadi:

39

Matrik kekakuan elemen dalam global koordinat:

Aircraft Hangar