(Skripsi)
Oleh
OFI MEGARIANI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
CHARACTERISTICS OF PARAMETER GENERALIZED EXPONENTIAL DISTRIBUTION
USING GENERALIZED METHOD OF MOMENT
By
Ofi Megariani
Generalized Exponential distribution is a Generalization of the standard Exponensial distribution by adding new parameter that shape parameter . Generalized Exponential distribution obtained from the Gompertz-Verhulst distribution with the value of . This distribution will work very well if their parameter estimator are known. Related to paramater estimation for continuous distribution we know several methods of estimation, one of methods is Generalized Method of Moment. In this study, we will examine the characteristics of parameter estimator ( ̂ ̂) Generalized Exponential distribution using Generalized Method of Moment that included the characteristic of unbiasness, minimum variance, and consistent also investigate the asymptotic variance-covariance. The results show that the characteristics of parameter estimators ( ̂ ̂) are unbiased, minimum variance bacause the variance of ( ̂ ̂) at tains Rao-Cramer lower bound and consistent also we are obtained the analytic of the asymptotic variance-covariance parameter estimator( ̂ ̂). Moreover, with using software R version 3.1.2 presented by the graph of probability density function of Generalized Exponential distribution to see the behavior of the Generalized Exponential distribution.
ABSTRAK
KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED EKSPONENSIAL MENGGUNAKAN METODE GENERALIZED MOMEN
Oleh
Ofi Megariani
Distribusi Generalized Eksponensial merupakan perumuman dari distribusi Eksponensial dengan menambahkan satu parameter baru yaitu parameter bentuk . Distribusi Generalized Eksponensial diperoleh dari distribusi Gompertz-Verhulst dengan nilai . Distribusi ini akan bekerja dengan baik apabila diketahui parameter penduganya. Berkaitan dengan pendugaan parameter distribusi kontinu dikenal beberapa metode pendugaan salah satunya metode Generalized Momen. Pada penelitian ini akan mengkaji tentang karakteristik penduga parameter ( ̂ ̂) distribusi Generalized Eksponensial dengan menggunakan metode Generalized Momen yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten serta memeriksa varian-kovarian asimtotiknya. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penduga parameter ( ̂ ̂) memiliki karakteristik penduga yang baik yaitu tak bias, ragam minimum karena mencapai batas bawah Rao-Cramer dan konsisten serta diperoleh bentuk analitik varian-kovarian asimtotik dari penduga parameter ( ̂ ̂). Selain itu, dengan menggunakan Software R 3.1.2 disajikan kurva fungsi kepekatan peluang Generalized Eksponensial untuk melihat prilaku distribusi Generalized Eksponensial.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 02 Mei 1993 di Palembang, Sumatra Selatan.
Penulis merupakan anak pertama dari dua bersaudara yang merupakan buah cinta
dari Bapak Surajin dan Ibu Maria Ulfa
Penulis menempuh jalur pendidikan di mulai dari pendidikan taman kanak-kanak
di TK Kartika Jaya Daerah Sriwijaya, Palembang yang diselesaikan tahun 1998.
Kemudian menempuh pendidikan sekolah dasar di SDN 02 Qurnia Mataram,
Lampung Tengah yang diselesaikan tahun 2005. Lalu melanjutkan pendidikan
ke jenjang sekolah menengah pertama di SMP Negeri 02 Seputih Mataram yang
diselesaikan tahun 2008. Selanjutnya melanjutkan pendidikan ke jenjang sekolah
menengah atas di SMK Negeri 02 Metro yang diselesaikan tahun 2011.
Penulis diterima sebagai mahasiswi baru Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur
Mandiri pada tahun 2011. Selama menjadi mahasiswi Universitas Lampung,
penulis pernah menjadi anggota GEMATIKA 2011/2012, anggota Biro Dana dan
Usaha HIMATIKA 2012/2013, Bendahara BBQ 2012/2013, Sekertaris
BK-BBQ 2013/2014, Bendahara Umum BIROHMAH 2014/2015. Selain itu, penulis
pernah menjadi asisten mata kuliah Matematika di Program Studi D3 Manajemen
penulis mengikuti Kuliah Kerja Nyata (KKN) di Desa Banjarejo, Banyumas,
Pringsewu. Pada bulan Agustus-September tahun 2014 penulis melakukan kerja
MOTO
“Hidup bukan sekedar membahagiakan diri sendiri namun lebih bisa membahagiakan orang lain”
( Ofi Megariani )
“Doa adalah rangkaian kata-kata indah yang mampu mengubah keadaan hati”
(Ofi Megariani)
PERSEMBAHAN
Sebuah karya sederhana ini merupakan rangkaian ilmu pengetahuan,
ide dan pemikiran yang disusun dengan semangat membara, dengan
bercucuran keringat, tanpa kata putus asa dan dengan senyuman.
