ABSTRAK
MOMEN, KUMULAN DAN FUNGSI KARAKTERISTIK DARI DISTRIBUSI GENERALIZED LAMBDA
By
ROSANI MUTIARA THAMRIN
Distribusi Generalized Lambda awalnya diusulkan oleh Ramberg dan Schmeiser (1974) yang merupakan distribusi dengan empat parameter yang reparameterisasi dari distribusi Lambda Tukey dengan satu parameter. Karakteristik dari suatu distribusi dapat diketahui menggunakan momen, kumulan dan fungsi karakteristik. Karian & Dudewicz (2000) memperkenalkan metode penduga momen pada distribusi generalized lambda dengan menggunakan ekspetasi Z
dimana Z merupakan transformasi pada salah satu parameter dari distribusi
generalized lambda pada saat nilai = 0. Disisi lain, dalam penelitian ini memperoleh momen berdasarkan fungsi pembangkit momen dari distribusi
generalized lambda. Berdasarkan fungsi pembangkit momen, penelitian ini dapat mengembangkan fungsi karakteristik dari distribusi generalized lambda dengan menguraikan fungsi dan ke dalam bentuk ekspansi deret Maclaurin. Hasil simulasi grafik diperoleh skewness dari distribusi generalized lambda adalah
skew to the left dan kurtosis dari distribusi generalized lambda adalah leptokurtik.
ABSTRACT
MOMENT, CUMULANT AND CHARACTERISTIC FUNCTION OF GENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION
By
ROSANI MUTIARA THAMRIN
Generalized Lambda Distribution originally proposed by Ramberg and Schmeiser (1974) is a four parameter generalization of Tukey’s Lambda Family. Characteristic of distribution can be known by using moment, cumulant and characteristic functions. Karian and Dudewics (2000) introduced the moment method estimation on the Generalized Lambda Distribution using Z expectation where Z is the transformation of one of the parameters from Generalized Lambda Distribution when the lambda value is equal to 1. On the other hand, in this research we derive the moment based on the moment generating function of Generalized Lambda Distribution. Moreover, based on moment generating function, we also develop characteristic function of Generalized Lambda Distribution by decomposing and into MacLaurin series. Using simulation, the skewness of generalized Lambda distribution is skew to the left and kurtosis of generalized Lambda distribution is leptokurtic.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bandarlampung pada tanggal 30 Desember 1991. Penulis merupakan anak pertama dari pasangan Bapak Isnaini dan Ibu Roswita, kakak dari Muhammad Fikri Thamrin dan Ukhti Amalia Thamrin.
Penulis memulai pendidikan dari Taman Kanak-kanak Al-Kautsar pada tahun 1998. Pendidikan sekolah dasar di SD Alkautsar pada tahun 2004. Pendidikan sekolah menengah pertama di SMP Negeri 2 Bandarlampung pada tahun 2007. Pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 3 Bandarlampung pada tahun 2010.
vii
PERSEMBAHAN
“Allah yang Membuat Skenario Kebahagian Seterang Mentari, Allah
juga Membuat Skenario Kesedihan Sederas Hujan, Untuk Membuat
Episode Kehidupan Kita Berwarna “Secerah Pelangi” ..
Allah Cara-
Mu Sangat Indah …
Masa Muda Penuh Karya Untuk-Mu TUHAN ..
Yang Aku Persembahkan sebagai Insan Beriman..
Mumpung Masa Mudaku Tak Berhenti Menebar Cinta Menuju
Negeri “SURGA” yang nan jauh disana ..
Skripsi ini penulis persembahkan untuk ..
ALLAH SWT, Tuhanku Yang Maha Esa
Nabi Muhammad SAW, Kekasih Allah
Papa Tersayang Isnaini, Mama Terhebat Roswita
Adik-adikku:
Muhammad Fikri Thamrin
Ukhti Amalia Thamrin
&
Seluruh Keluarga Besar
Untuk seluruh Guru dan Dosenku yang dengan Ikhlas telah
memberikan ilmu kepadaku. Terimakasih Banyak atas “Pembelajaran”
ini, semuanya akan tersimpan menjadi “Tabungan Akhirat” ..
MOTO
“
Maka sesungguhnya setelah kesulitan itu ada
kemudahan”
(Q.S. Al
–
Insyirah : 5)
“
Untuk setiap kesulitan, selalu ada cara untuk
menaklukkannya, sehingga pada akhirnya kita akan
terbiasa dan terus melakukan perubahan
(Rosani Mutiara T.)
