ABSTRACT
MOMENT, CUMULANT, DAN CHARACTERISTIC FUNCTION DARI GENERALIZED EXPONENTIAL DISTRIBUTION
By
APIT NIRMALA
The generalized exponential distribution (GED) proposed by Gupta and Kundu (1999) is an important lifetime distribution in survival analysis. Generalized Exponential Distribution is defined as a particular case of Gompertz-Velhust distribution function when ρ=1. It has two parameters, α as a shape parameter and λ as a scale parameter. Actually, it can be a regular exponential distribution if the value of the shape parameter equals to one. Generalized Exponential Distribution is a distribution that also has the characteristics of the population. In this study discuss about characteristics of generalized exponential distribution (GED) especially moment, cumulants, and characteristic function. The moments and cumulant generating function of generalized exponential distribution (GED) can be obtained using moment generating function. Subsequently, by using cumulant generating function, we can get cumulants which can be used to find skewness and kurtosis. Furthermore, we obtained characteristic function by using probability density function and proof that the norm of characteristic function is equals to one. It was show that generalized exponential distribution (GED) is monotone function. Finally, to show it is either increasing monotonic or decreasing monotonic function, the probability density function (PDF), skewness and kurtosis were simulated by using mathlab.
MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED EKSPONENSIAL
Oleh
Apit Nirmala
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
MOMEN, KUMULAN, DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED EKSPONENSIAL
(Skripsi)
Oleh APIT NIRMALA
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandar lampung pada tanggal 23 April 1992. Penulis merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Turyono dan Ibu Malisa, kakak dari Miranti Agustina.
Penulis memulai pendidikan dari Taman Kanak-kanak Widya Bhakti Bandar Lampung pada tahun 1998. Pendidikan sekolah dasar di SD Sejahtera II, Bandar lampung pada tahun 2004. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 19 Bandar Lampung pada tahun 2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 9 Bandar lampung pada tahun 2010.
MOTO
“Bertakwalah pada Allah maka Allah akan mengajarimu. Sesungguhnya Allah Maha Mengetahui segala sesuatu.”
(Q.S. Al – Baqarah : 282)
“Tugas orang hidup adalah memiliki harapan, hanya benda mati yang tidak memiliki harapan.”
(Dian Kurniasari, M.Sc.)
PERSEMBAHAN
“Dan seandainya semua pohon yang ada dibumi dijadikan pena, dan
lautan dijadikan tinta, ditambah lagi tujuh lautan sesudah itu, maka belum akan habislah kalimat-kalimat Allah yang akan dituliskan,
sesungguhnya Allah maha Perkasa lagi Maha Bijaksana”.
(QS. Lukman: 27)
Alhamdulillah…. dengan ridha-Mu ya Allah…..
Amanah ini telah selesai, sebuah langkah usai sudah. namun itu bukan akhir dari perjalanan ku, melainkan awal dari sebuah
perjalanan.
Kupersembahkan karya yang sederhana ini untuk ….
Ayahanda Turyono dan Ibunda Malisa, yang telah bersusah payah dalam membesarkan,
mendidik, dan memberikan segenap cinta kasih kepadaku. Semoga karya ini dapat mengobati beban kalian walau sejenak. Semoga Allah Swt memberikan kebahagiaan di dunia dan
akhirat.
Adikku, semoga jadi anak yang pinter, dan sholihah
Seluruh Guru dan Dosenku yang dengan ikhlas
telah memberikan ilmu kepadaku. Terima kasih banyak atas ilmu yang telah Engkau berikan, semoga menjadi ilmu yang
manfa’at dan barokah.