Karya sederhana ini dirangkai sedemikian rupa demi memberikan
senyuman bahagia kepada mereka yang terkasih. Karya sederhana ini,
kupersembahkan dengan cinta untuk:
Ayah, Ibu dan adikku tercinta yang senantiasa mendoakan, memberi
restu, dan memberi semangat setiap jam, menit, dan detik demi
selesainya karya sederhana ini, Terimakasih ayah, ibu atas cinta dan
kasih sayang kalian selama ini.
Keluarga, sahabat, dan teman-teman yang senantiasa memberikan
do’a, dan semangat.
SANWANCANA
Puji syukur atas kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat dan hidayah-Nya
sehingga skripsi dengan judul ‘Karakteristik Penduga Parameter Distribusi
Generalized Eksponensial Menggunakan Metode Generalized Momen dapat
diselesaikan dengan baik
Penulisan skripsi ini merupakan tugas akhir selama menempuh pendidikan
Perguruan Tinggi di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung. Selesainya skripsi ini tidak lepas dari
bantuan dan kerjasama berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu,
dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih kepada:
1. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing pertama yang
telah memberikan nasihat dan bimbingan, serta pengarahan sehingga dapat
terselesaikan skripsi ini dengan baik.
2. Ibu Widiarti, M.Si. selaku dosen pembimbing kedua yang senantiasa
memberikan nasihat, pengarahan, semangat, dan bimbingan sehingga dapat
terselesaikannya skripsi ini dengan baik.
3. Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembahas yang telah memberikan saran dan
iii
4. Ibu Wamiliana, Ph.D selaku Pembimbing Akademik yang telah membimbing
penulis dari awal perkuliahan hingga sekarang .
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc.,Ph,D. selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Seluruh dosen, staf, dan karyawan Jurusan Matematika Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung yang telas memberikan
ilmu pengetahuan dan bantuan dari awal perkuliahan hingga sampai saat ini.
8. Ayah, Ibu dan Adikku satu-satunya yang selalu mendoakan, menasihati, dan
memberikan semangat tiada henti sehingga skripsi ini selesai dengan baik.
9. Teman-teman Matematika 2011, Keluarga safitri, teman Seperjuangan
Generalized Momen serta teman seperjuangan BIROHMAH dan ROIS yang
memberikan saran dan semangat dalam penulisan skripsi.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan dan
penyusunan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran dari pembaca sangat
diharapkan dan dihargai oleh penulis. Akhir kata semoga skripsi ini dapat
digunakan dan bermanfaat untuk mahasiswa/i Jurusan Matematika dalam
mempelajari mata kuliah khususnya kosentrasi statistika.
Bandar Lampung, Februari 2015
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... vi
I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakangdan Masalah ... 1
1.2. Tujuan Penelitian... 3
1.3. Manfaat Penelitian... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi Eksponensial ... 5
2.2 Distribusi Generalized Eksponensial ... 6
2.2.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Eksponensial... 7
2.2.2 Ragam Distribusi Generalized Eksponensial ... 8
2.3 Metode Generalized Momen ... 9
2.4 Karakteristik Suatu Penduga ... 10
2.4.1 Penduga Tak Bias ... 10
2.4.2 Penduga Varians Minimum ... 11
2.4.2.1Informasi Fisher ... 11
2.4.2.2Matriks Informasi Fisher ... 13
2.4.2.3Batas Bawah Rao-Cramer ... 14
2.4.3 Penduga Konsisten (Consistency) ... 14
2.5 Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter dari Metode Generalized Momen ... 16
III. METODOLOGI PENELTIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 17
v
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang (FKP) Distribusi Generalized Eksponensial ̂ ̂ ... 19 4.2 Fungsi Kumulatif Distribusi Generalized
Eksponensial ̂ ̂ ... 28 4.3 Menduga Parameter Distribusi Generalized Eksponensial ̂ ̂
menggunakan Metode Generalized Momen ... 30 4.3.1 Penduga Parameter ̂ ... 33 4.3.2 Penduga Parameter ̂ ... 33 4.4 Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi
Distribusi Generalized Eksponensial ̂ ̂ ... 34 4.4.1 Penduga Parameter ... 34 4.4.2 Penduga Parameter ... 35 4.5 Memeriksa Varian Minimum Penduga Parameter Distribusi Distribusi Generalized Eksponensial ̂ ̂ ... 36 4.5.1 Matriks Informasi Fisher dari Penduga Parameter
Distribusi Generalized Eksponensial ̂ ̂ ... 36 4.5.2 Pertidaksamaan Rao-Cramer untuk Ragam dari Penduga
parameter Distribusi Generalized
