ABSTRAK
PENDEKATAN DISTRIBUSI LOG NORMAL
DENGAN DISTRIBUSI GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL) MELALUI DISTRIBUSI GENERALIZED GAMMA (GG)
Oleh Anni
Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) merupakan generalisasi dari distribusi log-logistik dengan empat parameter ( . Keluarga distribusi GLL mengandung distribusi yang sudah terkenal, seperti distribusi eksponensial, gamma, Weibull, log normal, dan log-logistik, sebagai kasus khusus atau distribusi limitnya. Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan distribusi log normal dengan distribusi GLL melalui distribusi generalized gamma
(GG) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen masing-masing distribusi tersebut.
Dari hasil penelitian ini dapat disimpulkan bahwa distribusi log normal dangan dapat didekatkan dengan distribusi GLL melalui distribusi GG dengan parameter dengan menggunakan fungsi pembangkit momen masing-masing distribusi tersebut.
ABSTRACT
APPROXIMATION LOG NORMAL DISTRIBUTION WITH GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL) DISTRIBUTION THROUGH OF GENERALIZED GAMMA (GG) DISTRIBUTION
By Anni
Generalized log-logistic (GLL) distribution is a generalization of the log-logistic distribution with four parameters ( . GLL distribution family includes some well-known distributions, such as exponential, gamma, Weibull, log normal, and log-logistic distributions, as special cases or limiting distributions. The purpose of this research is to approach a log-normal distribution with GLL distribution through of the generalized gamma (GG) distribution with parameters using the moment generating function from each distribution.
From these results it can be concluded that the log-normal distribution can be approximated by GLL distribution through of the GG distribution with parameters using the moment generating function from each distribution.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... xiv
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penelitian ... 2
1.3 Manfaat Penelitian ... 2
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Distribusi Normal Umum ... 3
2.2 Distribusi Log Normal ... 3
2.3 Distribusi Generalized Gamma (GG) ... 8
2.4 Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) ... 8
2.5 Ekspansi Deret Maclaurin ... 10
2.6 Fungsi Pembangkit Momen ... 11
2.7 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Gamma (GG) ... 12
2.8 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Log-Logistik (GLL) ... 12
2.9 Isometri (U) ... 13
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 14
xiii IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Log Normal ( .... 15 4.2 Distribusi Log Normal ( sebagai Bentuk Khusus dari
Distribusi GG ( ( ... 18 4.3 Distribusi GG ( sebagai Kasus Limiting atau Distribusi
Limit dari GLL ( 19 4.4 Distribusi Log Normal ( sebagai Kasus Limiting atau Distribusi
Limit dari GLL ( 20 4.3 Grafik Pendekatan Distribusi Log Normal dengan Distribusi
GLL melalui Distribusi GG ... 20 4.5 Grafik Distribusi Log Normal dengan Parameter yang
Berbeda ... 24 4.6 Grafik Distribusi Generalized Gamma dengan Parameter yang Berbeda ... 26 4.7 Grafik Distribusi GeneralizedLog-Logistic dengan Parameter yang Berbeda ... 29
V. KESIMPULAN
[image:8.595.132.496.103.419.2]I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Statistika adalah ilmu pengetahuan, murni dan terapan, mengenai penciptaan, pengembangan, dan penerapan teknik-teknik sedemikian rupa sehingga ketidakpastian inferensia induktif dapat dievaluasi (diperhitungkan). Dalam statistika terdapat distribusi statistik. Salah satu distribusi yang penting dan banyak digunakan dalam statistika adalah distribusi normal. Karena distribusi normal merupakan dasar dari statistika maka distribusi normal merupakan dasar hukum untuk semua distribusi peluang. Terutama distribusi peluang dengan peubah acak kontinu. Satu-satunya distribusi peluang dengan peubah acak kontinu yang mengikuti hukum distribusi normal adalah distribusi log normal.
Penemu distribusi log normal adalah Francis Galton. Distribusi ini sering disebut juga distribusi Galton. Dalam teori probabilitas, distribusi log normal adalah distribusi probabilitas sebuah peubah acak yang logaritmanya tersebar secara normal. Sebuah peubah acak X dengan distribusi normal, maka Y = ln (X) memiliki distribusi log normal (X LN ( ).
2 Distribusi GG adalah distribusi probabilitas kontinu dengan tiga parameter, yaitu GG ( . Distribusi GG merupakan generalisasi dari distribusi Gamma.