Kesuksesan bukanlah suatu kesenangan, bukan juga suatu kebanggaan,
Hanya suatu perjuangan dalam menggapai sebutir mutiara
keberhasilan…
Semoga Allah memberikan rahmat dan karunia-Nya
SANWACANA
Alhamdulillahi robbil ‘alamin, puji dan syukur penulis kepada Allah SWT atas
izin ridho-Nya dalam menyelesaikan skripsi yang berjudul “Momen, Kumulan, dan Fungsi Karakteristik dari Distribusi Generalized Eksponensial“. Shalawat serta salam kepada junjungan nabi besar Muhammad SAW yang telah menjadi suri tauladan yang baik bagi kita.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak bimbingan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Warsono, Ph.D., selaku pembimbing utama yang senantiasa membimbing dan memberikan arahan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak membantu, selalu sabar memberikan pengarahan dan motivasi dalam proses penyusunan skripsi ini serta telah banyak berbagi waktu bersama yang sangat berkesan, berarti dan tak terlupakan.
4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 6. Seluruh dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
7. Ayahanda Turyono dan Ibunda Malisa yang tidak pernah lelah memberikan dukungan, semangat, dan doa yang terbaik bagi penulis.
8. Adik tercinta, Miranti Agustina yang selalu memotivasi, mendoakan, dan mendukung penulis.
9. Yang terkasih Andrew Octa Ryno yang telah berbagi pengalaman dan selalu memberi semangat tersendiri bagi penulis.
10.Sahabat dan teman seperjuangan Epy Lestari, Dwi Siska F., Anis Wulandari, Devi Purnama Sari, Fransiska Octa Silvia N., Maria Asri Mulatsih, Tiurma Ratna Devi H., Eka Puspita Sari Busro, Bernadhita Herindri Samudera Utami, Dian Ekawati, Agustia indriani, Rossani Mutiara Thamrin, Miranti Verdiana, Rahmawati Eka H. dan Vinny Yuliani Sundara yang telah memberikan dukungan dan semangat kepada penulis.
11.Teman-teman MATH ADDICT dan kakak-kakak tingkat Jurusan Matematika Angkatan 2009 atas kebersamaan, keceriaan, dan kekeluargaan yang diberikan kepada penulis selama menempuh pendidikan di Universitas Lampung.
13.Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu persatu.
Bandar Lampung, 11 Juli 2014 Penulis,
DAFTAR ISI
Halaman DAFTAR GAMBAR
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Batasan Masalah ... 3
1.3 Tujuan Penelitian ... 3
1.4 Manfaat Penelitian ... 3
II. LANDASAN TEORI 2.1 Fungsi Gamma ... 4
2.2 Fungsi Digamma ... 5
2.3 Fungsi Polygamma ... 5
2.4 Fungsi Beta ... 6
2.5 Distribusi Eksponensial ... 6
2.6 Distribusi generalized Eksponensial ... 7
2.7 Fungsi Pembangkit momen ... 9
2.8 Momen ... 12
2.9 Fungsi Pembangkit Kumulan ... 13
2.10 Kumulan ... 13
2.11 Skewness ... 15
2.12 Kurtosis ... 16
2.13 Fungsi Karakteristik ... 16
III.METODOLOGI PENELITIAN
4.7 Fungsi Karakteristik dari Distribusi Generalized eksponensial ... 45
4.8 Simulasi Grafik Fungsi Distribusi Generalized eksponensial ... 52
4.8.1 Fungsi kepekatan Peluang ... 52
4.8.2 Skewness ... 60
4.8.3 Kurtosis ... 64
V. KESIMPULAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Eksponensial ... 7 2. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial ... 9 3. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial dengan nilai α konstan dan nilai λ meningkat ... 52 4. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial dengan nilai α konstan dan nilai λ menurun ... 53 5. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial dengan nilai α meningkat dan nilai λ meningkat ... 54 6. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial dengan nilai α meningkat dan nilai λ menurun ... 55 7. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial dengan nilai α menurun dan nilai λ meningkat ... 56 8. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial dengan nilai α menurun dan nilai λ menurun ... 57 9. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial dengan nilai α meningkat dan nilai λ konstan ... 58 10.Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Eksponensial dengan nilai α menurun dan nilai λ konstan ... 59 11.Grafik Kemencengan dari Distribusi Generalized Eksponensial
12.Grafik Kemencengan dari Distribusi Generalized Eksponensial dengan menggunakan 9 nilai α... 61 13.Grafik Kemencengan dari Distribusi Generalized Eksponensial
dengan menggunakan 16 nilai α... 62 14.Grafik Kemencengan dari Distribusi Generalized Eksponensial
dengan menggunakan 36 nilai α... 63 15.Grafik Keruncingan dari Distribusi Generalized Eksponensial
dengan menggunakan 4 nilai α... 64 16.Grafik Keruncingan dari Distribusi Generalized Eksponensial
dengan menggunakan 9 nilai α... 65 17.Grafik Keruncingan dari Distribusi Generalized Eksponensial
dengan menggunakan 16 nilai α... 66 18.Grafik Keruncingan dari Distribusi Generalized Eksponensial
I.PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Distribusi Generalized eksponensial pertama kali diperkenalkan oleh Gupta dan Kundu pada tahun 1999. Distribusi ini diambil dari salah satu fungsi kepadatan kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk. Dimana salah satu dari tiga parameternya distandarisasi menjadi satu.
