Pengantar Metode Distribusi Momen (Metode Cross)

(1)

Mata Kuliah: Analisis Struktur 2

Pendahuluan Metode Distribusi Momen (Metode Cross)

Departemen Teknik Sipil, Program Studi S1 Teknik Sipil, Kelas C – Reguler

Dr.-Ing. Bobby Rio Indriyantho, S.T., M.T.

A q

B D

q q

(2)

Pendahuluan Metode Distribusi Momen (Metode Cross)

Analisis Struktur 2 2

Daftar Isi

Kontrak Perkuliahan

Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)

Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(3)

Kontrak Perkuliahan

(4)

Kontrak Perkuliahan

Mata Kuliah: Analisis Struktur 2

• Kode – Mata Kuliah: PTSP6213 – Analisis Struktur 2

• Jumlah SKS: 3 SKS

• Semester: 4

• Dosen Pengampu Kelas C: Dr.-Ing. Bobby Rio Indriyantho, S.T., M.T.

• Waktu Perkuliahan: Selasa jam 13.00 – 15.30

(5)

• Deskripsi Mata Kuliah:

Mahasiswa mempelajari beberapa metode untuk menganalisis balok dan/atau portal (struktur statis tak tentu) menggunakan metode distribusi momen (metode Cross), displacement method dan direct element method. Dengan menggunakan metode-metode ini, gaya-gaya dalam diperoleh dan dianalisis serta free body diagram dan diagram bidang N, D, M dapat digambarkan.

• Topik Pertemuan 1 – 7 ^à Metode Distribusi Momen (Metode Cross) dengan berbagai tipe kasus pada portal

Kontrak Perkuliahan

(6)

• Komponen evaluasi:

1. Tugas (Individu atau kelompok) à 40%

2. Quiz (tanya jawab, oral atau quiz tertulis) à 10%

3. Ujian Tengah Semester (ujian tertulis) à 25%

4. Ujian Akhir Semester (ujian tertulis) à 25%

• Minimum kehadiran sebagai syarat UAS à 75% dari seluruh pertemuan Kontrak Perkuliahan

(7)

• Referensi:

1. Wang C K, ”Statically Indeterminate Structures”, Mc Graw Hill Co, 1953.

2. Wang C K, ”Introductory Structural Analysis with Matrix Method”, Prentice Hall Inc,1973.

3. William Weaver, Jr and James M. Gere, ”Matrix Analysis of Framed Structures”, Dvan Nostrand Company, Second Edition, 1980.

4. Popov, E.P., 1981, ”Mechanics of Materials”, Prentice Hall, Inc, New York.

5. Cheng Fa Hwa,1997, ”Statics and Strength of Materials, McGraw-Hill International Editions, New York.

6. S. Timoshenko, 1958, “Strength of material“, Robert E Krieger Publishing Co, Inc, New York.

Kontrak Perkuliahan

(8)

Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK)

(9)

Capaian Pembelajaran Mata Kuliah (CPMK) Mata Kuliah: Analisis Struktur 2

Mahasiswa mampu memahami konsep Metode Distribusi Momen atau Metode Cross.

Mahasiswa mampu menghitung gaya-gaya dalam serta menggambarkan bidang gaya dalam (N,D,M) dan free body diagram dari struktur statis tak tentu menggunakan metode Cross.

(10)

Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(11)

Pendahuluan Metode Distribusi Momen Definisi

• Analisis struktur menggunakan metode distribusi momen pertama kali diperkenalkan oleh Prof. Hardy Cross (1993) dalam bukunya yang berjudul “Analysis of Continuous Frames by Distributing Fixed End Moments”.

• Sebagai penghormatan kepada Prof. Hardy Cross, metode distribusi momen juga disebut sebagai “Metode Cross”.

• Metode ini merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menganalisis struktur statis tak tentu:

- Balok menerus

(12)

• Metode distribusi momen didasarkan pada beberapa asumsi sebagai berikut:

- Deformasi (perbuahan bentuk) akibat gaya normal dan geser diabaikan, sehingga panjang atau dimensinya konstan.

- Semua joint dianggap sebagai jepit penuh (rigid).

• Analisis dilakukan dengan distribusi dan induksi momen terhadap momen primer (fixed end moment) dalam beberapa iterasi untuk mendapatkan kesetimbangan pada tiap joint.

• Proses ini dilakukan karena momen primer yang bekerja pada tiap tumpuan atau joint dari suatu struktur tidak sama, sehingga joint tersebut berada dalam kondisi tidak seimbang.

(13)

• Untuk mencapai kondisi seimbang, joint berotasi, sehingga momen primer pada tiap joint adalah sama dengan nol.

