ABSTRACT
MOMENT, CUMULANT AND CHARACTERISTIC FUNCTION OF GENERALIZED WEIBULL DISTRIBUTION
By
MIRANTI VERDIANA
Generalized Weibull distribution is an expansion of Weibull distribution that has three parameters, α as a location parameter, β as a scale parameter and δ as a shape parameter. If α = 0 then the generalized Weibull distribution become the Weibull distribution. In this research, will discuss about moment, cumulant and characteristic function of generalized Weibull distrbution. Moment of generalized Weibull distribution is obtained by using moment generating function and by definition, moments of generalized Weibull distribution is obtained by derivative of moment generating function against t and evaluated on t = 0 and proved by definition that will be use to obtain the cumulants of generalized Weibull distribution. The second cumulant until r-th cumulant of generalized Weibull distribution equal with cumulants of Weibull distribution. Characteristic function and moment generating function of generalized Weibull distribution is obtained by decomposing and function into expansion the MacLaurin and use gamma and binomial function to obtain a general form of moment generating function and characteristic function of generalized Weibull distribution. In simulation study, skewness of generalized Weibull distribution is skew to the right and kurtosis of generalized Weibull distribution is platikurtic.
MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL
Oleh
Miranti Verdiana
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL
(Skripsi)
Oleh Miranti Verdiana
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandarlampung pada tanggal 5 September 1992. Penulis merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Jauhari dan Ibu Machdalena, kakak dari Ulfa Devina, Shafa Salsabila dan Syifa Atika Rifda.
Penulis memulai pendidikan dari Taman Kanak-kanak Sari Teladan pada tahun 1998. Pendidikan sekolah dasar di SD Negeri 2 Rawa Laut (Teladan) pada tahun 2004. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 4 Bandarlampung pada tahun 2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 2 Bandarlampung pada tahun 2010.
vii
MOTTO
“
Maka sesungguhnya setelah kesulitan itu ada
kemudahan”
(Q.S. Al
–
Insyirah : 5)
Kebaikan satu-satunya adalah pengetahuan, dan
kejahatan satu-
satunya adalah kebodohan”
(Socrates)
“
To get a success, your courage must be greater than
your fear
”
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan untuk
Ayahanda tercinta Jauhari
Ibunda tercinta Machdalena
Adik-adikku:
Ulfa Devina
Shafa Salsabila Chairunnisa
Syifa Atika Rifda
&
Seluruh Keluarga Besar
SANWACANA
Puji syukur kepada Allah SWT atas izin dan ridho-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat teriring salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, suri tauladan terbaik sepanjang masa.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing utama yang telah banyak meluangkan waktu di tengah kesibukannya untuk membimbing hingga skripsi ini terselesaikan.
2. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu, mengoreksi dan dengan sabar memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen penguji bukan pembimbing yang telah banyak memberikan masukan dan saran yang membangun kepada penulis dalam proses penyelesaian skripsi ini.
4. Bapak Drs. Eri Setiawan, M.Si selaku Pembimbing Akademik
xi
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis. 8. Yang tercinta Papa dan Mama yang selalu memberikan motivasi dan bantuan
baik moril maupun materil dan memberikan segala perhatiannya disaat keadaan apapun serta selalu mendoakan penulis di setiap sujud dan tangisnya. 9. Untuk adik-adikku Ulfa, Alsa dan Syifa yang selalu memberikan hiburan
dikala penulis menghadapi kesulitan dalam menyelesaikan skripsi ini.
10. Untuk Annisa, Andhesa, Bella, Nissa, Putri, Agnec, Aul, Ria, Tiara, Mpeb, dan Puput terima kasih atas segala bantuan serta dukungan dari kalian yang tiada habisnya. Penulis merasa beruntung memiliki teman-teman seperti kalian.