Eksponensial ̂ ̂ ... 45 4.6 Memeriksa Kekonsistenan Penduga Parameter Distribusi
Generalized Eksponensial ̂ ̂ ... 46 4.6.1 Penduga Parameter ... 46 4.6.2 Penduga Parameter ... 48 4.7 Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter ̂ ̂ Distribusi
Distribusi Generalized Eksponensial MenggunakanMetode
Generalized Momen ... 49
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 4.1 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GE
Dengan Nilai dan dan 15 (Meningkat) ... 20
Gambar 4.2 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GE
Dengan Nilai dan dan 5 (Menurun) ... 21
Gambar 4.3 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GE
Dengan Nilai dan 20 (Meningkat) dan dan 15 (Meningkat) ... 22
Gambar 4.4 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GE
dengan nilai dan 50 (Meningkat) dan dan 9 (Menurun) ... 23
Gambar 4.5 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GE
dengan Nilai dan 2 (Menurun) dan Nilai dan 20 (Meningkat) ... 24
Gambar 4.6 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GE
dengan Nilai dan 2 (Menurun) dan Nilai dan 5 (Menurun) ... 25
Gambar 4.7 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GE
dengan Nilai dan 100 (Meningkat) dan nilai (Konstan) ... 26
Gambar 4.8 Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi GE
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Distribusi Eksponensial merupakan salah satu distribusi kontinu dan suatu fungsi
spesial dari distribusi Gamma yang berperan penting di statistika. Distribusi
Eksponensial berguna dalam mencari selisih waktu yang terjadi dalam suatu
peluang pada daerah tertentu. Dalam aplikasinya, distribusi Eksponensial ini
berperan dalam mengukur tingkat kegagalan yang mungkin terjadi dalam suatu
peluang.
Distribusi Generalized Eksponensial (GE) dengan dua parameter (α,λ) adalah
perumuman dari distribusi Eksponensial yang pertama kali diperkenalkan oleh
Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi GE adalah fungsi khusus dari
distribusi Gompertz – Verhulst dan distribusi Eksponensial Weibull. Fungsi
distribusi GE mempunyai bentuk kurva yang spesifik, kurva naik dari nol
mencapai titik maksimum kemudian turun pada saat tertentu relatif konstan
mendekati nol sehingga fungsi ini dapat dipergunakan untuk model kurva
pertumbuhan.
Keakuratan penduga parameter tergantung pada ukuran sampel dan metode yang
2
memiliki karakteristik pendugaan seperti tak bias, varian minimum dan
konsisten.
Metode pendugaan yang sering digunakan diantaranya adalah dengan
menggunakan metode momen, metode Least Square, Maximum Likelihood
Estimation (MLE), metode Probability Weighted Moment (PWM), dan
Generalized Probability Weigthed Moment (GPWM ) dan metode baru yang
ditemukan oleh Lars Petrus Hansen yaitu Generalized Momen.
Metode momen telah populer dengan kemudahan dari aplikasinya dan dapat
diterapkan untuk menduga parameter pada ukuran sampel kecil. Tidak seperti
metode pendugaan lainnya, seperti metode Least Square yang harus memenuhi
asumsi-asumsi antara lain berdistribusi normal, homoskedastistas dan
auto-korelasi, yang diperlukan dalam metode momen hanyalah persamaan momen
yang diperoleh dari model.
Metode MLE dapat memaksimumkan fungsi kemungkinan (L) karena log/ln
merupakan fungsi yang monoton naik sehingga memaksimumkan L sama saja
memaksimumkan log/ln, tetapi MLE mempunyai sifat berbias jika diterapkan
untuk menduga parameter pada ukuran sampel yang kecil. Metode PWM
(Greenwood et al,1979; Hosking et al.,1985;Hosking,1986) merupakan alternatif
yang mengarah ke metode Momen dan Maximum Likelihood Estimation (MLE). Menurut Greenwood et al metode penduga PWM dapat diaplikasikan pada fungsi
distribusi peluang yang memiliki invers seperti Weibull, Generalized Pareto dan
Log logistic. Rasmussen (2001) mengusulkan ”perumuman” dari metode penduga
Metode PWM dan GPWM memiliki studi kasus dimana , dimana momen
dari X yang ordernya lebih dari satu maka PWM dan GPWM tidak dapat
digunakan sedangkan Metode Generalized Momen adalah perkembangan dari
GPWM yang momen order dilibatkan dapat lebih dari satu.
Metode Generalized Momen adalah suatu metode statistik yang sangat umum
untuk memperoleh pendugaan parameter dari model statistik yang dikembangkan
dari metode momen oleh Lars Petrus hansen. Metode Generalized Momen
merupakan metode baru pengembangan dari metode momen yang dapat
megabaikan sebaran fungsi distribusinya dan tidak memerlukan asumsi-asumsi
yang harus dipenuhi seperti metode pendugaan klasik lainnya.