• Proses distribusi dan induksi manual normalnya dilakukan hingga empat iterasi sampai semua joint dianggap dalam kondisi seimbang atau mendekati nol.

• Komponen-komponen ini digunakan dalam metode distribusi momen:

- Momen primer

- Faktor kekakuan dan momen induksi - Faktor distribusi

(14)

• Momen primer à momen pada ujung batang akibat beban yang bekerja sepanjang batang tersebut atau disebut sebagai fixed end moment.

• Faktor distribusi (DF) à rasio kekakuan batang (K) terhadap kekakuan batang total pada joint (^𝝨K), sehingga

• Momen induksi à perkalian faktor distribusi (DF) dan momen primer (fix end moment).

(15)

Hubungan antara Momen dan Sudut Putar

• Tinjau sebuah balok sederhana akibat momen M_A di titik A yang memberikan rotasi pada A yaitu 𝜃

A B

M_A

EI L

q_A q_B

M_A

L L L EI M

_A

A

3 2 2

1 ÷

ø ç ö è

× æ

÷ ø ç ö

è

æ ×

q =

rotasi di A yaitu q_A

L L L EI M

_A

B

3 2

1 ÷

ø ç ö è

× æ

÷ ø ç ö

è

æ ×

q =

rotasi di B yaitu ^q_B Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(16)

• Sehingga hubungan antara momen dan sudut putar di A ditulis sebagai berikut

dengan kekakuan

• Momen induksi untuk kondisi sendi adalah nol A

A

L

M = 3 EI × q

{F} = [k] {U} L

k 3 EI

=

= 0 M

B

Hubungan antara Momen dan Sudut Putar Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(17)

• Tinjau struktur sendi-jepit akibat momen M_A di A yang memberikan rotasi di A yaitu 𝜃

• Untuk memecahkan kasus ini, hilangkan salah satu kelebihan (tumpuan), sehingga struktur menjadi statis tertentu

A B

M_B q_A

LEI M_A

L L L EI M_A

A

3 2 2

1 ÷

ø ç ö è

×æ

÷ø ç ö

è

æ ×

¢ =

q _L

L L EI M_A

B

3 2

1 ÷

ø ç ö è

×æ

÷ø ç ö

è

æ ×

¢ = q

A B

M_A

q¢_A q¢_B

M_A

(18)

• Rotasi sudut di B harus nol, sehingga momen M_B diberikan untuk mengembalikan rotasi sudut menjadi nol

• Hasilnya, momen di B adalah setengah momen di A

• Atau, dapat dikatakan bahwa momen induksi untuk kondisi sendi = ½.

A B

q²_A q²_B

M_B M_B

EI L M

L L L EI M

B B B

3

3 2 2

1

=

÷ø ç ö

è

×æ

÷ø ç ö

è

æ ×

¢¢ = q EI L

M

L L L EI M

B B A

6

3 2

1

=

÷ø ç ö è

×æ

÷ø ç ö

è

æ ×

¢¢ = q

2 3 6

A B

B A

B B

M M

EI L L M

EI M

=

= ¢¢

¢ q

q Hubungan antara Momen dan Sudut Putar

Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(19)

• Sehingga hubungan antara momen dan sudut putar di A ditulis sebagai berikut dengan kekakuan

EI L M

EI L L M

EI M

EI L L M

EI M

EI L L M

EI M

A

A A

B A

A

4

12 12

4

12 3

6 3

=

-

=

-

=

- q =

M = 4 EI × q EI

k = 4

(20)

• Momen à

• Kekakuan à

• Kekakuan relatif à

4 if the other side has the fixed support

3 if the other side has the hinged support EI

M L

EI L

q q

æ ö

ç ÷

è ø

= æ ö

ç ÷

è ø

4 if the other side has the fixed support

3 if the other side has the hinged support EI

k L

EI L

=

if the other side has the fixed support 3 if the other side has the hinged support 4

I k L

I L

=

jika sisi lain tumpuan jepit

jika sisi lain tumpuan sendi jika sisi lain tumpuan jepit

jika sisi lain tumpuan sendi

jika sisi lain tumpuan jepit

jika sisi lain tumpuan sendi

(21)

Faktor Distribusi (DF)

A q

B

q D

q

L₂, I₂ E = konstan

Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(22)

A B

C

B B D

M_BA M_BA

M_BD

M_B

C

M_B

C

B

M

= 0 +

+

+ M

_BA

M

_BC

M

_BD

M

( M

_BA

M

_BC

M

_BD

)

M = - + +

Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(23)

• Karena AB, BC dan BD terkoneksi secara rigid terhadap B, rotasinya sama.

