MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI TWO-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH

(1)

ABSTRAK

MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK

DISTRIBUSITWO-PARAMETER GENERALIZEDRAYLEIGH

Oleh

AYU SISKA MARYONI

Distribusi generalized Rayleigh merupakan perumuman distribusi Rayleigh dan merupakan salah satu keluarga distribusi peluang kontinu yang digunakan dalam pemodelan dan kelangsungan hidup. Distribusi generalized Rayleigh memiliki dua parameter yaitu α sebagai parameter skala dan λ sebagai parameter bentuk. Distribusi generalizedRayleigh merupakan distribusi yang memiliki karakteristik populasi. Karakterisasi terhadap suatu distribusi dapat dilakukan dengan mengkaji momen, kumulan, dan fungsi karakteristik. Momen memiliki peranan penting dalam menjelaskan sebaran dari peubah acak. Menurut Hogg dan Craig (1965), seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif momen distribusi disebut kumulan. Kumulan dapat dicari menggunakan fungsi pembangkit kumulan. Setiap peubah acak memiliki fungsi khusus yang disebut fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam suatu himpunan atau tidak. Namun demikian, sejauh penelusuran penulis, belum ditemukan penjelasan mengenai momen, kumulan dan fungsi karakteristik distribusi two-parameter generalizedRayleigh (G2R).

Dalam penelitian ini diuraikan tentang karakteristik dari distribusiG2Rkhususnya proses pencarian momen pertama sampai keempat, kumulan pertama sampai keempat dan fungsi karakteristik. Momen distribusi G2Rdiperoleh menggunakan fungsi pembangkit momen, kumulan distribusi G2R diperoleh menggunakan fungsi pembangkit kumulan, dan fungsi karakteristik distribusi G2R diperoleh menggunakan definisi dan ekspansi trigonometri.

(2)

MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK

Oleh : Ayu Siska Maryoni

Tesis

Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Mencapai Gelar MAGISTER SAINS

Pada

Jurusan Matematika Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(3)

MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK

(Tesis)

Oleh :

AYU SISKA MARYONI

MAGISTER MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(4)

(5)

(6)

i DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

1. Grafik fkp Distribusi Rayleigh ... 5 2. Grafik fkp dari Distribusi Generalized Rayleigh ... 6 3. Grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai α

meningkat dan λ tetap ... 49 4. Grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai α

menurun dan λ tetap ... 50 5. Grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai α

tetap dan λ meningkat ... 51 6. Grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai α

tetap dan λ menurun ... 52 7. Grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai α

meningkat dan λ meningkat ... 53 8. Grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai α

meningkat dan λ menurun ... 54 9. Grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai α

menurun dan λ meningkat ... 55 10. Grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai α

(7)

i DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR ISI ... i

DAFTAR GAMBAR ... iii

DAFTAR LAMPIRAN ... iv

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Batasan Masalah ... 3

1.3. Tujuan Penelitian ... 3

1.4. Manfaat Penelitian ... 4

II. DISTRIBUSI RAYLEIGH DAN TWO-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH (G2R) ... 5

2.1. Distribusi Rayleigh ... 5

2.2. Distribusi Two-Parameter Generalized Rayleigh (G2R) ... 6

III. FUNGSI-FUNGSI KHUSUS ... 7

3.1. Fungsi Beta ... 7

3.2. Fungsi Gamma ... 8

3.3. Hubungan Distribusi Beta dengan Distribusi Gamma ... 9

(8)

ii

IV. MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK 13

4.1. Momen ... 13

4.2. Kumulan ... 14

4.3. Fungsi Karakteristik... 15

V. MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI G2R ... 17

5.1. Momen Distribusi G2R ... 17

5.2. Kumulan Distribusi G2R ... 30

5.3. Fungsi Karakteristik Distribusi G2R ... 35

5.4. Membuktikan Fungsi Karakteristik Distribusi G2R Memenuhi Sifat Umum Fungsi Karakteristik ... 43

5.5. Grafik fkp Distribusi G2R ... 49

VI. KESIMPULAN ... 57

DAFTAR PUSTAKA ... 60

(9)

i DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran Halaman

1. Coding Program grafik fkp distribusi Rayleigh dengan nilai

teta1 = 0,1, teta2 = 0,2, teta3 = 0,3, dan teta4 = 0,4 ... 62

2. Coding Program grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh dengan nilai alpha1 = 10, alpha2 = 15, alpha3 = 20, lambda1 = 8,

lambda2 = 5, dan lambda3 = 2 ... 63

3. Coding Program grafik fkp distribusi Generalized Rayleigh

(10)