Berdasarkan uraian sebelumnya dalam penelitian ini, penulis ingin mengkaji
lebih lanjut tentang distribusi Generalized Eksponensial (GE) dengan mencari
karakteristik pendugaan parameter (α,λ) dengan metode Generalized Momen
yang meliputi tak bias, varian minimum dan konsisten.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini adalah :
1. Membuat kurva fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi Generalized
Eksponensial ( , ) untuk beberapa nilai parameter.
2. Mencari penduga distribusi Generalized Eksponensial ( , ) dengan
4
3. Memeriksa beberapa sifat karakteristik penduga parameter distribusi
Generalized Eksponensial ( , ) yang baik antara lain ketakbiasan,
varian minimum dan konsisten.
4. Mencari matriks varian-kovarian asimtotik dari distribusi Generalized
Eksponensial , ).
1.3 Manfaat Penelitian
Penelitian ini bermanfaat untuk memberikan informasi tentang cara pendugaan
parameter distribusi Generalized Eksponensial dengan menggunakan metode
II. TINJAUAN PUSTAKA
Dalam tinjauan pustaka penelitian ‘Karakteristik Penduga Parameter Distribusi
Generalized Eksponensial Menggunakan Metode Generalized Momen digunakan
beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan penelitian ini. Berikut
merupakan penjabaran definisi dan teorema yang digunakan:
2.1 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi kontinu dan suatu fungsi
spesial dari distribusi gamma yang berperan penting di statistika.. Berikut akan
dijelaskan definisi PDF distribusi Eksponensial.
Definisi 2.1 (Probability Density Function (PDF) Distribusi Eksponensial )
Untuk suatu peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial dengan variabel
acak eksponensial jika dan hanya jika kepekatan peluang (probability density)
diberikan seperti dibawah ini :
{
(Miller,I dan Miller, 1999).
Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan bentuk perumuman dari distribusi
6
2.2 Distribusi Generalized Eksponensial
Menurut Gupta dan Kundu, Distribusi Generalized Eksponensial adalah fungsi
khusus dari distribusi Gompertz – Verhulst dan distribusi eksponensial weibull.
Untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan
penduduk, fungsi distribusi tertentu digunakan oleh Gompertz – Verhulst yang
didefinisikan sebagai berikut :
dimana dan adalah bilangan real positif. Distribusi Generalized
Eksponensial adalah fungsi khusus dari distribusi Gompertz – Verhulst dengan
menstandarisasikan =1. Dari distribusi Gompertz – Verhulst ini, distribusi
Generalized Eksponensial (GE) dengan dua parameter pertama kali
diperkenalkan oleh Gupta tahun 1999, dimana sebagai parameter bentuk dan
sebagai parameter skala dengan fungsi distribusi kumulatifnya adalah sebagai
berikut :
dari turunan fungsi distribusi komulatif pada persamaan (2.3) sehingga diperoleh
fungsi kepekatan peluangnya (fkp) dari distribusi Generalized Eksponensial
didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.2 (FKP distribusi Generalized Eksponensial )
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi Generalized Eksponensial dengan
dua parameter ,maka menurut Gupta dan Kundu (1999) fungsi kepekatan
{ ( )
Dengan
X = peubah acak parameter bentuk
= parameter skala
e = 2,7183
Pada =1 ,maka pada persamaan (2.4) merupakan fungsi kepekatan peluang
distribusi Eksponesial yaitu :
{
stribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi kontinu dan salah satu
kasus khusus dari distribusi Gamma (Gupta dan Kundu,1999).
Kemudian akan dijelaskan nilai harapan dari distribusi Generalized Eksponensial
, pada sub-bab berikutnya.
2.2.1 Nilai Harapan Distribusi Generalized Eksponensial ( )
Nilai harapan dari suatu distribusi akan dijelaskan pada definisi 2.3 yaitu:
Definisi 2.3 ( Nilai Harapan)
Misalkan X variabel acak, jika X variabel acak kontinu dengan fungsi kepekatan
peluang dan
∫ | |
8
∫
(Hogg and Craig, 1995)
Adapun nilai harapan distribusi Generalized Eksponensial Menurut Gupta
dan Kundu tahun 2003 adalah:
Dimana adalah fungsi digamma (Gupta dan Kundu, 2000). Selanjutnya akan
dijelaskan ragam distribusi Generalized Eksponensial pada subbab
selanjutnya.