Distribusi Generalized eksponensial memilki parameter α sebagai alat untuk mengestimasi nilai kegagalan awal, dimana semakin besar nilai α maka distribusi tersebut mendekati distribusi normal. Berbeda dengan distribusi eksponensial biasa yang memiliki parameter λ, dimana semakin besar nilai λ maka distribusi tersebut berbentuk linier negatif.
Dalam kajiannya Gupta dan Kundu menggunakan maksimum likelihoodestimator
untuk menghitung estimasi parameter α. Kemudian diaplikasikan dengan data observasi, diperoleh bahwa distribusi generalized eksponensial memberikan hasil yang lebih baik daripada distribusi eksponensial biasa.
2
dengan mengkaji momen dari distribusi tersebut. Momen memiliki peran penting dalam statistika karena mampu menjelaskan sebaran dari peubah acak. Menurut Hogg dan Craig (1965) kegunaan yang jelas dari fungsi pembangkit momen ialah untuk menentukan momen distribusi. Bila fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen dari peubah acak tersebut, dengan menurunkan fungsi pembangkit momen hingga r kali (hingga momen ke r). Dapat diketahui bahwa turunan pertamanya (momen ke-1) adalah rata-rata dan turunan kedua (momen ke-2) adalah variansinya.
Adapun dalam teori probabilitas dan statistik, seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif momen distribusi dinamakan kumulan. Kumulan dapat dicari dengan menggunakan fungsi pembangkit kumulan. Dimana fungsi pembangkit kumulan didapat dari logaritma fungsi pembangkit momen atau logaritma dari fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik menyediakan cara alternatif untuk menggambarkan suatu variabel acak.
Dari latar belakang di atas, penulis ingin mengkaji lebih mendalam lagi distribusi
3
1.2Batasan Masalah
Pada penelitian ini, penulis hanya dibatasi pada pencarian momen pertama hingga momen keempat, kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized
eksponensial(α,λ).
1.3Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mencari momen dari distribusi generalized eksponensial (α,λ) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.
2. Mencari kumulan dari distribusi distribusi generalized eksponensial (α,λ) dengan menggunakan fungsi pembangkit kumulan.
3. Mencari fungsi karakteristik dari distribusi generalized eksponensial(α,λ).
1.4Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan panduan dan sumbangan pemikiran kepada peneliti lain tentang cara mencari momen dari distribusi generalized eksponensial(α,λ).
2. Memberikan hasil kumulan dan fungsi karakteristik dari distribus generalized
II. LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diberikan konsep dasar yang akan digunakan dalam
pembahasan hasil penelitian ini, antara lain :
2.1 Fungsi Gamma
Fungsi gamma merupakan suatu fungsi khusus. Fungsi ini dapat digunakan untuk menyederhanakan integral-integral khusus.