(11)

MOTO

Orang yang berdoa tanpa disertai dengan perbuatan (amal), bagaikan orang yang memanah tanpa busur

(12)

PERSEMBAHAN

Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT, atas izin dan ridha-Nya

tesis ini dapat terselesaikan dan ku persembahkan kepada orang - orang tercinta :

Kedua orang tua dan adikku ku tercinta, Bapak Maryoto, Ibu Pony Kustiah, Bagus Andrianto, Cahyo Prasetyo Wibowo

terimakasih atas doa dan kasih sayang yang diberikan yang selalu menjadi kekuatan dalam setiap langkahku dalam mencapai impian dalam hidupku.

Para pendidik yang terhormat, terimakasih atas semua ilmu yang telah diberikan.

Teman-teman seperjuangan yang selama ini selalu menemani.

(13)

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Bandar Lampung pada tanggal 02 Januari 1991. Penulis adalah anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Bapak Maryoto dan Ibu Pony Kustiah.

(14)

SANWACANA

Puji syukur kehadirat Allah SWT Yang Maha Pengasih dan Maha Penyayang yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini.

Penulis menyadari terselesaikannya tesis ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih kepada.

1. Ir. Warsono, M.S., Ph.D., selaku Pembimbing I yang telah memberikan bimbingan serta arahan kepada penulis,

2. Drs. Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku Ketua Program Studi Magister Matematika Universitas Lampung sekaligus Pembimbing II yang telah memberikan sumbangan pemikiran dalam penyusunan tesis ini,

3. Dr. Asmiati, S.Si., M.Si., selaku penguji yang telah memberikan kritik dan saran kepada penulis dalam penyusunan tesis ini,

4. Drs. Suharsono. S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku dosen Pembimbing Akademik yang telah mendidik dan memberikan arahan kepada penulis,

5. Seluruh dosen yang telah mendidik dan membimbing penulis selama menyelesaikan studi,

6. Yang selalu tersayang dan terhormat Ibu, Bapak, Bagus, dan Cahyo, yang selalu memberikan cinta dan kasih sayang dengan ikhlas dan tulus juga doa yang tiada henti-hentinya demi keberhasilan dan kesuksesan saya,

(15)

Akhir kata, Penulis berharap semoga tesis yang sederhana ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Amin.

(16)

1 I. PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Distribusi generalized Rayleigh merupakan perumuman dari distribusi Rayleigh. Distribusi Rayleigh merupakan salah satu keluarga dari distribusi peluang kontinu yang biasa digunakan dalam data pemodelan dan kelangsungan hidup. Namun distribusi Rayleigh ini terkadang tidak selalu tepat dalam mengemas suatu data kelangsungan hidup dalam suatu model peluang karena ragamnya yang kurang menyebar. Untuk dapat mengatasinya, maka dibutuhkan suatu perumuman dari distribusi Rayleigh untuk dapat digunakan dalam setiap keadaan data, baik ragamnya mmenyebar ataupun tidak yaitu dengan distribusigeneralizedRayleigh. DistribusigeneralizedRayleighmemiliki dua parameter yaitu parameter skala (α) dan parameter bentuk (λ).

(17)

2 Selain Kundu dan Raqab, ada peneliti lain yang juga membahas tentang distribusi generalizedRayleigh yaitu Ion Vladimirescu dan Radu Tunaru pada tahun 2003, dengan jurnalnya yaitu “Tests for Discrimination Between Two Generalized Rayleigh Distributions”. Dalam jurnalnya mereka membahas bahwa distribusi generalizedRayleigh adalah kumpulan dari distribusi dua parameter yang dimiliki Rayleigh, Maxwell dan Chi-square pada kasus tertentu dan melakukan tes seragam dan takbias untuk membedakan antara parameter dari dua distribusi generalizedRayleigh yang tergantung pada nilai dari parameter k.

Ada lagi peneliti lain yang bernama Blumenson dan Miller (2007) dengan jurnalnya yang berjudul “Properties of Generalized Rayleigh Distribution”. Dalam jurnalnya mereka membahas tentang metode yang digunakan dalam vektor ruang linier yang terdiri dari dua jenis, rumus eksplisit dan representasi simbolik.