“Hidup Seperti Tasbih”
Berawal dan Berakhir di Titik yang Sama
Bukan Tasbih Namanya jika Hanya Satu Butir
Demikian juga ..
Bukan Hidup Namanya, Jika Hanya Memiliki Satu
Rasa ..
SANWACANA
Alhamdulilahi Robbil ‘alamin, Puji syukur kepada Allah SWT atas izin dan
ridho-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat teriring salam senantiasa tercurah kepada Nabi Muhammad SAW, suri tauladan terbaik sepanjang masa.
Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :
1. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing utama yang telah banyak meluangkan waktunya, selalu sabar memberikan pengarahan
dan motivasi dalam proses penyusunan skripsi ini dengan penuh “arti” dan
“tak terlupakan”.
2. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing kedua yang telah banyak membantu, mengoreksi dan dengan sabar memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.
3. Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen penguji bukan pembimbing yang telah banyak memberikan masukan dan saran yang membangun kepada penulis dalam proses penyelesaian skripsi ini.
4. Ibu Fitriani, S.Si, M.Sc selaku Pembimbing Akademik.
6. Bapak Prof. Suharso, Ph.D. selaku dekan FMIPA Universitas Lampung. 7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan segala bentuk bantuan kepada penulis. 8. Yang tercinta Papa dan Mama yang selalu memberikan motivasi dan bantuan
baik moril maupun materil dan memberikan segala perhatiannya disaat keadaan apapun serta selalu mendoakan penulis di setiap sujud dan tangisnya. 9. Adik-adikku Ukhti Amalia T. dan M. Fikri Thamrin yang selalu memberikan hiburan dikala penulis menghadapi kesulitan dalam menyelesaikan skripsi ini. 10. Sahabat-sahabat tersayang “Semania” Agnecia Eca Putri, Aulia Citra Fatiha, Miranti Verdiana, Ria Nulyatini, Puput Putri Sari dan Febriyanti terima kasih atas segala bantuan serta dukungan dari kalian yang tiada habisnya.
11. Teman-teman satu bimbingan Vinny, Reka, Miranti, Dian, Indri, Apit, Tiur dan Dhita yang selalu membantu penulis serta terima kasih semangat dan kebersamaannya dalam menyelesaikan skripsi ini.
12. Matematika 2010 yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu, terima kasih untuk empat tahun yang bermakna ini, skripsi ini tidak akan berhasil tanpa dukungan dari kalian semua.
13. Keluarga Besar HIMATIKA, Forum Silahturahmi Mahasiswa (FOSMA)
ESQ Lampung dan Happy Camp Institute yang memberikan sentuhan “emosi
4.2.2 Momen Kedua Pada Saat = 0... 29
4.2.3 Momen Ketiga Pada Saat = 0 ... 33
4.2.4 Momen Keempat Pada Saat = 0... 41
4.3 Momen Menggunakan Definisi Pada Saat = 0 ... 52
4.3.1 Momen Pertama Pada Saat = 0 ... 52
4.3.2 Momen Kedua Pada Saat = 0... 54
4.3.3 Momen Ketiga Pada Saat = 0 ... 56
4.3.4 Momen Keempat Pada Saat = 0... 60
4. 4 Momen Menggunakan TeoremaPada Saat = 0 ... 64
4.3.1 Momen Pertama Pada Saat = 0 ... 65
4.3.2 Momen Kedua Pada Saat = 0... 66
4.3.3 Momen Ketiga Pada Saat = 0 ... 67
4.3.4 Momen Keempat Pada Saat = 0... 69
4.5 Kumulan Distribusi Generalized Lambda ... 72
4.5 Skewness ... 79
4.6 Kurtosis ... 79
4.7 Fungsi Karakteristik Pada Saat = 0 ... 80
4.8 Simulasi ... 86
V. KESIMPULAN
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
4.1 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat meningkat,
tetap, meningkat ... 86
4.2 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat meningkat, tetap, menurun ... 87
4.3 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat menurun , tetap, meningkat, ... 88
4.4 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat menurun, tetap, menurun ... 89
4.5 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat tetap, meningkat, meningkat, ... 90
4.10 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat meningkat, menurun, tetap ... 95
4.11 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat menurun, meningkat, tetap, ... 96
4.12 Grafik Fungsi Kepekatan Peluang GLD pada saat menurun, menurun, tetap, ... 97
4.13 Grafik Skewness dari GLD dengan 4 nilai ... 98
4.14 Grafik Skewness dari GLD dengan 9 nilai ... 99
I.PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan Schmeiser (1974), distribusi yang memiliki empat parameter dari pengembangan distribusi Tukey Lambda yang telah terbukti berguna dalam berbagai hal seperti konstruksi industri, data atmosfer, kualitas kontrol, data medis dan lain sebagainya (Karian & Dudewicz, 2000). Sejak awal 1970-an GLD telah diaplikasikan dalam penyesuaian kejadian di berbagai bidang dengan fungsi densitas yang kontinu.
