MOMEN,CUMULANTSDAN FUNGSI KARAKTERISTIK DISTRIBUSI GENERALIZEDBETA II DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI BETA DAN
EXSPANSI DERET MACLAURIN
Oleh
RAHMAWATI EKA HANDAYANI
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRAK
MOMEN,CUMULANTSDAN FUNGSI KARATERISTIKGENERALIZED BETA II DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI BETA DAN EKSPANSI
DERET MACLAURIN
Oleh
RAHMAWATI EKA HANDAYANI
DistribusiGeneralizedBeta II mempunyai empat parameter yaitu (a,b,p,q) dimana a merupakan parameter skala, dan b,p,q merupakan parameter bentuk. Distribusi GeneralizedBeta II merupakan perluasan dari distribusi beta dengan menambah 2 parameter yaitu (a,b). Momen dari distribusi generalized beta II ini didapat menggunakan fungsi pembangkit momen, kemudian momen pertama sampai momen ke-r dari distribusi ini didapat dengan menurunkan hasil pembangkit momen tersebut dari turunan pertama hingga turunan ke-r terhadap t disaat t=0 dan bisa pula menggunakan cara langsung. Setelah didapat momen-momen tersebut maka didapat cumulants untuk mempermudah dalam pencarian karakteristik distribusi tersebut. Fungsi karakteristik dan fungsi pembangkit momen dari disitribusi generalized beta II ini, didapat dengan menggunakan fungsi beta dan dengan ekspansi deret MacLaurin untuk mempermudah dalam pencarian tersebut.
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Batasan Masalah... 3
1.3 Tujuan Penelitian ... 3
1.4 Manfaat Penelitian ... 4
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Fungsi Beta ... 5
2.2 DistribusiGeneralizedBeta II ... 5
2.3 Momen ke-r... 6
2.3.1 Fungsi Pembangkit Momen ... 6
2.4 Fungsi Karakteristik ... 7
2.5 Cumulants... 7
2.6 Ekspansi Deret MacLaurin... 9
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 10
xiii IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Fungi Pembangkit Momen (Moment Generating Funtion)……….... 12 4.2 Cumulants... 33 4.3 Fungsi Karakteristik ... 39
V. KESIMPULAN
I.PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam penggunaan statistik terdapat tiga bagian utama yaitu statistik deskriptif,
probabilitas dan statistik inferensial. Statistik deskriptif adalah metode yang
mengatur, merangkum dan mempresentasikan data dengan cara yang informatif,
yang bertujuan untuk menyajikan informasi data sebagai deskripsi fakta dalam
bentuk numerik, tabel, grafik atau kurva distribusi, sehingga suatu fakta atau
peristiwa dapat secara mudah untuk dipahami dan disimpulkan. Sedangkan
statistik inferensial adalah metode yang digunakan untuk mengestimasi sifat
populasi berdasarkan pada sampel, yang menggunakan konsep probabilitas untuk
membuat perkiraan, prediksi, peramalan, ataupun generalisasi dari suatu objek
berdasarkan informasi data yang diambil fakta sebagai populasi atau sampel
(Mustafid,2003).
Pada suatu penelitian, terkadang diamati kerakteristik dari sebuah populasi.
Beberapa macam ukuran statistik digunakan untuk mengetahui karakteristik dari
populasi, misalnya rataan, varians, median dan lain-lain. Pada inferensia statistik,
ingin diperoleh kesimpulan mengenai populasi, meskipun tidak praktis untuk
mengamati keseluruhan individu yang menyusun populasi atau tidak mungkin jika
2
mungkin mengamati keseluruhan dari elemen populasi, maka dapat dilakukan
langkah alternatif yaitu pendugaan populasi dengan menggunakan sampel yang
diambil secara acak dari sebuah populasi atau parameter.
Dalam statistik, penentuan suatu model peluang sangat penting untuk
menggambarkan perilaku dari sekumpulan obyek pengamatan. Beberapan model
telah diperkenalkan untuk mencocokan data tersebut. Untuk memepermudah
pencocokan biasanya digunakan model yang di umumkan (generalized). Salah satu pemodelan perumuman yaitu distribusi generalized beta II (GB2). Distribusi GB2 merupakan perluasan dari distribusi beta, dengan menambahkan dua
parameter baru yang disebut parameter bentuk (a,b). Distribusigeneralizedbeta II merupakan distribusi yang juga mempunyai karakteristik populasi seperti rataan
dan varian.