Definisi 2.1
Fungsi gamma yang dinotasikan dengan Г( ) didefinisikn sebagai:
Г = −1 −
∞
0
; > 0 (2.1)
Rumus rekursi untuk fungsi gamma adalah:
Г + 1 = Г( )
(Abramowitz dan Stegun, 1972)
5
2.2 Fungsi digamma
Fungsi digamma merupakan hasil turunan (derivatif) pertama dari fungsi gamma. Definisi 2.2 :
Fungsi Digamma didefinisikan sebagai berikut :
� = Γ =Γ
′
Γ (2.2)
(Abramowitz, M. And Stegun,1972)
Berikutnya akan dijelaskan tentang fungsi polygamma yang juga merupakan landasan teori yang akan digunakan pada penelitian ini.
2.3Fungsi Polygamma
Fungsi polygamma merupakan fungsi yang diperoleh dari turunan ke-n fungsi gamma.
Definisi 2.3:
Fungsi polygamma didefinisikan sebagai berikut :
� = � =
+1
+1 Γ (2.3)
(Abramowitz, M. andStegun,1972)
6
2.4 Fungsi Beta
Fungsi beta merupakan suatu fungsi khusus. Fungsi ini dapat digunakan untuk menyederhanakan integral-integral khusus.
Definisi 2.4
Fungsi beta yang dinotasikan dengan B( , ) didefinisikan sebagai:
B , = −1(1− ) −1
1
0
; > 0 , > 0 (2.4)
Rumus rekursi untuk fungsi beta adalah:
B , =Г Г
Г + (2.5)
(James B. McDonald, Yexio J.Xu,1993)
Selanjutnya akan dibahas mengenai distribusi eksponensial sebagai pembanding dengan distribusi generalized eksponensial.
2.5 Distribusi Eksponensial
Distribusi eksponensial merupakan salah satu distribusi kontinu dan salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.5
Misalkan X adalah peubah acak, menyebar menurut distribusi eksponensial dengan parameter > 0 dimana fungsi densitasnya adalah:
= − ; > 0; > 0
0 ; � (2.6)
7
dimana:
X: Peubah acak : Paramater skala
Berikut ini adalah bentuk grafik dari distribusi eksponensial.
Gambar 1 Grafik fungsi kepekatan peluang distribusi eksponensial
(Gupta dan Kundu, 1999)
Pokok kajian dalam penilitian ini yaitu distribusi generalized eksponensial yang akan dibahas pada sub-bab selanjutnya
2.6 Distribusi Generalized Eksponensial
8
kumulatif yang digunakan pada pertengahan abad 19 (Gompertz-Verhulst) untuk membandingkan tabel kematian dan menghasilkan laju pertumbuhan penduduk. Yang didefinisikan sebagai berikut :
� = 1− � −� � (2.7)
Kemudian dengan menstandarisasikan ρ = 1 dan x = t, maka didapat Univariate Generalized Exponential distribution dengan fungsi kepadatan kumulatif (fkk) dan x > 0, adalah sebagai berikut :
;�, = 1− − � (2.8)
dari turunan fungsi kepadatan kumulatif di atas, juga didapat fungsi kepadatan peluangnya (fkp) dari distribusi generalized eksponensial.
Definisi 2.6
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi generalized eksponensial dengan dua parameter, maka menurut Gupta dan Kundu (1999), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah
Dimana α dan λ masing – masing adalah parameter bentuk dan parameter skala. Ini jelas bila α = 1, maka distribusi diatas merupakan distribusi eksponensial.
9
Gambar 2 Grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi generalized eksponensial
(Gupta dan Kundu, 1999)
Pada sub-bab selanjutnya akan diuraikan definisi fungsi pembangkit momen yang akan digunakan untuk mencari momen dari distribusi generalized exponential.
2.7 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen dari suatu distribusi digunakan untuk mencari momen dari suatu distribusi tersebut. Fungsi pembangkit momen dapat diperoleh dari ekspetasi �� dari suatu distribusi tersebut.