Empat parameter Generalized Lambda Distribution (GLD) adalah parameter dan menunjukkan lokasi dan skala parameter (scale parameter), dan menunjukkan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis).
2
yang lebih mudah, yaitu dengan penurunan fungsi pembangkit momen dan secara definisi. Fungsi pembangkit momen menjadi langkah pertama yang dilakukan dan hasilnya akan digunakan untuk menentukan momen dan kumulan. Momen dapat ditentukan dari momen pertama sampai momen ke-r. Selanjutnya berdasarkan momen akan dapat ditentukan kumulan dari distribusi generalized lambda dalam arti bahwa setiap dua distribusi probabilitas yang mempunyai momen identik akan memiliki kumulan identik juga.
Langkah berikutnya akan ditentukan momen dari ( atau ekspetasi dari yang biasa disebut fungsi karakteristik distribusi generalized lambda. Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Setiap distribusi peluang mempunyai fungsi karakteristik termasuk distribusi generalized lambda ( . Fungsi karakteristik identik dengan fungsi pembangkit momen dengan penambahan i pada bagian eksponennya.
1.2Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, hanya dibatasi pada pencarian momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized lambda ( pada solusi khusus, yaitu parameter .
1.3Tujuan Penelitian
3
1. Mencari momen distribusi generalized lambda ( pada saat
dengan menggunakan definisi dan fungsi pembangkit momen.
2. Mencari kumulan distribusi generalized lambda ( pada saat
dengan menggunakan definisi.
3. Mencari fungsi karakteristik distribusi generalized lambda ( pada saat .
1.4Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan panduan dan sumbangan pemikiran tentang cara mencari momen dari distribusi generalized lambda ( dengan menggunakan fungsi pembangkit momen dan menggunakan definisi.
II. LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diberikan beberapa definisi dan teorema yang berkaitan dengan penelitian. Dalam menyelesaikan momen, kumulan dan fungsi karakteristik dari distribusi generalized lambda dibutuhkan beberapa teori yang mendukung penelitian seperti definisi distribusi generalized lambda, , fungsi pembangkit momen, momen,, kumulan, skewness, kurtosis, dan fungsi karakteristik.
2.1 Distribusi Generalized Lambda
Generalized Lambda Distribution (GLD) awalnya diusulkan oleh Ramberg dan Schmeiser (1972-1974), yang memiliki empat parameter dari pengembangan distribusi Lambda Tukey. Keluarga distribusi Lambda Tukey didefinisikan oleh fungsi persentil ( yang berasal dari distribusi lambda satu parameter yang diusulkan oleh John Tukey (1960).
(
{
(
(
5
Distribusi lambda Tukey digeneralisasi dengan tujuan untuk membangkitkan varietas acak dalam pembelajaran simulasi Monte Carlo ke dalam empat parameter Generalized Lambda Distribution (GLD) oleh Ramberg dan Schmeiser (1972-1974), dan Mykytka (1979). Selain itu juga telah diaplikasikan dalam mencocokkan dan memodelkan kejadian di banyak bidang dengan fungsi densitas yang kontinu.
(Aljazar, 2005)
Definisi 2.1
Suatu peubah acak menyebar mengikuti Generalized Lambda Distribution
(GLD) dimana parameter dan menunjukkan lokasi dan skala parameter (scale parameter), dan menunjukkan kemiringan (skewness) dan keruncingan (kurtosis) dari GLD( jika dan hanya jika memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut :
( ) (
untuk ( dimana
Dan ( adalah fungsi persentil yang didefinisikan sebagai berikut
( ( ( ,
6
Gambar 2.1.Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
Lambda dengan n = 1.000.000,
Pada Gambar 2.1 Grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi generalized lambda dengan jumlah n adalah 1.000.000, terlihat sebaran datanya adalah simetris (distribusi normal) pada nilai
Gambar 2.2.Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi Generalized
7
Pada Gambar 2.2 Grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi generalized lambda dengan jumlah n adalah 1.000, terlihat kemiringan (kecondongan) data ke arah kanan dimana nilai mean lebih besar daripada modusnya.
Untuk mengevaluasi integral tentu yang terbentuk, selanjutnya diperlukan ekspansi deret Maclaurin dalam menemukan momen dari distribusi generalized
lambda yang akan dibahas pada sub-bab selanjutnya.
