MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA

(1)

ABSTRACT

THE MOMENT, CUMULANT AND CHARACTERISTIC FUNCTION OF GENERALIZED GAMMA DISTRIBUTION

By

TIURMA RATNA DEVI HUTAHAEAN

In this paper introduces characteristic of generalized gamma distribution. Generalized gamma distribution is a family of continue probability distribution used in modeling survival data. The generalized gamma distribution is generalization of gamma distribution. Gamma distribution have two parameters, shape parameter and scale parameter . Although, generalized gamma distribution have three parameters, shape parameters and scale parameter . Where, generalized gamma distribution will be gamma distribution when . This research are to determine the momen, cumulant and characteristic function of the generalized gamma distribution. The results show that the momen generating function of generalized gamma distribution defined in this research is same as to the momen generating function of generalized gamma distribution from Stacy’s Journal. The cumulant obtained can be determine skewness and kurtosis of generalized gamma distribution. Then, will be determine momen of or expectations of or characteristic function of generalized gamma distribution. And then, simulation graphs show that graphs probability density function of generalized gamma distribution, skewness of generalized gamma distribution is skew to the right and kurtosis of generalized gamma distribution is leptokurtic.

(2)

ABSTRAK

MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA

Oleh

Pada penelitian ini akan dijelaskan mengenai karakteristik dari distribusi

generalized gamma. Distribusi generalized gamma merupakan perumuman dari distribusi gamma. Distribusi gamma merupakan salah satu keluarga distribusi peluang kontinu yang biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi gamma memiliki dua parameter yaitu parameter bentuk ( ) dan parameter skala . Sedangkan distribusi generalized gamma memiliki tiga parameter yaitu parameter bentuk ( ) dan parameter skala . Dimana, distribusi generalized gamma akan menjadi distribusi gamma dengan . Penelitian ini bertujuan untuk menentukan momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma Momen dapat ditentukan dengan menggunakan definisi dan menggunakan fungsi pembangkit momen. Sehingga dari momen yang diperoleh dapat ditentukan kumulan. Lalu, dari kumulan yang diperoleh dapat ditentukan skewness dan kurtosis distribusi generalized gamma. Selanjutnya ditentukan momen dari atau ekspetasi dari atau yang biasa disebut fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma. Kemudian dilakukan simulasi grafik, diperoleh grafik dari fungsi kepekatan peluang,

skewness dari distribusi generalized gamma adalah skew to the right dan kurtosis dari distribusi generalized gamma adalah leptokurtik.

(3)

MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA

Oleh

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(4)

MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA

(Skripsi)

OLEH

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(5)

(6)

(7)

(8)

RIWAYAT HIDUP

Nama lengkap penulis, Tiurma Ratna Devi Hutahaean lahir pada tanggal 5 Juni

1992 di Bandar Lampung, sebagai anak pertama dari empat bersaudara dari

pasangan Roma Tio Manik dan Robert Hutahaean. Tempat tinggal di alamat Jl.

Pulau Damar No. 46, Waydadi, Sukarame, Bandar Lampung.

Penulis memulai pendidikan dari TK Dharma Wanita Tanjung Karang pada tahun

1997. Lulus pendidikan sekolah dasar dari SD Negeri 2 Harapan Jaya pada tahun

2004, lulus pendidikan sekolah menengah pertama dari SMP Negeri 21 Bandar

Lampung pada tahun 2007, dan lulus pendidikan sekolah menengah atas dari

SMA Negeri 5 Bandar Lampung pada tahun 2010. Pada saat SMA, penulis

mengikuti organisasi PERPEKALA (Persatuan Pelajar Katolik Lampung) di

gereja pada periode pertama menjabat sebagai seksi kerohanian dan pada periode

berikutnya menjabat sebagai sekretaris.