10
Bila X merupakan peubah acak diskrit, maka
�� = � (2.10)
dan bila X merupakan peubah acak kontinu, maka
�� = ∞ � (2.11)
(Edward J. Dudewicz & Satya N.Mishra, 1995)
11 menurunkan fungsi pembangkit momen sebanyak r kali dan memasukkan nilai t = 0, sehingga terbukti bahwa:
�� = �
���� � │�=0 (2.14)
(Walck, 2007)
12
2.8 Momen
Karakterisasi terhadap suatu distribusi dapat dilakukan dengan mengkaji momen dari distribusi tersebut. Momen memiliki peran penting dalam statistika karena mampu menjelaskan sebaran dari peubah acak. Momen didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.8
Momen ke-r di sekitar titik asal dari peubah acak didefinisikan oleh �′ = (��). Jika X peubah acak diskrit, maka
�′ = �� = � (2.15)
Dan jika X peubah acak kontinu, maka
�′ = �� = �
∞
−∞ (2.16)
Bila momen pertama dan kedua di sekitar titik asal dinyatakan dengan
1=′ � dan 2′ = E X2 , maka rataan dan variansi suatu peubah acak dapat
ditulis sebagai berikut:
= � = ′1 dan � � � = 2′ − 2
13
2.9 Fungsi Pembangkit Kumulan
Fungsi pembangkit kumulan digunakan untuk menghitung kumulan dari variabel acak X. Fungsi pembangkit kumulan disimbolkan dengan � � , didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 2.9
Fungsi Pembangkit Kumulan didefinisikan sebagai
�� � ≡ (��) !
∞
=1
� ln �� � = ln �� (2.17)
Dimana
�� � : Fungsi Karakteristik
�� � : Fungsi Pembangkit momen
(Walck, 2007)
Karakteristik lain dari distribusi generalized eksponensial yang akan dicari dalam penelitian ini adalah kumulan. Definisi kumulan akan diuraikan pada sub-bab selanjutnya.
2.10 Kumulan
14
Definisi 2.10
Kumulan � didefinisikan sebagai berikut:
�� � ≡ (��) !
∞
=1
(2.18)
Dengan menggunakan deret Maclaurin maka didapat :
�� � = �� 1′ +1
Dimana �′ momen baku, maka dapat dituis kembali sebagai berikut:
15
2.11 Skewness
Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya.
Definisi 2.11
Skewness merupakan ukuran dari kesimetrisan atau lebih tepatnya kekurang-simetrisan. Suatu distribusi dikatakan simetris jika distribusi tersebut nampak sama antara sebelah kanan dan sebelah kiri titik.pusatnya. Distribusi - distribusi yang simetris misalnya distribusi normal, distribusi t dan distribusi seragam. Distribusi–distribusi yang mempunyai skewness positif misalnya distribusi eksponensial, distribusi Chi-kuadrat, distribusi Poisson dan distribusi Binomial dengan p > 0.5 sedangkan distribusi yang mempunyai skewness negatif misalnya distribusi Binomial dengan p < 0.5.
(deGunst dan van der Vaart, 1993)
16
2.12 Kurtosis
Kurtosis (keruncingan distribusi data) adalah ukuran tinggi rendahnya puncak dari suatu ditribusi. Kurtosis dilambangkan dengan �4 dan dapat diperoleh dengan rumus :
�3 =
�4
4 (2.20)
Dimana s merupakan simpangan baku yang dapat diperoleh dari �2 .
(Edward J. Dudewicz & Satya N.Mishra, 1995)
Kemudian pada sub-bab terakhir akan dijelaskan mengenai fungsi karakteristik dari distribusi generalized eksponensial.
2.13 Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi
generalized eksponential dengan menambahkan � sebagai bagian imaginer atau
momen dari (���) atau ekspektasi dari ���.