2.2 Ekspansi Deret Maclaurin
Deret Maclaurin digunakan untuk membantu menyelesaikan suatu persamaan dengan mengekspansikannya sehingga dapat lebih mudah menyelesaikannya.
Definisi 2.2
Dan bentuk deret pada persamaan (2.2) disebut sebagai ekspansi deret Maclaurin bagi fungsi (
8
Tahap pertama dalam menentukan karakteristik distribusi generalized lambda yaitu dengan menentukan fungsi pembangkit momen yang nantinya dari fungsi pembangkit momen ini dapat menentukan karakteristik lain dari distribusi
generalized lambda.
2.3 Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi pembangkit momen digunakan untuk menghitung momen dari variabel atau peubah acak X. Fungsi pembangkit moment disimbolkan dengan
9
Definisi 2.3
Jika X adalah peubah acak, baik diskrit maupun kontinu maka fungsi pembangkit momen dari X ( X dinotasikan dengan ( ) didefinisikan sebagai :
( (
Definisi 2.4
Jika X adalah peubah acak diskrit dan ( adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai :
( ∑ (
Definisi 2.5
Jika X adalah peubah acak kontinu dan ( adalah nilai fungsi peluang dari X di x, maka fungsi pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai :
( ∫
(
(Hogg dan Craig, 1997).
10
2.4 Momen
Momen merupakan suatu karakteristik dari suatu distribusi peluang. Momen dapat dicari menggunakan cara sesuai dengan definisi atau penurunan fungsi pembangkit momen. Momen dapat ditentukan dari momen pertama sampai momen ke-r.
Rataan dan varians sebenarnya merupakan hal yang istimewa dari kelompok ukuran lainnya yang disebut momen. Dari momen ini beberapa ukuran lain dapat diturunkan. Momen didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2.6:
Momen ke-r dari suatu peubah acak , dilambangkan dengan merupakan nilai harapan dari ( , dituliskan sebagai berikut :
[( ] ∑( (
Untuk ketika diskrit, dan
[( ] ∫( (
Ketika kontinu.
(Irwin Miller, Marryless Miller, 1999).
11
2.5 Kumulan
Dalam teori probabilitas dan statitistika, seperangkat kuantitas yang memberikan alternatif momen distribusi dinamakan kumulan. Momen akan dapat menentukan kumulan dari distribusi generalized lambda dalam arti bahwa setiap dua distribusi probabilitas yang mempunyai momen identik akan memiliki kumulan identik juga.
Definisi 2.7 :
Kumulans didefinisikan sebagai
( ∑ (
Dengan menggunakan deret Maclaurin maka didapat :
( ( ( ( )
( ( +
( ( )
( [ ] ( )
Dimana momen ke-n, maka dapat ditulis kembali sebagai berikut:
12 Setelah kumulan diketahui, dalam sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang kemencengan atau skewness yang akan dicari setelah kumulan ke-2 dan kumulan ke-3 diperoleh.
2.6. Skewness
Kemencengan atau kecondongan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kemelencengan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetri akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya.
Skewness dari suatu variabel random X yang dinotasikan dengan Skew [X] didefinisikan sebagai:
[ ] [( ]
[( ] (
13
distribusi yang mempunyai skewness negative misalnya distribusi Binomial dengan p < 0.5.
(deGunst dan van der Vaart, 1993)
Selain Skewness, pada sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang kurtosis atau tingkat keruncingan dari distribusi data yang dapat diperoleh setelah kumulan ke-2 dan kumulan ke-4 didapatkan.
2.7 Kurtosis
Kurtosis (keruncingan distribusi data) adalah derajat puncak dari suatu distribusi. Kurtosis dilambangkan dengan dan dapat diperoleh dengan rumus :
(Murray R Spiegel,1998)
Sub-bab selanjutnya akan dijelaskan tentang fungsi karakteristik dari distribusi
14
2.8 Fungsi Karakteristik
Fungsi Karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dalam statistika.
Definisi 2.8 :
Fungsi karakteristik ( ( dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai ekspetasi dari , dimana i adalah bilangan imaginer dan t dapat dinyatakan sebagai berikut:
( ( ( ) ∫ (
Dan merupakan fungsi kumulatif dari distribusi X, sedangkan merupakan fungsi kepakatan peluang dari distribusi X.