2.2.2 Ragam Distribusi Generalized Eksponensial α, λ
Sebaran dari distribusi Generalized Eksponensial ditentukan oleh standar
devisiasi, . Kuadrat dari standar devisiasi merupakan ragam dari distribusi Generalized Eksponensial. Definisi dan bentuk rumus umum dari nilai ragam,
adapun penjelasannya sebagai berikut:
Definisi 2.4 (Ragam)
Misalkan X sampel acak dengan rata-rata terbatas dan sedemikian sehingga
[ ] terbatas. Maka ragam dari X didefinisikan sebagai [ ] .
[ ] dinotasikan dengan atau (Hogg And Craig, 1995).
Adapun Menurut Gupta dan Kundu tahun 2003 nilai ragam distribusi Generalized
Eksponensial adalah:
Dimana adalah derivatif dari fungsi Digamma (Gupta dan Kundu, 2000).
Setelah mengetahui nilai harapan dan ragam distribusi Generalized Eksponensial
maka sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang metode pendugaan yang
digunakan dalam penelitian skripsi ini .
2.3 Metode Generalized Momen
Metode Generalized Momen adalah suatu metode statistik yang sangat umum
untuk memperoleh pendugaan parameter dari model statistik . Metode
Generalized Momen merupakan suatu perumuman dari metode momen ,yang
dikembangkan oleh Lars Petrus Hansen. Menurut Ashkar dan Bobe’e (1987) ,
metode ini telah lebih awal digunakan pada bidang ilmu hidrologi.
Berdasarkan studi oleh Rasmussen (2001), dan oleh Ashkar dan Mahdi (2003),
penduga parameter dari suatu distribusi menggunakan bentuk PWM (Probability
Weight Moment) yaitu :
[ ] ∫ [ ]
∫ [ ]
dimana x adalah invers dari distribusi komulatif F(x), merupakan momen ke-
dan r adalah statistik tataan ke –r+1.
ini bertindak sebagai suatu dasar untuk menerapkan metode Generalized
10
diambil sebarang yang tidak harus bilangan bulat , maupun positif (Ashkar &
Mahdi,2003).
Pada sub-bab selanjutnya akan dibahas mengenai karakteristik suatu penduga
distribusi yang baik.
2.4 Karakteristik Suatu Penduga
Pada umumnya, masalah yang terjadi pada statistika inferensia yaitu tentang
pendugaan dan uji hipotesis. Perbedaan utama antara permasalahan ini yaitu untuk
pendugaan harus ditentukan nilai parameter dari kemungkinan alternatifnya,
sedangkan uji hipotesis harus ditentukan apakah diterima atau ditolak untuk suatu
nilai yang spesifik dari parameter.
Untuk mendapatkan Penduga parameter dari suatu distribusi yang baik maka ada
syarat-syarat suatu penduga yang harus dipenuhi. Beberapa syarat yang terpenting
akan diuraikan dibawah ini.
2.4.1 Penduga Tak Bias
Sifat ketakbiasan penduga parameter dari suatu distribusi apabila memenuhi
definisi 2.5 dibawah ini:
Definisi 2.5 ( Penduga Tak bias)
Seandainya merupakan sampel acak dari fungsi kepekatan peluang
kontinu , dimana merupakan parameter yang tidak diketahui.
Penduga ̂[ ] dikatakan tak bias bagi , jika ( ̂) (semua
Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan sifat konsisten penduga parameter
distribusi yang baik.
2.4.2 Penduga Ragam Minimum
Ragam minimum penduga parameter suatu distribusi harus memenuhi definisi 2.6
sebagai berikut:
Definisi 2.6 (Ragam Minimum)
Bila U(X) merupakan penduga bagi , maka dikatakan sebagai
penduga beragam minimum, jika
Dimana U(X) merupakan sembarang penduga bagi (Hogg and Craig, 1995).
Berkaitan tentang teori pendugaan ragam minimum maka pada sub-bab
selanjutnya akan dijelaskan teori beberapa faktor seperti informasi Fisher, matriks
informasi Fisher dan pertidaksamaan cramer- rao bound. (Bain and
Engelhardt,1992).
2.4.2.1Informasi Fisher
Misal X peubah acak dengan f (x; ), dimana ruang parameter, adalah
interval dengan asumsi fungsi kontinu sebagai berikut:
∫
Dan diambil derivatif terhadap ,
∫
12
Ekuivalen dengan persamaan (2.10) di bawah ini :
∫
Atau ekuivalen dengan
∫
Jika diturunkan lagi terhadap
∫ [ ] ∫ ∫ [ ]
Jadi yang disebut informasi Fisher yang dinotasikan dengan I( yaitu :
I( ∫ [
]
Atau I( dihitung dari
∫
Definisi 2.7 (Informasi Fisher)
Misalkan x1, x2, ..., ... , ..., xn merupakan sampel acak dari suatu distribusi yang
mempunyai fungsi kepekatan peluang . Maka fungsi kemungkinan
peluang adalah:
Dari persamaan 2.12 jika diberi fungsi logaritma natural, maka:
Maka dapat didefinisikan informasi Fisher dalam sampel acak sebagai berikut:
{[ ] }
Berkaitan dengan teori informasi Fisher tersebut, selanjutnya akan dibahas
mengenai matriks informasi Fisher,merupakan suatu vektor dari parameter.
