KARAKTERISTIK MOMEN KEDISTRIBUSI GENERALIZED

(1)

KARAKTERISTIK MOMEN

KE-DISTRIBUSIGENERALIZED

Oleh

VINNY YULIANI SUNDARA

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(2)

KARAKTERISTIK MOMEN

Oleh

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar SARJANA SAINS

Pada

Jurusan Matematika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(3)

ABSTRAK

KARAKTERISTIK MOMEN

Oleh

Distribusigeneralized telah diteliti oleh banyak penulis lain. Dalam penelitian ini sedikit berbeda dengan penelitian mereka. Pertama akan ditentukan momen ke-dan fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ), distribusi

( , , ), distribusi -student, dan distribusi Laplace. Kedua akan ditunjukan bahwa distribusi ( , , ), distribusi -student, dan distribusi Laplace merupakan bentuk khusus dari distribusi generalized ( , , , ) dengan menggunakan fungsi kepekatan peluang, momen ke- , dan fungsi pembangkit momen. Terakhir akan ditujukan bahwa distribusi Laplace merupakan setengah selisih distribusi chi-square.

(4)

(5)

(6)

(7)

DAFTAR ISI

Halaman

I. PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Batasan Masalah... 2

1.3 Tujuan Penelitian... 2

1.4 Manfaat Penelitian ... 3

II. TINJAUAN PUSTAKA ... 4

2.1 Distribusi Normal ... 4

2.2 Distribusi -Student ... 5

2.3 Distribusi ( , , )... 9

2.4 DistribusiGeneralized ... 9

2.5 Distribusi Laplace... 10

2.6 DistribusiChi-Square... 10

2.7 Fungsi Gamma dan Fungsi Beta ... 11

2.8 Momen ke- ... 18

2.9 Ekspansi Deret Maclaurin... 18

2.10 Fungsi Pembangkit Momen ... 19

III. METODOLOGI PENELITIAN ... 21

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian... 21

(8)

xiv

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN ... 23

4.1 Momen ke- DistribusiGeneralized ( , , , )untuk = 0 dan = 1... 23

4.2 Momen ke- Distribusi ( , , )untuk = 0dan = 1... 26

4.3 Momen ke- Distribusi -Student ... 28

4.4 Momen ke- Distribusi Laplace untuk = 0dan = 1... 30

4.5 Fungsi Pembangkit Momen DistribusiGeneralized untuk = 0 dan = 1... 33

4.6 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi ( , , )untuk = 0 dan = 1... 37

4.7 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi -Student ... 43

4.8 Fungsi Pembangkit Momen Laplace untuk = 0dan = 1... 47

4.9 Distribusi ( , , ) sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi Generalized ... 48

4.10 Distribusi -Student sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi Generalized ... 51

4.11 Distribusi Laplace sebagai Bentuk Khusus dari Distribusi Generalized ... 54

4.12 Distribusi Laplace Merupakan Selisih SetengahChi-Square... 58

4.13 Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Merupakan Fungsi Surjektif... 60

V. KESIMPULAN... 66

5.1 Kesimpulan ... 66

(9)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Perputaran waktu dan perkembangan zaman menjadikan statistika mengalami berbagai kemajuan baik dari aspek teoritis yang terkait dengan penggalian pengetahuan baru serta yang bersifat praktis berkenaan dengan keluasan bidang pekerjaan yang bisa menjadi baik dan mudah dengan bantuan statistika. Statistika merupakan ilmu yang mempelajari tentang bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasikan serta mempresentasikan suatu data.

Statistika matematika merupakan cabang dari matematika terapan yang menggunakan teori peluang dan analisis matematika untuk mendapatkan dasar-dasar teori statistika. Dalam statistika matematika terdapat distribusi khusus baik diskrit maupun kontinu. Dalam distribusi kontinu terdapat distribusi yang telah menemukan berbagai

(10)

2

generalized dan diturunkan beberapa sifat matematika dari distribusi tersebut. Arslan dan Genc (2003) memperoleh maksimum likelihood untuk parameter lokasi dan parameter skala distribusi generalized . Bali dan Peng (2006) menggunakan

distribusi generalized untuk memperkirakan model GARCH-in-mean dengan data harian. Butler, dkk (1990) menggunakan distribusigeneralized untuk mengestimasi parameter model regresi.