Menurut Warsono & Kurniasari (2007), distribusi Generalized Log-Logistic
(GLL) merupakan generalisasi dari distribusi log-logistik dengan empat parameter
( . Keluarga distribusi GLL mengandung distribusi yang sudah terkenal, seperti distribusi eksponensial, gamma, Weibull, log normal, dan log-logistik, sebagai kasus khusus atau distribusi limitnya. Namun, pernyataan tersebut belum terdapat pembuktiannya. Karena distribusi log normal merupakan salah satu keluarga distribusi GLL, maka penulis ingin mengetahui hubungan antara distribusi log normal dengan distribusi GLL melalui distribusi GG.
1.2Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan distribusi log normal dengan distribusi GLL melalui distribusi GG dengan menggunakan fungsi pembangkit momen masing-masing distribusi tersebut.
1.3Manfaat Penelitian
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Distribusi Normal Umum
Menurut Herrhyanto & Gantini (2009), peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika fungsi densitasnya berbentuk:
√ ;
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah
, artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan dan varians .
Peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan dan varians bisa juga ditulis sebagai:
2.2 Distribusi Log Normal
Menurut Kundu & Manglick (2004), Misalkan X adalah sebuah peubah acak dengan distribusi normal, maka memiliki distribusi log normal
4
√ ; untuk x
Fungsi densitas pada definisi di atas diperoleh dari distribusi normal dengan mentransformasikan peubah acaknya. Misalkan X dan Y adalah dua buah peubah acak dengan Y mengikuti distribusi normal. Jika , maka distribusi peubah acak X diperoleh dengan mentransformasikan peubah acak , yaitu:
| |
dengan adalah fungsi densitas dari distribusi normal, yaitu :
√ ( )
dan |
| | |
Maka, fungsi densitas dari peubah acak X adalah:
√
; dimana
√
Jadi, peubah acak X berdistribusi log normal . Dengan nilai rataan dan ragam berturut-turut sebagai berikut:
[ ] (2.1)
dan
5 Bukti untuk persamaan (2.1):
[ ] ∫
∫
√
∫ √ (2.3)
Misalkan: Batas:
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.3) sehingga diperoleh:
6 ∫ √ ∫ √ ∫ √ ( ) ∫ √ ( )
Jadi, terbukti bahwa nilai rataan dari distribusi log normal adalah
[ ] .
Bukti untuk persamaan (2.2):
[ ] [ [ ]] (2.4)
[ ] ∫
∫
√
∫ √ (2.5)
Misalkan:
7 Batas:
Substitusikan pemisalan tersebut ke dalam persamaan (2.5) sehingga diperoleh:
8 Substitusikan persamaan (2.1) dan (2.6) pada persamaan (2.4) sehingga diperoleh:
[ ] [ [ ]]
[ ]
[ ][ ]
[ ][ ]
Jadi, terbukti bahwa nilai ragam dari distribusi log normal adalah
[ ][ ].
2.3 Distribusi Generalized Gamma (GG)
Menurut Stacy (1962), suatu peubah acak X menyebar mengikuti distribusi GG ( , , ) dan disebut sebagai peubah acak generalized gamma jika dan hanya jika
X memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut:
( )
2.4 Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL)
9 Warsono (2000), fungsi kepekatan peluang dari distribusi GLL dengan peubah acak X adalah sebagai berikut:
[ ] [ ] ; dan
Dengan
adalah fungsi beta dan ( )
adalah fungsi distribusi log-logistic.
Fungsi distribusi dari GLL adalah:
∫ dw
Diperoleh dari dengan memisalkan:
( )
dengan:
x = peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (failure time). α = parameter lokasi (threshold) yang menunjukkan lokasi waktu, di mana pada
saat lokasi waktu tersebut, belum ada obyek pengamatan yang mati/rusak/gagal.
= parameter skala yang menunjukkan besarnya karagaman data distribusi GLL (α, , m1, m2).
10 Untuk m1 = m2 = 1, GLL(α, , m1, m2) berubah menjadi distribusi log-logistic.
Untuk m1 m2, fungsi kepekatan peluang GLL (α, , m1, m2) menjulur kearah positif.
Untuk m1 m2, fungsi kepekatan peluang GLL (α, , m1, m2) menjulur kearah negatif.
2.5 Ekspansi Deret Maclaurin
Misalkan f adalah suatu fungsi dengan turunan ke (n + 1), (x) ada untuk setiap x pada suatu selang buka I yang mengandung a, maka untuk setiap x di I
berlaku:
– (2.1)
Persamaan (2.1) di atas disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi f (x). Jika diambil a = 0 maka bentuk deret pada persamaan (2.1) di atas menjadi:
(2.2)
Bentuk deret pada persamaan (2.2) disebut sebagai ekspansi deret Maclaurin bagi fungsi f (x).