2.4.2.2 Matriks Informasi Fisher
Pada Kasus multivariat, jika merupakan suatu vektor dari parameter maka I (
adalah matriks Informasi Fisher. Menurut Hogg dan Craig (1995), misalkan
sampel acak X1, X2,..., Xn dari suatu distribusi dengan fungsi kepekatan
peluang f(x; . Misalkan dikatakan bahwa ruang dari X dimana f
(X; > 0 yang tidak mengandung dan dapat diturunkan di bawah
integral. Sehingga matriks informasi Fisher adalah sebagai berikut :
[[ {[ ( ) ] } { ( ) ( ) } { ( ) ( ) } {[ ( ) ] } ] ]
Atau dapat ditulis juga sebagai berikut :
[
( ( )) ( ( ))
( ( )) ( ( ))]
14
Selanjutnya pada sub-bab berikut akan dibahas mengenai pertidaksamaan
Rao-Cramer Bound atau Rao- Rao-Cramer Lower Bound.
2.4.2.3 Batas Bawah Rao-Cramer
Menurut Hog dan Craig tahun 1995, ketidaksamaan Rao -Cramer-Bound (CRB )
dapat dituliskan sebagai berikut:
( ̂) [ ]
[( ) ]
[ ]
Jika adalah penduga tak bias bagi , jadi k
sehingga kemudian Rao -Cramer-Bound menjadi
( ̂)
Dimana
disebut sebagai Rao Cramer Lower Bound
Kemudian akan dijelaskan definisi tentang penduga yang efisien yaitu:
Definisi 2.8 (Penduga yang efisien)
Misalkan Y merupakan penduga tak bias dari suatu parameter dalam kasus
pendugaan titik. Statistik Y disebut penduga yang efisien dari jika dan hanya
jika ragam dari Y mencapai batas bawah Rao Cramer Lower Bound (Hogg dan
Craig,1995).
2.4.3 Penduga Konsisten (Consistency)
Selain Sifat ketakbiasan, sifat kekonsistenan harus dipenuhi suatu penduga
Apabila ̂ merupakan penduga parameter yang ditentukan berdasarkan sampel
berukuran n, maka ̂ disebut penduga yang konsisten , apabila ̂ konvergen
dalam peluang ke untuk atau untuk setiap
Definisi 2.9 (konsisten)
Barisan dari variabel acak X1, X2 ,... Xn konvergen dalam peluang ke variabel
acak X jika untuk setiap >0
[ ̂ ]
Atau ekuivalen dengan persamaan berikut:
[ ̂ ]
Selanjutnya akan diberikan teorema pendukung yang berkaitan dengan pengujian
sifat kekonsistenan penduga parameter.
Teorema Pertidaksamaan Chebyshev akan diberikan dengan Teorema 2.1 sebagai
berikut:
Teorema 2.1 (Teorema Pertidaksamaan Chebyshev)
Misalkan X variabel acak dengan rata-rata dan ragam . Untuk , k > 0
| |
Atau ekuivalen dengan
| |
Dan jika dimisalkan maka
| |
Atau ekuivalen dengan
16
Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan sifat konsisten penduga parameter
distribusi yang baik.
2.5 Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter dari Metode Generalized Momen
Asimtotik Varian-Kovarian distribusi Generalized Eksponensial ̂ ̂ diperoleh
dari Varian-Kovarian Momen dan sebagai berikut :
[ ̂ ( ̂) ( ̂ ̂) ] [ ] [ ] Keterangan: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ( ) ( ) ] [ [ ] [ ] [ ]]
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung, dan dilakukan pada semester ganjil
2014/2015.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membuat kurva fungsi kepekatan peluang (fkp) dari distribusi
Generalized Eksponensial menggunakan software R versi 3.1.2.
2. Menduga parameter ( , ) pada distribusi Generalized Eksponensial ( , )
dengan menggunakan metode Generalized Momen.
3. Memeriksa ketakbiasan penduga parameter ( , ) pada Distribusi
Generalized Eksponensial ( , )
4. Memeriksa varian minimum penduga parameter distribusi Generalized
Eksponensial dengan langkah-langkah sebagai berikut:
4.1.1 Mencari matriks Information Fisher dari Penduga ( ̂ ̂) pada
distribusi Generalized Eksponensial .
4.1.2 Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga
18
5. Memeriksa kekonsistenan masing-masing penduga parameter distribusi
Generalized Eksponensial dengan Teorema Chebyshev.