Dalam suatu distribusi tentunya terdapat peubah acak. Peubah acak merupakan fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real pada setiap unsur dalam ruang sampel. Distribusi peubah acak mempunyai ukuran pemusatan dan penyebaran yang masing-masing disebut mean dan varians. Namun dengan hanya mengetahui mean dan varians suatu distribusi, kita belum mengetahui jenis distribusi tersebut. Informasi yang lebih lengkap diberikan oleh momen dari peubah acak.

Berdasarkan uraian tersebut penulis tertarik untuk mengkaji karakteristik momen ke dari distribusigeneralized .

1.2 Batasan Masalah

Penelitian ini difokuskan pada karakteristik momen kedistribusi generalized ( , , , ), distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.

1.3 Tujuan Penelitian

(11)

3

2. Mencari momen ke- dari distribusi generalized ( , , , ), distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.

3. Mencari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ),

distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.

4. Melakukan pendekatan distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace dengan distribusi generalized ( , , , ) menggunakan fungsi kepekatan peluang, momen ke- , dan fungsi pembangkit momen.

1.4 Manfaat Penelitian

Adapun manfaat penelitian ini diantaranya adalah sebagai berikut :

1. Memberikan sumbangan pemikiran mengenai distribusigeneralized ( , , , ). 2. Mengetahui momen ke- dari distribusi generalized ( , , , ), distribusi

( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.

3. Mengetahui fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ), distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.

(12)

II. TINJAUAN PUSTAKA

Distribusi generalized ( , , , ) adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Distribusi ini pertama kali diperkenalkan McDonald dan Newey (1988) untuk mengestimasi parameter regresi. Distribusi generalized ( , , , ) secara luas digunakan dalam bidang ekonomi dan keuangan.

Salah satu bentuk khusus dari distribusi generalized ( , , , ) adalah distribusi ( , , )dengan = 2 dan distribusi Laplace untuk = 1 dan . Distribusi

-Student merupakan bentuk khusus dari distribusi normal untuk sampel ukuran kecil ( < 30) yang menyebar normal dengan rataan nol. Ditribusi Laplace merupakan

salah satu kasus distribusi simetris dengan ukuran pemusatan Laplace sama dengan mean, median, modus, dengan varians2 .

2.1 Distribusi Normal

(13)

5

Definisi 2.1 Distribusi Normal

Menurut Hogg dan Craig (1995) peubah acak dikatakan berdistribusi normal, jika memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk:

( ) = 1

2 , < <

0 ,

Dimana− ∞ < < ∞ dan > 0.

2.2 Distribusi -Student

Distribusi -student merupakan bentuk khusus dari distribusi normal untuk sampel ukuran kecil ( < 30) yang menyebar normal dengan rataan nol. Distribusi ini ditemukan oleh W.S. Gosset (1876-1936) dari Inggris yang menerbitkan hasil kerjanya dengan nama samaran yaitu student. Oleh karena itu distribusi ini dikenal sebagai distribusi -student.

Bukti :

Misal ~ (0,1) dan ~ ( )

= → =

Fungsi kepekatan peluang distribusi normal baku:

( ) = 1

(14)

6

Fungsi kepekatan peluang distribusichi-square:

( ) = 1 2 Γ 2

, 0 < < ∞

Maka fungsi densitas atau fungsi kepekatan peluang bersama diperoleh sebagai berikut :

( , ) = 1

√ 2 .