Tahun 2010, penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika di Fakultas

Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Seleksi

Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN). Pada jurusan matematika,

penulis mengambil konsentrasi ke bidang statistika. Sebagai bentuk aplikasi

bidang ilmu yang telah diperoleh ke dalam dunia pekerjaan, pada semester 6

(9)

Lampung pada 14 Februari 2013 – 14 Maret 2013 dan tercatat sebagai pengentri data pada Survei Biaya Hidup tahun 2012 periode IV. Dan sebagai bentuk aplikasi

bidang ilmu yang telah diperoleh kepada masyarakat, pada semester 7 penulis

telah melaksanakan Kuliah Kerja Nyata Tematik pada tanggal 1 Juli 2013 – 30 Juli 2013 di desa Rata Agung, Kecamatan Lemong, Kabupaten Pesisir Barat. Dan

pada semester 8 ini penulis telah menyelesaikan skripsi yang berjudul “Momen,

(10)

MOTO

“

Segala perkara dapat kutanggung di dalam Dia yang

memberi kekuatan kepadaku.

”

(Filipi 4:13)

“Ora et Labora”

“

WE ARE SAME BUT NOT EQUAL

”

“

Biarkan keyakinan, harapan, serta impianmu menggantung 5cm di

depan keningmu. Dan saat kamu akan menggapai semua, yang

kamu perlukan hanyalah kaki yang akan berjalan lebih jauh dari

biasanya, tangan yang akan berbuat lebih banyak dari biasanya,

mata yang akan menatap lebih lama dari biasanya, leher yang akan

lebih sering melihat keatas, lapisan tekad yang seribu kali lebih keras

dari baja, hati yang akan bekerja lebih keras dari biasanya, serta

mulut yang akan selalu berdoa

”

(11)

PERSEMBAHAN

Satu hasil karya kecil ini akan kupersembahkan :

kepada Tuhan Yesus Kristus,

terkhusus untuk kedua orangtuaku,

inilah hasil perjuangan kalian bagiku selama ini,

serta untuk adik-adikku, juga untuk seluruh keluarga bersar,

untuk dosen-dosen pembimbingku

(Ibu Dian Kurniasari, M.Sc.,

Ibu Widiarti, M.Si.,

Bapak Warsono, Ph.D.)

untuk teman-teman seperjuanganku,

dan untuk almamater tercinta Universitas Lampung.

(12)

SANWACANA

Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat dan rahmat-Nya

penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Momen, Kumulan dan

Fungsi Karakteristik dari Distribusi Generalized Gamma”. Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran

yang membangun sehingga skripsi ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin

mengucapkan terima kasih kepada :

1. Ibu Dian Kurniasari, M.Sc., selaku dosen pembimbing utama yang telah

banyak membantu dan meluangkan waktu untuk membimbing, memberikan

arahan dalam proses penyusunan skripsi ini serta mengevaluasi skripsi ini

sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.

2. Ibu Widiarti, M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak

membantu dan meluangkan waktu untuk membimbing, memberikan arahan

dalam proses penyusunan skripsi ini serta mengevaluasi skripsi ini sehingga

skripsi ini dapat terselesaikan.

3. Bapak Warsono Ph.D selaku dosen penguji yang telah memberikan kritik dan

saran sehingga skripsi ini dapat menjadi lebih baik lagi.

4. Bapak Agus Sutrisno, M.Si., selaku pembimbing akademik yang telah

(13)

5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika

FMIPA Universitas Lampung.

6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung.

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah

memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Mama dan Bapak yang telah memberikan dukungan, mendoakan, menasihati

dan menyemangati yang sangat membantu selama penyusunan skripsi. Dan

juga adik-adik yang selalu berusaha mengerti dan berusaha untuk

memberikan bantuan.

9. Teman-teman seperjuangan MATH 2010 terimakasih atas semangat,

kenangan serta kebersamaannya selama ini. Khususnya untuk Asri, Siska,

Eka, Epy, Reka, Vinny, Dhita, Tina, dan juga teman seperjuangan selama

bimbingan skripsi ini yaitu Indri, Dian, Apit, Tiara, Miranti.

10. Abang yang selalu memberikan bantuan, semangat, motivasi serta

mendoakan dalam proses penyusunan skripsi ini.

11. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan

satu persatu.