6. Mencari matriks varian dan covarian asimtotik dari distribusi Generalized
V. KESIMPULAN
Dari penelitian yang telah dilakukan diperoleh beberapa kesimpulan, yaitu:
1. Pada distribusi GE nilai parameter mempengaruhi letak pemusatan data
yaitu jika nilai semakin kecil maka pemusatan data kurva semakin bergeser
ke kiri dan jika nilai semakin besar maka pemusatan data kurva akan
semakin ke kanan. Sedangkan nilai mempengaruhi bentuk kurva semakin
runcing serta lebar kurva semakin kecil saat nilai meningkat, Dan
sebaliknnya bentuk kurva semakin landai dan lebar kurva semakin besar saat
nilai menurun . Jika maka bentuk kurva serupa dengan distribusi
Eksponensial. Sedangkan pada teori bahwa merupakan parameter bentuk
dan merupakan parameter skala, namun pada kurva yang diperoleh pada
penelitian ini merupakan parameter lokasi dan merupakan parameter
bentuk.
2. Penduga parameter distribusi Generalized Eksponensial menggunakan
metode generalized momen adalah :
̂ [ ∑
59
̂ [ ∑
]
⁄
[ ] ⁄ ∑
3. Penduga parameter distribusi Generalized Eksponensial menggunakan
metode Generalized Momen merupakan penduga yang tak bias, varian
minimum dan konsisten.
4. Matriks varian- kovarian asimtotik distribusi Generalized Eksponensial
menggunakan metode Generalized Momen adalah sebagai berikut:
[
̂ ( ̂) ( ̂ ̂)
]
[
DAFTAR PUSTAKA
Ashkar,F dan Mahdi ,S. 2003. Fitting the Log-Logistik Distribution by Generalized Moments. Journal of Hidrology. 328, 694-703.
Ashkar,F., B., 1987. The Generalized Method of Moments as Applied to Problems of Flood Frequency Analysis: Some Practical Results for the Log-Pearson Type 3 Distribution. J. Hydrol. 90,199-217.
Bain, I.J. and Engelhardt, M. 1992. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Brooks / Cole. Duxbury.
Greenwood, J.A., Landwehr, J.M., Matalas, N.C., Wallis, R., 1979. Probability Weighted Moments: Definition and Relation to Parameters of Several Distributions Expressible in Inverse Form. Water Ressour. Res. 15 (5), 1049–1054.
Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Prentice hall International Inc, New Jersey.
Larsen, Richard.J., Marx, Morris.L. 2012. An Introduction to Mathematical Statistics and Its Applications, Fifth Edition. Pearson Education, Inc., United States of America.
Miller,I dan Miller,M, 1999. John E. Freund’s Mathematical Statistics .Sixth Edition Printice Hall, Inc.New Jersey.
R.D.Gupta,D., Kundu. 1999. Generalized Exponensial Distribution.Austr. NZ J. Journal of Applied Statistical Science.41 (2),173-188.
a2<-1 a3<-1 lamda1<-2 lamda2<-7 lamda3<-15 n<-10000 x<-array(0,c(n,1)) am1<-array(0,c(n,1)) am2<-array(0,c(n,1)) am3<-array(0,c(n,1)) m1<-array(0,c(n,1)) m2<-array(0,c(n,1)) m3<-array(0,c(n,1)) fkp1<-array(0,c(n,1)) fkp2<-array(0,c(n,1)) fkp3<-array(0,c(n,1)) for(i in 1:n)
Lampiran 2. Koding untuk Kurva fungsi kepekatan peluang Distribusi Generalized Eksponensial dengan nilai dan dan 5.