(18)

3 Adapun dalam teori probabilitas dan statistik, seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif momen distribusi disebut kumulan (Hogg dan Craig, 1965). Kumulan dapat dicari dengan menggunakan fungsi pembangkit kumulan. Fungsi pembangkit kumulan didapat dari logaritma fungsi pembangkit momen atau dari logaritma fungsi karakteristik. Suatu peubah acak memiliki fungsi khusus yang disebut fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik digunakan untuk menunjukkan apakah sebuah anggota terdapat dalam sebuah himpunan atau tidak.

Dari latar belakang di atas, karena belum ada yang meneliti tentang mencari nilai momen, kumulan, dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized Rayleigh (α, λ), maka penulis bermaksud melakukan penelitian tentang momen, kumulan, dan fungsi karakteristik distribusitwo-parameter generalizedRayleigh (G2R).

1.2. Batasan Masalah

Pada penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah menentukan nilai momen pertama hingga keempat, nilai kumulan pertama hingga keempat dan fungsi karakteristik dari distribusiG2R.

1.3. Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dilakukannya penelitian ini antara lain :

1. Mencari momen pertama hingga keempat dari distribusi G2R menggunakan fungsi pembangkit momen.

(19)

4 1.4. Manfaat Penelitian

(20)

5

II. DISTRIBUSIRAYLEIGH DAN DISTRIBUSI TWO-PARAMETER GENERALIZED RAYLEIGH (G2R)

2.1. Distribusi Rayleigh

Distribusi Rayleigh merupakan distribusi kontinu yang diperkenalkan oleh Lord Rayleigh. Pada tahun 1880, distribusi Rayleigh dikenal secara luas di bidang oseanografi dan dalam teori komunikasi untuk menggambarkan puncak sesaat kekuatan sinyal radio yang diterima. Spiegel dan Stephens (2004) menjelaskan bahwa sebuah distribusi Rayleigh memiliki fkp yaitu sebagai berikut :



,



2; 0

2 2

2 





σ σ

σ x _e x σ

[image:20.595.141.484.419.702.2]

x f

(21)

6 2.2. DistribusiTwo-Parameter Generalized Rayleigh(G2R)

Raqab (2005) menjelaskan bahwa distribusi two-parameter generalizedRayleigh (G2R) merupakan salah satu distribusi kontinu yang memiliki dua parameter, yaitu α dan λ. Raqab memisalkan X adalah random variabel dari distribusi G2R sehingga fkp nya adalah





 



 



0

,

0

,

0

;

1

2

,

α

λ



αλ

2

xe

λ 2



e

λ 2 α1

x



α



λ



x

[image:21.595.143.475.263.529.2]

f

x x

Gambar 2. Grafik fkp distribusigeneralizedRayleigh

Xiao Ling dan David E. Giles (2011) telah memperoleh fkp dari distribusi

generalizedRayleigh dengan melakukan perhitungan dari fkp distribusi Rayleigh,

distribusi Half-Normal, distribusi Maxwell, dan distribusi Chi-Square. Dari

penjelasan tersebut, maka diketahui bahwa distribusi two-parameter generalized

Rayleigh diperoleh dari penggabungan distribusi Rayleigh dengan beberapa

(22)

7 III. FUNGSI-FUNGSI KHUSUS

Dalam penelitian ini, untuk menentukan momen, kumulan, dan fungsi karakteristik distribusi G2R, penulis menggunakan beberapa fungsi khusus yang berkaitan dengan hasil yang ingin dicapai dalam penelitian ini, yaitu:

3.1. Fungsi Beta

Nakhi (2001) menjelaskan tentang fungsi beta yang dinotasikan dengan ( , ) dan didefinisikan sebagai berikut:

   

1 0

1 ) 1 ( 1 )

,

(a b xa x b dx B

dengan B(a,b) konvergen untuk a, b > 0

Selain itu, Nakhi (2001) juga mengungkapkan bahwa sifat yang dimiliki fungsi beta adalah simetris, yaitu :

) , ( ) ,

(a b B b a

B 

Bukti :

   

1 0

1 ) 1 ( 1 )

,

(a b xa x b dx B

Dengan menggunakan transformasi x = 1–y, maka diperoleh :

   

1 0

1 1 ) 1 ( ) ,

(23)

8     1 0 1 ) 1 ( 1 ) ,

(a b yb y a dy B ) , ( ) ,

(a b B b a

B 

3.2. Fungsi Gamma

Abramowitz dan Stegun (1972) menjelaskan tentang fungsi gamma yang dinotasikan dengan (n) yang konvergen untuk n > 0 dan didefinisikan sebagai

berikut : dx x e n x n     



0 1 ) (

Rumus rekursi untuk fungsi gamma adalah sebagai berikut:

