PENDEKATAN DISTRIBUSI F
DENGAN DISTRIBUSI GENERALIZED LOG-LOGISTIC (GLL)
Oleh
Tiara Kumalasari
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
APPROXIMATION OF F DISTRIBUTION
WITH GENERALIZEDLOG-LOGISTIC DISTRIBUTION By
Tiara Kumalasari
Generalized Log-Logistic (GLL) Distribution is generalized from Log-Logistic Distribution with four parameters The characteristics of GLL Distribution can be seen from the corelation of other distribution, particulary well-known distribution. By reparameterizing and transforming on parameters from GLL Distribution to F Distribution, it will be proven that there is a corelation between GLL Distribution and F Distribution.
The point of this research is to approach F Distribution using GLL Distribution with moment generating funtion. The conclution of this research is that F Distribution can be approached by GLL Distribution using moment generating function from each of the distributions.
DAFTAR ISI
2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) ... 5
2.3 Ekspansi Deret Maclaurin ... 7
2.4 Fungsi Gamma ... 8
2.5 Fungsi Pembangkit Momen ... 8
2.6 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Generalized Log-Logistik (GLL) ... 9
2.7 Pendekatan Dengan Teknik Fungsi Pembangkit Momen ... 9
III. METODOLOGI PENELITIAN
xiv 4.3.3 Grafik distribusi Generalized Log-Logistic dengan
parameter yang berbeda ... ... 22
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam teori probabilitas dan statistika, Distribusi F merupakan distribusi
probabilitas kontinu yang merupakan rasio dari ragam sampel yang diambil secara
acak dari populasi normal yang diturunkan dari Distribusi Probabilitas Normal
Baku melalui Distribusi Khi-Kuadrat. Distribusi F seringkali digunakan untuk
pengujian rata-rata lebih dua perlakuan, antara lain analisis varians dan analisis
regresi.
Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) merupakan salah satu model distribusi
umum yang kurang populer dibandingkan dengan distribusi lainnnya. Namun,
tidak sedikit peneliti yang menggunakan Distribusi GLL dalam menganalisis data
kelangsungan hidup. Distribusi Log-Logistik dapat digunakan sebagai dasar dari
model waktu kegagalan dipercepat dengan memungkinkan berbeda antara
kelompok-kelompok. Distribusi Log-Logistik telah digunakan dalam hidrologi
untuk pemodelan tingkat aliran sungai dan curah hujan.
Distribusi GLL cukup potensial untuk dikembangkan, baik dalam teoritis maupun
2
hubungan dari distribusi lain yang bersangkutan, khususnya distribusi yang sudah
dikenal. Melalui reparameterisasi dan transformasi pada parameter dari Distribusi
GLL ke Distribusi F, dibuktikan adanya hubungan antara Distribusi GLL dan
Distribusi F. Distribusi GLL dan Distribusi F memiliki domain yang sama yaitu
untuk non-negatif . Oleh karena itu, penulis akan melakukan pendekatan
Distribusi F dengan Distribusi Generalized Log-Logistic.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah melakukan pendekatan Distribusi F
terhadap Distribusi GLL dengan menggunakan teknik fungsi pembangkit momen.
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah mengetahui serta memahami bahwa suatu
distribusi dapat didekatkan dengan distribusi lainnnya berdasarkan fungsi
II. TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan beberapa definisi yang berhubungan dengan
penelitian mengenai pendekatan Distribusi dengan Distribusi
Generalized Log-Logistic melalui fungsi pembangkit momen-nya.
2.1 Distribusi F
Distribusi F dikenal dengan sebutan Distribusi F Snedecor atau Distribusi
Fisher-Snedecor (dinamakan mengikuti Sir Ronald Aylmer Fisher (17 Februari 1890 – 29 Juli 1962) dan George W. Snedecor merupakan pakar statistika, pertanian
eksperimental, dan genetika kuantitatif asal Inggris).
Distribusi Probabilitas F diturunkan dari Distribusi Probabilitas Normal Baku
melalui Distribusi Khi-Kuadrat. Distribusi Probabilitas F merupakan
perbandingan dua Distribusi Khi-Kuadrat dalam bentuk
Pada Distribusi Probabilitas F terdapat dua derajat kebebasan yakni derajat
4
Suatu peubah acak dikatakan memiliki distribusi F (dinamakan mengikuti R.A.
Fisher) dengan r1 dan r2 derajat kebebasan jika fungsi kepekatannnya ditentukan
Peubah acak X yang berdistribusi F dengan derajat kebebasan pembilang = r1 dan
derajat kebebasan penyebut = r2 dapat ditulis sebagai berikut:
(Hogg and Craig, 1995).
Adapun ciri-ciri dari distribusi F adalah:
1. Distribusi F bersifat kontinu. Hal ini berarti bahwa Distribusi F nilainya bisa
jadi tidak terbatas, antara nol dan positif tak hingga.
2. Distribusi F tidak dapat bernilai negatif. Nilai terkecil dari F adalah 0.
3. Bentuknya tidak simetri. Semakin besar jumlah derajat kebebasan pada
pembilang dan penyebut, distribusinya semakin mendekati Distribusi Normal.
4. Bersifat asimtotik (asymptotic). Semakin besar nilai X, kurva F semakin
mendekati sumbu X tetapi tidak akan pernah sampai menyentuhnya.