Dengan menggunakan persamaan (2.2) maka fungsi dapat diuraikan menjadi bentuk deret sebagai berikut:
11
Sehingga diperoleh:
∑ (2.3)
(Purcell, Varberg, dan Rigdon, 2003)
2.6 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak X, jika ada diberikan oleh jika X
diskrit
∑
dan jika X kontinu
∫
(Miller & Miller, 1999).
Teorema 2.1 Ketunggalan untuk Fungsi Pembangkit Momen
i. Bila dua fungsi pembangkit momen dari dua peubah acak ada dan sama, maka kedua peubah acak tersebut mempunyai fungsi distribusi yang sama. ii. Bila dua peubah acak mempunyai fungsi distribusi yang sama, maka (bila
12 2.7 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Gamma (GG)
Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi GG (α, , m1), maka fungsi pembangkit momen dari peubah acak X adalah sebagai berikut:
∑
(2.4)
(Warsono, 2009).
2.8 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL)
Misalkan suatu peubah acak X berdistribusi GLL (α, , m1, m2), maka fungsi pembangkit momen dari peubah acak X adalah sebagai berikut:
∑
(2.5)
(Warsono, 2010).
Teorema 2.2 Limiting Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan peubah acak memiliki fungsi distribusi dan fungsi pembangkit momen yang terdefinisi untuk untuk semua n. Jika terdapat suatu fungsi distribusi , yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit momen M(t), terdefinisi untuk | | , sedemikian sehingga
13 2.9 Isometri (U)
Menurut Rawuh (1994), isometri (sama ukuran) dengan lambang (U) adalah transformasi yang mempertahankan panjang ruas garis.
Sifat-sifat sebuah isometri :
1. Isometri mempertahankan besar sudut. 2. Isometri mempertahankan kesejajaran. 3. Isometri mempertahankan ketegaklurusan.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dimulai pada semester genap tahun ajaran 2012/2013 di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan untuk melihat pendekatan distribusi log normal 2 dengan distribusi generalized log-logistic (GLL ( )) melalui distribusi
generalized gamma (GG ) dengan menggunakan metode pencocokan nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan besaran parameternya.
Langkah-langkah yang dilakukan untuk melihat pendekatan ditribusi log normal dengan distribusi generalized log-logistic melalui distribusi generalized gamma
adalah sebagai berikut:
1. Menentukan fungsi pembangkit momen dari distribusi log normal.
2. Membuktikan bahwa ditribusi log normal merupakan kasus khusus
15
Dengan menunjukkan bahwa:
FPMlog normal FPM GG .
3. Menunjukkan bahwa distribusi GG merupakan kasus khusus dari distribusi GLL untuk dan
.
4. Membuktikan bahwa ditribusi log normal merupakan kasus khusus
dari distribusi GLL untuk
dan . Dengan menunjukkan bahwa:
FPM log normal FPM GLL (
).
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan yang telah dilakukan dapat disimpulkan sebagai berikut :
1. Distribusi log normal dangan parameter merupakan bentuk khusus dari distribusi GG dengan parameter dan untuk ,
dan .
2. Distribusi GG dengan parameter dan merupakan kasus limiting atau
distribusi limit dari GLL dengan parameter , , , dan untuk
dan .
3. Distribusi log normal dangan parameter merupakan kasus limiting
atau distribusi limit dari GLL parameter , , , dan untuk ,
, , dan .
DAFTAR PUSTAKA
Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB, Bandung.
Herrhyanto, N., dan Gantini. T. 2009. Pengantar Statistika Matematis. Yrama Widya, Bandung.
Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Prentice-Hall Inc., New Jersey.
Kundu, D., dan Mangklick, A. 2004. “Discriminating Between The Weibull and Log-Normal Distribution”. Journal.
Law, Averil M., dan Kelton, W. David. 1991. Simulation Modelling and Analysis. Second Edition. Mc. Graw-Hill Inc., Singapore.
Miller, Irwin., dan Miller, Maryless. 1999. Jhon E. Freun’s Mathematical
Statistics. Sixth Edition. Upper Saddle River., New Jersey.
Purcell, E.J., Varberg, D., dan Ringdon, S.E. 2003.Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Erlangga, Jakarta.
Rawuh. 1994. Geometri Transformasi. ITB, Bandung.
Stacy E. W. 1962. A Generalized of The Gamma Distribution. The Annals of Mathematical Statistics, 33, 1187-1192.
Warsono. 2010. Remark On Moment Properties of Generalized Distribution. Proceedings of The Third International Conference on Mathematics and Natural Sciences. ITB, Bandung.