1

2 Γ 2

( , ) = 1 √ 2 ∙

1

Γ 2 2

(2.1)

Misalkan =

=

Substitusikan permisalan diatas ke dalam fungsi kepekatan peluang bersama pada persamaan(2.1), selanjutnya matriks jacobian diperoleh sebagai berikut :

= = _2√

0 1

=

Fungsi kepekatan peluang bersama dari dan adalah :

( , ) = 1 √ 2 ∙

1

Γ 2 2

∙

( , ) = 1 √ 2 ∙

1

(15)

7

Fungsi kepekatan peluang marginal dari adalah :

( ) = 1 √ 2 ∙

1

Γ 2 2

( ) = 1 √ 2 ∙

1

Γ 2 2

(2.2)

Misalkan

2 1 + =

= 2 1 +

= 2

1 +

| | = 2 1 +

Substitusikan permisalan diatas ke dalam fungsi kepekatan peluang dari pada persamaan (2.2) sehingga diperoleh :

( ) = 1 √ 2 ∙

1

Γ 2 2

2

1 +

2

1 +

( ) = 1 √ 2 ∙

1

Γ 2 2

2

1 +

( ) = 1 √ 2 ∙

1

Γ 2 2

2

(16)

8

( ) = 1 √ 2 ∙

1

Γ 2 2

2

1 +

Γ + 1 2

( ) =

Γ + 1₂ 2 1 +

( )

Γ 1_{2 2} _{Γ 2}

( ) = Γ

+ 1 2

Γ 1_{2 Γ 2} 1 +

( )

( ) = Γ

+ 1 2

√ _{Γ 2 1 +}

( ) (2.3)

Fungsi marginal dari dalam persamaan(2.3) merupakan fungsi kepekatan peluang distribusi -student dengan derajat bebas .

Definisi 2.2 Distribusi -Student

Peubah acak kontinu dikatakan berdistribusi dengan derajat bebas , jika memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :

( ; ) =

Γ + 1₂

√ _{Γ 2 1 +}

; − ∞ < < ∞

0,

(17)

9

2.3 Distribusi ( , , )

Distribusi ( , , ) merupakan pengembangan dari distribusi -student dengan

parameter skala = / √ 2.

Definisi 2.3 Distribusi ( , , )

Distribusi ( , , ) memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :

( | , , ) = Γ

+ 1 2

√ _{Γ 2 1 +} ( − )

Dimana fungsi kepekatan peluang ini sama dengan distribusi -student dengan derajat

bebas = 2 dan parameter skala = / √ 2(Chan, Choy, dan Makov, 2007).

2.4 DistribusiGeneralized

Distribusi generalized merupakan pengembangan dari distribusi . Distribusi ini digunakan secara luas dalam bidang ekonomi dan keuangan.

Definisi 2.4 DistribusiGeneralized

Menurut McDonald dan Newey (1988), distribusi generalized memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :

( ; , , , ) =

(18)

10

Dimana ∈ℜ adalah parameter lokasi, > 0 adalah parameter skala, > 0 dan > 0 keduanya merupakan parameter bentuk dan (∙) adalah fungsi beta (Chan,

Choy, dan Makov, 2007).

2.5 Distribusi Laplace

Distribusi Laplace kadang-kadang disebut distribusi eksponensial ganda, karena dapat dianggap sebagai dua distribusi eksponensial (dengan parameter lokasi tambahan). Seperti dalam kasus distribusi simetris lainya, seperti distribusi normal dan distribusi logistic, ukuran pemusatan Laplace sama dengan mean, median, dan modus.

Definisi 2.5 Distribusi Laplace

Peubah acak dikatakan berdistribusi Laplace, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk :

( ) = 1

2 exp −

| − |

dengan merupakan bilangan real dan > 0(Sahoo, 2008).