11. Untuk teman-teman satu bimbingan Vinny, Reka, Tiara, Dian, Indri, Apit, Tiur dan Dhita yang selalu membantu penulis serta terima kasih semangat dan kebersamaannya dalam menyelesaikan skripsi ini.
12. Untuk matematika 2010 yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, terima kasih untuk empat tahun yang bermakna ini, skripsi ini tidak akan berhasil tanpa dukungan dari kalian semua.
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Generalized merupakan suatu bentuk umum dari suatu kesatuan yang khusus. Terdapat berbagai macam distribusi generalized, salah satunya adalah ditribusi
generalized Weibull. Distribusi generalized Weibull (Generalized Weibull Distribution) dengan tiga parameter pertama kali dikemukakan oleh Johnson dan Kotz (1970). Generalized Weibull distribution merupakan perluasan dari distribusi Weibull yaitu dengan menambahkan parameter lokasi ( ). Sehingga tiga parameter dari generalized Weibull distribution adalah parameter skala, bentuk dan lokasi. Denis Cousineau (2008), Andrie Kurniawan (2012) menyebut distribusi ini sebagai 3-parameter distribusi Weibull.
2
Momen memiliki peran penting dalam statistika karena mampu menjelaskan sebaran dari peubah acak. Dalam menduga parameter dari suatu distribusi dapat dilakukan dengan berbagai cara, salah satunya dengan metode momen. Momen dapat dikembangkan sampai momen ke-r. Untuk mencari momen dari generalized Weibull distribution, penulis menggunakan dua cara yaitu dengan fungsi pembangkit momen dan secara langsung.
Dalam teori probabilitas dan statistik, kumulan dari distribusi probabilitas adalah seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif untuk momen suatu distribusi. Momen menentukan kumulan dalam arti bahwa setiap dua distribusi probabilitas yang sangat identik akan memiliki kumulan identik juga, dan demikian juga kumulan menentukan momen. Dalam beberapa kasus teoritis, masalah dalam hal kumulan lebih sederhana dibandingkan menggunakan momen. Sama seperti momen, dimana momen bersama yang digunakan untuk koleksi variabel acak adalah mungkin untuk menentukan kumulanbersama.
3
Kajian tentang “Momen, Kumulan dan Fungsi Karakteristik dari Generalized Weibull Distribution” merupakan hal yang menarik untuk dikaji dan hal ini belum
banyak dilakukan oleh peneliti lain.
1.2 Batasan Masalah
Pada sub bab sebelumnya (latar belakang) telah disampaikan bahwa momen menentukan kumulan dan sebaliknya. Tetapi, pada penelitian ini hanya dibatasi pada pencarian momen dengan menggunakan Fungsi Pembangkit Momen (Moment Generating Function), kumulan yang ditentukan oleh momen dan fungsi karakteristik dari Generalized Weibull Distribution.
1.3 Tujuan Peneltian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Mencari momen dari generalized Weibull distribution ( ) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.
2. Mencari kumulan dari generalized Weibull disribution ( ).
4
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Memahami lebih mendalam mengenai generalized Weibull distribution
(GWD).
II. LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan penelitian penulis. Dalam menyelesaikan momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari generalized Weibull distribution dibutuhkan beberapa fungsi khusus seperti fungsi gamma dan deret MacLaurin serta beberapa teori yang mendukung penelitian seperti definisi generalized Weibull distribution, fungsi pembangkit momen, momen, kumulan, skewness, kurtosis, dan fungsi karakteristik.
2.1 Fungsi Gamma
Definisi 2.1
Pada bagian ini akan diperkenalkan fungsi gamma, dimana integral:
untuk dan nilai dari integral tersebut adalah positif. Integral tersebut disebut fungsi gamma dari yang dinotasikan dengan :
6
Jika , jelas
Sehingga untuk , maka:
(Hogg and Craig, 1978)
Sub-bab selanjutnya akan membahas tentang distribusi Weibull yang digunakan dalam penelitian ini sebagai pembanding dengan distribusi generalized Weibull.