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, dan dilakukan pada Semester Genap Tahun Ajaran 2013/2014.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan denganskripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
17
Teorema 3.2. Peubah Acak GLD
Jika variabel acak adalah GLD ( , maka variabel acak
merupakan GLD(
Bukti :
Jika adalah GLD( , maka dari definisi GLD dapat diperoleh
( (
Sekarang
( [ ] [ ] (
Oleh karena itu ( yang mengakibatkan ( Menghasilkan
( (
(
Ini membuktikan bahwa variabel acak merupakan GLD( .
Teorema 3.3. Peubah Acak GLD
Jika adalah suatu variabel acak dari GLD( , maka merupakan GLD (
Bukti :
Jika adalah GLD( , maka
18
dan
( [ ] [ ] (
Jika ditentukan ( , maka akan diperoleh
( ( (
Selain itu, juga dimiliki ( dimana
( (
Ini membuktikan bahwa merupakan GLD ( .
Teorema 3.4. Nilai Harapan Peubah Acak GLD
Jika adalah GLD ( , maka ( nilai harapan dari diberikan oleh
( ∑ ( ( (
Dimana ( adalah fungsi beta yang didefinisikan sebagai berikut :
( ∫ (
Bukti :
( ∫ (
Dari Teorema 1 diketahui ( dengan ( diperoleh
( maka ( . Dengan maka,
19
∫ ( ∫ ( ( )
Dari teorema binomial,
( ( ) ∑ ( ) (
Sehingga diperoleh
( ∑ ( ∫ ( (
∑ ( ( (
Jadi terbukti bahwa:
( ∑ ( ( (
(
Dengan mengevaluasi langsung dari integral pada persamaan 3.1 dapat ditentukan untuk sebagai berikut :
( (
(
2. Mencari kumulan pada saat distribusi generalized lambda dengan parameter ( dengan menggunakan definisi.
3. Mencari fungsi karakteristik pada saat dari distribusi generalized
20
4. Melakukan simulasi grafik fungsi kepekatan peluang dari distribusi
generalized lambda dengan parameter ( dimana parameter
dan menunjukkan lokasi dan skala serta dan menunjukkan
parameter bentuk.
5. Melakukan simulasi grafik skewness (kemiringan) dari distribusi generalized
lambda dengan parameter ( dimana parameter dan menunjukkan lokasi dan skala serta dan menunjukkan parameter bentuk.
6. Melakukan simulasi grafik kurtosis (kelandaian ) dari distribusi generalized
104 V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian yang telah dilakukan diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Momen dari distribusi generalized lambda ( dapat ditentukan dengan menggunakan ekspetasi Z dimana Z merupakan transformasi pada salah satu parameter dari distribusi generalized lambda pada saat nilai = 0, dapat dicari berdasarkan definisi momen dan melalui penurunan fungsi pembangkit momen. Momen pertama hingga momen keempat dari distribusi
generalized lambda ( adalah
( )
(
) ( )
( )
105
( )
( ( ))
( (
))
( )
Kumulan pertama hingga kumulan keempat dari distribusi generalized Lambda
( adalah:
( ) ( ) ( )
( ( )
( ) ( )
( ) ( )
106
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
(
) ( )
( )
3. Fungsi karakteristik dari distribusi generalized Lambda ( adalah
( ∑(
DAFTAR PUSTAKA
Aljazar, A.L. 2005. Generalized Lambda Distribution and Estimation Parameters. Tesis. The Islamic University of Gaza. Gaza. Diakses dari //http:library.iugaza.edu.ps pada tanggal 30 Desember 2013.
Au-Yeung, S. W. M. Finding Probability Distribution From Moments. MSc tesis, University Of London, 2003.
De Gunst, M. C. M.1994. Statistiche Data Analyse, Facultiet Wiskunde en Informatica. Amsterdam. Vrije Universitiet.
Dudewicz, E. J. & Karian, Z. A. 2000. Fitting Statistical Distributions The Generalized Lambda Distribution and Generalized Bootstrap
Methods. CRC Press, New York.
Hogg, v Robert and Craig, Tallen. 1965. Introdustion to mathematical Statistic Fifth Edition. New Jersey : The United States of Amerika.
Karian, Z. A. dan Dudewicz, E. J. 2000. Fitting Statistical Distribution The Generalized Lambda Distributions and Generalized Bootstrap Methods. CRC Press, Florida.
Kendall, M.G, and Stuart,A. 1977. The Advanced Theory of Statistic (Vol I).
New York; MacMilan.
Leithold, Louis, 1986. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik Edisi Kelima Jilid 3. Jakarta; Erlangga.
Spiegel, Murray R. 1988.Statistika Edisi Kedua.Jakarta:Erlangga.