Dalam statistik, rata-rata dan varian sebenarnya merupakan hal istimewa dari
kelompok lain yang disebut momen, dari momen ini pula beberapa ukuran lain
dapat diturunkan. Momen dapat dikembangkan sampai momen ke-r. Untuk
mencari momen dari distribusi dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan
fungsi pembangkit moment dan pencarian secara langsung.
Adapun dalam teori probabilitas dan statistik, seperangkat kuantitas yang
3
Setiap distribusi peluang mempunyai fungsi karakteristik termasuk distribusi
generalized beta II (a,b,p,q). Fungsi karakteristik menyediakan cara alternatif untuk menggambarkan suatu variabel acak. Fungsi karakteristik juga dapat
digunakan untuk menemukan cumulants dari suatu veriabel acak dalam distribusi peluang.
1.2 Batasan Masalah
Untuk menduga parameter distribusigeneralized beta II (a,b,p,q) dapat digunakan metode momen. Ide utama dari metode momen adalah menyamakan karakteristik
sampel tetentu seperti mean dan varian untuk nilai-nilai yang diharapkan populasi
yang berkesesuaian dan kemudian menyelesaikan persamaan yang dihasilkan
untuk mendapatkan nilai perkiraan parameter tidak diketahui. Namun dalam
penelitian ini penulis hanya dibatasi pada pencarian momen, fungsi karakteristik
dancumulantsdari distribusigeneralizedbeta II.
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mencari momen dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q) dengan menggunakan fungsi pembangkit momen.
4
1.4 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Memberikan panduan dan sumbangan pemikiran kepada peneliti lain
tentang cara mencari momen dari distribusigeneralizedbeta II (a,b,p,q). 2. Memberikan hasil cumulants dan fungsi karakteristik dari distribusi
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Fungsi Beta
Definisi 2.1
Fungsi beta dinyatakan dengan B( , ) didefinisikan sebagai berikut:
Untuk > 0dan > 0, maka :
( , ) = (1 + )
Untuk setiap > 0dan > 0, fungsi beta adalah simetrik:
( , ) = ( , )
(Prasanna Sahoo, 2008)
2.2 DistribusiGeneralizedBeta II
Definisi 2.2
Suatu variabel acak dikatakan memiliki distribusi generalized beta II dengan parameter (a,b,p,q), jika fungsi kepekatannya adalah :
( ) = | |
( , )(1 + ( ) ) ; 0 < <∞
6
( , ) = (1 + )
(James B. McDonald, Yexio J.Xu,1995)
2.3 Momen ke-r
Definisi 2.3
Momen dari peubah acak X dapat didefinisikan sebagai berikut :
′ = E( ) =
( ) ; bila x diskrit
( ) ; bila X kontinu
∞
∞
Untuk r =1, 2, 3, 4, ….r……
Jika r=1, maka E(X) di sebut momen pertama dari peubah acak X, jika r=2, maka
E( ) disebut momen kedua dari peubah acak X dan seterusnya.
(Prasanna Sahoo, 2008)
Selain dapat dicari langsung dari Definisi 2.3, tersedia cara lain, cara ini
memerlukan penggunaan fungsi pembangkit momen.
2.3.1 Fungsi Pembangkit Momen
Jika X adalah suatu peubah acak dengan fungsi kepekatan peluanya nya adalah
f(x). sebuah fungsi M: R→ , maka fungsi pembangkit momen didefinisikan
7
( ) = ( ) =
( ) ; bila x diskret
( ) ; bila x kontinu
∞
∞
(Prasanna Sahoo, 2008)
2.4 Fungsi Karakteristik
Definisi 2.4
Fungsi karakteristik ( ) dari peubah acak X, didefinisikan sebagai nilai
ekspetasi dari , dimana i adalah bagian imaginer dan t ∈ dapat dinyatakan
sebagai berikut: : → ( ) = = ( ) = ( ) ∞ ∞ ∞ ∞
dimana ( ) = = {cos( ) + sin( )
= cos( ) + sin( )
Dan merupakan fungsi kumulatif dari distribusi X, sedangkan merupakan
fungsi kepakatan peluang dari distribusi X.