• Momen akibat rotasi dapat ditentukan sebagai berikut

tumpuan jepit

tumpuan sendi

q q = ×

÷÷ × ø çç ö

è

= æ

_BA

BA

k

L M EI

1

4

1

q q = ×

÷÷ × ø çç ö

è

= æ

_BC

BC

k

L M EI

2

4

2

q q = × ö ×

= æ EI k

M 3

³

( )

( ) q q

q

× -

=

× +

+ -

=

÷÷ × ø çç ö

è

æ + +

-

=

å

^BA

k

^B ^BC ^BD

k k

k

L EI L

EI L

M EI

3 4

4

3 3 2

2 1

1

Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(24)

• Dari persamaan sebelumnya

• Sehingga

- å

=

k

B

q M

BD BC

BA

B

k k k

k = + +

å

k M M k

B BA

= -

BA

×

å

k M M k

B BC

BC

= - ×

å

k M M k

B BD

BD

= - ×

å

= å

B BA BA

k DF k

= å

B BC

BC

k

DF k

= å

B BD

BD

k

DF k

M DF

M

_BA

= -

_BA

× M DF

M

_BC

= -

_BC

×

M DF

M

_BD

= -

_BD

×

(25)

• Contoh

A q

B

D

q

20 m EI

150 tm

EI

I I L k_BA I

05 . 20 0

= =

=

I I L k_BC I

05 . 20 0

= =

=

L k_BD I

4

= 3 Faktor Distribusi (DF)

(26)

I I L k_BA I

05 . 20 0

= =

=

I I L k_BC I

05 . 20 0

= =

=

I I L k_BD I

025 . 30 0

4 3

´ =

=

I

I I

I

k k

k

k _BA _BC _BD

125 . 0

025 . 0 05

. 0 05

. 0

=

+ +

=

+ +

å

=

4 . 125 0

. 0

05 .

= 0 =

=

å

I I k DF_BC k^BC

2 . 125 0

. 0

025 .

= 0 =

=

å

I I k DF_BD k^BD

4 . 125 0

. 0

05 .

= 0 =

=

å

I I k DF_BA k^BA

Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(27)

tm -60

150 4

. 0

=

´ -

=

´ -

= DF M M_BA _BA

tm -60

150 4

. 0

=

´ -

=

´ -

= DF M M_BC _BC

´ -

= DF M M_BD _BD

(28)

Momen Primer

1 P 2

M1

a b

M2

2 2 1 PbL a M ⁼

2 2 2 PaL b M ⁼

P

1 2

M1

L/2 L/2

M2

PL8 M

M₁ ⁼ ₂ ⁼

P

1 2

M1

a a

M₂

P

÷ø ç ö

èæ -

=

= M Pa 1 La M₁ ₂

1 q 2

M₁

L

M2

qL12 M

M₁ ⁼ ₂ ⁼ ²

÷÷ø çç ö

è

æ -

= 3bL 2 MbL

M₁

1 M 2

M₁

a b

M2

÷ø ç ö

è

æ -

= 2

3aL MaL M₂

1 q 2

M1

a

M₂

b

( ² ²)

2 2

1 6b 4ab a

12Lqa

M ⁼ ⁺ ⁺

(

²

)

2 2

2 4ab a

12Lqa

M ⁼ ⁺

1 q 2

M1

a

M₂

a b

) b 24Lqb (3L

M₁ ⁼ ² ² ^- ²

2

1 M

M ⁼

1 q 2

M₁

a

M₂

a

b ⁼ ^çç_è^æ ^- ^- ^÷÷_ø^ö

=

L) (2 a aL 12 1

qL M M

2 2 2

2 1

(29)

÷÷ø çç ö

è

æ -

= ¹₂ ₃³

1 bL

bL PL M

3PL16 M₁ ⁼

÷ø ç ö

èæ -

= 32 Pa 1 La M₁

P

1 2

M₁

a b

P

1 2

M₁

L/2 L/2

P

1 2

M₁

a a

P

1 q 2

M

2 2

1 qa8 1 bL

M _÷÷

ø çç ö

è

æ +

=

1 q

2

M1

a b

2 1 q

M1

a b ÷÷ø

çç ö è

æ -

= ² ₂²

1 qb8 2 bL M

2 1

M₁

L M₁ ⁼ qL15²

M

Momen Primer

Pendahuluan Metode Distribusi Momen

(30)

15

M₁ ⁼ qL² M₁ ₂¹ 1 3 bL₂² _÷÷M ø çç ö

è

æ -

=

1 M 2

M1

a b

2 1

M1

L

Momen Primer

(31)

Mata Kuliah: Analisis Struktur 2

Pendahuluan Metode Distribusi Momen (Metode Cross)

Departemen Teknik Sipil, Program Studi S1 Teknik Sipil, Kelas C – Reguler

Dr.-Ing. Bobby Rio Indriyantho, S.T., M.T.

A q

B D

q q