) ( )

1

(n   n n



Fungsi digamma merupakan hasil turunan pertama dari fungsi gamma yang didefinisikan sebagai berikut :

) ( ) ( ' )] ( [ln ) ( z z dz z d z      ψ

Selain fungsi digamma, ada juga fungsi polygamma yaitu fungsi yang diperoleh dari turunan ke-n fungsi gamma dan didefinisikan sebagai berikut:

)

(

ln

) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) (

z

n dz n d z n dz n d z n



    ψ ψ

(24)

9 3.3. Hubungan Distribusi Beta Dengan Distribusi Gamma

Pada penelitian ini, transformasi distribusi beta menjadi distribusi gamma digunakan untuk mentransformasi fungsi karakteristik distribusi G2R menjadi bentuk yang lebih sederhana. Mc Donald (1995) telah menjelaskan bahwa untuk menghitung nilai fungsi beta digunakan hasil dari fungsi gamma.

Dengan menggunakan koordinat polar, dilakukan perhitungan berikut :

Ambil : xsin2θ

θ θ

θ d

dx2sin cos

Batas-batas integral :

2 1 0 0 π θ θ       x x



 _   1 0 1 1 ) 1 ( ) ,

(a b x x dx

B a b



 _   2 0 1 2 ) 1 ( 2 cos sin 2 ) sin 1 ( ) (sin π θ θ θ θ

θ a b d



   2 0 ) 1 ( 2 2 2 cos sin 2 ) (cos ) (sin π θ θ θ θ

θ a b d



   2 0 2 2 2 2 cos sin 2 ) (cos ) (sin π θ θ θ θ

θ a b d



   2 0 1 2 1 2 ) (cos ) (sin 2 π θ θ

(25)

10 Setelah perhitungan fungsi beta di atas, kemudian dilakukan perhitungan dengan menggunakan fungsi gamma, yaitu sebagai berikut.

Dengan mengambil definisi fungsi gamma, diperoleh

) (a  =



   0 1 dx e xa x

ambil xu2 dx2udu, maka memenuhi

=



u a e u udu

   0 2 2 2 2 du e u a u



    0 1 2 2 2 ) (b  =



   0 1 dx e xb x

ambil xv2dx2vdv, maka memenuhi

=



   0 2 2 2 2 vdv e

v n v



    0 1 2 2

2 v n e v dv

) ( ) (a  b

 = _     



   0 1 2 2

2 u a e u du

     



   0 1 2 2

2 v b e v dv

= 4



 

      0 1 2 1 2 0 2 2 dudv e v

(26)

11 0 θ r u v (u,v)=(r,θ) X Y

Dengan menggunakan transformasi koordinat kutub, yaitu sebagai berikut.

Sehingga diperoleh u = r cos θ dan v = r sin θ, maka dengan menggunakan transformasi parameter diperoleh persamaan berikut:

) ( ) (a  b

 = 4



 



θ θ θ θ π d v d u dr v dr u e r

r a b r

   



    0 1 2 1 2 2 0 2 sin

cos dr dθ

= 4





 



    0 1 2 1 2 2 0 2 sin

cos a r b e r

r θ θ

π θ θ θ θ cos . sin . sin cos r r

 dr dθ

= 4





 



    0 1 2 1 2 2 0 2 sin

cos a r b e r

r θ θ

π

r dr dθ

= 4



      0 1 2 1 2 1 ) ( 2 2 0 sin cos 2 θ θ π b a r b a e

r dr dθ

= _     



   0 0 1 ) ( 2 2

2 r a b e r dr

         



 _θ  _θ _θ π d Sin

Cos a b

2 0 1 2 1 2 2 ) , ( ) ( ) ( )

(a  b  ab B a b 

Jadi, diperoleh rumus umum untuk menghitung nilai fungsi beta menggunakan fungsi gamma, yaitu :

(27)

12 3.4. Rumus Euler

Rumus Euler adalah rumus matematika yang digunakan dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial.

Kreyszig (1993) menuliskan bahwa rumus Euler untuk setiap bilangan riil x,

) sin( )

cos(t i t it

e  

Dan fungsi sekawannya yaitu :

) sin( )

cos(t i t it

e  

dengan : eadalah basis logaritma natural iadalah unit imajiner

diperoleh daricos(t)cos(t),sin(t)sin(t).

Dengan mensubstitusikan nilai t = nx, maka diperoleh persamaan berikut.