Bandar Lampung, 2014

Penulis

(14)

DAFTAR ISI

2.10 Fungsi Karakteristik ... 14

BAB III METODOLOGI PENELITIAN ... 16

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 16

3.2 Metode Penelitian ... 16

BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 18

4.1 Momen ... 18

4.1.1 Menggunakan Fungsi Pembangkit Momen ... 18

4.1.2 Menggunakan Definisi ... 29

4.2 Kumulan ... 45

4.3 Fungsi Karakteristik ... 50

4.4 Simulasi Grafik ... 66

(15)

4.4.2 Simulasi Grafik Fungsi Skewness dari Distribusi

Generalized Gamma ... 78 4.4.3 Simulasi Grafik Fungsi Kurtosis dari Distribusi

Generalized Gamma ... 82 BAB V KESIMPULAN ... 86 DAFTAR PUSTAKA

(16)

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Gamma dengan dan ... 6

Gambar 2.2 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized

Gamma dengan , dan ... 7

Gamma pada saat nilai meningkat, tetap, meningkat ... 66

Gamma pada saat nilai meningkat, tetap, menurun ... 67

Gamma pada saat nilai menurun, tetap, meningkat ... 68

Gamma pada saat nilai menurun, tetap, menurun ... 69

Gamma pada saat nilai tetap, meningkat, meningkat ... 70

Gamma pada saat nilai tetap, meningkat, menurun ... 71

(17)

Gamma pada saat nilai tetap, menurun, menurun ... 73

Gamma pada saat nilai meningkat, meningkat, tetap ... 74

Gamma pada saat nilai meningkat, menurun, tetap ... 75

Gamma pada saat nilai menurun, meningkat, tetap ... 76

Gamma pada saat nilai menurun, menurun, tetap ... 77

Gambar 4.13 Grafik Fungsi Skewness dari Distribusi Generalized Gamma dengan 3 nilai dan 3 nilai yang berbeda ... 78

Gambar 4.17 Grafik Fungsi Kurtosis dari Distribusi Generalized Gamma dengan 3 nilai dan 3 nilai yang berbeda ... 82

(18)

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Distribusi generalized gamma merupakan perumuman dari distribusi gamma.

Disrtibusi gamma merupakan salah satu keluarga distribusi peluang kontinu yang

biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Akan tetapi

distribusi gamma terkadang tidak selalu tepat untuk mengemas data kelangsungan

hidup dalam suatu model peluang. Untuk dapat mengatasinya maka dibutuhkan

suatu perumuman dari distribusi gamma untuk dapat digunakan dalam setiap

keadaan data tersebut yaitu yang biasa disebut distribusi generalized gamma.

Distribusi generalized gamma memiliki tiga parameter yaitu parameter bentuk

( ) dan parameter skala .

Distribusi generalized gamma sudah pernah dibahas oleh beberapa peneliti. Salah

satunya adalah Stacy pada tahun 1962, dalam jurnalnya yang berjudul “A

Generalization of The Gamma Distribution”. Stacy merupakan peneliti yang

pertama kali mengemukakan distribusi generalized gamma. Dalam jurnalnya,

Stacy membahas mengenai sifat-sifat dasar, distribusi beberapa fungsi variabel

(19)

2

Selain Stacy, ada peneliti lain yang juga membahas mengenai distribusi

generalized gamma yaitu Morteza Khodabin dan Alireza Ahmadabadi pada tahun

2010, dalam jurnal mereka yang berjudul “Some Properties of Generalized Gamma Distribution”. Dalam jurnal tersebut mereka membahas mengenai

sifat-sifat dasar, ekspetasi dan variansi dari distribusi generalized gamma.

Pada penelitian ini, penulis akan membahas lebih dalam mengenai momen,

kumulan, serta fungsi karakteriksik dari distribusi generalized gamma. Momen

dapat diperoleh dengan cara menurunkan fungsi pembangkit momen yang

dievaluasi pada . Dari momen yang diperoleh akan ditentukan kumulan.

Selanjutnya fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma dapat diperoleh

dari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized gamma dengan

menambahkan sebagai bagian imaginer.

Momen dapat ditentukan berdasarkan definisi atau penurunan fungsi pembangkit

momen. Dalam penelitian ini digunakan kedua cara tersebut untuk mencari

momen dari distribusi generalized gamma. Selanjutnya dari momen akan dapat

ditentukan kumulandari distribusi generalized gamma. Berdasarkan momen yang

diperoleh dari setiap distribusi peluang akan ditentukan kumulan dari distribusi

peluang tersebut. Begitu juga distribusi generalized gamma yang berdasarkan

momennya akan diperoleh kumulan-nya.