5
2.2 Distribusi Generalized Log-Logistic
Distribusi Generalized Log-Logistic (GLL) merupakan salah satu distribusi umum
yang memiliki potensi cukup baik untuk pencocokan data kelangsungan hidup.
Distribusi GLL merupakan perluasan dari Distribusi Log-Logistik dengan
menambahkan dua parameter bentuk .
Suatu peubah acak dikatakan berdistribusi GLL dengan parameter
atau dapat dinotasikan sebagai GLL , dengan
sebagai parameter lokasi (threshold) yang menunjukkan lokasi waktu, dimana
pada saat waktu tersebut, belum ada obyek pengamatan yang mati/rusak/gagal.
Sedangkan sebagai parameter skala yang menyatakan besarnya keragaman data
berdistribusi GLL .
Dalam Warsono (2010), fungsi kepekatan peluang dari Distribusi GLL dapat
dinyatakan sebagai berikut:
Distribusi Log-Logistik, maka didapatkan fungsi distribusi dari Distribusi
6
= peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu rusak/ gagal.
7
2.3 Ekspansi Deret Maclaurin
Suatu fungsi dan turunannya, kontinu dalam
interval dan , maka untuk di sekitar , yaitu | | dapat
diekspansikan sebagai sebuah Deret Taylor (berbentuk polinom), yaitu:
(2.1)
Untuk , maka Persamaan (2.1) menjadi:
(2.2)
Persamaan (2.2) di atas, disebut Deret Maclaurin bagi fungsi .
Dengan menggunakan Persamaan (2.2), maka fungsi dapat diuraikan
menjadi bentuk deret sebagai berikut:
Sehingga diperoleh:
∑ (2.3)
8
2.4Fungsi Gamma
Fungsi Gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali bilangan
bulat negatif dan nol. Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif,
Fungsi Gamma didefinisikan untuk , Fungsi Gamma adalah:
∫ (2.4)
2.5Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen dari peubah acak , untuk diskrit adalah
∑
atas konvergen. Jika fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada,
maka fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh
momen peubah acak tersebut.
Teorema Ketunggalan:
i. Bila dua fungsi pembangkit momen dari dua peubah acak ada dan sama,
maka kedua peubah acak tersebut mempunyai fungsi distribusi yang sama.
ii. Bila dua peubah acak mempunyai fungsi distribusi yang sama, maka (bila
ada) fungsi pembangkit momennya juga sama.
9
2.6 Fungsi Pembangkit Momen Distribusi Genaralized Log-Logistic
Misalkan suatu peubah acak berdistribusi , maka fungsi
pembangkit momen dari peubah acak adalah sebagai berikut:
∑
(2.5)
(Warsono, 2010).
2.7Pendekatan Dengan Teknik Fungsi Pembangkit Momen
Misalkan peubah acak memiliki fungsi distribusi dan fungsi pembangkit
momen yang terdefinisi untuk untuk semua n. Jika terdapat
suatu fungsi distribusi , yang berkorespondensi dengan fungsi pembangkit
momen , terdefinisi untuk | | , sedemikian sehingga
, maka memiliki distribusi limit dengan fungsi
III. METODELOGI PENELITIAN
Pada bab ini akan dijelaskan tentang waktu dan tempat diadakannya penelitian
serta langkah-langkah yang digunakan dalam metode penelitian tentang
pendekatan Distribusi dengan Distribusi Generalized Log-Logistic melalui
fungsi pembangkit momen-nya.
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun ajaran 2012/2013 di Jurusan
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan untuk melihat pendekatan Distribusi melalui
Distribusi Generalized Log-Logistic dengan menggunakan metode
pencocokan nilai pembangkit momen dari suatu peubah acak yang ditentukan
11
Langkah-langkah yang dilakukan untuk melihat pendekatan Distribusi melalui
Distribusi Generalized Log-Logistic adalah sebagai berikut:
1. Tentukan fungsi pembangkit momen dari Distribusi
2. Buktikan bahwa Distribusi F dapat didekati dengan Distribusi GLL, dengan
menunjukkan bahwa:
FPM FPM GLL (
3. Buat grafik Distribusi F dan Distribusi GLL dengan parameter yang
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan pada bab sebelumnya, adapun kesimpulan
yang dapat diambil adalah sebagai berikut:
1. Fungsi pembangkit momen dari Distribusi F dengan parameter
adalah ∑
2. Distribusi F dengan parameter merupakan kasus khusus dari
Distribusi Generalized Log-Logistic dengan parameter
DAFTAR PUSTAKA
Dudewicz, E.J., dan Mishra, S.N. 1995. Statistika Matematika Modern. ITB, Bandung.
Douglas, A. Lind, G. Marchal, William, dan A. Wathen, Samuel. 2008. Teknik-Teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Jilid 2 (edisi 13). Diterjemahkan oleh Chriswan Sungkono. Jakarta: Salemba Empat.
Heryanto, N. dan Gantini, T. 2009. Pengantar Statistika Matematika. Bandung: C.V Yrma Widya.
Hogg, R.V., dan Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. New Jersey: Prentice-Hall Inc.
Miller, Irwin., dan Miller, Maryless. 1999. Jhon E. Freun’s Mathematical Statistics. Sixth Edition. New Jersey: Upper Saddle River.
Purcell, E.J., Varberg, D., dan Ringdon, S.E. 2003. Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Jakarta: Erlangga.
Warsono. 2010. Remarks on Moment Properties of Generalized Distribution. Proceedings of the Thirt International Conference on Mathematics and Natural Sciences. ITB, Bandung.