2.6 DistribusiChi-Square

(19)

11

Definisi 2.6 DistribusiChi-Square

Menurut Sahoo (2008) peubah acak dikatakan berdistribusi chi-square dengan derajat bebas , jika memiliki fungsi kepekatan peluang berbentuk :

( ) =

1

2 Γ 2

, > 0

0,

2.7 Fungsi Gamma dan Fungsi Beta

Pada penelitian ini fungsi gamma dan fungsi beta digunakan untuk mempermudah dalam mencari momen ke- dari distribusi generalized , distribusi , distribusi -student dan distribusi Laplace.

Definisi 2.7 Fungsi Gamma

Fungsi gamma yang dinotasikan denganΓ( )didefinisikan sebagai :

Γ( ) = .

dimana adalah bilangan real positif( > 0).

Lemma 2.1

Γ 1 2 = √

Bukti :

(20)

12

Γ 1

2 = _√ (2.4)

Misalkan

= √ → =

= 1

2√ → 2√ = → 2 =

= 0maka = 0 = ∞ maka = ∞

Substitusikan permisalan tersebut ke dalam persamaan(2.4)sehingga diperoleh :

Γ 1 2 =

.2

Γ 1 2 = 2

Γ 1

2 = 4 ( )

Misalkan =

=

(21)

13

= = − = ( + ) =

Sehingga

Γ 1

2 = 4 ( )

Γ 1

2 = 4 .

Γ 1

2 = 2 .2

Γ 1

2 = 2

Γ 1

2 = 2 Γ(1)

Γ 1

2 = 2[ ]

Γ 1

2 =

(22)

14

Definisi 2.8 Fungsi Beta

Misal dan adalah dua bilangan real positif. Fungsi beta ( , ) didefinisikan sebagai :

( , ) = .(1 − )

Teorema 2.1

Misal dan adalah dua bilangan real positif, maka :

( , ) = Γ( )Γ( ) Γ( + )

dimana

Γ( ) = .

Bukti :

Γ( )Γ( ) = (2.5)

Misalkan

= → = 2

(23)

15

Γ( )Γ( ) = 4 ( ) _(2.6)

Misalkan =

=

Γ( )Γ( ) = 4 ( ) ( ) ( )

Γ( )Γ( ) = ( ) 2 ( ) ( )

Γ( )Γ( ) = Γ( + ) 2 ( ) ( ) (2.7)

Misalkan

= → = 1

2+ 1

2cos (2 )

= 1

2(− sin(2 )).2 → = − (2 ) → =

1 − sin(2 )

Untuk = 0maka = 1

(24)

16

Γ( )Γ( ) = Γ( + ) (1 − )

Γ( )Γ( ) = Γ( + ) ( , )

Akibat 2.1

Untuk setiap dan positif, fungsi beta adalah simetris. Yaitu : ( , ) = ( , )

Bukti :

( , ) = (1 − ) (2.8)

Misalkan

= 1 − → = −

= 0maka = 1 = 1maka = 0

( , ) = ( − 1) (− )

( , ) = ( − 1)

(25)

17

Akibat 2.2

Untuk setiap dan positif, fungsi beta dapat diekspresikan sebagai

( , ) =

(1 + )

Bukti :

( , ) = .(1 − )

( , ) =

(1 − ) .(1 − )

( , ) =

1 − .(1 − )

( , ) = 1 − 1 1 −

∙ 1

(1 − )

( , ) = 1 − 1 − +

1 −

∙ 1

(1 − )

( , ) = 1 − 1 + 1 −

∙ 1

(1 − ) (2.9)

Misalkan

= 1 −

= 1

(26)

18

= 0maka = 0 = 1maka = ∞

( , ) =

(1 + )

2.8 Momen

ke-Momen ke- dari suatu peubah acak digunakan sebagai salah satu cara untuk mendapatkan nilai momen dari suatu distribusi.

Definisi 2.9 Momen

ke-Jika adalah peubah acak kontinu dan ( ) adalah nilai fungsi densitas dari di , maka momen ke- di sekitar titik asal dari peubah acak didefinisikan sebagai :

[ ] = . ( )

(Hogg dan Craig, 1995).