Lalu akan ditentukan momen dari atau ekspetasi dari atau yang biasa

disebut fungsi karakteristik distribusi generalized gamma. Fungsi karakteristik

dapat digunakan untuk mencari momen dan kumulan dari suatu distribusi

(20)

3

kumulan, yang mana dapat digunakan untuk mencari kumulan, sedangkan

kumulan dapat menentukan momen dari suatu distribusi peluang.

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, dalam penelitian ini akan

dibahas kajian tentang “Momen, Kumulan, dan Fungsi Karakteristik dari Distribusi Generalized Gamma”.

1.2 Batasan Masalah

Dalam pemodelan data ada berbagai macam distribusi, salah satunya yaitu

distribusi gamma yang biasa digunakan untuk pemodelan data kelangsungan

hidup. Distribusi gamma mempunyai dua parameter. Supaya berlaku umum untuk

setiap keadaan data dalam pemodelan data sehingga distribusi gamma

digeneralisasi dengan menambah satu parameter pada distribusi gamma menjadi

tiga parameter yang disebut distribusi generalized gamma (GG). Parameter dari

distribusi generalized gamma yaitu parameter bentuk ( ) dan parameter skala . Dalam penelitian ini distribusi generalized gamma (GG) dibatasi pada

penentuan momen, kumulan, dan fungsi karakteristik.

1.3 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah :

1. Menentukan momen dari distribusi generalized gamma menggunakan

definisi dan menggunakan fungsi pembangkit momen dan menggunakan

definisi.

2. Menentukankumulan dari distribusi generalized gamma .

(21)

4

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah :

1. Memberikan informasi, panduan serta sumbangan pemikiran mengenai cara

menentukan momen dari distribusi generalized gamma dengan

menggunakan fungsi pembangkit momen dan menggunakan definisi.

menentukan kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized

gamma .

melakukan simulasi grafik gambar untuk fungsi kepekatan peluang, fungsi

skewness (kemiringan), dan kurtosis (kelandaian) dari distribusi generalized

gamma dengan nilai parameter sebagai parameter skala, parameter dan

(22)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan dijabarkan mengenai literatur yang digunakan pada penelitian.

Pertama akan dijabarkan mengenai fungsi gamma dimana fungsi gamma

digunakan untuk menyederhanakan hasil pencarian fungsi pembangkit momen

dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma.

2.1 Fungsi Gamma

Fungsi gamma merupakan suatu fungsi khusus. Fungsi ini dapat digunakan untuk

menyederhanakan integral-integral khusus.

Definisi 2.1

Fungsi gamma dinotasikan dengan didefinisikan sebagai :

∫

(Irwin Miller, Jhon E. Freund, dan Richard A. Johnson, 1990).

Pada definisi selanjutnya akan dijabarkan mengenai distribusi gamma dimana

distribusi gamma merupakan kasus khusus dari distribusi generalized gamma

(23)

6

2.2 Distribusi Gamma

Distribusi gamma merupakan salah satu keluarga distribusi peluang kontinu yang

biasa digunakan dalam pemodelan data kelangsungan hidup. Distribusi ini

mempunyai dua parameter yaitu yang disebut parameter skala dan yang

disebut parameter bentuk.

Definisi 2.2

Suatu variabel acak kontinu X dikatakan memiliki distribusi gamma dengan

parameter dan , jika fungsi kepekatannya adalah :

{

Gambar 2.1 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Gamma dengan dan

(24)

7

Selanjutnya akan dijabarkan mengenai fungsi kepekatan peluang dari distribusi

generalized gamma yang akan dibahas dalam penelitian ini, kemudian akan

ditentukan momen, kumulan, serta fungsi karakteristik dari distribusi generalized

gamma.

2.3 Distribusi Generalized _Gamma

Distribusi generalized gamma merupakan perumuman dari distribusi gamma.

Distribusi generalized gamma memiliki tiga parameter yaitu parameter bentuk

( ) dan parameter skala .

Definisi 2.3

Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi generalized gamma dengan

parameter dan jika fungsi kepekatannya adalah :

{

(25)

8

Pada bagian selanjutnya akan dijabarkan mengenai ekspansi deret MacLaurin,

deret ini akan digunakan pada ekspansi untuk menentukan momen dan fungsi

karakteristik dari distribusi generalized gamma.