(Edward J. Dudewicz & Satya N.Mishra, 1995)
2.5 Cumulants
Definisi 2.5
8
ln ( ) ≡ ( )
!
Dengan menggunakan deret MacLaurin maka didapat :
ln ( ) = ( ) + 1
2!( ) − +
1 3!( )
(2 − 3 + )+
!( ) (− 6 + 12 − 3 − 4 +
) +
!( ) 24 − 60 + 20 − 10 +
5 6 − + +
Dimana momen baku, maka dapat ditulis kembali sebagai ;
=
= −
= 2 − 3 +
= − 6 + 12 − 3 − 4 +
= 24 − 60 + 20 − 10 + 5 6 − +
.
.
.
= − − 1
− 1
9
2.6 Ekspansi Deret MacLaurin
Pada penelitian ini, deret MacLaurin digunakan untuk menyelesaikan fungsi
dan dalam menentukan fungsi pembangkit momen dan fungsi karakteristik
dari distribusigeneralizedbeta II.
Teorema Deret MacLaurin
Misalkan f adalah fungsi di mana turunan ke (n+1). ( )(x), ada untuk setiap x pada suatu selang terbuka l yang mengandung .Jadi, untuk setiap x di dalam l
berlaku : ( ) = ( ) + ( )( − ) + ( )
! ( − ) + (2.1)
Persamaan (2.1) disebut sebagai ekspansi deret Taylor bagi fungsi ( ). Jika
= 0,maka bentuk deret pada persamaan (2.1) menjadi :
( ) = ( ) + ( )( − ) + ( )
! ( − ) + (2.2)
Dan bentuk deret pada persamaan (2.2) disebut sebagai ekspansi deret MacLaurin
bagi fungsi ( ).
Dengan memuat persamaan (2.2) maka fungsi ( ) = dapat diuraikan
menjadi bentuk deret sebagai berikut:
( ) = (0) = ( ) =1
′( ) = ′(0) = ( ) =
′′( ) = ′′(0) = ( ) =
Sehigga diperoleh:
= 1 + +
2! + =
( )
! ………..
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penilitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun akademik 2013/2014,
bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka yang
menggunakan buku-buku penunjang, skripsi dan jurnal yang berhubungan dengan
skripsi ini. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Mencari momen dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q). Untuk mencari momen dapat dilakukan dengan dua cara yaitu dengan menggunakan fungsi
pembangkit momen dan pencarian secara langsung. Disini akan digunakan
fungsi pembangkit momen untuk mencari momen dari distribusi generalized beta II (a,b,p,q).
11
Dalam mencari momen-momen tersebut dilakukan dengan dua cara, yaitu
dengan menurunkan hasil dari fungsi pembangkit momen disaat t=0 dan
pencarian momen secara langsung dan dari distribusigeneralizedbeta II.
V. KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Fungsi Pembangkit Momen dari distribusigeneralizedbeta II adalah :
✁
✂ ✄
! ( , )
2. Momen ke-r dapat dihasilkan dengan dua cara yaitu dari turunan ke-r hasil
fungsi pembangkit momen terhadap t pada saat t=0, atau dengan menggunakan
cara langsung.Berikut merupakan momen ke-r dari distribusi generalized beta II :
+ ,
( , )
3. Cumulantske-r dari distribusigeneralizedbeta II adalah :
( + , )
( , )
1 1
( + , )
( , )
4. Fungsi Karakteristik dari distribusigeneralizedbeta II adalah :
( ) + ,
DAFTAR PUSTAKA
Abromowits,M. and Stegun, I.A.1972.Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graps, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover.Diakses dari http://mathworld.wolfram.com/Cumulant.html pada tanggal 27 Oktober 2013.
Dudewicz, Edward J dan Stya N. Mishra.1995.Modern Mathematical Statistics.Syracuse,New York.
McDonald, James B., Yexiao J. Xu.1995.A Generalized of the Beta Distribution with Application. Journal of Econometrics 66.
Mustafid.2003.Statistika Elementer. Universitas Diponegoro:Semarang.
Purcell,E.J., Varberg, D., dan Rigdon, S.E.2003.Kalkulus Jilid 2 Edisi Kedelapan. Erlangga,Jakarta.