2.9 Ekspansi Deret MacLaurin

(27)

19

Teorema 2.2 Deret MacLaurin

Misalkan adalah fungsi dimana turunan ke( + 1), ( )( ), ada untuk setiap pada suatu selang terbuka yang memuat . Jadi, untuk setiap di dalam berlaku :

( ) = ( ) + ( )( − ) + ( )

2! ( − ) +

Persamaan di atas disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi ( ).Jika = 0, maka bentuk deret dapat dituliskan kembali sebagai berikut:

( ) = (0) + (0)( ) + (0)

2! ( ) +

Deret tersebut disebut sebagai ekspansi deret MacLaurin bagi fungsi ( )

Dengan menggunakan ekspansi deret MacLaurin maka fungsi ( ) = dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut :

= 1 + +

2! + =

( ) !

(Purcell,Varberg, dan Rigdon, 2003).

2.10 Fungsi Pembangkit Momen

(28)

20

Definisi 2.10 Fungsi Pembangkit Momen

Jika adalah peubah acak kontinu dan ( ) adalah nilai fungsi densitas dari di , maka fungsi pembangkit momen dari peubah acak didefinisikan sebagai :

( ) = . ( )

(29)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Waktu dan Tempat Penelitian

Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014, bertempat di jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Lampung.

3.2 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan penelitian ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut : 1. Mencari momen ke- dari distribusi generalized ( , , , ), distribusi

( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.

2. Mencari fungsi pembangkit momen dari distribusi generalized ( , , , ),

distribusi ( , , ), distribusi -student dan distribusi Laplace.

3. Membuktikan bahwa distribusi ( , , ) merupakan bentuk khusus dari distribusigeneralized ( , , , )untuk ✁dengan menunjukkan bahwa :

( , , , ) ( ✁, ✁ )

[ ] ( , , , ) = [ ] ( = 2, = 2 )

(30)

22

4. Membuktikan bahwa distribusi -student merupakan bentuk khusus dari distribusi generalized ( , , , )untuk = 2dengan menunjukkan bahwa :

( , , , ) =

[ ] ( , , , ) = [ ]

( , , , ) =

5. Membuktikan bahwa distribusi Laplace merupakan bentuk khusus dari distribusi generalized ( , , , )untuk = 1dan dengan menunjukkan bahwa :

( , , , ) = ( = 1, )

[ ] ( , , , ) = [ ] ( = 1, )

( , , , ) = ( = 1, )

(31)

V. KESIMPULAN

5.1 Kesimpulan

Berdasarkan hasil dan pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai berikut :

1. Distribusi ( , , ) dapat didekati dengan distribusi generalized ( , , , ) dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen ke- dari kedua distribusi tersebut.

2. Distribusi -student dapat didekati dengan distribusi generalized ( , , , ) dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen ke- dari kedua distribusi tersebut, namun hasil yang diperoleh sedikit berbeda. 3. Distribusi Laplace dapat didekati dengan distribusi generalized ( , , , )

dengan melihat fungsi kepekatan peluang, fungsi pembangkit momen dan momen ke- dari kedua distribusi tersebut.

4. Distribusi Laplace merupakan setengah selisih distribusi (2).

5.2 Saran

(32)

DAFTAR PUSTAKA

Chan,Jenifer S.K., Choy,S.T.B., dan Makov,Udi E. 2008. Robust Bayesian Analysis of Loss Reserve Data Using The Generalized- Distribution. Asia Bulletin 38(1), pages 207-230.

Hogg,R.V. dan Craig,A.T. 1995. Introduction to Mathemathical Statistics. Prentice-Hall Inc. New Jersey.

Kasap,P., Arslan,O., Senoglu,B., dan Acitas,S. 2011. Estimating The Location and Scale Parameters of The GT Distribution. e-Journal of New World Sciences Academy 2011, Volume: 6, Number: 3, Article Number: 3A0041.

Purcell,E.J., Varberg,D., dan Rigdon,S.E. 2003.Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Erlangga. Jakarta.