) sin( )

cos(nx i nx inx

e  

) sin( )

cos(nx i nx inx

e  

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh rumus untuk menghitung nilai cos (nx) dan sin (nx) sebagai berikut.

2 )

cos(

inx e inx e nx

  

dan

i inx e inx e nx

2 )

sin(

  

... ...

(1)

(28)

57

VI. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil yang telah didapat dan diuraikan dari penelitian ini, maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1. Momen pertama hingga momen keempat dari distribusiG2R adalah a. Momen pertama

              ) 1 ( ) 1 ( ' ) 1 ( ' 1 1 _α α λ µ

b. Momen kedua









2 ' ' ' '' '' 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1                         α α α α α α λ µ

c. Momen ketiga

(29)

58 d. Momen keempat













                                                                                                                   4 ' 3 ' ' 2 ' ) 2 ( ' ) 3 ( 3 2 ' ) 2 ( 2 ' ) 2 ( ' 2 ) 3 ( ' 2 ) 2 ( ) 4 ( ) 3 ( ' ) 2 ( ) 2 ( ) 4 ( 4 4 ) 1 ( ) 1 ( 24 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 24 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 12 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 27 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 24 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 8 ) 1 ( ) 1 ( 6 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 4 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 6 ) 1 ( 1 α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α λ µ

yang diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized Rayleighsebagai berikut :

) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( α λ λ α         t t t M_x

2. Kumulan pertama hingga kumulan keempat dari distribusiG2Radalah : a. Kumulan pertama



(( 1) (1)



1

1 ψ α ψ

λ  



K

b. Kumulan kedua



(1) (( 1)



1 ' '

2

2 _λ ψ ψ α  K

c. Kumulan ketiga



(( 1) (1)



1 '' ''

3

3_λ ψ α  ψ K

d. Kumulan keempat



(1) ( 1)



1 ''' '''

4

(30)

59 yang diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit kumulan dari distribusi generalized Rayleighsebagai berikut :

) 1 (

) 1 ( ln ) 1 ( ln )

(          λ α λ

α t t

t Q_X

3. Fungsi karakteristik dari distribusigeneralized Rayleighadalah :

) 1

(

) 1 ( ) 1 ( ) (

α λ

λ α

ϕ

  

    

it it it

(31)

60 DAFTAR PUSTAKA

Abromowits, M. and Stegun, L. A. (Eds) 1972. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematicals Tables, 9thprinting, New York : Dover, p. 928

Blumenson and Miller. “Properties of Generalized Rayleigh Distribution”.Ann. Math. Statist. Volume 34, Number 3 (1963), 903-910.

Dudewicz, Edward J and Satya N. Mishra. 1995.Modern Mathematical Statistics. Syracuse, New York.

Dhwyia, S. dkk. 2012. “Proposed Methods for Estimating Parameters of the Generalized Raylieh Distribution in the Presence of One Outlier”. Publishing American Journal of Mathematics and Statistics, 2(6): 178-183 E. Walpoe, Ronald, Raymond H. Mmyers, and Sharon L. Myers. 2000.

Probability and Statisics for Engineers and Scientists, Sixth Edition. New Jersey. Upper Saddle River.

Hogg, V Robert. And Craig, T Allen. 1965.Introduction to Mathematical Statistic Fifth Edition. New Jersey : Prentice Hall Inc.

Kreyszig, Erwin. 1993. Advanced Engineering Mathematics. Singapore : John Wiley and Sons

Kundu, Debasis and Raqab, Muhammad Z., “Generalized Rayleigh Distribution : Different Methods Estimations”. Publishing Computational Statistics and Data Analysis on Applied Mathematics. 15 April 2005, Vol. 49(1): 187-200

Ling Xiao, and David E. Giles.2011. Bias Reduction for the Maximum Likelihood Estimator of the Parameters of the Generalized Rayleigh Family of Distributions.Economic Working Paper.

Lukacs, Eugene. 1970.Characteristic Functions. London : Griffin

McDonald, James B., J. Xu. Yexiao. 1995. “A Generalized of the Beta Distribution with Appication”.Journal of Econometrics 66.

(32)

61 Raqab, Muhammad Z. 2005. “Discriminating between the Generalized Rayleigh

and Weibull distributions”. Publishing Statistics 41(6), 505 - 515

Spiegel, Murray dan Larry J. Stephens. 2004. “Schaum’s Outlines of Theory and Problems of Statistics Third Edition”. PT. Gelora Aksara