2.4 Ekspansi Deret Maclaurin

Deret Maclaurin digunakan untuk membantu menyelesaikan suatu persamaan

dengan mengekspansikannya sehingga dapat lebih mudah menyelesaikannya.

Definisi 2.4

Jika fungsi yang didefinisikan oleh :

∑

Penurunan berturut dari fungsi tersebut adalah :

(26)

9

Sehingga bentuk umumnya adalah :

Jadi, deret pangkat dari fungsi dalam dapat ditulis sebagai berikut :

∑

Selanjutnya akan dibahas mengenai kemencengan/kemiringan (skewness), yang

mana pada penelitian ini akan digunakan untuk mengetahui

kemencengan/kemiringan (skewness) dari distribusi generalized gamma dengan

melakukan simulasi grafik.

2.5 Skewness ( Kemiringan )

Kemiringan (skewness) adalah derajat ketaksimetrian dari suatu distribusi. Jika

kurva frekuensi (polygon frekuensi termuluskan) suatu distribusi mempunyai ekor

yang lebih panjang kekanan dari maksimum pusat dibandingkan yang kiri,

distribusi tersebut melenceng ke kanan atau mempunyai kemiringan positif. Jika

sebaliknya yang terjadi dikatakan melenceng ke kiri atau mempunyai kemiringan

(27)

10

Untuk distribusi yang melenceng, nilai tengah cenderung terletak pada sisi yang

sama dari modus sebagai ekor yang lebih panjang jadi suatu ukuran tak simetri

diperlihatkan oleh selisih (nilai tengah-modus).

Koefisien skewness berdasarkan nilai kumulan, yaitu sebagai berikut :

√ √

(Murray R Spiegel, 1988).

Kemudian akan dibahas mengenai kurtosis, yang mana pada penelitian ini akan

ditentukan kurtosis dari distribusi generalized gamma untuk mengetahui

kelandaian dari distribusi generalized gamma dengan melakukan simulasi grafik.

2.6 Kurtosis _{( Kelandaian )}

Kurtosis adalah derajat puncak dari suatu distribusi, biasanya diambil secara

relative terhadap suatu distribusi normal.

(Murray R Spiegel, 1988).

Pada bagian berikutnya akan dijabarkan mengenai momen, yang mana pada

penelitian ini akan ditentukan momen dari distribusi generalized gamma dengan

(28)

11

2.7 Momen

Momen merupakan suatu karakteristik dari suatu distribusi peluang. Momen dapat

ditentukan menggunakan definisi atau penurunan fungsi pembangkit momen.

Momen dapat ditentukan dari momen pertama sampai momen ke-r.

Definisi 2.5

Jika adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu, maka momen ke-r

(dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai :

Definisi 2.6

Jika adalah peubah acak diskrit dan adalah nilai fungsi peluang dari di

, maka momen ke-r (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai :

∑

Definisi 2.7

Jika adalah peubah acak kontinu dan adalah nilai fungsi peluang dari di

, maka momen ke-r (dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai :

∫

(29)

12

Selanjutnya akan dijabarkan mengenai fungsi pembangkit momen dimana pada

penelitian ini akan ditentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi

generalized gamma dengan menurunkan fungsi pembangkit momennya yang

dievaluasi pada .

2.8 Fungsi Pembangkit Momen

Fungsi pembangkit momen dari suatu distribusi digunakan untuk menentukan

momen dari suatu distribusi tersebut. Fungsi pembangkit momen dapat diperoleh

dari ekspetasi dari suatu distribusi tersebut.

Definisi 2.8

Jika adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu maka fungsi pembangkit

momen dari ( dinotasikan dengan ) didefinisikan sebagai :

Definisi 2.9

Jika adalah peubah acak diskrit dan adalah nilai fungsi peluang dari di

, maka fungsi pembangkit momen dari didefinisikan sebagai :

(30)

13

Definisi 2.10

Jika adalah peubah acak kontinu dan adalah nilai fungsi peluang dari di

, maka fungsi pembangkit momen dari didefinisikan sebagai :

∫

(Hogg dan Craig, 1997).