a1<-1 a2<-1 a3<-1 lamda1<-50 lamda2<-20 lamda3<-5 n<-10000 x<-array(0,c(n,1)) am1<-array(0,c(n,1)) am2<-array(0,c(n,1)) am3<-array(0,c(n,1)) m1<-array(0,c(n,1)) m2<-array(0,c(n,1)) m3<-array(0,c(n,1)) fkp1<-array(0,c(n,1)) fkp2<-array(0,c(n,1)) fkp3<-array(0,c(n,1)) for(i in 1:n)
a1<-5 a2<-12 a3<-20 lamda1<-3 lamda2<-10 lamda3<-15 n<-10000 x<-array(0,c(n,1)) am1<-array(0,c(n,1)) am2<-array(0,c(n,1)) am3<-array(0,c(n,1)) m1<-array(0,c(n,1)) m2<-array(0,c(n,1)) m3<-array(0,c(n,1)) fkp1<-array(0,c(n,1)) fkp2<-array(0,c(n,1)) fkp3<-array(0,c(n,1)) for(i in 1:n)
Lampiran 4. Koding untuk Kurva fungsi kepekatan peluang distribusi GE
dengan nilai dan 50 (meningkat) dan dan 9 (menurun) a1<-20 a2<-30 a3<-50 lamda1<-25 lamda2<-17 lamda3<-9 n<-10000 x<-array(0,c(n,1)) am1<-array(0,c(n,1)) am2<-array(0,c(n,1)) am3<-array(0,c(n,1)) m1<-array(0,c(n,1)) m2<-array(0,c(n,1)) m3<-array(0,c(n,1)) fkp1<-array(0,c(n,1)) fkp2<-array(0,c(n,1)) fkp3<-array(0,c(n,1)) for(i in 1:n)
a1<-8
a2<-5
a3<-2
lamda1<-5
lamda2<-10
lamda3<-20
n<-10000
x<-array(0,c(n,1))
am1<-array(0,c(n,1))
am2<-array(0,c(n,1))
am3<-array(0,c(n,1))
m1<-array(0,c(n,1))
m2<-array(0,c(n,1))
m3<-array(0,c(n,1))
fkp1<-array(0,c(n,1))
fkp2<-array(0,c(n,1))
fkp3<-array(0,c(n,1))
for(i in 1:n)
{
x[i,1]<-i/1000
am1[i,1]<-a1*lamda1*(exp(-(lamda1*x[i,1])))
am2[i,1]<-a2*lamda2*(exp(-(lamda2*x[i,1])))
am3[i,1]<-a3*lamda3*(exp(-(lamda3*x[i,1])))
m1[i,1]<-(1-exp(-lamda1*x[i,1]))^(a1-1)
m2[i,1]<-(1-exp(-lamda2*x[i,1]))^(a2-1)
m3[i,1]<-(1-exp(-lamda3*x[i,1]))^(a3-1)
fkp1[i,1]<-m1[i,1]*am1[i,1]
fkp3[i,1]<-m3[i,1]*am3[i,1]
}
plot(x,fkp1,type="l",xlim=range(0,1)
,ylim=range(0,10),xlab="x",ylab="f(x)",col="green",lty=1)
lines(x,fkp2,lty=2,col="red")
lines(x,fkp3,lty=3,pch=2,col="blue")
temp<-legend("topright",legend=c("alpha1=8,lamda1=5","alpha2=5,lamda2=10","alpha3=2,lamda3=20")
a1<-8 a2<-5 a3<-2 lamda1<-20 lamda2<-10 lamda3<-5 n<-10000
x<-array(0,c(n,1)) am1<-array(0,c(n,1)) am2<-array(0,c(n,1)) am3<-array(0,c(n,1)) m1<-array(0,c(n,1)) m2<-array(0,c(n,1)) m3<-array(0,c(n,1)) fkp1<-array(0,c(n,1)) fkp2<-array(0,c(n,1)) fkp3<-array(0,c(n,1)) for(i in 1:n)
{
x[i,1]<-i/1000
fkp1[i,1]<-m1[i,1]*am1[i,1] fkp2[i,1]<-m2[i,1]*am2[i,1] fkp3[i,1]<-m3[i,1]*am3[i,1] }
plot(x,fkp1,type="l",xlim=range(0,1)
,ylim=range(0,10),xlab="x",ylab="f(x)",col="green",lty=1) lines(x,fkp2,lty=2,col="red")
lines(x,fkp3,lty=3,pch=2,col="blue")
temp<-legend("topright",legend=c("alpha1=8,lamda1=20","alpha2=5,lamda2=10","alpha3=2,lamda3 =5")
a1<-20 a2<-50 a3<-100 lamda1<-20 lamda2<-20 lamda3<-20 n<-10000 x<-array(0,c(n,1)) am1<-array(0,c(n,1)) am2<-array(0,c(n,1)) am3<-array(0,c(n,1)) m1<-array(0,c(n,1)) m2<-array(0,c(n,1)) m3<-array(0,c(n,1)) fkp1<-array(0,c(n,1)) fkp2<-array(0,c(n,1)) fkp3<-array(0,c(n,1)) for(i in 1:n)
Lampiran 8. Koding untuk Kurva fungsi kepekatan peluang distribusi GE dengan nilai
dan 5 ( menurun) dan nilai (konstan).
a1<-100000 a2<-30 a3<-5 lamda1<-20 lamda2<-20 lamda3<-20 n<-10000 x<-array(0,c(n,1)) am1<-array(0,c(n,1)) am2<-array(0,c(n,1)) am3<-array(0,c(n,1)) m1<-array(0,c(n,1)) m2<-array(0,c(n,1)) m3<-array(0,c(n,1)) fkp1<-array(0,c(n,1)) fkp2<-array(0,c(n,1)) fkp3<-array(0,c(n,1)) for(i in 1:n)