2.2 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Wallodi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan dalam permodelan analisis kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan peubah acak kontinu. Distribusi Weibul memiliki dua parameter, yaitu:
: Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi weibull.
7
Definisi 2.2
Misalkan adalah peubah acak dari distribusi Weibull dengan dua parameter, maka menurut Kungdu dan Mangalick (2004), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak weibull adalah sebagai berikut:
Gambar 2.1 Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Weibull
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai:
Rata-rata (mean) dari distribusi weibull adalah:
8
Ragam (variance) distribusi weibull adalah:
(Kungdu dan Mangalick, 2004)
Sub-bab selanjutnya akan membahas tentang distribusi generalized Weibull yang merupakan perluasan dari distribusi Weibull dengan penambahan satu parameter lokasi.
2.3 Generalized Weibull Distribution
Distribusi generalized Weibull (Generalized Weibull Distribution) merupakan perluasan dari distribusi Weibull dengan menambahkan satu parameter lokasi, sehingga distribusi generalized Weibull memiliki tiga parameter yaitu parameter lokasi, parameter skala dan parameter bentuk.
Definisi 2.3
Misalkan X adalah peubah acak dari generalized Weibull distribution dengan tiga parameter, maka menurut Jhonson dan Kotz (1970), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah
9
dengan
X : Peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu gagal (failure time). : Parameter lokasi yang menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat
lokasi waktu tersebut belum ada obek pengamatan yang gagal maupun hilang.
: Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi weibull.
: Parameter bentuk yang menunjukan laju kegagalan data distribusi weibull.
Gambar 2.2 Fungsi Kepekatan Peluang Generalized Weibull Distribution
10
Pada sub bab selanjutnya akan dibahas ekspansi deret Maclaurin yang digunakan dalam menyelesaikan fungsi pembangkit momen, momen dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized Weibull.
Dan bentuk deret pada Persamaan (2.3) disebut sebagai ekspansi deret Maclaurin bagi fungsi Subtitusikan Persamaan (2.3) maka fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut:
=1
11 dengan menggunakan fungsi pembangkit momen yang akan dibahas selanjutnya.
2.5 Fungsi Pembangkit Momen
12
Jika x merupakan variabel acak kontinu, atau
Jika X merupakan variabel acak diskrit. Ekspektasi ini disebut fungsi pembangkit momen (FPM) dari X (atau dari distribusi) dan dilambangkan dengan (t), yaitu
(Hogg and Craig, 1978)
Dari fungsi pembangkit momen akan ditentukan momen-momen dari distribusi
generalized Weibull dan pada sub bab selanjutnya akan dijelaskan tentang definisi momen.
2.6 Momen
Rataan dan varians sebenarnya merupakan hal istimewa dari kelompok ukuran lainnya yang disebut momen. Dari momen ini beberapa ukuran lain dapat diturunkan. Momen itu sendiri didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.6
Momen ke-r tentang asal-usul dari suatu variabel acak X, dilambangkan dengan
, adalah nilai harapan dari Xr dituliskan,
13
Selain momen terdapat karakteristik lainnya dari suatu distribusi, dalam penelitian ini karakteristik lain yang akan dicari yaitu kumulan. Definisi dari kumulan akan diuraikan pada sub bab selanjutnya.
2.7 Kumulan (Cumulant)
Karakteristik lainnya yang dapat dicari dari suatu distribusi yaitu kumulan. Dalam perhitungan untuk menemukan kumulan ini menggunakan momen yang telah ditentukan sebelumnya. Adapun definisi dari kumulan akan dijelaskan di bawah ini:
Definisi 2.7
Cumulant didefinisikan sebagai
Dengan menggunakan deret maclaurin maka didapat :
+
14
15
2.8 Skewness
Kemencengan atau kemiringan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrian dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya.