Definisi 2.9
Fungsi karakteristik (��) dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai
ekspektasi dari ���, dimana i adalah unit imaginer dan t ∈ dapat dinyatakan sebagai berikut:
�� � = ��� = −∞∞ �� ( ) = −∞∞ �� (2.21)
dimana �� � = ��� = {cos �� +�sin(��)
17
Dan ( ) merupakan fungsi kumulatif dari distribusi X, sedangkan ( ) merupakan fungsi kepakatan peluang dari distribusi X.
(Kendall & Stuart, 1977)
Pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan mengenai fungsi eksponensial yang juga akan digunakan dalam penelitian ini.
2.14 Fungsi Eksponensial
Rumus Euler, dinamakan untuk Leonhard Euler, adalah rumus matematika dalam analisis kompleks yang menunjukkan hubungan mendalam antara fungsi trigonometri dan fungsi eksponensial. (Identitas Euler adalah kasus spesial dari rumus Euler.)
Rumus Euler menyatakan bahwa, untuk setiap bilangan real x,
�� = � +� � � (2.22)
Dimana
adalah basis logaritma natural
� adalah unit imajiner
Dan fungsi sekawannya
−�� = � − � � � (2.23)
yang diperoleh dari −� = � , � −� =− � � dengan �= , sehingga
18
−� = − � � (2.25)
Persamaan (2.24) dan (2.25) dijumlahkan kemudian dibagi dengan 2 sehingga diperoleh
=
�� + −��
2 (2.26)
Persamaan (2.24) dan (2.25) dikurangkan kemudian dibagi dengan 2� sehingga diperoleh
� =
�� − −��
2� (2.27)
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, dan dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2013/2014.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan mengkaji secara teoritis dari berbagai literatur yang berkaitan dengan skripsi ini. Adapun langkah yang digunakan adalah sebagai berikut:
1. Mencari momen dari distribusi generalized eksponensial (α,λ) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.
2. Mencari kumulan dari distribusi generalized eksponensial (α,λ) dengan menggunakan fungsi pembangkit kumulan.
3. Mencari skewness dan kurtosis dari distribusi generalized eksponensial (α,λ) dengan menggunakan kumulan kedua, kumulan ketiga dan kumulan
20
4. Mencari fungsi karakteristik dari distribusi generalized eksponensial (α,λ).
5. Melakukan simulasi bentuk kurva fungsi kepekatan peluang, skewness
V.KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang telah didapat dan diuraikan dari penelitian ini, maka dapat disimpulkan :
1. Momen pertama hingga momen keempat dari distribusi generalized
70
yang diperoleh dengan menurunkan fungsi pembangkit momen dari distribusi
generalized eksponensial sebagai berikut:
��(�) =
Г(�+ 1)Г(1−�) Г(� −� + 1)
2. Kumulan ke-r dari distribusi generalized eksponensial adalah
�� =
3. Fungsi Karakteristik dari distribusi distribusi generalized eksponensial adalah
�� � =
DAFTAR PUSTAKA
Abromowits,M. and Stegun, I.A.(Eds).1972.Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover,p.928.
Kreyszig, Erwin.1993.Advanced Engineering Mathematics.Singapore:John Wiley and Sons.
de Gunst, M. C. M.. 1994. Statistische Data Analyse. Faculteit Wiskunde en Informatica. Vrije Universiteit Amsterdam.
Dudewicz, Edward J dan Stya N. Mishra. 1995.Modern Mathematical Statistics. Syracuse,New York.
Gradshteyn, I.S. and I.M. Ryzhik. 2007. Table of Integrals, Series, and Products
(7th Edition). Alan Jeffrey and Daniel Zwillinger, Editors. NY: Academic Press.
Gupta, R. D. and Kundu, D. 1999. “Generalized exponential distributions". Australian and New Zealand Journal of Statistics. vol. 41. 173 - 188. Hogg, V Robert. and Craig, T Allen. 1965. Introduction to Mathematical Statistic
Fifth Sdition. New Jersey: The United States of America.
McDonald, James B., Yexiao J. Xu.1995. A Generalized of the Beta Distribution with Application. Journal of Econometrics 66.