Pada bagian selanjutnya akan dijabarkan mengenai kumulan, yang mana pada

penelitian ini akan ditentukan kumulan dari distribusi generalized gamma dengan

menggunakan definisi seperti yang akan dijabarkan di bawah ini.

2.9 Kumulan

Kumulan merupakan suatu karakteristik dari suatu distribusi peluang. Kumulan

dapat ditentukan menggunakan definisi atau dengan penurunan fungsi pembangkit

kumulan.

Definisi 2.11

Kumulan didefinisikan sebagai :

∑

Dengan menggunakan deret Maclaurin maka diperoleh :

(31)

14

Dimana momen baku, maka dapat ditulis kembali sebagai :

Sehingga rumus dari kumulan dapat ditulis sebagai berikut :

∑ (₎

(Abramowitz dan Stegun, 1972).

Pada bagian selanjutnya akan dijabarkan mengenai fungsi karakteristik, yang

mana pada penelitian ini akan ditentukan fungsi karakteristik dari distribusi

generalized gamma dengan menggunakan definisi seperti yang akan dijabarkan di

bawah ini.

2.10 Fungsi Karakteristik

Fungsi karakteristik merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi

generalized gamma dengan menambahkan sebagai bagian imaginer atau momen

(32)

15

Definisi 2.12

Fungsi karakteristik ( ) dari peubah acak , didefinisikan sebagai nilai

ekspetasi dari sebagai berikut :

( ) ( _{) ∫}

Dimana merupakan fungsi kepakatan peluang dari distribusi , (Kendall dan

(33)

BAB III

METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada Semester Genap Tahun Akademik 2013/2014,

bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang

menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan

skripsi ini. Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:

1. Menentukan momen-momen dari distribusi generalized gamma .

Untuk menentukan momen dapat dilakukan dengan dua cara yaitu

menggunakan definisi dan menggunakan fungsi pembangkit momen. Disini

akan digunakan kedua cara tersebut untuk menentukan momen dari distribusi

generalized gamma .

a. Menggunakan Definisi

b. Menggunakan Fungsi Pembangkit Momen

(34)

17

ii. Menentukan momen pertama ( ), momen kedua ( ), momen

ketiga ( ), momen keempat ( ), momen kelima ( ),

momen keenam ( ), dan seterusnya dengan cara menurunkan fungsi

pembangkit momen ( ) dan memasukkan nilai variabelnya sama

4. Melakukan simulasi grafik gambar untuk fungsi kepekatan peluang dari

distribusi generalized gamma dengan nilai parameter sebagai parameter

skala, parameter dan sebagai parameter bentuk.

5. Melakukan simulasi grafik gambar untuk fungsi skewness (kemiringan) dari

skala, parameter dan sebagai parameter bentuk.

6. Melakukan simulasi grafik gambar untuk fungsi kurtosis (kelandaian) dari

(35)

BAB V KESIMPULAN

Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut :

1. Momen ke-r dari distribusi generalized gamma menggunakan fungsi

pembangkit momen dan menggunakan definisi diperoleh hasil yang sama,

yaitu :

2. Kumulan ke-r dari distribusi generalized gamma yaitu :

∑ (₎

₍₎

3. Fungsi karakteristik dari distribusi generalized gamma yaitu :

(36)

DAFTAR PUSTAKA

Abromowits, M. and Stegun, I. A.(Eds). 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, p.928.

Dudewicz, Edward J. dan Mishra, Satya N. 1988. Statistika Matematika modern. Bandung:ITB.

Hogg, R. V. and Tanis, E. A. 1997. Probability and Statistical Inferene Sixth Edition. New Jersey:Prentice Hall Inc.

Miller , Irwin, Freund, Jhon E., dan Johnson, Richard A. 1990. Probability and Statistics for Engineers Four Edition. USA:Prentice – Hal International Edition.

Kendall, M. G. and Stuart, A. 1958. The Advanced Theory of Statistics : Distribution Theory, Volume 1. London:C. Griffin-Company.

Leithold , Louis. 1986. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Edisi Kelima Jilid 3. Jakarta:Erlangga.

Spiegel, Murray R. 1988. Statistika Edisi Kedua. Jakarta:Erlangga.