Definisi 2.8
Skewness dari suatu variabel acak X yang dinotasikan dengan skew[X] didefinisikan sebagai:
Skewness ini juga dinamakan skewness populasi. Skewness merupakan ukuran dari kesimetrisan atau lebih tepatnya kekurang simetrisan. Suatu distribusi dikatakan simetris jika distribusi tersebut tampak sama antara sebelah kanan dan sebelah kiri titik pusatnya. Distribusi yang simetris misalnya distribusi normal, distribusi t dan distribusi seragam. Distribusi yang memiliki skewness positif misalnya distribusi eksponensial, distribusi chi-kuadrat, distribusi Poisson dan dan distribusi Binomial dengan p > 0.5 sedangkan distribusi yang mempunyai skewness negative misalnya distribusi Binomial dengan p < 0.5.
16
Selanjutnya akan dibahas mengenai keruncingan kurva yang nantinya akan dilakukan simulasi dengan software matlab terhadap formula keruncingan yang didapat.
2.9Kurtosis
Kurtosis (keruncingan distribusi data) adalah ukuran tinggi rendahnya puncak dari suatu distribusi.
Definisi 2.9
Momen keempat terhadap rataan, , bila dibagi dengan disebut kurtosis distribusi X dan sering dinyatakan dengan :
(Edward J. Dudewicz & Satya N.Mishra, 1995) Pada sub-bab terakhir akan dijelaskan tentang fungsi karakteristik dari suatu distribusi peluang.
2.10 Fungsi Karakteristik
Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Sama halnya dengan fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menghitung momen dari variabel acak
17
distribusi dari suatu variabel acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi karakteristik. Fungsi karakteristik merupakan salah satu sifat yang menjadi ciri khas dari suatu distribusi. Fungsi karakteristik dari suatu variabel acak X, dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.10
Fungsi karakteristik ( ) dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai ekspetasi dari , dimana i adalah unit imaginer dan t dapat dinyatakan sebagai berikut:
merupakan fungsi kumulatif dari distribusi X, sedangkan merupakan fungsi kepekatan peluang dari distribusi X.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, dan dilakukan pada Semester Ganjil Tahun Ajaran 2013/2014.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan mengkaji secara teoritis dari berbagai literatur yang berkaitan dengan skripsi ini. Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah:
1. Mencari momen dari Generalized Weibull Distribution ( ) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.
2. Mencari cumulans dari Generalized Weibull Distribution ( ).
3. Mencari fungsi karakteristik dari Generalized Weibull Distribution
( ).
4. Melakukan simulasi bentuk dari Generalized Weibull Distribution
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Momen ke-r dari distribusi generalized Weibull adalah:
2. Kumulan ke-r dari distribusi generalized Weibull adalah:
Kumulan kedua hingga ke-r dari distribusi generalized Weibull
sama dengan kumulan kedua hingga ke-r dari distribusi Weibull .
77
Kurtosis dari distribusi generalized Weibull adalah:
DAFTAR PUSTAKA
Abromowits,M. and Stegun, I.A.(Eds).1972.Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover,p.928.
De Gunst, M. C. M. 1993. Statistische Data Analyse. Faculteit Wiskunde en Informatika Amsterdam: Vrije Universiteit.
Dudewicz, Edward J dan Stya N. Mishra. 1995.Modern Mathematical Statistics.
Syracuse,New York.
Hogg, V. Robert dan Craig, Allen T. 1978. Introduction to Mathematical Statistics Fifth Edition. Prentice Hall Inc. New Jersey.
Jhonson, N.L. dan Kotz, S. 1970. Continous Univariate Distribution. John Wiley, New York.
Kungdu, D. dan Manglick, A. 2004. Discriminating Between the Weibull and Log Normal Distribution. Journal.
Leithold. 1978. The Calculus. New York: Harper and Row.
Miller, Irwin and Miller Marylees. 1999. Mathematical Statistics Sixth Edition.
